MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES

MATEMÁTICAS
1º BACHILLERATO SOCIALES
EXAMEN ESTADÍSTICA 1
1.- Con la variable edad, en años, de una muestra de 100 personas se forma la siguiente
tabla de frecuencias:
Edad en años Frecuencia acumulada
[10,30)
10
[30,50)
30
[50,70)
60
[70,90)
84
[90,110)
100
a) Completa la tabla de frecuencias. (0,75 puntos)
b) Usando la tabla, calcula la media y la desviación típica. (1 punto)
c) Calcula exactamente la moda. (0,75 puntos)
d) Calcula exactamente la mediana. (0,75 puntos)
e) ¿A partir de qué valor podemos encontrar el 25% de las personas más jóvenes?
(1 punto)
2.- Hemos calculado la covarianza de una cierta distribución y ha resultado negativa.
Justifica por qué podemos afirmar que tanto el coeficiente de correlación como las
pendientes de las dos rectas de regresión son también números negativos. (1 punto)
3.- Sean x = “gastos en publicidad de un producto” (en miles de euros) e y = “ventas
conseguidas de ese producto” (en miles de euros).
x 1 2 3 4 5 6
y 10 17 30 28 39 47
a) Calcula el coeficiente de correlación. (1 punto)
b) Comenta la influencia del gasto publicitario en las ventas. (1 punto)
c) Halla la ecuación de la recta de regresión de las ventas respecto del gasto
publicitario. (1 punto)
d) Halla las ventas esperadas para un gasto en publicidad de 3200 euros. (1 punto)
e) Dibuja la nube de puntos y la recta de regresión hallada en el apartado c). (0,75
puntos)
MATEMÁTICAS
1º BACHILLERATO SOCIALES
SOLUCIONES
1.-a)
Edad en años
[10,30)
[30,50)
[50,70)
[70,90)
[90,110)
b)
∑x f
x=
i
n
xi
fi
20
40
60
80
100
i
Fi
10
20
30
24
16
10
30
60
84
100
hi
Hi
0’1
0’2
0’3
0’24
0’16
0’1
0’3
0’6
0’84
1
6320
=
= 63'20 años σ =
100
∑ f (x
i
c) Intervalo modal [50,70) (fi mayor) Mo= L i +
( xi − x )
xi.fi
200
800
1800
1920
1600
− x)
-43’20
-23’20
-3’20
16’80
36’80
f i ( xi − x )
18662’4
10764’8
307’2
6773’76
21667.84
2
2
i
n
= 5817'6 = 24'12 años
f i − f i −1
.c = 62'5
(f i − f i −1 ) + (f i − f i +1 )
d) Intervalo mediano: [50,70) ya que Fi=60>50
n
− Fi −1
50 − 30
2
.c = 50 +
M = Li +
.20 = 63'33
fi
30
e) Nos piden P25=Q1; está en el intervalo [30,50) ya que n/4=25
n
− Fi −1
25 − 10
.c = 30 +
Q3 = Li + 4
.20 = 45 luego el 25% está por debajo de 45 años
fi
20
2.- Si la covarianza es negativa ( σ xy < 0 ) entonces como el coeficiente de correlación es
σ xy
y las desviaciones típicas son siempre positivas, tendremos que el coeficiente es
σ x ⋅σ y
también negativo.
Por otra parte, las pendientes de las rectas de regresión son:
σ xy σ xy
y 2 que, por la
σ x2
σy
misma razón son también negativas.
3.- a)
x y
x i2
1 10 1
2 17 4
3 30 9
4 28 16
5 39 25
6 47 36
21 171 91
y i2
100
289
900
784
1521
2209
5803
x i .y i
10
34
90
112
195
282
723
21
= 3'5 miles de euros (3500 €)
6
91
Desviaciones típicas: σ x =
− 3'5 2 = 1,71
6
Medias: x =
y=
171
= 28'5 (28500 €)
6
5803
σy =
− 28'5 2 = 12'45
6
MATEMÁTICAS
1º BACHILLERATO SOCIALES
723
− 3'5.28'5 = 20'75
6
20'75
Coeficiente de correlación: r =
= 0,97
1'71 ⋅ 12'45
b) Es una correlación muy fuerte (próxima a 1) y positiva. Lo que significa que a más
gastos en publicidad mas ventas, con una incidencia muy clara.
c) tenemos que hallar la recta de y sobre x:
σ xy
20'75
y − y = 2 ( x − x ) ; y − 28'5 =
( x − 3'5) ; y − 28'5 = 7'1( x − 3'5)
1'712
σx
y − 28'5 = 7'1x − 24'85 , luego la recta pedida es: y = 7'1x + 3'65
d) Para un gasto de 3200 euros (x = 3’2) en publicidad, las ventas esperadas serán:
y = 7'1 ⋅ 3'2 + 3'65 = 26'37 miles de euros, es decir 26370 euros.
Covarianza: σ xy =
Ventas (miles de euros)
e)
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
Gastos (miles de euros)
8