DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER ANEXO: Análisis de Fourier 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.1 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER - A.2 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES A.1 ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Introducción Por regla general, el estudio de vibraciones en sistemas mecánicos suele iniciarse analizando la respuesta de un sistema discreto básico de un grado de libertad ante solicitaciones de tipo armónico, para, posteriormente, extender los resultados obtenidos al caso de solicitaciones periódicas cualesquiera. Ello permite analizar el comportamiento de sistemas mecánicos ante excitaciones periódicas. La principal ventaja de las excitaciones periódicas es que basta con analizar un periodo de la excitación para extender las conclusiones obtenidas a la totalidad del dominio temporal. No obstante, resulta también de interés ampliar el campo de trabajo para poder incluir las vibraciones aleatorias, ya que ésta será la realidad con la que nos encontremos en una gran parte de los casos con los que podamos enfrentarnos. Además, muchos de los algoritmos empleados en los analizadores de vibraciones para determinar las frecuencias naturales y los modos de vibración de un sistema mecánico están desarrollados desde la perspectiva de las vibraciones aleatorias. El estudio de la vibraciones mecánicas de carácter aleatorio se caracteriza por el uso de la estadística y del análisis espectral, análisis en el dominio de la frecuencia; mediante el cual una función periódica puede ser descompuesta en sus componentes armónicas, lo que es conocido también como Análisis de Fourier. En este Anexo se introduce el Análisis de Fourier, basado en la Transformada de Fourier, a partir de las Series de Fourier. Se estudiarán sus propiedades más significativas con un cierto detalle de cara a su posterior aplicación en el ámbito del Análisis Modal. El estudio de la Transformada de Fourier Finita y de la Transformada de Fourier Discreta permitirá analizar las aproximaciones que se llevan a cabo en el ámbito señalado y los errores presentes en su aplicación. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.3 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES A.2 ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Series de Fourier Sea una función periódica f(t) de periodo T. Se verificará entonces: f(t+T) = f(t+2T) = ...= f(t+nT) = f(t) (1) La teoría matemática de las Series de Fourier demuestra que si la función periódica f(t) es continua y tiene definidas las derivadas por la izquierda y por la derecha en cada punto del intervalo [0,T], dicha función puede expresarse como serie de funciones armónicas en la forma 1 f (t ) = a 0 + 2 ∞ j =1 a j cos(2πjf 0 t ) + ∞ j =1 b j sen(2πjf 0 t ) (2) donde f0 es la llamada frecuencia fundamental, y es igual a 1/T. Por otra parte los coeficientes aj y bj vienen dados por las expresiones aj = 2 T bj = 2 T T2 −T 2 T2 −T 2 f (t ) cos(2πjf0 t )dt j = 0, 1, 2, ... (3) f (t ) sen(2πjf0 t )dt j = 1, 2, ... (4) donde las funciones sen(2πjf0t) y cos(2πjf0t) forman un sistema ortogonal, ya que se verifican las siguientes relaciones T2 −T 2 T2 −T 2 T2 −T 2 T2 −T 2 T2 −T 2 sen(2πjf0 t )dt = 0 j = 1, 2, ... (5) cos(2πjf0 t )dt = 0 j = 0,1, 2, ... (6) sen(2πif0 t ) cos(2πjf0 t )dt = 0 i, j = 0, 1, 2, ... (7) sen 2 (2πjf0 t )dt = T 2 j = 1, 2, ... (8) cos 2 (2πjf0 t )dt = T 2 j = 1, 2, ... (9) 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.4 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES T2 −T 2 ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER cos(2πif0 t ) cos(2πjf0 t )dt = 0 i≠j (10) sen(2πif0 t ) sen(2πjf0 t )dt = 0 i≠j (11) T2 −T 2 Puede ayudar a justificar la ecuación (2) el considerar que f(t), que es una función periódica de periodo T, se obtiene como serie de funciones periódicas cuyos periodos son divisores exactos del periodo T. La Serie de Fourier definida por las expresiones (2), (3) y (4) puede escribirse también de otra forma más compacta haciendo: A j = a 2j + b 2j θ j = arctg (12) bj (13) aj de donde resulta que aj y bj pueden expresarse en la forma a j = A j cos θ j (14) b j = A j sen θ j (15) Sustituyendo estos resultados en (2) 1 f (t ) = a 0 + 2 1 = a0 + 2 ∞ j =1 ∞ j =1 A j (cos θ j ⋅ cos(2πjf0 t ) + sen θ j ⋅ sen(2πjf0 t )) = A j cos(2πjf0 t − θ j ) (16) FORMA EXPONENCIAL COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER Más utilidad que las dos anteriores expresiones (2) y (16), tiene una tercera forma de expresar la Serie de Fourier, conocida con el nombre de forma compleja de la Serie Fourier. Las relaciones de Euler establecen que 1 cos(2πjf0 t ) = (e i 2 πjf0t + e −i 2 πjf0t ) (17) 2 sen(2πjf0 t ) = ( 1 i 2 πjf0t e − e −i 2 πjf0t 2i ) (18) haciendo Fj = 1 (a j − ib j ) 2 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES (19) - A.5 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER y sustituyendo (17), (18) y (19) en la ecuación (2) resulta 1 f (t ) = a 0 + 2 éæ a j − ib j êçç j =1 ë êè 2 ∞ ö i 2 πjf0 t æ a j + ib j ÷÷e + çç ø è 2 ö −i 2 πjf0 t ù ÷÷e = ø ∞ 1 = a 0 + (Fj e i 2 πjf0t + Fj* e −i 2 πjf0t ) 2 j =1 donde F*j es el complejo conjugado de Fj. Teniendo en cuenta (3) y (4) se verifica aj = a-j bj = -b-j (20) (21) y por tanto, dada la expresión (19), se tendrá que F*j = F-j (22) sustituyendo este resultado en (20) f (t ) = ∞ j= 0 Fj e i 2 πjf0t + ∞ j =1 F− j e −i 2 πjf0t = ∞ j= 0 Fj e i 2 πjf0t + −∞ j = −1 Fj e i 2 πjf0t (23) y podremos obtener: f (t ) = ∞ −∞ Fj e i 2 πjf0t (24) Recordando (3), (4) y (19), los coeficientes Fj tendrán la forma: Fj = 1 (a j − ib j ) = 1 2 T T2 −T 2 f (t )cos(2πjf0 t )dt − i T T2 −T 2 f (t ) sen(2πjf0 t )dt (25) teniendo en cuenta que, según la fórmula de Euler, e − i2 πjf0t = cos(2πjf0 t ) − i sen(2πjf0 t ) sustituyendo en (25), resulta finalmente Fj = 1 T T2 −T 2 f (t )e −i 2 πjf0t dt j = 0, ±1, ±2, ... (26) las expresiones (24) y (26) constituyen la forma compleja de la Serie de Fourier, a la que cabe darle una interpretación geométrica de cierto interés. Fj es un número complejo que puede ser asociado con un vector en el plano. Su módulo o magnitud |Fj| y su argumento θj están relacionados con las expresiones (12) y (13). A su vez, (Fj e i 2 πjf0t ) es otro número complejo de la misma magnitud que puede ser expresado: Fj e i 2 πjf0t = Fj e ( i 2 πjf0t + θ j ) 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES (27) - A.6 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES Este número complejo puede ser considerado como un vector de magnitud |Fj| que gira en sentido contrario a las agujas del reloj con velocidad angular 2πjf0 (Figura 1). Por otra parte, el correspondiente término con (j) negativo es otro vector de la misma magnitud |Fj| y argumento (-θj). ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Figura 1 Explicitando el signo (-) cuando (j) es negativo, el número complejo (F− j e − i 2 πjf0t ) resulta ser un vector simétrico al de la Figura 1, que gira con velocidad angular 2πjf0 en el sentido de las agujas del reloj. Ambos vectores aparecen representados en la Figura 2, juntamente con su resultante. A partir de dicha figura puede deducirse que esta resultante es un movimiento armónico real de amplitud (2|Fj|) y de frecuencia jf0. En función de los coeficientes aj y bj esta amplitud será: 2 Fj = 2 a 2j 4 + b 2j 4 = a 2j + b 2j Figura 2 (28) lo cual está de acuerdo con la expresión (12). En la Figura 2, puede observarse que las componentes imaginarias de los dos términos en (j) y en (-j) se anulan entre sí. Por eso, aunque la expresión (24) es un sumatorio de números complejos, el resultado de dicho sumatorio es real. La expresión (26) indica el modo de extraer la componente Fj a la frecuencia jf0, de la función f(t). Recuérdese que la función f(t) tiene un conjunto de componentes armónicas de frecuencias múltiplo de la frecuencia fundamental f0. Según lo que se acaba de ver, f(t) puede considerarse como la suma de un conjunto de parejas de vectores que giran con velocidades angulares opuestas de valor 2πjf0 Como la función f(t) es periódica, será nula la integral extendida a un periodo de cualquiera de sus componentes armónicas, pues cada una de estas componentes tiene un periodo que divide exactamente al periodo T. Si se multiplica la función f(t) por e-i2πjf0t, todos los 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.7 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER vectores Fk que componen f(t) sufren una modificación en su velocidad angular, en el sentido de que ésta queda disminuida en (2πjf0) radianes, ya que (F e k i 2 πkf0 t )⋅ e − i 2 πjf0 t = Fk e i 2 π (k − j )f0t (29) el vector Fk gira ahora con velocidad angular 2π(k-j)f0. Como esta frecuencia sigue siendo múltiplo de la frecuencia fundamental f0, la integral de este término extendida a un periodo T seguirá siendo cero a no ser que k=j. Dicho de otra forma, el multiplicar la función f(t) por e-i2πjf0t tiene como resultado el parar la componente (j), verificándose entonces que T2 −T 2 f (t )e − i 2 πjf0t dt = T ⋅ Fj (30) de donde se deduce la expresión (26). Obsérvese que es el carácter periódico de f(t) lo que determina que sus componentes aparezcan a frecuencias discretas múltiplo de la frecuencia fundamental f0. El contenido en frecuencia de una función periódica f(t) puede representarse gráficamente (Figura 3). Figura 3 VALOR CUADRÁTICO MEDIO DE UNA SEÑAL PERIÓDICA Una propiedad de especial interés en una señal periódica es su valor cuadrático medio. En el caso de una función armónica, su valor cuadrático medio puede calcularse muy fácilmente. 1 T 0 2 2πt ö a2 ç a ⋅ sen ÷ dt = T 2T è Tæ 4πt ö a2 dt = ç 1 − cos T 2 è Tæ 0 (31) Si se tiene una función periódica f(t) desarrollable en Serie de Fourier en la forma exponencial compleja vista en la expresión (24) 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.8 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ∞ f (t ) = −∞ ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Fj ⋅ e i 2 πjf0t (24') se llama espectro de potencia de esta función al conjunto de los valores cuadráticos medios de sus componentes en frecuencia. Hay que recordar que la amplitud de la componente de frecuencia jf0 es (2|Fj|). Por tanto su valor cuadrático medio asociado será, teniendo en cuenta las ecuaciones (28) y (31): (2 F ) 2 j 2 = a 2j 2 + b 2j (32) 2 resultado que está de acuerdo con la expresión (2). El espectro de potencia puede ser representado gráficamente de 2 formas (Figura 4). Dichas representaciones se suelen llamar, respectivamente, espectros de dos bandas y espectro de una banda; y cualquiera de ellas sirve para indicar la composición en frecuencia de la función f(t). En este sentido, el espectro de potencia proporciona la misma información que la Serie de Fourier de la Figura 3, aunque es evidente que con él la información de fase se ha perdido. Figura 4 RESPUESTA DE UN SISTEMA DE 1 GDL ANTE UNA FUERZA PERIÓDICA Recordemos que la ecuación de equilibrio de un sistema de 1 gdl es: mx + cx + kx = f (t ) (33) Si f(t) es periódica podrá desarrollarse en Serie de Fourier, según (24): f (t ) = ∞ −∞ Fj ⋅ e i 2 πjf0t 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES (24'') - A.9 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER y como el sistema es lineal, la respuesta será la suma de las respuestas a cada término de la serie (24''). Siendo cada una de estas respuestas la respuesta ante una fuerza de carácter armónico - que puede calcularse multiplicando por la correspondiente función de transferencia -, se tendrá que: [H(jf ) ⋅ F e ] (34) 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.10 - x(t ) = ∞ −∞ 0 j i 2 πjf0 t DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES A.3 ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Integral de Fourier Para extender el resultado del Apartado anterior sobre las Series de Fourier al caso de las funciones no periódicas, basta hacer tender a infinito el periodo T de la función f(t). Cuando el periodo T tiende a infinito, la frecuencia fundamental f0 - definida como f0=1/T tiende a cero. Por otro lado, esta frecuencia f0 es la que separa las frecuencias de los distintos armónicos (Figura 3), por lo que al tender a cero la función discreta de dicha figura tiende a adoptar la forma de una función continua (Figura 5). Figura 5 No obstante, conviene precisar que las dimensiones de aj y de A(f) no son las mismas: las dimensiones de A(f) son las de aj, pero por unidad de frecuencia; esto es, A(f) tiene las dimensiones de una densidad de aj. Para que aj tuviera la misma dimensión de A(f) habría que multiplicar ésta por δ(f-jf0) - siendo δ la función δ de Dirac -. Así pues, cuando f0 → df resulta que Fj → F(f).df (35) 1/T = f0 → df (36) jf0 → f (37) Sustituyendo estos valores en la expresión (26) resulta que F(f ) = ∞ −∞ f (t )e − i 2 πft dt (38) expresión en la que se ha simplificado el término df presente a ambos lados de la igualdad. Además, el sumatorio de (24) se convertirá en una integral, y se tendrá f (t ) = ∞ −∞ F(f ) ⋅ e i 2 πft df (39) ésta es la expresión de la función f(t) como Integral de Fourier. A la función F(f), definida mediante la ecuación (38) - y con contenido en todas las frecuencias -, se le llama 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.11 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Transformada de Fourier (TDF) de f(t). Análogamente, f(t) es la Transformada de Fourier Inversa (TDFI) de F(f). La función F(f) es una función compleja (al igual que Fj), en la que se podrá separar la parte real y la parte imaginaria. Por analogía con la expresión (19): 1 (A (f ) − iB(f )) 2 a partir de la expresión (38) se deduce que F(f ) = A (f ) = 2 B(f ) = 2 ∞ −∞ ∞ −∞ (40) f (t ) ⋅ cos(2πft )dt (41) f (t ) ⋅ sen(2πft )dt (42) de estas expresiones se deduce claramente que A(f) es una función simétrica de f, es decir: A(f) = A(-f), mientras que B(f) es una función antisimétrica: B(f) = -B(-f). La Transformada de Fourier (TDF) admite una interpretación análoga a la realizada para el coeficiente Fj de la Serie de Fourier. Así, los términos: F(f )df = 1 (A (f ) − iB(f ))df 2 (43) 1 (A (f ) + iB(f ))df (44) 2 son dos vectores que giran con velocidades angulares (2πf) y (-2πf), dando como resultante un movimiento armónico de frecuencia (f) y de amplitud (2⋅F(f)⋅df). F(f )df = La Transformada de Fourier F(f) de una función f(t) tiene unas condiciones matemáticas de existencia bastante restrictivas. Puede demostrarse que para que la función f(t) tenga TDF es necesario que esté acotada la integral ∞ −∞ f (t )dt < ∞ (45) según esta condición, ninguna función periódica tendría TDF, al estar esta integral extendida desde (-∞) hasta (+∞). Más adelante se verá cómo puede ser superada esta dificultad recurriendo a la función δ(t), que no es una función propiamente dicha, sino una función generalizada. SIMETRÍA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER Esta propiedad consiste en que la TDF de la TDF de una función f(t) está directamente relacionada con dicha función f(t). 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.12 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Sea F(f) la TDF de f(t) y Φ(g) la TDF de F(f). Se verificarán las relaciones f (t ) = F(f )e i 2 πft df ∞ −∞ Φ (g) = ∞ −∞ F(f )e − i 2 πfg df [f(t) es la Transf. de Fourier Inversa de F(f)] (46) [Φ(g) es la TDF de F(f)] (47) a partir de esta última expresión, es evidente que se verificará: Φ (− g) = ∞ −∞ F(f )e i 2 πfg df (48) comparando las expresiones (46) y (48) se puede concluir que: Φ(-g) = f(g) (49) o bien que f(t) = Φ(-t) (50) Por lo tanto, la TDF de la TDF de una función f(t), es otra función Φ(t) simétrica de la función original f(t) respecto del eje de ordenadas. TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA A partir de la TDF de la función f(t)=ei2πf0t, y mediante la relación de Euler, se obtendrán las TDF de funciones senoidales y cosenoidales. En principio, esta función f(t) - que es periódica - no tiene Transformada de Fourier porque no cumple la condición de acotamiento (45). Sin embargo, si se prueba la función generalizada δ(-) delta de Dirac, como TDF y se halla la TDFI se obtiene para el valor f-f0 F(f) = δ(f-f0) f (t ) = ∞ −∞ F(f )e (51) i 2 πft df = ∞ −∞ δ(f − f0 )e donde se ha tomado en cuenta que ∞ −∞ i 2 πft df = e i 2 πf0 t (52) δ(t − a )f (t )dt = f (a ) , y de donde se puede deducir que ei2πf0t y δ(f-f0) son función y transformada respectivamente. De esta forma, y como la TDF es lineal, se podrá determinar la TDF de la función seno y coseno. Utilizando la relación de Euler, é e i 2 πf0t + e − i 2 πf0t ù f1 (t ) = a ⋅ cos(2πf0 t ) = a ê 2 ë i 2 πf0 t ée − e − i 2 πf0t ù f2 (t ) = a ⋅ sen(2πf0 t ) = a ê ú 2i ë 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES (53) (54) - A.13 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER y aplicando las ecuaciones (51) y (52) F1 (f ) = a [δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )] 2 [TDF de la función cos real] (55) F2 (f ) = a [δ(f − f0 ) − δ(f + f0 )] 2i [TDF de la función sen imag.] (56) Así pues, el concepto de transformada de Fourier puede extenderse a funciones armónicas (y, por consiguiente, también a las periódicas), a través de la función δ de Dirac. Con más generalidad, la TDF de un par de términos cualesquiera de la Serie de Fourier f (t ) = a j cos(2πjf0 t ) + b j sen(2πjf0 t ) (57) será F(f ) = ( ) ( ) 1 1 a j − ib j δ(f − jf0 ) + a j + ib j δ(f + jf0 ) 2 2 (58) es muy fácil comprobar que la TDFI de la función F(f) de la expresión (58), viene dada por la función f(t) de la expresión (57). Por lo tanto, la TDF de una función periódica cualquiera f(t) podrá calcularse a partir de la correspondiente Serie de Fourier. Recordando (24) f (t ) = ∞ Fj ⋅ e i2 πjf0t (24''') −∞ como la TDF es una operación lineal y teniendo en cuenta (51) y (52): F(f ) = ∞ [F ⋅ δ(f − jf )] j −∞ 0 (59) Este resultado permite recordar la indicación hecha anteriormente acerca de la diferencia en la dimensión de Fj y F(f), donde se advirtió que para que Fj tuviera la misma dimensión que F(f) había que multiplicarla por la función δ de Dirac. TEOREMA DE CONVOLUCIÓN La convolución o producto de convolución entre dos funciones x(t) e y(t), se denota como x(t) * y(t) y se define como la integral x(t ) ∗ y (t ) = ∞ −∞ x(τ) ⋅ y (t − τ) ⋅ dτ 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES (60) - A.14 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER El Teorema de la Convolución es una de las herramientas más utilizadas en el Análisis de Fourier, y se podría enunciar en la siguiente forma: "Dadas dos funciones x(t) e y(t), que tienen como TDF a las funciones X(f) e Y(f) respectivamente, si z(t) es la función que resulta del producto de convolución de las funciones x(t) e y(t), su TDF Z(f) es el producto de las funciones X(f) e Y(f)". z(t) = x(t) * y(t) (61) Z(f) = X(f) ⋅ Y(f) (62) Para demostrar este teorema basta calcular la TDF de la función z(t) definida mediante la expresión (38) Z (f ) = ∞ −∞ ( ∞ −∞ ) x(τ)⋅ y (t − τ)dτ e −i 2 πft dt permutando el orden de las integrales Z (f ) = ∞ −∞ ( x(τ) ∞ −∞ (63) ) y (t − τ)e −i 2 πft dt dτ (64) haciendo el cambio de variable σ = t - τ en la integral anterior Z (f ) = = ∞ −∞ ∞ −∞ ( x(τ) ∞ −∞ ) y (σ)e −i 2 πfσ dσ e −i 2 πfτ dτ = x(τ) ⋅ Y (f ) ⋅ e −i 2 πfτ dτ = Y (f )⋅ X (f ) (c.q.d.) (65) El teorema de la convolución se aplica también en sentido inverso: si Z(f) es el producto de convolución de las funciones X(f) e Y(f) definido en la forma Z (f ) = X (f ) ∗ Y (f ) = ∞ −∞ X (g) ⋅ Y (f − g)dg (66) entonces la función z(t), la TDFI de Z(f), es el producto de las funciones x(t) e y(t). Para demostrarlo puede utilizarse el Teorema de la Convolución y la propiedad de simetría (50). Aplicando la TDF a (66) y teniendo en cuenta (50) resulta: z(-t) = x(-t) ⋅ y(-t) (67) o bien, finalmente z(t) = x(t) ⋅ y(t) (68) Los Teoremas de la Convolución en tiempo y en frecuencia facilitan el cálculo de TDF directas o inversas, y tienen también importantes aplicaciones en los siguientes apartados. En la Figura 6, se representa esquemáticamente el Teorema de la Convolución directa. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.15 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Figura 6 CONVOLUCIÓN CON LA FUNCIÓN IMPULSO δ(t-a) Es interesante observar (Figura 7) el efecto que, sobre una función cualquiera f(t), tiene el producto de convolución con la función impulso: f (t ) ∗ δ(t − a ) = ∞ −∞ f (t − τ) ⋅ δ(τ − a )dτ 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES (69) - A.16 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER y teniendo en cuenta las propiedades de integración de la función δ de Dirac: f (t ) ∗ δ(t − a ) = f (t − a ) (70) que indica como el efecto de realizar una convolución con la función impulso situada en “a“, es el de trasladar el origen de la función f(t) a dicho punto. Figura 7 EJEMPLOS Y TABLA DE TRANSFORMADAS DE FOURIER Ejemplo 1: TDF de una función constante f(t) = a (71) Esta es una función que tampoco cumple la desigualdad (45). Sin embargo, la TDFI de la función F(f) = a⋅δ(f) (72) resulta ser f(t): f (t) = ∞ −∞ a ⋅ δ(f ) ⋅ e i 2 πft df = a (73) con lo que queda demostrado que la TDF de una función constante es una función δ de Dirac situada en el origen f0=0. En virtud de la propiedad de simetría, la TDF de una función impulso será una función constante. f(t) = a ⋅ δ(t) (74) F(f ) = (75) ∞ −∞ a ⋅ δ(t ) ⋅ e − i 2 πft dt = a 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.17 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Tabla 1 – Ejemplos de Transformadas de Fourier (TDF) 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.18 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Tabla 1 (continuación) – Ejemplos de TDF 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.19 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Ejemplo 2: TDF de un pulso rectangular f(t) = a t ≤ T0 f(t) = 0 t > T0 (76) la TDF de esta función F(f ) = ∞ −∞ f (t ) ⋅ e −i 2 πft dt = a T0 e − i 2 πft dt (77) − T0 ya que f(t) es cero fuera del intervalo [-T0, T0]. Sustituyendo la función exponencial por medio de la relación de Euler T0 F(f ) = a (cos(2πft ) − i ⋅ sen(2πft ))dt = −T 0 a [sen(2πft ) + i ⋅ cos(2πft )]T−0T0 2πf a (sen(2πfT0 ) − sen(− 2πfT0 )) + a i(cos(2πfT0 ) − cos(− 2πfT0 )) = 2πf 2πf a = sen(2πfT0 ) πf = (78) luego, la TDF de un pulso rectangular es una función senoidal decreciente. Ejemplo 3: TDF de un tren de impulsos Dado el tren de impulsos de la Figura 8, cuya expresión analítica es ∞ f (t ) = a ⋅ δ(t − nT ) (79) n=−∞ Esta función es una función periódica y por tanto debe admitir desarrollo en Serie de Fourier: f (t ) = ∞ n= −∞ a ⋅ δ(t − nT ) = ∞ j = −∞ Figura 8 Fj ⋅ e i 2 πjf0t (80) siendo f0=1/T. Los coeficientes Fj podrán calcularse a partir de la expresión (26) Fj = 1 T T2 −T 2 f (t ) ⋅ e −i 2 πjf0t dt = 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES 1 ∞ T n=−∞ T2 −T 2 a ⋅ δ(t − nT ) ⋅ e −i 2 πjf0t dt (81) - A.20 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER pero por ser (-T/2) y (+T/2) los límites de integración, sólo el impulso correspondiente a n=0 cae dentro del intervalo de integración. Por tanto, Fj = a/T (82) sustituyendo en la expresión (80), se tendrá f (t ) = ∞ n= −∞ a ⋅ δ(t − nT ) = a ∞ i 2 πjf0t e T j= −∞ (83) Estudiada la función, es fácil obtener su TDF considerando (51) y (52): F(f ) = a ∞ δ(f − jf0 ) T j= −∞ (84) de donde se puede concluir que la TDF de un tren de impulsos es otro tren de impulsos cuyo periodo y amplitud están relacionados con los del primer tren. TRANSFORMADA DE FOURIER FINITA (TDFF) En la expresión (38) de la TDF el dominio de la integración está extendido de (-∞) a (+∞). En la práctica, cuando se trata de calcular TDF de funciones determinadas experimentalmente, nunca se dispone de registros de duración infinita. Entonces, la TDF debe ser calculada mediante la expresión F(f , T ) = T2 −T 2 f (t ) ⋅ e − i 2 πft dt El cálculo de esta TDFF de f(t) puede verse como el cálculo de la TDF de una función g(t), obtenida mediante el producto de f(t) por un pulso rectangular r(t) de valor unidad y extendido de (-T/2) a (+T/2), según puede verse en la Figura 9 para el caso en que f(t) es una función coseno. (85) Figura 9 La aplicación de la TDFF a la función f(t) es idéntica a la aplicación de la TDF, a la función g(t), pues g(t) se supone nula fuera del intervalo [-T/2, T/2]. Aplicando el Teorema de la Convolución en frecuencia, la TDFF de f(t) será igual al producto de convolución de las TDF de f(t) y r(t). 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.21 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER F(f , T ) = G(f ) = G(f , T ) = T2 −T 2 g(t ) ⋅ e −i 2 πft dt = F(f ) ∗ R (f ) (86) Para el caso concreto en el que f(t) sea, por ejemplo, una función coseno f(t) = a0⋅cos(2πf0t) t ≤ T/2 (87) La TDF de f(t) viene dada por las expresiones (53) y (55) F(f ) = a0 [δ(f − f 0 ) + δ(f + f 0 )] 2 (88) mientras que la TDF del pulso rectangular puede encontrarse en la expresión (78) R (f ) = 1 sen(2πfT ) πf (89) entonces, de acuerdo con la expresión (86) G(f ) = F(f ) ∗ R (f ) = ∞ −∞ F(g) ⋅ R (f − g)dg (90) sustituyendo los resultados de las expresiones (88) y (89) G(f ) = a0 2π sen(2π(f − g)T ) [ δ(g − f0 ) + δ(g + f0 )] ⋅ dg −∞ ∞ f −g (91) teniendo en cuenta las propiedades de integración de la función δ de Dirac, G(f ) = a 0 é sen(2π(f − f0 )T ) sen(2π(f + f0 )T ) ù + ê 2π ë f − f0 f + f0 (92) donde se puede comprobar que la convolución de R(f) con la doble función impulso de la expresión (88) produce el efecto de una doble traslación de R(f) a los puntos (-f0) y (+f0). En la Figura 10, se muestra la TDF y la TDFF de f(t). Figura 10 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.22 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Puede comprobarse que el área comprendida bajo las dos TDF de la Figura 10, - la finita y la infinita -, es la misma. La figura indica que la realización de la TDF en intervalos de longitud finita, introduce distorsiones y errores en la información que se obtiene acerca del contenido en frecuencia de la función analizada. Este error se conoce en la literatura técnica con el nombre de leakage. El efecto del leakage es doble. Por una parte, limita la resolución en frecuencia que se puede obtener mediante la TDFF, ya que dos frecuencias serán indistinguibles cuando su diferencia sea menor que el semiperiodo de la función sen(2πfT)/πf. Este semiperiodo es 1/(2T). Así pues, si se quiere aumentar la resolución en frecuencia, no hay más remedio que aumentar la longitud T del intervalo de tiempo. El segundo efecto del leakage, viene producido por las oscilaciones que aparecen en la función R(f) a ambos lados del máximo absoluto. El resultado es una distorsión en las frecuencias a (f0). Para disminuir estos dos errores del leakage se han sugerido varios procedimientos, de los cuales el más popular es el debido a Hanning, que consiste en modificar la forma del pulso rectangular con el que se ha realizado la convolución de la señal original. Conviene recordar que la TDF de este pulso es la que se repite, desplazada a (-f0) y a (+f0), en la TDFF de f(t). Interesa que la forma del pulso sea tal que las oscilaciones de R(f) sean las menores posibles. A la función r(t) con la que se realiza la convolución, se le suele llamar ventana. La ventana de Hanning viene definida por la función πt ö 1æ r (t ) = ç 1 + cos t ≤T 2è T (93) en la Tabla 1 vista anteriormente, se representa esta función y su TDF. DENSIDAD ESPECTRAL La densidad espectral es a la TDF lo mismo que el espectro de potencia es a la Serie de Fourier. Supóngase que se tiene una señal no periódica, cuya TDF es una función continua, y que se quiere estudiar el valor cuadrático medio de su composición en una estrecha banda de frecuencias centrada en f0 (Figura 11). Figura 11 Se verificará que f (t ) = ∞ −∞ F(f ) ⋅ e i 2 πft df 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES (94) - A.23 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER El contenido de esta función alrededor de la frecuencia f0 se podrá expresar aproximadamente como: f (t ) f = F(f0 ) ⋅ ∆f ⋅ [(cos(2πf0 t ) + i ⋅ sen(2πf0 t ))] + 0 + F(− f0 ) ⋅ ∆f ⋅ [(cos(2πf0 t ) − i ⋅ sen(2πf0 t ))] Teniendo en cuenta que F(f ) = 1 [A(f ) − i ⋅ B(f )] 2 (95) (96) resulta f (t ) f = ∆f ⋅ [A (f0 ) ⋅ cos(2πf0 t ) + B(f0 ) ⋅ sen(2πf0 t )] 0 (97) el valor cuadrático medio de esta componente será [( ) ] æ A (f0 )2 B(f0 )2 ö 2 m f (t ) f = ∆f ⋅ ç + = ∆f 2 ⋅ 2 ⋅ F(f0 ) (98) ç 2 0 2 è a esta función |F(f)|2 se le conoce con el nombre de densidad espectral. Es una función real que proporciona información acerca del contenido en frecuencia de la función f(t). 2 2 RESPUESTA DE UN SISTEMA DE 1 GDL ANTE UNA FUERZA CUALQUIERA POR EL MÉTODO DE LA TDF Resulta sencillo calcular la respuesta de un sistema de 1 gdl ante una excitación de tipo general - f(t) -, teniendo en cuenta que la TDF de la fuerza indica su contenido en frecuencia, y que para una excitación de una frecuencia determinada la respuesta del sistema se halla multiplicando por la función de transferencia H(f). Así, sea F(f) la TDF de la fuerza de excitación f(t) F(f ) = ∞ −∞ f (t ) ⋅ e − i 2 πft dt (99) la respuesta del sistema será la suma - es decir, la integral - de las respuestas para cada frecuencia. Esto es, x(t ) = ∞ −∞ H(f ) ⋅ F(f ) ⋅ e i 2 πft df (100) pero, además, x(t) estará relacionado con su TDF a través de la TDFI: x(t ) = ∞ −∞ X (f ) ⋅ e i 2 πft df (101) comparando las expresiones (100) y (101) se concluye que X(f) = H(f) ⋅ F(f) 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES (102) - A.24 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER es decir, que la TDF de la respuesta del sistema es el producto de la función de transferencia por la TDF de la fuerza excitadora. Este resultado permite calcular la respuesta del sistema ante cualquier fuerza excitadora, siempre que se disponga de medios para calcular TDF directas e inversas. Como ejemplo de aplicación se va a calcular la respuesta ante una excitación impulso δ(t). Se tendrá que F(f ) = δ(t ) ⋅ e − i 2 πft dt = 1 ∞ −∞ X(f) = H(f) (103) (104) y la respuesta h(t) ante un impulso unitario será x(t ) = h(t ) = ∞ −∞ H(f ) ⋅ e i 2 πft df (105) de donde se concluye que la función de transferencia H(f) es la TDF de la respuesta h(t) a un impulso unitario. Esta es una propiedad verdaderamente importante para el análisis experimental de vibraciones, porque la función h(t) es mucho más fácil de determinar físicamente que la función de transferencia. De hecho, la función de transferencia siempre se determinará a partir de la respuesta h(t) a un impulso unitario, calculando su TDF. Por otro lado, la respuesta de un sistema de 1 gdl ante una excitación de tipo general puede expresarse también mediante la integral de convolución en la forma x(t ) = ∞ −∞ f (t − τ) ⋅ h(τ)dτ (106) es decir, con la notación introducida anteriormente x(t) = f(t) * h(t) (107) Aplicando el Teorema de la Convolución, se tendrá que X (f ) = F(f ) ⋅ H (f ) (108) donde H (f ) es la TDF de h(t). Comparando la expresión (108) con la expresión (102), se vuelve a concluir que la función de transferencia es la TDF de la respuesta h(t) al impulso unitario. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.25 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA (TDFD) CONCEPTO DE TDFD La TDF explicada en los apartados anteriores puede, en la práctica, ser calculada de un modo analógico o de un modo digital. En el primero de estos modos, la función f(t) es filtrada mediante un filtro de banda tan estrecha como sea posible; el resultado de esta operación es el extraer la componente armónica de la función f(t) en la frecuencia deseada. La amplitud de esta componente es el valor de la TDF en ese punto. El cálculo analógico de las TDF exige filtros muy precisos, y es una operación muy lenta a las bajas frecuencias características de las vibraciones mecánicas. Además, en vibraciones aleatorias aparecen otras funciones como la densidad espectral, la densidad espectral cruzada, la autocorrelación, etc., que para ser calculadas analógicamente, exigen costosos equipos adicionales. Actualmente, el Análisis de Fourier se realiza, en la mayoría de los casos, digitalmente. Para ello, una vez que la función f(t) ha sido convenientemente filtrada y acondicionada (por las razones que se verán posteriormente), se procede a digitalizarla en un convertidor analógico-digital. Figura 12 Así, la función f(t) queda reducida a un conjunto de N valores discretos (Figura 12) que se almacenan digitalmente en la memoria de una computadora. A partir de este momento, todas las operaciones que se realizan sobre estos datos, se realizan numéricamente, con todas las ventajas que esto tiene en cuanto a rapidez y eliminación de fuentes de error. Además, el tratamiento numérico de estos datos puede realizarse con una gran versatilidad, obteniéndose todas las características de f(t) que se deseen utilizando el programa adecuado. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.26 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Se llama Transformada de Fourier Discreta (TDFD) a la TDF que se obtiene digitalmente a partir de una función f(t) discretizada. Las expresiones de la Serie de Fourier para una función continua eran, respectivamente f (t ) = ∞ Fj ⋅ e i2 πjf0t (109) −∞ Fj = 1 T T2 −T 2 f (t ) ⋅ e −i2 πjf0 t dt j = 0, ±1, ±2, ... (110) Es natural adoptar, para la TDFD, una expresión análoga a la expresión (110) en la que la integral se sustituye por un sumatorio extendido al dominio finito T. Supóngase que este dominio se ha subdividido en N intervalos de longitud t0 Fj = N−1 t0 T fk ⋅ e −i2 πjf0kt0 (111) k =0 Ahora bien, se verifica que N ⋅ t0 = T (112) f0 = 1/T (113) introduciendo estos valores en la expresión (111) resulta 2π Fj = −i k⋅ j 1 N−1 1 N−1 fk ⋅ e −i(2 πjk N ) = fk ⋅ e N N k=0 N k =0 (114) que también puede expresarse Fj = 1 N N−1 fk ⋅ WNk⋅j (115) k =0 donde e-i2πN se ha denominado WN. Esta expresión puede ser considerada como una expresión aproximada para calcular los coeficientes de la expresión de f(t) en Serie de Fourier. Haciendo modificaciones análogas en la expresión (109) se llega a que fk = N−1 j=0 Fj ⋅ e i(2 πjk N ) = N−1 Fj ⋅ WN−k⋅j (116) j=0 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.27 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER que es la fórmula inversa de la (114) ó (115). En concreto, la expresión (116) es la fórmula inversa exacta de la expresión (115), en el sentido de que permite recalcular exactamente los valores de fk utilizados. Efectivamente fk = N−1 Fj ⋅ e i(2 πjk N ) = j=0 = N−1 j= 0 é1 ê ëN 1 N −1 é N −1 − i2 πj((r − k ) N ) ù fr ⋅ ê e N r = 0 êë j = 0 N−1 ù fr ⋅ e −i(2 πjr N ) ⋅ e i(2 πjk N ) = r =0 (117) pero el paréntesis de la expresión anterior es igual a N si r=k, y es cero si r≠k, pues es una suma vectorial de N vectores unitarios uniformemente espaciados angularmente entre 0 y (2π(r-k)(N-1)/N) radianes. Por tanto fr = 1 N N−1 fr ⋅ (N ⋅ δ rk ) = fk (118) r =0 Las fórmulas (114-115) y (116) son expresiones aproximadas para la Serie de Fourier de la función f(t); estas aproximaciones implican por tanto el carácter periódico - con periodo T de la función f(t) discretizada. A pesar de que en realidad f(t) no es una función periódica, sino una función cualquiera, las expresiones (114-115) y (116) se generalizan, y se consideran respectivamente como la Transformada de Fourier Discreta Directa e Inversa. Posteriormente, se estudiarán los errores introducidos por esta aproximación. Seguidamente se van a considerar, desde otro punto de vista, las hipótesis implicadas en la aceptación de las expresiones (114-115) y (116) como TDFD. Estas hipótesis están resumidas en la Figura 13. Supóngase una función cualquiera f(t) con su TDF F(f), Figura 13a. Discretizar la función f(t) es equivalente a multiplicarla por un tren de funciones impulso ∇(t, t0). ∇(t , t 0 ) = ∞ δ(t − nt 0 ) (119) −∞ Este peine de funciones impulso aparece en la Figura 13b juntamente con su TDF, (84) e incluida en la Tabla 1. La función resultante del producto f(t)⋅∇(t,t0) es la función f(t) discretizada a lo largo de todo el dominio de la variable tiempo. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.28 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Figura 13 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.29 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Esta función producto tendrá una TDF que, en virtud del Teorema de la Convolución, será el producto de convolución de F(f) por el tren de funciones impulso 1/t0⋅∇(f,1/t0). Teniendo en cuenta que la convolución con la función impulso equivale a un desplazamiento a lo largo del eje de abscisas. La TDF de la función f(t)⋅∇(t,t0) será la que aparece reflejada en la Figura 13c y cuya expresión matemática es F(f ) ∗ ∇(f ,1 t 0 ) = ∞ F(f − n t 0 ) (120) −∞ En la figura 13c puede observarse que la TDF exacta de una función discretizada es todavía una función continua. En dicha figura, la función f(t)⋅∇(t,t0) está definida sobre un dominio de longitud infinita. Para tener en cuenta que en la realidad no podrá ser así y que habrá que considerar un nº finito de valores, habrá que multiplicar por la función rectangular r(t), que aparece en la Figura 13d, juntamente con su TDF, R(f). La función producto f(t)⋅∇(t,t0)⋅r(t) se muestra en la figura 13e. Su TDF será el doble producto de convolución F(f)*1/t0⋅∇(f,1/t0)*R(f), que aparece en la misma Figura. También esta TDF sigue siendo continua. Como una TDF continua no puede ser guardada en la memoria del ordenador, hay que realizar una segunda discretización, esta vez en el dominio de la frecuencia. Esta segunda discretización se realiza multiplicando dicha TDF por otro tren de funciones impulso ∇(f,1/T). El resultado de este producto aparece en la Figura 13g. Por el Teorema de la Convolución este producto en el dominio de la frecuencia equivale a una convolución en el dominio del tiempo. Convolución que se debe realizar precisamente entre la función f(t)⋅∇(t,t0)⋅r(t) y el tren de funciones impulso T⋅∇(t,T). Recordando otra vez que la convolución con la función impulso equivale a una traslación en el eje de abscisas, se llega a la conclusión de que en la Figura 13g aparece la TDFF discreta de una función en el tiempo, que es la función f(t) discretizada y multiplicada por el pulso rectangular r(t), y considerada además como función periódica de periodo T. Se tiene pues en síntesis, la interpretación de lo que es la TDFD y de las aproximaciones que representa. Si se recuerda la propiedad de simetría de la TDF, resulta lógico que así como una función periódica tiene TDF discreta, una TDF discretizada debe ser la TDF exacta de una función periódica. En otras palabras, el carácter digital de la función y de su TDF implican la periodicidad de ambas funciones. Es evidente que éste es uno de los distintos errores que se cometen al calcular transformadas de Fourier Discretas. Más adelante, se estudiarán estos errores y la forma de eliminarlos o, al menos, de disminuir su influencia. Así por ejemplo, de la Figura 13g se deduce que no tienen sentido las componentes a frecuencias superiores a 1/(2t0), dada la periodicidad de la TDFD. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.30 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER PROPIEDADES DE LA TDFD A continuación, se enuncian y demuestran algunas de las propiedades más importantes de la TDFD definida por las expresiones (115) y (116). 1ª Linealidad Sean fk y gk dos sucesiones de N valores uniformemente espaciados en el tiempo y tomados a partir de las funciones f(t) y g(t). Si Fj y Gj son sus correspondientes TDFD, se verifica que la TDFD de fk+gk viene dada por Fj+Gj. En efecto, 1 N N−1 (fk + gk ) ⋅ e −i2πkj N = 1 N−1 N k =0 fk ⋅ e −i2 πkj N + k =0 1 N N−1 gk ⋅ e −i2 πkj N = Fj + G j (121) k =0 2º Simetría Si Fj es la TDFD de fk, se verifica que (f-k) es la TDFD de (N⋅Fj). Para demostrarlo, basta calcular f-k a partir de la expresión (116) f −k = N−1 Fj ⋅ e i(2 πj(−k ) N ) = j= 0 1 N N−1 (N ⋅ F )⋅ e j j =0 −i(2 πjk N ) (122) 3º Fórmula de Inversión Esta fórmula permite calcular TDFD inversas a partir de la TDFD directa. La fórmula es la siguiente ∗ é N−1 ù fk = ê Fj∗ ⋅ e i(2 πj(−k ) N ) êë j=0 donde (*) indica el conjugado de un número complejo. (123) Para demostrar esta fórmula basta conjugar como se indica en la expresión Fj = Aj + i Bj (124) (125) Fj* = Aj - i Bj sustituyendo, y teniendo en cuenta que el conjugado de un producto es el producto de los conjugados, ∗ é N−1 ∗ i(2 πj(−k ) N ) ù = ê Fj ⋅ e ëê j=0 N−1 Fj ⋅ e i2 πjk N (126) j= 0 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.31 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER que coincide con la expresión (116). 4º TDFD de una función par Sea fj una función par. Su producto por la función coseno será una función par, mientras que su producto por la función seno será impar. Entonces N−1 1 N−1 1 N−1 æ 2πjk ö i æ 2πjk ö (127) Fj = fk ⋅ e −i2 πjk N = fk ⋅ cosç fk ⋅ senç ÷− N k =0 N k =0 N k =0 è N è N pero el sumatorio imaginario es cero porque fk repite valores para k ≥ N/2 (recuérdese el carácter periódico de la TDFD) y el sumatorio está extendido a un número entero de ciclos; luego 1 N−1 æ 2πjk ö (que es un número real) (128) Fj = fk ⋅ cosç N k =0 è N 5º TDFD de una función impar Análogamente a lo realizado para funciones pares, puede demostrarse que la TDFD de una función impar viene dada por la expresión i N−1 æ 2πjk ö (129) Fj = − fk ⋅ senç N k =0 è N 6º TDFD de una función compleja Sea f(t) una función compleja definida en la forma f(t) = r(t) + i⋅s(t) (130) fk = rk + i⋅sk (131) La TDFD de fk se define igualmente por medio de la expresión (115) Fj = 1 N N−1 fk ⋅ e −i2 πjk N = k =0 1 N N−1 (rk + i ⋅ sk ) ⋅ e −i2πjk N (132) k =0 TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN DISCRETA La convolución continua de dos funciones x(t) e y(t) se definía en la forma x(t ) ∗ y (t ) = ∞ −∞ x(t − τ ) ⋅ y (τ )dτ (133) La convolución discreta se obtiene suponiendo que x(t) e y(t) vienen dadas por valores discretos y sustituyendo la integral por el sumatorio correspondiente. Si se dispone de N valores discretos de x(t) e y(t). 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.32 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES (x ∗ y )m = N−1 k =0 ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER (x k−m ⋅ y k ) (134) la aplicación de esta fórmula no puede hacerse sin recurrir al carácter periódico que la TDFD supone para xk e yk, pues si no xk-m puede no estar definida. El Teorema de la Convolución para la TDFD establece que la TDFD de zm = N−1 k =0 (x k−m ⋅ y k ) (135) viene dada por la función Zj = Xj* ⋅ Yj⋅N (136) Para demostrar este teorema, hay que sustituir los valores de xk-m y de yk dados por las expresiones (123) y (116) en la expresión (135). ∗ é N−1 ∗ −i2 πj(k−m ) N ù é N−1 i2 πnk N ù zm = (137) ê Xj ⋅e ú ⋅ ê Yn ⋅ e ú ë n=0 k =0 ê ë j =0 si xk-m es real la conjugación del corchete podrá omitirse porque dicho corchete es real. Se tendrá entonces, permutando los sumatorios N−1 é N−1 ù X ∗j ⋅ Yn ⋅ e i2 πjm N ⋅ ê e i2 π (n− j )k N (138) j=0 n=0 ë k =0 el corchete de la expresión (138) es análogo al de la expresión (117), y por las mismas razones que aquél es igual a zm = N−1 N−1 N−1 e i2 π (n− j )k N = N ⋅ δnj (139) k =0 siendo δnj la δ de Kronecker. La expresión (138) se reduce en tal caso a zm = N−1 j =0 (X ∗ j ) ⋅ Yj ⋅ e i2 πjm N ⋅ N (140) pero esta expresión coincide con la de la TDFD inversa. Luego Zj = Xj* ⋅ Yj⋅N (141) con lo cual queda demostrado el Teorema de la Convolución en el tiempo. Existe también un Teorema de la Convolución en frecuencia que establece que si xk e yk son dos funciones discretas cuyas TDFD son Xj e Yj, entonces, si Zm es el producto de convolución de Xj* e Yj, zk es el producto de xk e yk. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.33 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES Zm = N−1 j= 0 (X ∗ j −m ⋅ Yj ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER ) (142) sustituyendo Xj-m e Yj mediante la fórmula de la TDFD ∗ N−1 é 1 N−1 ù é1 Zm = x k ⋅ e −i2 πk ( j−m ) N ú ⋅ ê ê j = 0 ë N k =0 ëN reordenando términos Zm = 1 N2 N−1 y n ⋅ e −i2 πnj N ù é N−1 ù x k ⋅ y n ⋅ e −i2 πkm N ê e −i2 πj(n−k ) N n=0 ëê j=0 N−1 N−1 k =0 (143) n =0 (144) teniendo en cuenta que el corchete es δkn⋅N, resulta: 1 N−1 (145) x k ⋅ y k ⋅ e −i2 πkm N N k =0 en esta expresión se reconoce la forma de la TDFD de Zk, por lo que se habrá de verificar Zm = zk = xk ⋅ yk (c.q.d.) (146) ERRORES DE LA TDFD La TDFD permite calcular TDF de cualquier tipo de función, incluso de las que no están definidas analíticamente. Sus cálculos pueden ser realizados por un ordenador en un pequeño intervalo de tiempo y por un coste mínimo. Sin embargo, como la TDFD no es más que una aproximación de la TDF, al utilizarla se cometen errores de los que es necesario conocer el alcance y el significado. Además, estos errores pueden en ocasiones eliminarse o, al menos, reducir sus efectos. En el cálculo de TDFD pueden distinguirse tres fuentes principales de error: El error propio del carácter digital de las funciones del tiempo y de la frecuencia, que recibe el nombre de aliasing. El error originado por la necesidad de considerar intervalos finitos de la función temporal. A este error - que ya ha aparecido al hablar de la TDF continua - se le da el nombre de leakage. El error inherente del proceso de digitalización, pues el valor de la función debe ser redondeado o truncado para poder expresar con el nº de cifras limitado que el ordenador puede considerar. Este último tipo de error carece de importancia si el ordenador considera un nº de cifras adecuado, y por ello toda la atención se dirigirá al aliasing y al leakage. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.34 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Aliasing Para explicar este tipo de error se hace necesario volver a acudir a la Figura 13. Entre la TDF exacta de la Figura 13a y la TDFD de la Figura 13g, se han introducido dos fuentes principales de error: la convolución con la función pulso rectangular, y el carácter periódico que adquiere la TDF al realizar la convolución con el tren de funciones impulso. El primero de estos errores es el leakage, que se verá posteriormente. Es el segundo de estos errores - el aliasing -, el que se considera a continuación. El efecto del aliasing aparece muy claramente si se comparan las TDF de la Figura 13a y 13c. La primera de las citadas figuras muestra la TDF exacta, mientras que en la segunda ya hay aliasing. Este se ha introducido como consecuencia de la discretización de la función temporal, y fundamentalmente consiste en dotar a la TDF de un carácter periódico que en realidad no tiene. Si t0 es el intervalo de digitalización en el tiempo, 1/t0 será el periodo introducido en el dominio de la frecuencia. La TDF periódica se obtiene sumando infinitas funciones F(f) desplazadas cada una respecto a la anterior una distancia 1/t0. El efecto del aliasing es, por lo tanto, doble. Por una parte, elimina el sentido de las frecuencias mayores que 1/(2t0) y menores que -1/(2t0), ya que los valores de la TDF de la Figura 13c exteriores a dicho intervalo no son más que meras repeticiones de los valores interiores. Esta propiedad se conoce con el nombre de Teorema de Shannon: con un intervalo de discretización de t0 no es posible obtener información acerca del contenido de la señal original a frecuencias superiores a 1/(2t0). A esta frecuencia se le llama frecuencia de Nyquist. Otra forma de explicar esta misma limitación es recordar que para detectar la frecuencia de una función armónica, hay que muestrear el valor de la función al menos dos veces por periodo. En la figura 14, se observa como una frecuencia f/N es indistinguible de la frecuencia f(N+1)/N si sólo se dispone de la información de los valores discretizados. Figura 14 Además de la frecuencia límite mencionada, el aliasing tiene otro importante efecto que afecta negativamente a la precisión de los valores calculados y que puede comprenderse 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.35 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER observando las figuras 13a y 13c. Hay valores de F(f) por encima de la frecuencia de Nyquist que, cuando F(f) es desplazada, caen durante el intervalo [-1/(2t0), +1/(2t0)], perturbando los valores de la TDF dentro de este intervalo. Así por ejemplo, el valor de la TDF para la frecuencia f que es tomado como correcto es la suma siguiente æ1 ö æ 1 ö æ2 ö æ 2 ö F(f ) + Fçç + f ÷÷ + Fçç − + f ÷÷ + Fçç + f ÷÷ + Fçç − + f + L è t0 è t0 è t0 è t0 (147) Para corregir este tipo de error hay que tener en cuenta que si la función no tiene componentes a frecuencias superiores a la de Nyquist, este error no se produce. Lo que se debe entonces hacer es filtrar la función a analizar con un filtro que elimine todas las frecuencias altas (por encima de 1/(2t0). Leakage Ya se ha hablado del leakage al tratar de la Transformada de Fourier Finita. La TDFF equivale, según se demostró, a la convolución de la verdadera TDF de la función original, con la TDF de un pulso rectangular unitario de longitud T. En la Figura 13d aparece este pulso rectangular y su TDF. Esta TDF presenta la forma de una función armónica cuya amplitud tiende hiperbólicamente a 0. El semiperiodo de esta función armónica es 1/T. Los errores producidos por el leakage se deben también a un doble mecanismo de actuación. Por una parte, la convolución con el lóbulo central de la TDF R(f) del pulso rectangular tiende a promediar las componentes a frecuencias contiguas en la TDF F(f). Quiere esto decir que se disminuye la resolución de la Transformada de Fourier, en proporción a la anchura 2/T de dicho lóbulo. Así, por ejemplo, en la Figura 10 se vio cómo la TDF de una función coseno, que consta de dos funciones impulso, aparece como una doble función R(f). Si no se desea perder resolución, y se quiere evitar este defecto, hay aumentar la longitud del periodo T en la TDFF. El segundo tipo de error producido por el leakage se debe a los lóbulos laterales de amplitud decreciente que aparecen en la TDF R(f) del pulso rectangular r(t). Estos lóbulos tienden a distorsionar la composición en frecuencia según puede verse comparando las figuras 13c y 13e. Además este error no se corrige como el de la falta de resolución, aumentando simplemente el intervalo T. Para disminuir este error es necesario reducir en lo posible las oscilaciones de la TDF del pulso rectangular. Para ello, lo que se suele hacer es cambiar la forma de este pulso, al que - como ya se ha dicho - se le suele denominar también ventana. Hay que buscar ventanas distintas de la rectangular, cuya TDF presente menos oscilaciones que la de ésta. Entre la multitud de formas propuestas que se pueden encontrar en la bibliografía, la más popular sin duda es la ya citada de Hanning. La forma 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.36 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER de esta ventana viene dada por la expresión (93) y su transformada de Fourier puede encontrarse en la Tabla 1. En la Figura 15, aparece la ventana rectangular y la ventana de Hanning juntamente con sus respectivas TDF (en módulo). En dicha figura puede verse que la TDF de la ventana de Hanning presenta unas oscilaciones mucho menores que las de la ventana rectangular. Sin embargo, éste es el precio de una mayor anchura en el lóbulo central, con lo cual, algo de lo que se gana en fiabilidad del resultado se pierde en resolución por el efecto antes citado. Otro efecto de la ventana de Hanning es reducir el valor de la amplitud de la señal considerada a la correspondiente frecuencia. Así, para una señal armónica, dicha amplitud se reduce en 6.02 db. Figura 15 Hasta ahora, todo lo que se ha dicho del leakage es válido para la TDFF continuas y discretas. A partir de ahora, se realizarán consideraciones y se presentarán algunos ejemplos característicos de la TDFD. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.37 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES En la Figura 16, puede verse la TDF de un pulso triangular, función que resulta al hacer la convolución de dos pulsos rectangulares; por ello, su TDF es igual al cuadrado de la TDF del pulso rectangular. En la Figura 17, aparece la TDF de un pulso triangular truncado, y se puede observar la distorsión debida al truncamiento. En la Figura 18, aparece una función periódica triangular. Se ha registrado un intervalo de 8 segundos correspondiente a 8 periodos de 1 segundo. En dicha figura aparece la TDF de esta función, con picos asociados a frecuencias de 1, 3, 5 ... Hz. Puede comprobarse que esta TDF es exacta. ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER Figura 16 Figura 17 Figura 18 A primera vista, este resultado no deja de ser sorprendente, porque deberían aparecer los efectos del leakage. No es así, y la explicación es sencilla. Se ha dicho anteriormente que la TFFD es la TDF exacta de una señal discreta en el tiempo de duración T, que se supone periódica con ese mismo periodo T. Como el intervalo T de la función de la Figura 18 comprende un número entero de periodos de f(t), el superponer este intervalo repetido no introduce ningún error en la función f(t), y por tanto la TDF que aparece da valores exactos. No se puede decir que esta TDF es exacta, sino sólo que da valores exactos. La razón de este hecho está en que la TDF continua de la función f(t) definida en el intervalo finito de 8 segundos, sí que presenta los efectos del leakage. ¿Cómo es entonces que la función discreta no los presenta?. La razón se encuentra explicada en la Figura 19, y se fundamenta en el hecho de que la discretización de la TDF se realiza precisamente en los ceros de la TDF del pulso 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.38 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER rectangular, con lo cual la TDFD no se ve afectada por estos errores. Esto sólo sucede cuando el pulso rectangular contiene un número entero de periodos de la función original. Figura 19 En la Figura 20, aparece la misma función periódica triangular, pero sin que el número de periodos comprendido en el intervalo T sea entero. En este caso, en su correspondiente TDFD, aparecen ahora claros los efectos del leakage. Figura 20 En la Figura 21, aparece la misma función triangular de la Figura 18, pero con frecuencia doble. En este caso, los picos de la TDFD aparecen desplazados hacia la derecha Figura 21 Como el número de puntos de discretización no ha aumentado, los efectos del aliasing se hacen notar, y sólo se puede obtener información acerca de la frecuencia fundamental y del primer armónico, pues todos los demás armónicos quedan por encima de la frecuencia de Nyquist. Como no se han filtrado las frecuencias altas, los errores de magnitud producidos por el aliasing están presentes en los resultados de todas estas figuras. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.39 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER En la Figura 22, aparece una función armónica y su TDFD. Como el número de periodos es entero y no hay aliasing, por no haber en este caso más que una frecuencia, el resultado es exacto. Figura 22 Es evidente que - en la práctica - no se puede nunca garantizar la condición referente al número de periodos. Por ello, no hay más remedio que utilizar la ventana de Hanning, con objeto de reducir el leakage. Figura 23 En la Figura 23, aparece la función armónica de la Figura 22 multiplicada por la ventana de Hanning, y su TDF. El resultado es una disminución de la resolución en frecuencia. En la Figura 24, aparece la misma función armónica (y su TDTD), pero con un número de periodos no enteros. En la Figura 25, se muestra dicha función multiplicada por la ventana de Hanning. Comparando ambas figuras, se observan los efectos del leakage y de la ventana de Hanning. Dicha ventana disminuye la resolución, pero los valores de la frecuencia que proporciona son más fiables. Figura 24 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES Figura 25 - A.40 - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT) Se ha visto anteriormente que la TDFD venía definida por las relaciones Fj = 1 N f (t ) = N−1 fk ⋅ e −i2 πkj N (148) k =0 N−1 Fj ⋅ e i2 πj N (149) j= 0 El cálculo directo de estas expresiones supone aproximadamente N2 multiplicaciones por la función exponencial. En tiempo de ordenador esto tiene un precio excesivamente alto. La preocupación por la resolución de este problema llevó a Cooley y Tukey a desarrollar -a mediados de los años 60- el algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier ó FFT (Fast Fourier Transform). Este algoritmo está basado en el cálculo de la TDFD de un conjunto de valores de fk a partir de la TDFD de subconjuntos parciales de dichos valores. Con esto, el número de multiplicaciones por la función exponencial se reduce considerablemente a N⋅ log2N. Por ejemplo, para el caso en que N=215 N2 es aproximadamente 109, mientras que N.log2N es 4,9⋅105. El factor de reducción en el tiempo de cálculo es aproximadamente 2000, visto lo cual no es preciso hacer muchos más comentarios. La FFT necesita que el número de puntos N sea una potencia de 2. Si el número de puntos de que se dispone no cumple esta condición, caben dos posibilidades: truncar la serie de puntos hasta la potencia de 2 inferior, o completar con ceros hasta la potencia de 2 inmediatamente superior. Esta segunda alternativa es preferible, porque así no se pierde ninguna información. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.41 -