ANEXO I: INFERENCIA CON GRANDES MUESTRAS" ?ndice

Universidad Carlos III de Madrid
César Alonso
ECONOMETRIA
ANEXO I: INFERENCIA CON GRANDES MUESTRAS*
Índice
1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . .
2. Consistencia de un estimador . . . . .
2.1. Ley de los Grandes Números . . .
2.2. Propiedades del PLIM . . . . . .
3. Normalidad asintótica de un estimador
3.1. Teorema Central del Límite . . .
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Este material está basado en material previo elaborado por María Arrazola y José de Hevia.
1
1
3
3
4
4
1.
Introducción
Vamos a estudiar las propiedades de un estimador cuando el tamaño muestral
es grande.
Supongamos que nuestro parámetro de interés es
otro). Llamaremos bn al estimador de
(puede ser ,
2
o cualquier
, basado en una muestra aleatoria
{Y1 ; : : : ; Yn } de tamaño n.
2.
Consistencia de un estimador
bn es un estimador consistente de , si para todo " > 0,
l m Pr
n!1
n
bn
o
>" =0
Decimos entonces que es el límite en probabilidad de bn , lo que expresamos
como:
p l m bn =
Si se cumple que:
l m Sesgo(bn ) = 0;
n!1
l m V (bn ) = 0;
n!1
entonces bn es un estimador consistente de
no necesaria).
1
(es una condición su…ciente pero
Ejemplo:
Dada una muestra aleatoria fY1 ; : : : ; Yn g de una variable aleatoria Y con E(Y ) =
2
y, V (Y ) =
Sea Y =
1
n
.
Pn
i=1
Yi un estimador de , ¿es consistente?
Dado que sabemos que:
E(Y ) =
;
2
V (Y ) =
n
;
se cumplirá que
l m Sesgo(Y ) = 0;
n!1
l m V (Y ) = 0;
n!1
Por tanto, Y es un estimador consistente de .
Si bn es un estimador consistente de
“signi…ca”que para muestras grandes es
poco probable que se aleje de .
Cuando un estimador no es consistente, decimos que es inconsistente.
En ese caso, nos puede interesar conocer su límite en probabilidad y comprobar
si está muy alejado de , es decir, conocer su sesgo asintótico.
Sesgo asintótico(bn ) = p l m(bn
2
)
2.1.
Ley de los Grandes Números
Sean Y1 ; : : : ; Yn variables aleatorias idéntica e independientemente distribuidas
con media . Entonces, se cumple que:
pl mY =
es decir: La media muestral es un estimador consistente de la media
poblacional.
Los momentos muestrales son estimadores consistentes de sus análogos poblacionales.
Es muy útil para saber si un estimador es consistente, ya que muchos estimadores son funciones de medias muestrales.
2.2.
Propiedades del PLIM
Si es un estimador consistente de
y g() es una función continua:
p l m g(bn ) = g(p l m bn ) = g( )
Si b1n es un estimador consistente de
2,
entonces:
(a) pl m(b1n + b2n ) =
(b) pl m(b1nb2n ) =
(c) pl m(b1n =b2n ) =
1
+
2
1 2
1= 2
si
2
6= 0.
3
1
y b2n es un estimador consistente de
3.
Normalidad asintótica de un estimador
Sea G1 ; : : : ; Gn una sucesión de estadísticos, cada uno de ellos dependientes
de su correspondiente muestra Y1 ; : : : ; Yn . Se dice que Gn es asintóticamente
normal cuando, para n grande, su función de distribución es una N (0; 1). Es
decir,
l m Pr fGn
zg = (z);
n!1
siendo
8z,
(z) la función de distribución de una N (0; 1).
Habitualmente, se expresa este hecho como:
Gn !d N (0; 1)
o
3.1.
Gn e N (0; 1)
Teorema Central del Límite
Sean Y1 ; : : : ; Yn variables aleatorias idéntica e independientemente distribuidas
con media
y varianza
lo que permite decir que:
2
. Entonces, se cumple que:
p
n(Y
)
e N (0; 1),
Y e N( ;
2
=n),
El TCL justi…ca que se emplee la distribución normal para construir intervalos
de con…anza y realizar contrastes sin necesidad de conocer el proceso que genera
los datos.
4