Repaso de matemáticas - Universidad Autónoma de Madrid

Repaso de matemáticas
Teorı́a Macroeconómica III
Beatriz de Blas
Universidad Autónoma de Madrid
Septiembre 2009
Instrumentos matemáticos básicos que vamos a necesitar durante el curso. Prácticamente
todo lo resumido en este documento ası́ como los ejercicios planteados en la práctica correspondiente están obtenidos de libro de Sydsaeter y Hammond “Matemáticas para el análisis
económico,” de Prentice Hall (1996), que podéis encontrar en la biblioteca de la facultad. Un
desarrollo de estos conceptos básicos más avanzado puede encontrarse en el libro de Simon y
Blume “Mathematics for economists” de Norton (1994).
1
Reglas útiles para ln
• ln(xy) = ln x + ln y, con x, y positivos
• ln xy = ln x − ln y, con x, y positivos
• ln xp = p ln x, con x positivo
• ln 1 = 0, ln e = 1, x = eln x y ln ex = x
• g(x) = ln x ⇒ g 0 (x) =
• y = ln h(x) ⇒ y 0 =
1.1
1
x
h0 (x)
h(x)
Aplicaciones de exponenciales y logaritmos
0
(t)
Supongamos que f (t) designa las existencias de algún producto en el instante t. La razón ff (t)
es la tasa proporcional o relativa de crecimiento de existencias en el instante t. En muchas
aplicaciones, la tasa relativa de crecimiento es una constante r. Entonces
f 0 (t) = rf (t), para todo t
¿Qué tipo funciones tienen una tasa de crecimiento constante? Las funciones del tipo f (t) =
Aert , porque f 0 (t) = Arert = rf (t). Lo importante es que NO hay más funciones con esta
propiedad.
1
2
Elasticidades
(SH Ejemplo 5.20). Supongamos que la cantidad de la demanda de un cierto bien viene regida
por la fórmula
D(p) = 8000p−1.5
Hallar la elasticidad de D(p) y el porcentaje exacto de variación de la cantidad demandada
cuando el precio aumenta un 1% a partir de p = 4.
Solución: Tenemos que
dD(p)
= 8000(−1.5)p−1.5−1 = −12000p−2.5
dp
luego la elasticidad de D(p) con respecto a p es
p dD(p)
p
12000 pp−2.5
−2.5
=
(−12000)p
=
−
= −1.5
D(p) dp
8000p−1.5
8000 p−1.5
La elasticidad es una constante igual a −1.5, luego un aumento del precio en un 1% conlleva
que la cantidad demandada baja, aproximadamente, en un 1.5%.
En este caso podemos calcular exactamente la disminución de la demanda. Cuando el precio
es 4, la cantidad demandada es D(4) = 8000 × 4−1.5 = 1000. Si el precio p = 4 crece un 1%, el
4
nuevo precio será 4 + 100
= 4.04, luego la variación de la demanda será
D(4.04) − D(4) = 8000 × 4.04−1.5 − 1000 = −14.81
La variación porcentual de la demanda a partir de D(4) = 1000 es aproximadamente
−
2.1
14.81
× 100 = −1.481.
1000
Elasticidades y derivación logarı́tmica
Cuando x e y son variables positivas, donde y es una función derivable de x, tenemos que
Elxy =
3
x dy
d ln y
=
.
y dx
d ln x
Aproximaciones lineales
(SH p. 128). Cuando es difı́cil trabajar con una función complicada, tratamos a veces de
hallar una función más sencilla que, en cierto sentido, aproxime la dada. Es fácil trabajar con
funciones lineales y, por tanto, es natural de hallar primeramente una “aproximación lineal” de
la función dada.
Consideremos una función f (x) derivable en x = a. La ecuación de la tangente a la gráfica
en (a, f (a)) es
y = f (a) + f 0 (a)(x − a)
Si aproximamos la gráfica de f por su tangente en x = a, la aproximación que resulta tiene un
nombre especial: aproximación lineal.
2
√
Ejemplo 5.12, SH. Hallar la aproximación lineal a f (x) = 3 x en un entorno de a = 1.
√
1
Solución: Como f (x) = 3 x = x 3 , tenemos
1 2
f 0 (x) = x− 3 ,
3
1
f 0 (1) = .
3
Como f (1) = 1, la aproximación lineal es
√
1
3
x ≈ 1 + (x − 1) para x próximo a 1
3
√
3
1
Por ejemplo, 1.03 ≈ 1 + 3 (1.03 − 1) = 1 + 13 (0.03) = 1.01. El valor con cuatro cifras
decimales exactas es 1.0099.
4
Derivadas y diferenciales
(SH p. 130). Consideremos el siguiente modelo
Y =C +I
C = f (Y )
Hallar la diferencial dY en términos de dI. Si, además se supone que el empleo N = g(Y ) es
función de Y , hallar también la diferencial dN en términos de dI.
Solución: diferenciando tenemos
dY = dC + dI
dC = f 0 (Y )dY
Sustituyendo tenemos
1
dI
1 − f 0 (Y )
De N = g(Y ) obtenemos dN = g 0 (Y )dY , luego
dY =
dN =
g 0 (Y )
dI
1 − f 0 (Y )
Siempre que g 0 (Y ) > 0 y f 0 (Y ), la propensión marginal al consumo, esté entre 0 y 1, vemos que
si la inversión crece, entonces crece el empleo.
(Ejemplo 16.29, SH). Sea Y = F (K, L) una función de producción donde K y L designan
0 y F 0 son las productividades marginales del
capital y trabajo, respectivamente. Entonces, FK
L
capital y el trabajo. Si dK y dL son incrementos arbitrarios de K y L, respectivamente, la
diferencial de Y = F (K, L) es
0
dY = FK
dK + FL0 dL.
El incremento ∆Y = F (K + dK, L + dL) − F (K, L) de Y se puede aproximar por dY siempre
que dK y dL sean pequeños en valor absoluto, y ası́
0
∆Y = F (K + dK, L + dL) − F (K, L) ≈ FK
dK + FL0 dL
Generalmente, se puede usar la aproximación para estimar f (x + dx, y + dy) cuando dx y dy son
pequeños y se conocen los valores de f (x, y), f10 (x, y) y f20 (x, y):
f (x + dx, y + dy) ≈ f (x, y) + f10 (x, y)dx + f20 (x, y)dy.
3
5
Optimización de una y varias variables
Elección intertemporal. Supongamos un individuo que vive dos perı́odos y tiene la siguiente
función de utilidad que únicamente depende del consumo:
U (c1 , c2 ) = ln c1 + β ln c2 ,
donde 0 < β < 1 es es factor subjetivo de descuento para el individuo.
Esta persona tiene una dotación inicial del bien de y1 en el perı́odo 1 y de y2 en el perı́odo 2.
Además, en esta economı́a se puede ahorrar o pedir prestado a un tipo de interés r. El individuo
no deja herencias o deudas al final de perı́odo 2, y no tiene riqueza inicial. Escribiremos el
problema en términos reales, con lo cual p1 = p2 = 1.
a. Resuelve el problema de optimización y calcula lo que consumirá el individuo c1 y c2 .
b. Supongamos que aumenta el tipo de interés real r, ¿cuál es el efecto sobre c1 ? ¿Y sobre
c2 ? Explica tu respuesta.
c. Calcula cuánto cambia el consumo en cada perı́odo si aumenta y1 únicamente. Compara
los resultados y explica brevemente tu respuesta.
d. Supongamos que la renta es la misma en los dos perı́odos, es decir, y = y1 = y2 . Calcula
cuánto cambia el consumo en cada perı́odo si aumenta y. Compara el resultado con lo
obtenido en el apartado anterior y explica brevemente tu respuesta.
e. El factor de descuento β mide la impaciencia del individuo. Supongamos que β (1 + r) = 1.
Calcula los consumos de este individuo en cada perı́odo. ¿Qué ocurre si el individuo es
menos impaciente, es decir, si cae β?
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