Unidad 4

TÉCNICAS DE MUESTREO I
Profesor: Ing. Celso Gonzales Ch. Mg.Sc
Email:[email protected]
METODOS INDIRECTOS
CONTENIDO
•
Introducción
•
Estimador de razón
•
Estimador de Regresión
•
Estimador por diferencia.
Objetivo
Comparar diversos estimadores de la varianza de una población
finita en presencia de información auxiliar.
INTRODUCCION
ƒƒ Mejora
Mejorala
laexactitud
exactitudde
deun
unestimador
estimadorsimple
simple
ƒƒ Aprovecha
Aprovechala
lainformación
informacióncomplementaria
complementaria..
ƒƒ La
estacorrelacionada
correlacionadacon
conla
la
Lavariable
variableauxiliar
auxiliarXXi iesta
variable
variableYYi i
ESTIMADOR
ESTIMADOR
DE
DERAZON
RAZON
METODOS
METODOS
INDIRECTOS
INDIRECTOS
ESTIMADOR
ESTIMADOR
DE REGRESION
DE REGRESION
ESTIMADOR
ESTIMADORPOR
POR
DIFERENCIA
DIFERENCIA
El error medio cuadrático (MSE) es la medida
comúnmente usada para determinar la exactitud del
estimador. Viene dada por:
( )
ECM (Yˆ ) = V (Yˆ ) + ⎡ B Yˆ ⎤
⎣
⎦
2
ESTIMADOR DE RAZON
Sea la población:{(Yi,Xi)/(X1,Y1),...........,(XN,YN)}
Y
Y
SY
X
X
SX
∑( X
N
ρ=
i =1
i
)(
− X Yi − Y
S XY
R
)
( N − 1) S X SY
Con el fin de estimar a los parámetros se extrae una
aleatoria simple de tamaño n :{(xi,yi)/(x1,y1),...........,(xn,yn)}
Supuesto que: Y∼ β X
N
R=
∑Y
i =1
N
i
∑X
i =1
i
ANALISIS DEL SESGO
ƒ El sesgo del estimador de la razón es despreciable si:
1
cv( x ) <
10
ƒ La recta de regresión de la variable auxiliar X sobre la variable
en estudio Y pasa por el origen de coordenadas, entonces:
E ( Rˆ ) = R
¿Porqué
¿Porqué utilizar
utilizar la
la estimación
estimación de
de Razón?
Razón?
ƒEstimar
ƒEstimarrazón
razón
ƒEstimar
ƒEstimarel
eltotal
totalde
deuna
unaPoblación
Población
ƒAumentar
ƒAumentarla
laprecisión
precisión
ƒAjustar
ƒAjustar estimaciones
estimaciones
TEOREMA:
Si las variables (xi, yi) son medidas en cada unidad de una
m.a.s de tamaño n, supuestamente grande,
N
( )
( )
ECM Rˆ ≅ V Rˆ =
1− f
nX
2
∑ (Y − RX )
i =1
i
N −1
i
2
La varianza estimada de:
ˆ )
∑ ( y − Rx
n
1− f
ˆ
ˆ
ECM R ≅ v R =
2
nX
( ) ( )
i =1
i
n −1
1− f ˆ2 ˆ 2 ˆ2
ˆ
ˆˆ
+
−
v R =
S
R
S
2
RS
Y
X
XY
2
nX
( )
(
i
)
2
ESTIMACION DEL PROMEDIO Y TOTAL DE LA
VARIABLE OBJETIVO.
Promedio:
y
y R = .X
x
Varianza a partir de una muestra:
ˆ
y
−
Rx
(
)
∑
1− f
n
Sˆ Y2 R = v( y R ) =
i =1
n
i
n −1
i
2
Total poblacional objetivo
y
ˆ
YR = . X
x
Varianza a partir de una muestra:
ˆ )
∑ ( y − Rx
n
2 1− f
ˆ
ˆ
v(YR ) = v( RX ) = X
2
nX
i =1
i
n −1
i
2
LIMITES DE CONFIANZA
Razón:
LC ( R) = Rˆ ± tSˆR
Promedio:
LC (Y R ) = y R ± tSˆY R
Total:
LC (YR ) = YˆR ± tSˆYˆ
R
EJEMPLO
EJEMPLO
Se quiere estimar la edad promedio de los árboles que
pertenecen a cierto Lote. La determinación de la edad es complicada,
hay que contar los anillos del árbol, mayor será el diámetro de los 1132
y determinan que la media de la población es igual a 10,3. Luego, se
eligen al azar 20 árboles para medir su edad.
Árbol
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Diámetro
12
11,4
7,9
9
10,5
7,9
7,3
10,2
11,7
11,3
Edad
125
119
83
85
99
117
69
133
154
168
Árbol
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Diámetro
5,7
8
10,3
12
9,2
8,5
7
10,7
9,3
8,2
Edad
61
80
114
147
122
106
82
88
97
99
180
160
140
Edad
120
100
80
60
40
20
0
0
5
10
Diametro
15
The regression equation is
Edad = - 3.1 + 11.8 Diametro
Predictor
Coef
SE Coef
T
P
Constant
-3.09
23.18
-0.13
0.895
Diametro
11.754
2.423
4.85
0.000
S = 19.38
R-Sq = 56.7%
R-Sq(adj) = 54.3%
Analysis of Variance
Source
DF
SS
MS
F
P
1
8845.0
8845.0
23.54
0.000
Residual Error
18
6763.8
375.8
Total
19
15608.8
Regression
A. Se quiere estimar la edad promedio de la población
de árboles que pertenecen al lote¿qué tipo de
estimación
utilizaría
simple
o
complementaria?.¿Qué
método
utilizaría?.
Justifique.
B. Halle e interprete un intervalo de confianza del 95 %
para la media de la variable objetivo mediante el
estimador de razón
COMPARACION DE LA ESTIMACION POR RAZON Y EL
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
La estimación basada en la razón es más preciso que la
estimación aleatoria simple si:
V (YˆR ) < V (YˆMAS )
si y solo si:
SX
1
1 CVx
X
ρ=
⇔ρ=
2 SY
2 CVy
Y