Magnitudes continuas y números reales

Magnitudes continuas y números reales
Fecha de recepción: mayo, 2001
Educación Matemática
Vol. 14 No. 1 abril 2002
105-110
Norberto Fava, Graciela Fernández y Héctor Pérez
Departamento de Matemática
i Universidad de Buenos Aires
: [email protected]; [email protected]; [email protected]
Resumen: La noción primitiva de cuerpo real se fundamenta en ciertas operaciones que
usualmente realizamos con magnitudes continuas como la longitud, el área, el volumen,
la masa y el tiempo. Es esta antigua noción de número, motivada por las aplicaciones
geométricas y mecánicas, la que exploramos sistemáticamente en esta nota, en el contexto de una magnitud abstracta.
Summary: The early notion of a real field is founded on certain operations we usually
perform on continuous magnitudes such as length, area, volume, mass and time. This old
concept of number, motivated by applications to geometry and mechanics, is the one we
explore systematically in this note, in the context of an abstrae! magnitude.
l. Introducción
Los estudiantes de matemática suelen estar familiarizados con las propiedades de los anillos y cuerpos numéricos desde un punto de vista formal y abstracto, pero no ocurre lo
mismo -por lo general- con la teoría que describe su utilización en las aplicaciones
geométricas y físicas, a pesar de ser éstas las que conducen al concepto de cuerpo real, que
damos por conocido.
El remedio es antiguo y se encuentra en la teoóa general de las magnitudes continuas,
que estudiamos con rigor en esta nota. El ejemplo más representativo de una magnitud
continua es la longitud: las longitudes suelen sumarse y compararse por su tamaño y no
hay quien ignore las propiedades más sencillas de estas operaciones que tienen su origen
en experiencias reales y necesidades prácticas.
El excelente artículo de G. Vitali (3) nos ha servido para comprender más cabalmente
el papel que desempeña en esta teoría el postulado de continuidad (véase abajo la
demostración de Stolz). Nos referimos al siguiente enunciado: "Si un segmento de recta
PQ está dividido en dos partes, de suerte que: 1 º todo punto de PQ pertenezca a una de
las dos partes; 2º el extremo P pertenezca a la primera parte y Q a la segunda, y 3º
cualquier punto de la primera parte preceda a un punto cualquiera de la segunda en el
orden PQ del segmento, entonces existe un punto R de PQ (que puede pertenecer a una u
otra parte) tal que todo punto de PQ que preceda a R pertenece a la primera parte, y todo
punto de PQ que siga a R pertenece a la segunda en la división establecida". El axioma
VII es una simple adaptación de este enunciado al carácter más general de nuestra nota.
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Los enunciados con números romanos -siete en total- son los axiomas de la teoría.
Aquellos enunciados cuya demostración se omite representan sencillos y útiles ejercicios.
2. Concepto de magnitud
Consideremos un conjunto M = {A, B, C} entre cuyos elementos se ha definido una ley de
composición+ llamada suma, de modo tal que se satisfacen las siguientes propiedades:
l
A + (B + C) = (A + B) + C
H.
A+B=B+A
fil Existe un elemento O e M, tal que A + O= A para cualquier A
lY.
Si A + B = O entonces A = B = O
Decimos que A es menor que B y escribimos indistintamente A < B o B > A si existe
tal que B = A + L. Inmediatamente se deducen las siguientes afirmaciones:
2º A < B y B < C
V.
~
A < C.
Para cualquier par de elementos de M se cumple una y sólo una de las relaciones
A > B, A
= B, A > B
Ahora se demuestran como fáciles ejercicios las afirmaciones:
1º Si A <BentoncesA + C<B+ C;
Si B < A, el único L que satisface A
denota por A - B.
2° Si A+ C=B+ CentoncesA =B
= B + L se llama diferencia entre A y By se
Ejercicio. Probar que si A < B < C entonces C -A > C - B
VI. Si A < O entonces existe B tal que O< B <A.
Supondremos que M no es trivial, es decir que contiene elementos distintos de O. El
producto nA del entero positivo n por A se define inductivamente por las fórmulas:
IA
= A,
(n + l)A
= nA +A.
Precisamente por inducción se demuestran las siguientes fórmulas:
n(A+B)=nA+nB, n(A-B)=nA-nB,
(m + n)A = mA + nA, m(nA) = (mn)A.
La última nos autoriza a escribir sin incurrir en ambigüedad.
Ejercicios. Probar las afirmaciones: 1º Si nA
A
* O, mA = mA entonces m = n.
= O entonces A = O; 2° Si para algún
VII. (Postulado de continuidad). SeanS 1 =(H) yS 2 =(K) subconjuntos no
vacíos de M con la propiedad de que cualquier elemento del primero es menor
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MAGNITIJDES CONTINUAS Y NÚMEROS REALES
que cualquiera del segundo. Entonces existe B E M tal que H
cualquier H del primer conjunto y cualquier K del segundo.
~
B
~
K para
Teorema. (Divisibilidad). Para cualquier A y cualquier n existe B tal que nB = A.
Para la demostración necesitamos el siguiente lema.
Lema. Si A > O entonces para cualquier n existe B > O tal que nB < A.
En efecto, el axioma VI permite escribir A en la forma A = B1 + C1 ,
donde O< B 1 ~ CI" Entonces 2B1 ~A; y aplicando el mismo argumento a B 1 podemos
encontrar B 2 > O tal que 2B2 ~ B1 • Es decir, 2 2 B 2 ~ A.
Continuando en la misma forma obtendremos una sucesión (Bk) de elementos
mayores que O que verifican 2k Bk ~A; y es claro que para k suficientemente grande
tendremos n > 2k lo que demuestra el lema.
Ahora podemos probar el teorema: consideremos una partición de M en dos
conjuntos (H) y (K) definidos respectivamente por las relaciones nH ~ A y nK > A. Por
el postulado de continuidad existe B tal que H ~ B ~ K para cualquier H del primer conjunto
y cualquier K del segundo. Queremos probar que nB = A.
Si fuera nB < A, podríamos encontrar un elemento D > O tal que nD < A - nB , es
decir, n( B + D) < A, lo que es absurdo. Si fuera nB > A podríamos hallar D > O tal
que nD < nB - A < nB, de donde n(B - D) > A, lo que es también absurdo. Por
consiguiente, nB = A como queríamos probar.
Definición. Dados A y n, el único B que verifica nB = A se denota por Aln (o A);
enparticular,A/1 =A.
n
Teorema. (Propiedad de Arquímedes). Si O < B < A, entonces existe n tal que
nB>A·
Demostración (O. Stolz). Suponiendo que un tal n no existiera, definimos una
partición de M en dos clases según los siguientes criterios:
a) (\in) nH < A; b) (3n) nK > A.
Es claro entonces que B pertenece a la primera clase y A a la segunda; y asimismo
que cualquier Hes menor que cualquier K. En estas condiciones el postulado de continuidad
asegura la existencia de un elemento C tal que H ~ C ~ K para cualquier H de la primera
clase y cualquier K de la segunda.
Consideremos ahora un elemento L tal que O < L < C (axioma VI). Entonces existe
n tal que n( C + L) > A, y por consiguiente, 2n C + L > A, lo que es absurdo pues
C+L <C.
2
2
3. Símbolos racionales operando sobre M
Para lo que sigue conviene introducir la siguiente definición. Si/y g son funciones de M en
sí mismo, la suma y el producto de ambas se definen por medio de las siguientes fórmulas:
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(f + g)(A)
= f(A) + g(A),
(fg)(A)
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•
= f(g(A)).
Notación. En forma abreviada escribimos/A en lugar def{A).
A la luz las definiciones anteriores, las reglas operativas:
(m + n)A = mA + nA,
m(nA) = (mn)A,
expresan que a la suma de dos enteros positivos corresponde la suma de sus respectivas
funciones, y al producto de dichos números la composición de las mismas. Además, por lo
visto anteriormente, la función A --+ nA es igual a la función A --+ mA si y sólo si n = m.
Estas propiedades justifican la identificación del entero positivo n con la función A --+ nA,
que adoptamos a partir de ahora.
Bastante más general es la noción de función definida por un número racional:
Definición. Si m y n son enteros positivos, denotamos por m/n a la función de M en
sí mismo definida por el siguiente esquema:
A~ m(Aln).
Llamamos a esta función el "número racional" mln, y escribimos m A
n
= m (A/ n ).
Notemos que, en particular, !!..A= n(A /1) = nA. La fórmula muestra que el número
racional n/1 opera sobre M del miJmo modo que el entero positivo n, lo que prueba la
igualdad n/1 = n.
Si ponemosB = (m / n)A, entonces tendremosnB = n [m(AI n)] = (nm)(A / n) =
m[n( A/ n)] =mA. Luego, B = (mA) / n. Hemos probado la fórmula
m A= mA
n
n
Pongamos ahora B = Aln y C = B/k. Entonces tendremos (nk)C = n(kC) = nB = A,
lo que demuestra la fórmula
(Al n)/ k
= Al nk
Ahora es fácil probar que m = mk. En efecto: para cualquier A
n nk
mk
-A= mk(A/ nk)
nk
. -m
e oro1ano.
n
m
= mk[(Aln)/ k] = m(Aln) =-A.
n
= -p si.y so'/o si. mq = np
q
En efecto, (1 º) si m = p, entonces para cualquier A, m A= P A, y por
n q
n
q
mA
pA
consiguiente, (nq)- = (nq)-, de donde mqA = npA; y en consecuencia, mq = np.
n
q
m mq np p
(2°) Si mq = np entonces-= - = - = -.
n
nq nqq
•
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MAGNITIJDES CONfINUAS Y NÚMEROS REALES
4. Suma y producto de racionales positivos
La demostración de las siguientes fórmulas es un ejercicio sencillo que dejarnos a cargo del
lector:
m A + p A = mq + np A;
n
q
nq
m(p
n q
A) =
mp
nq
A
En ellas reconocernos las expresiones que definen la suma y el producto de números
racionales:
m
n
p
q
-+-=
mq+np
'
nq
m p
n q
mp
nq
De manera que si r y s son números racionales positivos, se cumplen las reglas
operativas:
(r + s)A = rA + sA,
r(sA) = (rs)A.
Estas fórmulas adquieren ahora un nuevo significado: suma y composición de funciones en lugar de suma y producto de números; pero el nuevo significado es consistente
con el que conocernos por la aritmética de las fracciones. Corno era de esperar, llamarnos a
rA el producto del número racional rpor el elemento A.
Ejercicios. l. Probar que r(A + B) = rA + Rb.
entonces rA < sA.
2. Probar que si A > O y r > s
5. Producto por un número real
El producto de un número real positivo p por un elemento A > O se define corno el único
B que satisface rA < B < r 'A para cualquier par de números racionales positivos r, r · que
verifiquen r < p < r · (la existencia y la unicidad de B están garantizadas por el postulado
de continuidad y la propiedad de Arquímedes). La definición se completa con las fórmulas
OA =0,pO=O.
Notemos que la definición es consistente con la dada para el caso en que p es un
número racional. Con facilidad se prueba que si p > Oy p < cr entonces pA < crA.
Teorema.pA + a A= (p + a)A, p(a A)= (p a)A.
Haremos la demostración suponiendo que A > O y que los números p y cr son
positivos.
(1 º) Seanp y p' números racionales positivos que verifican p < p +a< p'. Entonces
existen números racionales positivos r, r', s. s' tales que:
r<p<r', s<a<s', p<r+s,
r'+s'<p'.
En tal circunstancia tendremos
rA < pA < r'A y sA < a A < s'A,
y por consiguiente,
pA < (r + s)A
= rA + sA < pA + a A< r'A + s'A = (r' + s')A < p'A,
lo que demuestra la primera fórmula.
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(2º) Sean p y p' racionales positivos que verifican p < p a< p'. Entonces existen
racionales positivos r, r', s, s'tales que:
r<p<r',
s<a<s',
p<rs,
r's'<p'.
En tal circunstancia tendremos:
pA < (rs)A
= r(sA) < r(aA) < p(aA) < r'(aA) < r'(s'A) = (r's')A < p'A,
lo que demuestra la segunda fórmula.
Teorema. Si B > O entonces para cada A existe un único número real p ~ Otal que
pB=A.
La demostración es inmediata si A = O. Suponiendo A > O definimos p como la
mínima cota superior de los números racionales positivos q que verifican qB < A. En
símbolos:
p=sup{q: qB<A}.
Es muy fácil comprobar que r < p < r' implica rB < A < r 'B; lo que en virtud de la
definición 7 demuestra que A = pB.
El número p del teorema anterior se llama razón (o cociente) entre A y By se escribe
p=AIB.
Corolario. Si U> Oy 13 > Oentonces (aU)/(l3U) =a/ 13.
.
a
En efecto, en virtud del teorema 7 tendremos: /J (/JU) = aU.
6. Unidades y medidas
Usualmente se elige como unidad un elemento U> Ode M. En tal circunstancia, el número
a= A JU se llama medida de A con respecto a U, y el último corolario se enuncia diciendo
que la razón entre dos elementos de Mes igual al cociente de sus medidas con respecto
a la misma unidad. Por otro lado, la fórmula ya demostrada:
aU+l3U=(a+l3)U
significa que la medida de la suma de dos elementos de Mes la suma de sus medidas.
Referencias bibliográficas
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numbers, l. Continuity and irrational
numbers, Dover Publications, New York,
1963.
Enriques F. (1968), U. Amaldi, Elementi di
geometría, Zanichelli Bologna.
Enriques F., Amaldi U., Guarducci A., Vitali G.,
Vailatti G. (con prólogo de Julio Rey Pastor ( 1948)) Fundamentos de la Geometría,
segunda edición, Buenos Aires: Ed. Iberoamericana.
Fava N. y Molter U., "Units ofmeasurement",
/nternational Journal of Mathematical
Education in Science and Techno/ogy, en
prensa.
Lebesgue H. (1935), "Sur la mesure des
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Tomo XXXI (193l)aXXXIV.