∞ + → n )( lim ZE

Universidad de la República, Facultad de Ciencias Económicas y Administración.
ECONOMETRÍA II - CURSO 2007
PRACTICO 9
Teoría asintótica
EJERCICIO 1
Supongamos que un estadístico cualquiera, θ̂ n , es usado como estimador del parámetro θ.
Se pide:
1. Definir el sesgo y sesgo asintótico de θ̂ n como estimador de θ.
2. Definir convergencia en probabilidad, convergencia en media cuadrática y la consistencia de de
θ̂ n como estimador de θ.
3. Demostrar que si una sucesión de estimadores de θ̂ n converge en media cuadrática a θ, entonces,
θ̂ n es consistente para estimar θ. El recíproco no es válido.
4. Definir convergencia en distribución.
EJERCICIO 2
Recuerde las definiciones de convergencia en probabilidad y convergencia en media cuadrática y
convergencia en distribución.
Sea {Zn n≥1} una secuencia de variables aleatorias tales que Pr(Zn=0)=(n-1)/n y Pr(Zn,=1)=1/n.
p
a) Mostrar que Z n → 0 a medida que n →+ ∞
b) Encontrar lim n →∞ E ( Z n ) y la media asintótica de Zn
c) Analizar si {Zn} converge a cero en media cuadrática.
EJERCICIO 3
Considere la media muestral Xn obtenida en una muestra de tamaño n de una población que se
comporta conforme a una distribución de probabilidad normal con media µ y varianza σ2 es decir
X~N(µ,σ2).
a) ¿Cuál es la distribución de Xn?
b) ¿Es posible conocer la distribución de Xn si se desconoce a que familia de distribuciones
pertenece X?
EJERCICIO 4
Considerando el modelo lineal simple, y = βx + u
Se pide:
1. Demostrar que si E(u / x) = 0, el estimador mínimo cuadrático de β es insesgado y consistente.
2. Para el mismo supuesto y asumiendo que E(uu’/x) = σ2uI, plantear la varianza del estimador
mínimo cuadrático de β.
3. Analizar el caso en que E(u/x) ≠ 0.
1
2
EJERCICIO 5
Considerando el modelo lineal general Y= Xβ + u con E(u/x) = 0 y E(uu’/x) = σ2uI y con X estocástica
ˆ* = β
ˆ
cumpliéndose que el lím (X'X)/n = Σxx invertible, se define el siguiente estimador β
MCO + C
donde, C= (c1/n, c2/n, c3/n, ...,ck/n) con c1, c2, ...,ck constantes conocidas.
Se pide:
1. Obtener la esperanza de dicho estimador y la matriz de varianzas y covarianzas.
2. Demostrar que dicho estimador es consistente.
3. Demostrar que su distribución en el límite (asintótica) coincide con la del estimador MCO.
EJERCICIO 6
Dado el modelo de regresión múltiple Y= X.β + u, donde X es estocástica y se cumplen las siguientes
hipótesis:
E(u/X) = 0
E(Y/X) = X.β + E(u/X) = X.β
E(uu'/X) = σ2uI, y además:
plím (u’u/n) = σ2u
plím (X'X/n) = Σxx invertible
plím (X'u/n) = 0
Se pide:
Demostrar que e'e/(n-k) es un estimador consistente de σ2u.
3