Tarea 1

Tarea 1
FIS1245 - Mecánica Clásica I
Prof. Germán Varas
Prof. Aux. Diego Vargas
Lunes 4 de Agosto 2014
(entregar el Lunes 11 de Agosto antes de las 12:00hrs en oficina)
P1. Coordenadas Esféricas - A partir de lo desarrollado en clases en coordenadas polares y
cilíndricas, determine lo siguiente para coordenadas esféricas (Fig. 1):
(a) Encuentre explícitamente los siguientes vectores unitarios (3pts):
r̂ = sin θ cos φ ı̂ + sin θ sin φ ̂ + cos θ k̂
θ̂ = cos θ cos φ ı̂ + cos θ sin φ ̂ − sin θ k̂
φ̂ = − sin φ ı̂ + cos φ ̂
(b) Encuentre la velocidad y aceleración en coordenadas esféricas. (2pts)
~v (t) = ṙ r̂ + rθ̇ θ̂ + rφ̇ sin θφ̂
~a(t) = (r̈ − rθ̇2 − rφ̇2 sin2 θ) r̂ + (rθ̈ + 2ṙθ̇ − rφ̇2 sin θ cos θ) θ̂ +
(2φ̇ṙ sin θ + 2rθ̇φ̇ cos θ + rφ̈ sin θ) φ̂
(c) Compruebe que d~r = dr r̂ + rdθ θ̂ + r sin θdφ φ̂. (1pt)
k̂
r̂
ˆ
r
✓
✓ˆ
|ˆ
ı̂
Figura 1: Coordenadas esféricas y vectores unitarios asociados
1
P2. Radio de Curvatura - El vector posición de una partícula móvil a lo largo de una curva
esta dado por:
~r = a cos θı̂ + a sin θ̂ + pθk̂
donde a y p son constantes. Encuentre el radio de curvatura de la curva (puede usar cualquiera
de las formas vistas en clases).
P3. Coordenadas cilíndricas - Se observa una partícula en movimiento con respecto a un
sistema de referencia inercial. La trayectoria está dada por las siguientes funciones:
r = Aekθ , z = hr
donde r, θ y z son las respectivas coordenadas cilíndricas (con A, k, h positivos). Suponiendo que
su rapidez es constante (v0 ) y conocida:
(a) Calcule la velocidad ~v de la partícula en función de θ, A, k, h y v0 . (2pts)
(b) Encuentre la aceleración ~a en función de los mismos parámetros. (2pts)
(c) Compruebe que ~a ⊥ ~v . (1pt)
(d) Encuentre una expresión para θ(t). (1pt)
P4. Movimiento radial sin aceleración - Una partícula se mueve con θ̇ = ω = cte y r = r0 eβt
donde r0 y β son constantes. Encuentre su aceleración y muestre para que condición la aceleración
radial ar es cero.
P5. Coordenadas normales - Una partícula se mueve uniformemente con velocidad ~v a lo largo
de una trayectoria parabólica y = ax2 , con a una constante positiva. Encuentre la aceleración ~a
de la partícula en el punto x = 0.
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Soluciones (... a algunos de los problemas)
P2 - Radio de curvatura
El problema se puede demostrar de dos formas:
I. Tomando la segunda derivada con respecto a s, esto es:
1 d2~r =
ρ ds2 con,
d~r
d~r dθ
=
ds
dθ ds
ds2 = d~r · d~r = (a2 + p2 )dθ2
en donde ds/dθ =
p
a2 + p2 y,
1/2 1 d2~r d2~r d2~r
a
= 2 = · 2
= 2
2
ds ds
a + p2
ρ
ds
donde el radio de curvatura es el inverso de la curvatura, resulta:
ρ=a+
p2
a
II. Utilizando la relación entre la velocidad y aceleración:
1
|~v × ~a|
=
ρ
v3
derivando el vector posición ~r = a cos θı̂ + a sin θ̂ + pθk̂ obtenemos:
~v = (−a sin θ ı̂ + a cos θ ̂ + pk̂) θ̇
~a = (−aθ˙2 cos θ − θ̈ sin θ)ı̂ + (−aθ˙2 sin θ + aθ̈ cos θ)̂ + pθ̈k̂
~v × ~a = apθ˙3 sin θ ı̂ − apθ˙3 cos θ ̂ + a2 θ˙3 k̂
donde directamente obtenemos el modulo:
|~v × ~a| = a(a2 + p2 )1/2 θ̇3
a partir de la expresión para v, obtenemos
v 2 = ~v · ~v = (a2 + p2 ) θ̇2 ; v 3 = (a2 + p2 )3/2 θ̇3
por lo tanto la curvatura es
a
1
= 2
ρ
a + p2
y su radio de curvatura
ρ=a+
3
p2
a
P4 - Movimiento radial sin aceleracion
Escribamos la aceleración en coordenadas polares:
~a(t) = ar r̂ + aθ θ̂
~a(t) = (r̈ − rθ̇2 )r̂ + (rθ̈ + 2ṙθ̇)θ̂
~a(t) = (β 2 r0 eβt − r0 ω 2 eβt )r̂ + 2βr0 ωeβt θ̂
de donde podemos ver que si β = ±ω la parte radial ar = 0.
P5 - Coordenadas normales
Diferenciando dos veces la trayectoria parabólica, encontramos que:
dy
dt
d2 y
dt2
dx
= 2ax
dt
"
#
dx 2
d2 x
= 2a
+x 2
dt
dt
Como la partícula se mueve uniformemente su aceleración en cualquier punto es puramente normal
y en x = 0 coincide con d2 y/dt2 . Por lo tanto a = (d2 y/dt2 )x=0 = 2av 2 .
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