Índice general

Índice general
Capı́tulo 1. Transformaciones lineales en espacios con producto interno
3
1. Isometrı́as lineales
3
Ejercicios
7
2. Funcionales Lineales. Representación de Riesz
9
Ejercicios
13
3. Adjunta de una transformación lineal
14
Ejercicios
18
4. Representación matricial de la adjunta en bases ortonormales
19
Ejercicios
21
5. Operadores autoadjuntos
22
Ejercicios
23
6. Reprensentación matricial de operadores autoadjuntos. Matrices simétricas y
hermı́ticas
24
Ejercicios
25
7. Teorı́a Espectral de operadores autoadjuntos.
26
Ejercicios
32
8. Operadores ortogonales y unitarios
35
Ejercicios
36
9. Representación matricial. Matrices ortogonales y unitarias
37
Ejercicios
40
10. Teorı́a Espectral de operadores unitarios
41
Ejercicios
45
1
CAPı́TULO 1
Transformaciones lineales en espacios con producto
interno
1.
Isometrı́as lineales
En esta sección se estudiaran las aplicaciones que preservan las tres operaciones
básicas entre espacios vectoriales con producto interno:
(a) la suma de vectores
(b) multiplicación de un vector por un escalar
(c) el producto interno de vectores
Ya sabemos que las transformaciones lineales son las aplicaciones que preservan
las operaciones (a) y (b). Ası́ nuestro objetivo es estudiar a las transformaciones
lineales que preservan la operación (c).
Proposición 1.1. Sean V y W espacios vectoriales con producto interno sobre
un mismo cuerpo K y T : V → W una transformación lineal. Son equivalentes:
(a) T preserva el producto interno, esto es:
(1)
hT (v1 ) , T (v2 )iW = hv 1 ,v 2 iV
∀ v1 , v2 ∈ V.
(b) T preserva la norma, esto es:
kT (v)kW = kvkV
∀v ∈ V
Demostración:
(a) ⇒ (b) Como T preserva el producto interno se tiene que:
2
2
kT (v)kW = hT (v) , T (v)iW = hv, viV = kvkV
(b) ⇒ (a) Como T preserva la norma se tiene que
2
2
kvkV = kT (v)kW
3
∀v ∈ V
4
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
esto es
(2)
hv, viV = hT (v) , T (v)iW
∀v ∈ V
Veamos que también se cumple (1). En efecto, utilizando las propiedades del producto
interno se tiene que1:
hv1 + v2 , v1 + v2 iV
(3)
2
2
2
2
=
kv1 kV + hv1 , v2 iV + hv2 , v1 iV + kv2 kV
=
kv1 kV + hv1 , v2 iV + hv1 , v2 iV + kv2 kV
=
kv1 kV + 2 Re (hv1 , v2 iV ) + kv2 kV
2
2
∀ v1 , v2 ∈ V
De la misma manera, utilizando la linealidad de T , se tiene
2
2
(4) hT (v1 + v2 ) , T (v1 + v2 )iW = kT (v1 )kW + 2 Re (hT (v1 ), T (v2 )iV ) + kT (v2 )kW
Utilizando (2), de (3) y (4), se tiene que
2
2
2
2
kv1 kV + 2 Re (hv1 , v2 iV ) + kv2 kV = kT (v1 )kW + 2 Re (hT (v1 ), T (v2 )iV ) + kT (v2 )kW
y como T preserva la norma:
(5)
Re (hv1 , v2 iV ) = Re (hT (v1 ) , T (v2 )iW )
∀ v1 , v2 ∈ V
Terminaremos la demostración separando el caso real y el complejo.
Si K = R es inmediato, a partir de (5), que
hv1 , v2 iV = hT (v1 ) , T (v2 )iW
∀ v1 , v2 ∈ V
y la prueba ha concluido.
Si K = C falta ver que las partes imaginarias también son iguales, a partir de (5) se
deduce que2
Im (hv1 , v2 iV )
(6)
= −Re (i hv1 , v2 iV ) = −Re (hiv1 , v2 iV ) =
=
−Re (hT (iv1 ) , T (v2 )iW ) = −Re (hiT (v1 ) , T (v2 )iW )
=
−Re (i hT (v1 ) , T (v2 )iW ) = Im (hT (v1 ) , T (v2 )iW )
De (5) y (6) se obtiene (1)
¤
Definición 1.1. Sean V y W espacios vectoriales con producto interno sobre un
mismo cuerpo K y T : V → W una transformación lineal. Diremos que T es una
isometrı́a lineal ⇔ T preserva el producto interno.
1Recordar que si z es un complejo se cumple que z + z = 2Re(z).
2Recordar también que Im (z) = −Re (iz)
1. ISOMETRÍAS LINEALES
5
Observación 1.1. Si consideramos a los espacios con productos internos V y W
como espacios métricos, cuyas métricas están inducidas por las respectivas normas:
dV (v1 , v2 ) = kv1 − v2 kV
y
dW (w1 , w2 ) = kw1 − w2 kW
se tiene que las transformaciones lineales que preservan el producto interno también
preservan la distancia (o métrica)
dW (T (v1 ) , T (v2 )) = kT (v1 ) − T (v2 )kW = kT (v1 − v2 )kW = kv1 − v2 kV = dV (v1 , v2 )
y por esta razón se le llaman isometrı́as lineales. (Ver Ejercicio 1.5.)
Observación 1.2. Al comienzo de la definición 1.1 se dice que T : V → W
es una transformación lineal. Esto no es necesario, pues las transformaciones que
preservan el producto interno son lineales. (Ver Ejercicio 1.4. ) En realidad son
equivalentes
(a) T preserva el producto interno.
(b) T es lineal y conserva el producto interno.
(c) T es lineal y conserva la norma.
Proposición 1.2. Sean V y W espacios vectoriales con producto interno sobre
un mismo cuerpo K. Si T : V → W es una isometrı́a lineal ⇒ T es inyectiva.
Demostración:
Si v ∈ N (T ) ⇒ T (v) = 0 ⇒ kT (v)k = 0. Pero
como T preserva la norma kT (v)k =
n−
→o
kvk = 0 ⇒ v = 0. Esto prueba que N (T ) = 0 y por lo tanto T es inyectiva.
¤
Ejemplo 1.1. Consideremos R2 y R3 con los productos internos usuales. La
transformación lineal T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (x, y, 0) es una isometrı́a lineal,
pues
p
kT (x, y)kR3 = x2 + y 2 = k(x, y)kR2
Por lo tanto T es inyectiva. Sin embargo T no es sobreyectiva (por ejemplo (0, 0, 1) ∈
/
Im(T )).
Proposición 1.3. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con producto interno sobre un mismo cuerpo K y T : V → W una isometrı́a lineal. Entonces
T es sobreyectiva ⇔ dim (V ) = dim(W )
Demostración:
(⇒) Sabemos que T es sobreyectiva. Pero por ser T una isometrı́a, de acuerdo con
la Proposición 1.2, también es inyectiva. Es decir que T : V → W es un isomorfismo
6
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
entre V y W , y por consiguiente dim (V ) = dim(W )
(⇐) Como T es inyectiva (por ser isometrı́a) y dim (V ) = dim(W ) se tiene que T es
sobreyectiva.
¤
Corolario 1.4. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto
interno sobre el cuerpo K. Entonces toda isometrı́a lineal T : V → V es sobreyectiva
(y por tanto un isomorfismo)
El resultado del Corolario anterior puede ser falso si la dimensión no es finita,
como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.2. Consideremos el espacio vectorial P de los polinomios reales.
Dados los polinomios p y q (si p y q son de distinto grado, se le añaden coeficientes
nulos al de menor grado hasta igualar el grado del mayor) tales que
p(x) = an xn + ... + a1 x + a0
y
q(x) = bn xn + ... + b1 x + b0
se define el producto interno
hp, qi = an bn + ... + a1 b1 + a0 b0
y la transformación lineal “multiplicación por x” como:
T : P → P tal que T (p) (x) = xp (x)
(Verifique el lector que h , i es un producto interno y que T es lineal.)
Como para todo p : p(x) = an xn + ... + a1 x + a0 se cumple que
q
kpk = kT (p)k = a2n + ... + a21 + a20
se tiene que T es una isometrı́a lineal, pero T no es sobreyectiva (por ejemplo el
polinomio constante p1 : p1 (x) = 1 no está en Im(T ).)
Proposición 1.5. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con producto interno sobre un mismo cuerpo K y T : V → W una transformación lineal. Son
equivalentes:
(a) T es isometrı́a lineal sobreyectiva.
(b) T lleva bases ortonormales de V en bases ortonormales de W (esto es para toda
B = {v1 , v2 , ..., vn } base ortonormal de V se tiene que T (B) = {T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn )}
es base una ortonormal de W ).
(c) T lleva una base ortonormal de V en una base ortonormal de W (esto es existe
B0 = {v1 , v2 , ..., vn } base ortonormal de V tal que T (B0 ) = {T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn )}
es base ortonormal de W ).
EJERCICIOS
7
Demostración:
(a) ⇒ (b) Sea B = {e1 , e2 , . . . , en } una base ortonormal de V .
Recordemos que todas las isometrı́as lineales son inyectivas (Proposición 1.2). Como
además T es sobreyectiva se tiene que T es un isomorfismo, y por consiguiente
T (B) = {T (e1 ) , T (e2 ) , . . . , T (en )} es una base de W .
Además, como T preserva el producto interno, se cumple que
(
1 si i = j
hT (ei ) , T (ej )iW = hei , ej iV =
0 si i 6= j
Por lo tanto T (B) es una base ortonormal de W .
(b) ⇒ (c) Inmediato.
(c) ⇒ (a) Como existe B0 = {e1 , e2 , . . . , en } base ortonormal de V para la cual
T (B0 ) = {T (e1 ) , T (e2 ) , . . . , T (en )} es una base ortonormal de W , se tiene que
(
1 si i = j
hT (ei ) , T (ej )iW = hei , ej iV =
0 si i 6= j
es decir que T preserva el producto interno en una base de V , y por lo tanto T preserva
el producto interno (Ver Ejercicio 1.2.) Es decir que T es una isometrı́a lineal. Por
otra parte, como T transforma una base de V en una base de W sabemos que T es
un isomorfismo y por lo tanto T es sobreyectiva.
¤
Ejercicios
Ejercicio 1.1.
R1
1. Se considera P1 con el producto interno: < p, q >= 0 p(t)q(t) dt y R2 con
el producto interno habitual.
b
Sea T : P1 → R2 tal que T (p) = (a + 2b , 2√
) con p : p(t) = a + bt ∀t ∈ R.
3
Probar que T es una isometrı́a lineal sobreyectiva.
2. Se considera M2×2 (R) con el producto interno < A, B >= tr(B t A) y R4
con el producto interno habitual. Sea T : M2×2 (R) → R4 tal que
ÃÃ
!! µ
¶
a b
−a + 2b + 2c 2a − b + 2c 2a + 2b − c
T
=
,
,
, d
3
3
3
c d
Probar que T es una isometrı́a lineal sobreyectiva.
8
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
3. Se considera M3×3 (R) con el producto interno < A, B >= tr(B t A) y R2
con el producto interno habitual. Sea T : R2 → M3×3 (R) tal que


x 0 0


T (x, y) =  0 y 0 
0 0 0
Probar que T es una isometrı́a lineal no-sobreyectiva.
Ejercicio 1.2. Sean V y W espacios vectoriales con producto interno sobre un
mismo cuerpo K, con dim(V ) finita y T : V → W una transformación lineal,
1. Probar que son equivalentes:
(a) T preserva el producto interno
(b) T preserva el producto interno en una base B0 = {u1 , ..., un } de V , esto
es
hT (ui ) , T (uj )iW = hui , uj iV
∀i, j = 1, .., n
2. Si T preserva la norma en una base ortonormal B0 = {e1 , ..., en } de V , esto
es
kT (ei )kW = kei kV
¿se cumple que kT (v)kW = kvkV
∀i = 1, .., n
∀v ∈ V ?. Probar o dar un contraejemplo.
Ejercicio 1.3. Sean V y W espacios vectoriales con producto interno sobre un
mismo cuerpo K y T : V → W una transformación lineal. Demostrar que T preserva
la norma ⇔ T transforma vectores unitarios en vectores unitarios.
Ejercicio 1.4. Sean V y W espacios vectoriales con producto interno sobre un
mismo cuerpo K. Sea T : V → W una transformación (no necesariamente lineal). Si
T preserva el producto interno probar que T es lineal.
Sugerencia: Probar que el vector T (αv1 + v2 ) − αT (v1 ) − T (v2 ) tiene norma nula.
Ejercicio 1.5. Sean V y W espacios vectoriales con producto interno sobre el
cuerpo R. Se dice que una transformación (no necesariamente lineal) T : V → W es
una isometrı́a si cumple que kT (v) − T (u)kW = kv − ukV ∀u, v ∈ V (es decir que
T preserva la distancia).
1. Si T (0) = 0
a) Probar que T preserva la norma.
b) Probar que T preserva el producto interno.
Sugerencia: Probar que hv, uiV =
1
2
`
kvk2V + kuk2V − kv − uk2V
´
2. FUNCIONALES LINEALES. REPRESENTACIÓN DE RIESZ
9
c) Deducir que T es lineal.
2. Dar un ejemplo que muestre que el resultado de la parte 1 no es válido
cuando el cuerpo es C.
3. Sea F : V → W una isometrı́a (no necesariamente lineal). Probar que existe
una isometrı́a lineal T : V → W y un vector (fijo) w0 ∈ W tal que F (v) =
T (v) + w0 .
Ejercicio 1.6. Probar que la composición de isometrı́as es una isometrı́a.
Ejercicio 1.7.
1. Sean {v1 , v2 , . . . , vn } y {w1 , w2 , . . . , wn } bases ortonormales de V y W respectivamente. Se define la transformación lineal T : V → W tal que
T (vi ) = wi para cada i = 1, 2, .., n. Probar que T es isometrı́a lineal sobreyectiva.
2. Sean V y W espacios vectoriales con producto interno sobre un mismo cuerpo
K. Se dice que V y W son linealmente isométricos ⇔ existe T : V → W
isometrı́a lineal sobreyectiva. Si V y W son de dimensión finita, probar que:
a) Si V y W son linealmente isométricos ⇒ dim(V ) = dim(W ).
b) Si dim(V ) = dim(W ) ⇒ V y W son linealmente isométricos.
2.
Funcionales Lineales. Representación de Riesz
Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre un cuerpo K.
A las transformaciones lineales T : V → K, es decir con dominio en el espacio vectorial V y codominio en cuerpo K (considerado como espacio vectorial sobre
sı́ mismo) le llamaremos funcionales lineales.
Ejemplo 1.3. Sea V un espacio con producto interno sobre un cuerpo K. Fijemos
un vector w ∈ V y definimos la transformación fw : V → K tal que
(7)
def
fw (v) = hv, wi
∀v ∈ V
A partir de las propiedades del producto interno se deduce inmediatamente que fw
es un funcional lineal, llamado “multiplicación escalar por w”.
El siguiente Lema, consecuencia de la definición de producto interno, es fundamental en los resultados que le siguen.
10
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Lema 1.6. Sea V un espacio con producto interno. Si hv, w1 i = hv, w2 i para todo
v ∈ V entonces w1 = w2 .
Demostración: Como
hv, w1 i = hv, w2 i
∀v ∈ V
usando las propiedades del producto interno, se deduce inmediatamente que
hv, w1 − w2 i = 0
∀v ∈ V
Como la propiedad anterior se cumple para todos los vectores del espacio V , debe
cumplirse también para el vector w1 − w2 , por lo tanto
hw1 − w2 , w1 − w2 i = 0
de donde
w1 − w2 = 0
es decir que
w1 = w2
¤
Veamos a continuación que todo funcional lineal en un espacio V de dimensión
finita es la multiplicación escalar por algún vector del espacio.
Teorema 1.7 (Teorema de la representación de Riesz). Sea V un espacio
vectorial con producto interno de dimensión finita.
Si T es un funcional lineal sobre V entonces existe un único w ∈ V tal que
(8)
T (v) = hv, wi
∀v ∈ V
(al vector w se le llama representante de Riesz del funcional T )
Demostración:
Unicidad: Si existen w1 y w2 en V tales que
T (v) = hv, w1 i = hv, w2 i
∀v ∈ V
por el Lema 1.6 se tiene que w1 = w2 , es decir que el representante de Riesz es único.
Existencia: Consideremos una base ortonormal B = {e1 , . . . , en } del espacio V.
Para determinar un vector w ∈ V que cumpla (8) bastará con determinar sus coordenadas en la base ortonormal B:
hw, ei i
i = 1, 2, ..., n
2. FUNCIONALES LINEALES. REPRESENTACIÓN DE RIESZ
11
Luego el vector buscado será
w = hw, e1 ie1 + hw, e2 ie2 + ... + hw, en ien
Ahora bien, queremos hallar un vector w ∈ V tal que
T (v) = hv, wi
∀v ∈ V
T (v) = fw (v)
∀v ∈ V
es decir que
(9)
donde fw es el funcional lineal definido en (7).
Por ser T y fw lineales (9) es equivalente a3
T (ei ) = fw (ei )
para i = 1, 2, ..., n
de donde se deduce que las coordenadas de w en la base ortonormal B son:
hw, ei i = T (ei )
para i = 1, 2, ..., n
y por consiguiente
(10)
w = T (e1 )ei + T (e2 )e2 + ... + T (en )en
¤
Observación 1.3. Si bien la demostración dada del Teorema 1.7 es sencilla y
constructiva (pues (10) nos da una fórmula para construir el vector w a partir del
funcional T y de una base B ortonormal) no resalta las ideas geométricas presentes
en la representación de Riesz. Veamos pues una demostracción alternativa:
Siendo Im(T ) un subespacio de K (considerado como espacio vectorial sobre sı́ mismo)
y como dim (K) = 1 tenemos que
dim (Im(T )) = 0
o
dim (Im(T )) = 1
n−
→o
Primer caso: Si dim (Im(T )) = 0. Entonces Im(T ) = 0 , es decir que T es la
−
→
transformación lineal nula y por consiguiente w = 0 .
Segundo caso: Si dim (Im(T )) = 1. Como para todo v ∈ V se cumple que
v = PN (T ) (v) + P[N (T )]⊥ (v)
3Recordar que dos tranformaciones lineales coinciden en todo el espacio si y solo si coinciden
en una base del espacio.
12
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
resulta que
³
´
T (v) = T P[N (T )]⊥ (v)
(11)
(en otras palabras el funcional T está completamente determinado por sus valores en
⊥
[N (T )] ).
´
³
⊥
Por otro lado, como dim [N (T )]
= dim (V ) − dim (N (T )) = dim (Im(T )) = 1, se
tiene que
(12)
P[N (T )]⊥ (v) = hv, ei e
⊥
donde {e} es una base ortonormal del [N (T )]
De (11) y (12) se deduce que
D
E
T (v) = T (hv, ei e) = hv, ei T (e) = v, T (e)e
de donde el representante de Riesz resulta:
(13)
⊥
w = T (e)e
con e ∈ [N (T )]
y kek = 1
¤
Veamos un ejemplo que muestra que el Teorema 1.7 no es válido en espacios
vectoriales de dimensión infinita (aunque si es válido en espacios vectoriales de dimensión
infinita con otras estructuras. Por ejemplo, en un espacio de Hilbert 4, todo funcional lineal
acotado (continuo) tiene una única representación de Riesz; además se puede obtener una
demostración de este resultado a partir de las ideas geométricas de la demostración dada en
la Observación 1.3).
Ejemplo 1.4. En el espacio vectorial P de los polinomios reales con el producto
interno
Z1
hp, qi = p (x) q(x)dx
∀p, q ∈ P
0
consideremos el funcional lineal, llamado “evaluación en 0”, definido por:
T : P → R tal que T (p) = p (0)
4esto
es, un espacio vectorial donde las sucesiones de Cauchy son convergentes respecto
a la norma inducida por el producto interno.
EJERCICIOS
13
(Verifique el lector que la transformación T es lineal.)
Veamos que el funcional lineal T no tiene representación de Riesz. En efecto, supongamos que existe q0 ∈ P tal que
(14)
T (p) = hp, q0 i
∀p ∈ P
esto es
Z1
(15)
p (0) =
p (x) q0 (x)dx
∀p ∈ P
0
Para cada p ∈ P definimos el vector pe ∈ P tal que
pe (x) = xp (x)
Aplicando (15) con el polinomio pe se tiene que
Z1
0=
xp (x) q0 (x)dx
∀p ∈ P
0
esto es
0 = hp, qe0 i
por consiguiente
∀p ∈ P
→
−
qe0 = 0
de donde
→
−
q0 = 0
y esto último junto con (14) implicarı́a que T es el funcional nulo. lo cual es falso.
Entonces no existe q0 ∈ P de modo que se cumpla (14).
Ejercicios
Ejercicio 2.1. Se considera el funcional lineal T : R3 → R definido por:
T (1, 0, 0) = 2,
⊥
Hallar una base del [N (T )]
T (0, 1, 0) = 1,
T (0, 0, 1) = −1,
y determinar el vector w ∈ R3 tal que
T (x, y, z) = h(x, y, z) , wi
∀ (x, y, z) ∈ R3
Ejercicio 2.2. Hallar la representación de Riesz de los siguientes funcionales
lineales.
1. T : R3 → R definido por T (x, y, z) = x + 2y − 3z
(considerando en R3 el producto interno habitual).
14
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
2. T : C3 → C definido por T (x, y, z) = ix + (2 + 3i)y + (1 − 2i)z
(considerando en C3 el producto interno habitual).
3. T : P1 → R definido por T (p) = p(α), donde α es un número real fijo
R1
(considerando en P1 el producto interno: hp, qi = 0 p(t)q(t)dt)
4. T : P2 → R definido por T (p) = p(0) + p0 (1)
R1
(considerando en P2 el producto interno: hp, qi = 0 p(t)q(t)dt)
3.
Adjunta de una transformación lineal
Definición 1.2. Sean V y W espacios vectoriales con producto interno sobre un
mismo cuerpo K y T : V → W una transformación lineal. Diremos que T tiene
adjunta ⇔ existe una transformación lineal T ∗ : W → V tal que
(16)
hT (v), wiW = hv, T ∗ (w)iV
∀v ∈ V y ∀w ∈ W
El siguiente Teorema nos muestra que en dimensión finita toda transformación
lineal tiene adjunta. En el caso de dimensión infinita esto no siempre es cierto (ver
ejemplo 15 pág. 13) Sin embargo, en ambos casos si existe la adjunta es única.
Teorema 1.8 (Existencia y unicidad de la adjunta). Sean V y W espacios
vectoriales de dimensión finita con producto interno sobre un mismo cuerpo K. Entonces toda transformación lineal T : V → W tiene una única transformación lineal
adjunta.
Demostración:
Unicidad: Si existen T1∗ : W → V y T2∗ : W → V tales que
hT (v), wiW = hv, T1∗ (w)iV = hv, T2∗ (w)iV
∀v ∈ V y ∀w ∈ W
por el Lema 1.6 se tiene que T1∗ (w) = T2∗ (w) ∀w ∈ W , esto es T1∗ ≡ T2∗ .
Existencia: Dado w ∈ W definimos el funcional lineal Tw : V → K donde
(17)
Tw (v) = hT (v), wiW
(Tw es lineal por ser la composición de la transformación lineal T con el funcional
lineal fw “multiplicación escalar por w” ). Por el Teorema de la representación de
Riesz existe un único vector en V , que indicaremos por T ∗ (w) tal que
(18)
Tw (v) = hv, T ∗ (w)iV
3. ADJUNTA DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
15
De esta manera tenemos definida una aplicación T ∗ : W → V . Además de (17) y (18)
se tiene que
hT (v), wiW = hv, T ∗ (w)iV
(19)
Falta verificar que T ∗ es lineal, es decir que
(20)
T ∗ (αw1 + w2 ) = αT ∗ (w1 ) + T ∗ (w2 )
∀α ∈ K y ∀w1 , w2 ∈ W
Para todo v ∈ V , aplicando la propiedad (19) tenemos que:
hv, T ∗ (αw1 + w2 )iV
=
hT (v) , αw1 + w2 iV
=
αhT (v) , w1 iV + hT (v) , w2 iV
=
αhv, T ∗ (w1 )iV + hv, T ∗ (w2 )iV
=
hv, αT ∗ (w1 ) + T ∗ (w2 )iV
y por el Lema 1.6 se obtiene (20)
¤
Ejemplo 1.5. En R3 con el producto interno habitual consideremos la transformación lineal T : R3 → R3 tal que
T (x, y, z) = (x − y + 2z,
4x − 3z,
x + 5y + z)
Para hallar T ∗ (x, y, z) tratemos de determinar los valores de T ∗ en la base canónica
de R3 .
Por la propiedad que define a la adjunta se tiene que
h(x, y, z) , T ∗ (1, 0, 0)i = hT (x, y, z) , (1, 0, 0)i = x − y + 2z = h(x, y, z) , (1, −1, 2)i
Como lo anterior vale para todo (x, y, z) ∈ R3 , usando el Lema 1.6 se concluye que
T ∗ (1, 0, 0) = (1, −1, 2)
Operando de la misma manera se obtiene que
T ∗ (0, 1, 0) = (4, 0, −3)
y
T ∗ (0, 0, 1) = (1, 5, 1)
Por lo tanto
T ∗ (x, y, z) =
=
xT ∗ (1, 0, 0) + yT ∗ (0, 1, 0) + zT ∗ (0, 0, 1)
x(1, −1, 2) + y (4, 0, −3) + z (1, 5, 1)
= (x + 4y + z,
−x + 5z,
2x − 3y + z)
(Verifique el lector que h(x, y, z) , T ∗ (x0 , y 0 , z 0 )i = hT (x, y, z) , (x0 , y 0 , z 0 )i)
16
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Ejemplo 1.6. Consideremos el espacio vectorial Mn×n (R) con el producto interno
< A, B >= tr(B t A)
∀A, B ∈ M (R)n×n
Dada una matriz (fija) M ∈ Mn×n (R) se define la transformación lineal, llamada
“multiplicación por M ”, como T : Mn×n (R) → Mn×n (R) tal que
T (A) = M A
∀A ∈ Mn×n (R)
Hallemos T ∗ . Operando se tiene que
hT (A) , Bi = hM A, Bi = tr(B t (M A)) = tr
¡¡
³¡
¢ ¢
¢t ´ ­
®
B t M A = tr M t B A = A, M t B
y como T ∗ es el único operador que cumple
hT (A) , Bi = hA, T ∗ (B)i
∀A, B ∈ Mn×n (R)
deducimos que
T ∗ (B) = M t B
∀B ∈ M (R)n×n
Es decir que la adjunta de la “multiplicación por M ” es la “multiplicación por M t ”.
Como comentamos antes, en el caso de dimensión infinita existen transformaciones
lineales que no tienen adjunta. Veamos un ejemplo:
Ejemplo 1.7 (Una transformación lineal sin adjunta). En el espacio vectorial P
de los polinomios reales con el producto interno
Z1
hp, qi =
p (x) q(x)dx
∀p, q ∈ P
0
se considera la transformación lineal “derivada”, definida por:
D:P→P
tal que D (p) = p0
(Verifique el lector que la transformación D es lineal)
A partir de la fórmula de integración por partes se deduce que
hD (p) , qi = p (1) q (1) − p (0) q (0) − hp, D (q)i
∀p, q ∈ P
Veamos que la transformación lineal D no tiene adjunta. En efecto, supongamos que
exista la transformación lineal adjunta D∗ : P → P. Luego se tiene que
hp, D∗ (q)i = p (1) q (1) − p (0) q (0) − hp, D (q)i
∀p, q ∈ P
de donde
hp, (D∗ + D) (q)i = p (1) q (1) − p (0) q (0)
∀p, q ∈ P
3. ADJUNTA DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
17
Si consideramos el polinomio q1 : q1 (x) = x − 1 se tiene que
hp, (D∗ + D) (q1 )i = p (0)
∀p ∈ P
Esto no puede ocurrir, pues si a´si fuera el funcional lineal “evaluación en 0”, definido
en el Ejemplo 1.4 pág. 12, tendrı́a una representación de Riesz.
Proposición 1.9. (Propiedades de la adjunta) Sean V y W espacios vectoriales con producto interno sobre un mismo cuerpo K.
1. Si existen las adjuntas de las transformaciones lineales T1 : V → W y
T2 : V → W entonces existe la adjunta de la transformación lineal T1 + T2 :
V → W y se cumple que
(T1 + T2 )∗ = T1∗ + T2∗
2. Si existe la adjunta de la transformación lineal T : V → W entonces, para
todo α ∈ K, existe la adjunta de la transformación lineal αT : V → W y se
cumple que
(αT )∗ = αT ∗
3. Si existen las adjuntas de las transformaciones lineales T : V → W y
S : W → V entonces existe la adjunta de la transformación lineal compuesta
S ◦ T : V → W y se cumple que
∗
(S ◦ T ) = T ∗ ◦ S ∗
4. Si existe la adjunta de la transformación lineal T : V → W entonces existe
la adjunta de la transformación lineal adjunta T ∗ : W → V y se cumple que
(T ∗ )∗ = T
5. Sea T : V → W una transformación lineal para la cual existe la adjunta
T ∗ : W → V . Entonces, T es invertible ⇔ T ∗ es invertible. Además se
cumple que
(T ∗ )−1 = (T −1 )∗
6. Si I : V → V es la transformación lineal identidad entonces I ∗ = I.
7. Sea T un operador en V para la cual existe el operador adjunto T ∗ . Entonces
λ es un valor propio de T ⇔ λ es un valor propio de T ∗
18
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Demostración:
Sólo probaremos 1 y 7 , las restantes propiedades quedan como ejercicio (Ejercicio
3.4.)
∗
1. Sabemos que (T + S) es la única transformación lineal que cumple :
∗
h(T + S) (v), wiW = hv, (T + S) (w)iV
∀v ∈ V ∀w ∈ W
Como
h(T + S) (v), wiW
=
hT (v) + S(v), wiW = hT (v), wiW + hS(v), wiW =
=
hv, T ∗ (w)iV + hv, S ∗ (w)iV = hv, T ∗ (w) + S ∗ (w)iV
=
hv, (T ∗ + S ∗ ) (w)iV
∀v ∈ V ∀w ∈ W
∗
concluimos que (T + S) = (T ∗ + S ∗ ) .
7. (⇒) Si λ es valor propio de T se cumple que T − λI no es invertible. Luego por
∗
la propiedad 5 se tiene que(T − λI ) no es invertible. Pero, utilizando las propiedades
1, 2 y 6
∗
(T − λI ) = T ∗ − λI
Es decir que T ∗ − λI no es invertible, y por consiguiente λ es valor propio de T ∗
(⇐) Si λ es valor propio de T ∗ , aplicando lo anterior, λ = λ es valor propio de
∗
∗ ∗
(T ) ; y por la propiedad 4 (T ∗ ) = T.
¤
Ejercicios
Ejercicio 3.1. Sea T : V → W es una transformación lineal entre espacios
vectoriales con producto interno. Si {e1 , . . . , en } es una base ortonormal de V , probar
que
T ∗ (w) = hw, T (e1 )iW e1 + . . . + hw, T (en )iW en
∀w ∈ W
Observación: La adjunta de T no sólo depende de T , también depende de los
productos internos considerados en los espacios V y W .
Ejercicio 3.2.
1.
©¡
¢ ¡
¢ª
a) Hallar el producto interno de R2 en el cual 14 , 0 , 0, 21 es una base
ortonormal.
b) Hallar el producto interno de R3 en el cual {(1, 0, 0) , (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
es una base ortonormal.
4. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE LA ADJUNTA EN BASES ORTONORMALES
19
2. Se considera la transformación lineal T : R2 → R3 tal que
T (x, y) = (x + 3y, 3x + y, x + y)
Hallar T ∗ en las siguientes situaciones
a) R2 y R3 con los productos internos usuales.
b) R2 con producto interno usual y R3 con el producto interno de la parte
1(b)
c) R2 con el producto interno de la parte 1(a) y R3 con producto interno
usual.
d ) R2 y R3 con los productos internos hallados en la parte 1.
Ejercicio 3.3. Hallar la transformación lineal adjunta de las siguientes transformaciones respecto a los productos internos que se indican.
1. T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x + y + z, x + 2y + 2z, x + 2y + 3z).
(considerando en R3 el producto interno habitual).
2. T : C3 → C2 tal que T (x, y, z) = (−iy + z, −x + 2izy).
(considerando en C3 y C2 los respectivos productos internos habituales).
3. T : P2 → P1 tal que T (p) = p0 .
R1
(considerando en P2 y en P1 el producto interno < p, q >= 0 p(t)q(t) dt).
4. T : M (R)3×3 → M (R)3×3 tal que T (A) = At + A.
(considerando en M (R)3×3 el producto interno < A, B >= traza(B t A))
Ejercicio 3.4. Probar las propiedades de la adjunta enunciadas en la
Proposición 1.9
4.
Representación matricial de la adjunta en bases ortonormales
Ahora estudiemos la representación matricial de la adjunta. Comencemos con un
resultado sobre representación matricial en bases ortonormales
Lema 1.10. Sean V y W espacios vectoriales con producto interno sobre un mismo
cuerpo K y T : V → W una transformación lineal. Si
C
(T )B = M = ((mij ))
donde B = {v1 , . . . , vn } y C = {w1 , . . . , wm } son bases ortonormales de V y W
respectivamente, entonces
mij = hT (vj ) , wi iW
20
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Demostración:
Por definición de matriz asociada la columna j de la matriz M es


m1j
 . 
 .. 




(j)
M =  mij  = coordC (T (vj ))


 .. 
 . 
mmj
Siendo C = {w1 , . . . , wm } una base ortonormal se cumple que
T (vj ) = hT (vj ) , w1 iW w1 + ... + hT (vj ) , wi iW wi + ... + hT (vj ) , wm iW wm
de donde





coordC (T (vi )) = 



hT (vj ) , w1 iW
..
.
hT (vj ) , wi iW
..
.
hT (vj ) , wm iW









por lo tanto mij = hT (vj ) , wi iW .
¤
Proposición 1.11. Sean V y W espacios vectoriales con producto interno sobre
un mismo cuerpo K y T : V → W una transformación lineal. Si B = {v1 , . . . , vn } y
C = {w1 , . . . , wm } son bases ortonormales de V y W respectivamente, entonces
B (T
∗
t
)C = [C (T )B ] .
Demostración:
Sean M = ((mij )) =C (T )B y N = ((nij )) =B (T ∗ )C . Queremos probar que N =
¡ ¢t
M , es decir que
nij = mji
Por el Lema anterior se tiene que
nij = hT ∗ (wj ) , vi iV = hvi , T ∗ (wj )iV = hT (vi ) , wj iW = mji
¤
EJERCICIOS
21
Ejercicios
Ejercicio 4.1. Hallar B (T )B y B (T ∗ )B en alguna base B conveniente, para las
siguientes transformaciones lineales.
1. T : C3 → C3 tal que T (x, y, z) = ( 2x + iy, y − 5iz, x + (1 − i)y + 3z )
(se considera C3 con el producto interno habitual).
2. T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = ( 2x + y − z, x + y + z )
(se consideran R3 y R2 con los productos internos habituales).
3. T : P2 → P2 tal que T (p) = q donde q : q(t) = (2t + 1)p(t)0 + 3p(t) − p(t +
2) ∀t ∈ R
R1
(se considera P2 con el producto interno < p, q >= p(t)q(t) dt).
0!
Ã
1 2
A
4. T : M2×2 (R) → M2×2 (R)tal que T (A) =
−1 3
(se considera M2×2 (R)2×2 con el producto interno < A, B >= tr(B t A))
Ejercicio 4.2. Si T : V → W es una transformación lineal entre espacios vectoriales con producto interno, probar que
⊥
N (T ∗ ) = [Im (T )] .
⊥
Im (T ∗ ) ⊆ [N (T )] ; y en dimensión finita vale la igualdad.
2.
N (T ∗ T ) = N (T ) .
En dimensión finita, dim (Im (T ∗ T )) = dim (Im (T )).
³ t ´
Ejercicio 4.3. Sea A ∈ Mn×m (C) . Probar que rango A A = rango(A).
1.
a)
b)
a)
b)
Ejercicio 4.4. Se considera la transformación lineal T : R3 → R3 tal que
T (x, y, z) = (x − y + 2z, −2x + 2y − 3z, −x + y − z).
1. Hallar bases de N (T ) y de Im (T ) .
2. Sin determinar T ∗ , hallar bases de N (T ∗ ) y de Im (T ∗ ) .
Ejercicio 4.5. Sea V un espacio vectorial con producto interno, S un subespacio
vectorial de V y T : V → V una transformación lineal.
1. Probar que si S es invariante bajo T ⇒ S ⊥ es invariante bajo T ∗
2. Si dim(V ) es finita probar el recı́proco.
Ejercicio 4.6. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre R, con
dim(V ) = 3. Se considera una transformación lineal T : V → V y un subespacio
vectorial S de V .
22
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
1. Si dim(S) = 1 probar que S es invariante bajo T ⇔ existe λ0 valor propio
de T tal que S ⊆ N (T − λ0 I).
2. Si dim(S) = 2 probar que S es invariante bajo T ⇔ existe λ0 valor propio
de T tal que Im(T − λ0 I) ⊆ S
Ejercicio 4.7. Se considera la transformación lineal T : R3 → R3 tal que
T (x, y, z) = (7y − 6z, −x + 4y, 2y − 2z)
1. Hallar todos los subespacios de dimensión 1 invariantes bajo T .
2. Hallar todos los subespacios de dimensión 2 invariantes bajo T .
5.
Operadores autoadjuntos
Recordar que a las transformaciones lineales T : V → V le llamamos operadores lineales
en V . Nos proponemos resolver el siguiente probLema fundamental:
Si T es un operador lineal en un espacio vectorial V con producto interno:
¿qué condiciones hay que verificar para garantizar la existencia de una base ortonormal de V formada por vectores propios de T ?. En otras palabras, ¿cuándo T se
diagonaliza en una base ortonormal de V ?
Comencemos deduciendo una condición necesaria, (que más adelante se verá, con el
Teorema Espectral, que es suficiente).
Supongamos que existe una base ortonormal B del espacio V tal que


λ1 0 . . . 0


 0 λ2 . . . 0 

B (T )B =  .
.. . .
. 

. .. 
 ..
.
0
0 . . . λn
Luego, por ser la base B ortonormal, se tiene que

λ1

 0
t
∗

B (T )B = (B (T )B ) =  .
 ..
0
0
λ2
..
.
0
...
...
..
.
...
Entonces si los valores propios de T son reales se tiene que
(21)
T = T∗
0
0
..
.
λn






EJERCICIOS
23
Comencemos el estudio de los operadores que cumplen (21).
Definición 1.3 (Operador autoadjunto). Sea V un espacio vectorial con producto
interno y T un operador lineal en V . Se dice que T es autoadjunto ⇔ T = T ∗ .
Proposición 1.12. Sea V un espacio vectorial con producto interno y T un
operador lineal en V . Entonces
T es autoadjunto ⇔ hT (v), wi = hv, T (w)i
∀v, w ∈ V.
Demostración: (Ejercicio)
Ejercicios
Ejercicio 5.1. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto
interno. Probar que la proyección ortogonal PS sobre un subespacio S de V es un
operador autoadjunto.
Ejercicio 5.2. En un espacio vectorial V con producto interno sobre R, se considera el operador lineal T : V → V tal que T (v) = hv, u0 i u1 donde u0 y u1 son
vectores no nulos (fijos) de V . Hallar T ∗ . ¿Qué condiciones tienen que cumplir los
vectores u0 y u1 para que T sea autoadjunto?
Ejercicio 5.3. Sea P el espacio vectorial de todos los polinomios reales con el
producto interno
Z1
hp, qi = p(t)q(t)dt
−1
Determinar si los siguientes operadores T : P → P son autoadjuntos:
1. T (p) (t) = p (−t)
3. T (p) (t) = p(t)p (−t)
2. T (p) (t) = p(t) + p (−t)
4. T (p) (t) = p(t) − p (−t)
Ejercicio 5.4. Sean T1 y T2 operadores autoadjuntos
1. Probar que T1 + T2 es autoadjunto y que αT es autoadjunto ∀α ∈ K.
2. Dar un ejemplo que muestre que T1 ◦ T2 no tiene por que ser autoadjunto.
3. Probar que T1 ◦ T2 es autoadjunto ⇔ T1 y T2 conmutan.
Ejercicio 5.5. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre el cuerpo C
y T un operador lineal en V. Probar que son equivalentes
24
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
1. T es autoadjunto.
2. hT (v), vi = hv, T (v)i ∀v ∈ V.
3. hT (v), vi ∈ R ∀v ∈ V.
Sugerencia: Para todo v, w ∈ V y ∀λ ∈ C, considere el vector v + λw ∈ V y pruebe que
λ hT (w), vi + λ hw, T (v)i ∈ R. Con λ = i deducir que Re (hT (w), vi) = Re (hw, T (v)i) y
con λ = 1 deducir que Im (hT (w), vi) = Im (hw, T (v)i) .
6.
Reprensentación matricial de operadores autoadjuntos. Matrices simétricas
y hermı́ticas
Ahora veamos como es la representación matricial de los operadores autoadjuntos
en bases ortonormales. Estudiaremos por separado el caso real (K = R) y el caso
complejo (K = C).
Recordemos que una matriz A real o compleja es simétrica cuando A = At .
Teorema 1.13. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre el cuerpo
K = R y T un operador en V . Son equivalentes:
(a) T es autoadjunto
(b) Para toda base ortonormal B de V se cumple que B (T )B es simétrica (real)
(c) Existe una base ortonormal B0 de V para la cual B0 (T )B0 es simétrica (real).
Demostración:
(a)⇒(b) Por ser T autoadjunta
(22)
B (T )B
=B (T ∗ )B
Por la Proposición 1.11 (notar que por ser K = R la matriz asociada es real):
(23)
B (T
∗
t
)B = [B (T )B ] = [B (T )B ]
De (22) y (23)
B (T )B
= [B (T )B ]
t
esto es B (T )B es simétrica
(b)⇒(c) Es trivial.
(c)⇒(a) Como B0 (T )B0 es simétrica
t
[B0 (T )B0 ] =B0 (T )B0
t
EJERCICIOS
25
y por la Proposición 1.11
B0 (T
∗
t
)B0 = [B0 (T )B0 ] = [B0 (T )B0 ]
t
ası́
B0 (T
∗
)B0 =B0 (T )B0
Esto prueba que T ∗ = T
¤
¡ ¢t
Recordemos que una matriz A es hermı́tica ⇔ A = Ā (recordar que la matriz
conjugada se obtiene conjugando cada una de sus entradas).
Teorema 1.14. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre el cuerpo
K = C y T un operador en V . Son equivalentes:
(a) T es autoadjunto.
(b) Para toda base ortonormal B de V se cumple que B (T )B es hermı́tica.
(c) Existe una base ortonormal B0 de V para la cual B0 (T )B0 es hermı́tica.
Demostración:
Se deja como ejercicio (seguir las mismas idess de la demostración del Teorema anterior)
Ejercicios
Ejercicio 6.1.
1. En R3 con el producto interno habitual se considera el operador lineal T tal
que


1
3 1


B (T )B =  0 −4 0 
2 −1 3
siendo B = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 1)}. Probar que T es autoadjunta.
2. En C2 con el producto interno habitual se considera el operador lineal T tal
que
Ã
!
1+i i
B (T )B =
1−i 1
siendo B = {(1, 1), (0, 1)}. Probar que T es autoadjunta.
26
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
3. Se considera en R3 el producto interno habitual. Sea T : R3 → R3 lineal
dada por:
T (1, 1, 0) = (5, 8, −1), T (1, −1, 1) = (10, −14, 10), T (2, 1, 1) = (13, a, b)
Hallar a y b para que T sea autoadjunta.
Ejercicio 6.2. Se considera el operador lineal T

1
3 −1

3 −2
0
C (T )C = 
−1
0
4
: P2 → P2 tal que



siendo C la base canónica de P2 .
1.
a) Verificar que B1 = {p0 , p1 , p2 }, donde p0 (t) = 1, p1 (t) = 2t − 1, p2 (t) =
6t2 − 6t + 1 es una base ortogonal de P2 respecto al producto interno
R1
< p, q >= 0 p(t)q(t) dt.
b) ¿T es autoadjunto respecto a este producto interno?
2. a) Verificar que B2 = {q0 , q1 , q2 }, donde q0 (t) = 1, q1 (t) = t − 1, q2 (t) =
t2 − 4t + 2 es una base ortogonal de P2 respecto al producto interno
R∞
< p, q >= 0 e−t p(t)q(t) dt.
b) ¿T es autoadjunto respecto a este producto interno?
3. a) Verificar que la base canónica de P2 es ortogonal respecto al producto
interno < p, q >= p(0)q(0) + p0 (0)q 0 (0) + 41 p00 (0)q 00 (0).
b) ¿T es autoadjunto respecto a este producto interno?
4. Hallar T ∗ en cada caso.
7.
Teorı́a Espectral de operadores autoadjuntos.
Recordemos que en dimensión finita los valores propios de un operador lineal son
las raı́ces de su polinomio caracterı́stico que pertenecen al cuerpo K.
Caso Complejo: Por el “Teorema Fundamental del Álgebra”, cuando K = C todas
las raı́ces del polinomio caracterı́stico son valores propios de T . En otras palabras,
cuando la dimensión del espacio vectorial es finita y el cuerpo es C está garantizada
la existencia de valores propios de cualquier operador (sea autoadjunto o no).
Caso Real: La situación es diferente cuando K = R. En este caso existen operadores lineales sin valores propios (las raı́ces del polinomio caracterı́stico son complejas no reales). Verifique el lector que el operador lineal T : R3 → R3 tal que
T (1, 0) = (0, 1) y T (0, 1) = (−1, 0) no tiene valores propios.
7. TEORÍA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUNTOS.
27
Por tal motivo haremos nuevamente distinción entre el caso complejo (K = C) y
el caso real (K = R) .
Teorema 1.15. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre el cuerpo
C y T un operador autoadjunto en V. Si λ es un valor propio de T entonces λ es real.
Demostración: Si λ es un valor propio de T entonces existe v ∈ V , v 6= 0 tal que
T (v) = λv. Luego
hv, T (v)i = hv, λvi = λ hv, vi
y
hT (v) , vi = hλv, vi = λ hv, vi
Pero como T es autoadjunto se cumple que hv, T (v)i = hT (v) , vi y por consiguiente
λ hv, vi = λ hv, vi
y siendo hv, vi =
6 0 se tiene que λ = λ.
¤
Corolario 1.16. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre el cuerpo
C. Si la dimensión de V es finita y T es un operador autoadjunto en V entonces todas
las raı́ces del polinomio caracterı́stico de T son reales.
Demostración: En dimensión finita, cuando el cuerpo es C, las raı́ces del polinomio
caracterı́stico de T coinciden con los valores propios de T.
¤
Teorema 1.17. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre el cuerpo
R. Si la dimensión de V es finita y T es un operador autoadjunto en V entonces
todas las raı́ces del polinomio caracterı́stico de T son reales (y por consiguiente todas
son valores propios de T ).
Demostración: Sea B una base ortonormal de V . Luego como T es autoadjunto
la matriz A = B (T )B es simétrica. Además, como el cuerpo R, la matriz A es real.
Consideremos el espacio vectorial Cn sobre el cuerpo C con producto interno usual.
Sea C es la base canónica de Cn (recordar que la base canónica es una base ortonormal
respecto al producto interno usual). Definimos la transformación lineal Te : Cn → Cn
tal que
e
C (T )C = A
Como la matriz C (Te)C = A es hermı́tica (pues por ser A simétrica real se cumple
que Āt = At = A) y C es una base ortonormal, por el Teorema 1.13, se tiene que Te
autoadjunta (sobre C). Luego, por el Corolario 1.16, se concluye que todas las raı́ces
del polinomio caracterı́stico de Te son reales.
28
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Pero como χTe = χA = χT , se concluye que todas las raı́ces del polinomio caracterı́stico de T son reales.
¤
Corolario 1.18. (a) Sea A ∈ Mn×n (R). Si A es simétrica entonces todas las
raı́ces del polinomio caracterı́stico de A son reales.
(b) Sea A ∈ Mn×n (C). Si A es hermı́tica entonces todas las raı́ces del polinomio
caracterı́stico de A son reales.
Demostración: Basta con considerar un operador lineal T que en una base
ortonormal tenga a A como matriz asociada y aplicar el Teorema 1.17 y el Corolario 1.16, respectivamente.
¤
El Teorema 1.17 y el Corolario 1.16 nos garantizan, en dimensión finita, que todo
operador autoadjunto tiene valores propios. Sin embargo, aunque el cuerpo sea C,
este resultado puede ser falso en dimensión infinita. Veamos pues un ejemplo de un
operador autoadjunto en un espacio de dimensión infinita que no tiene valores propios.
Ejemplo 1.8. En el espacio vectorial C ([a, b] , C)
producto interno
5
sobre el cuerpo C con el
Zb
hf, gi =
f (x) g(x)dx
∀f, g ∈ C ([a, b] , C)
a
consideremos la transformación lineal “multiplicación por x ∈ [a, b]”, definida por:
T : C ([a, b] , C) → C ([a, b] , C)
tal que T (f ) (x) = xf (x)
(Verifique el lector que la transformación T es lineal)
Como
Zb
Zb
hT (f ) , gi = xf (x) g(x)dx = f (x) xg(x)dx = hf, T (g)i
a
∀f, g ∈ C ([a, b] , C)
a
resulta que T es autoadjunta. Sin embargo T no puede tener valores propios. En efecto
→
−
si λ0 ∈ R es un valor propio de T , existe f0 6= 0 tal que
T (f0 ) = λ0 f0
es decir que
xf0 (x) = λ0 f0 (x)
∀x ∈ [a, b]
5Recordamos que C([a, b] , C) es el conjunto de las funciones continuas f : [a, b] → C
7. TEORÍA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUNTOS.
29
de donde
(x − λ0 ) f0 (x) = 0
∀x ∈ [a, b]
y por lo tanto
f0 (x) = 0
∀x ∈ [a, b] , x 6= λ0
Finalmente, por la continuidad se deduce que
−
→
f0 = 0
Proposición 1.19. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre un
cuerpo K y T es un operador autoadjunto en V . Si λ1 y λ2 son valores propios
distintos de T entonces los subespacios propios Sλ1 y Sλ2 son ortogonales (esto es
hv, wi = 0 .∀v ∈ Sλ1 , ∀w ∈ Sλ2 )
Demostración: Sean v ∈ Sλ1 y w ∈ Sλ2 . Luego
hT (v), wi = hλ1 v, wi = λ1 hv, wi
y
hv, T (w)i = hv, λ2 wi = λ2 hv, wi = λ2 hv, wi
(pues λ2 ∈ R, por ser T autoadjunto)
Pero como T es autoadjunto se cumple que hv, T (v)i = hT (v) , vi y por consiguiente
λ1 hv, wi = λ2 hv, wi ⇔ (λ1 − λ2 ) hv, wi = 0
y siendo λ1 6= λ2 se tiene que hv, wi = 0.
¤
Lema 1.20. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre un cuerpo K,
S un subespacio vectorial de V y T un operador en V . Si T es autoadjunto y S es
invariante bajo T entonces S ⊥ es invariante bajo T.
Demostración: Aplicar el Ejercicio 4.5.
Teorema 1.21 (Teorema Espectral para operadores autoadjuntos). Sea
V un espacio vectorial, real o complejo, de dimensión finita. Si T es un operador
autoadjunto en V entonces existe una base ortonormal de V formada por vectores
propios de T .
30
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Demostración: Siendo T autoadjunta, vimos que las raı́ces de su polinomio caracterı́stico son reales. Entonces T tiene por lo menos un valor propio λ0 ∈ K (tanto sea
K = R o K = C), y por lo tanto existe v0 6= ~0 , v0 ∈ Sλ0 (subespacio propio asociado
v0
a λ0 ). Consideremos el vector w0 =
∈ Sλ0 .
kv0 k
Continuamos la prueba por inducción completa en n = dim(V ).
Paso base: Si n = 1 se cumple la tesis, pues B = {w0 } es la base ortonormal buscada.
Paso inductivo: Suponemos el resultado cierto para todo espacio vectorial de dimensión menor o igual a n − 1 y debemos probar que se cumple cuando la dimensión es
n.
Consideremos el subespacio S = [w0 ].
Como w0 es un vector propio de T se tiene que el subespacio S es invariante bajo T
y por el Lema 1.20 S ⊥ es invariante bajo T .
Luego como T es autoadjunto y S ⊥ es invariante bajo T se tiene que T |S ⊥ : S ⊥ → S ⊥
es autoadjunto (pues al ser autoadjunto en todo V su restricción a un subespacio invariante también verificará la definición de autoadjunto).
¡ ¢
Entonces como dim S ⊥ = dim(V ) − dim(S) = n − 1 y T |S ⊥ es autoadjunto, por
la hipótesis inductiva, existe una base ortonormal {w1 , w2 , ..., wn−1 } de S ⊥ formada
por vectores propios de T |S ⊥ (es decir, vectores propios de T en S ⊥ ).
Por último, siendo V = S ⊕ S ⊥ , {w0 } base ortonormal de S y {w1 , w2 , ..., wn−1 } base
ortonormal de S ⊥ , ambas formadas por vectores propios de T resulta que {w0 , w1 , ..., wn−1 }
es una base ortonormal de V formada por vectores propios de T .
¤
Teorema 1.22. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre un cuerpo
K y T un operador en V . Si existe una base ortonormal del espacio formada por
vectores propios de T y las raı́ces de χT son reales entonces T es autoadjunto.
Demostración: Sea B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base ortonormal de V formada por
vectores propios de T , es decir que T (vi ) = λi vi con λi ∈ R (pues las raı́ces de χT
son reales).


λ1 0
... 0
 0
λ2 . . . 0 




0
0
. . . 0 . Como B (T ) es simétrica (hermı́tica) y
Luego B (T )B = 
B


..
.. 
 ..
 .
.
. 
0
0
. . . λn
B es ortonormal se concluye que T es autoadjunta.
7. TEORÍA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUNTOS.
31
¤
Teorema 1.23 (Teorema Espectral para matrices simétricas y hermı́ticas).
(a) Si A ∈ Mn×n (R) es una matriz simétrica, entonces existe P ∈ Mn×n (R) invertible con P −1 = P t tal que D = P −1 AP es una matriz diagonal.
(b) Si A ∈ Mn×n (C) es una matriz hermı́tica, entonces existe P ∈ Mn×n (C) invertt
ible con P −1 = P tal que D = P −1 AP es una matriz diagonal.
Observación 1.4. Cuando una matriz invertible P ∈ Mn×n (R) cumple la condición P −1 = P t se dice que la matriz real P es ortogonal y cuando P ∈ Mn×n (C)
t
cumple la condición P −1 = P se dice que la matriz compleja P es unitaria . Posteriormente, en la sección 9, pág. 37, serán estudiaadas tales matrices.
Demostración: (a) Consideramos en Rn el producto interno habitual y C la base
canónica de Rn . Definimos la transformación lineal T : Rn → Rn tal que
C (T )C
=A
Por ser A simétrica y C una base ortonormal (respecto al producto interno usual), por
el Teorema 1.13, se tiene que T es autoadjunta. Entonces por el Teorema Espectral
(Teorema 1.21), existe una base ortonormal B en la cual T se diagonaliza, es decir
que B (T )B = D con D diagonal.
Por el Teorema de cambio de base se tiene que
C (T )C
= C (I)BB (T )BB (I)C .
Siendo P = C (I)B se tiene que
A = P D P −1
Solo resta probar que la matriz P es ortogonal (esto es P −1 = P t ).
Como veremos más adelante, cuando estudiemos las matrices ortogonales, si las columnas de P forman una base ortonormal respecto al producto interno usual de Rn se
tiene que P es ortogonal (ver Proposición 1.26 pag. 38).
Como en este caso P = C (Id)B se deduce que las columnas de P son los vectores de
la base ortonormal B.
(b) Se deja como ejercicio.
¤
32
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Ejercicios
Ejercicio 7.1. En los siguientes casos probar que T es autoadjunto, hallar su
forma diagonal y una base ortonormal del espacio formada por vectores propios de T .
¡
¢
1. T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = 32 x + 12 z, 2y, 21 x + 32 z
¡
¢
2. T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = 32 x − 12 z, −y, − 21 x + 32 z
Ejercicio 7.2.
1. Verificar que A es simétrica real y hallar una matriz P ortogonal (esto es
P −1 = P t ) tal que P −1 AP sea diagonal


Ã
!
Ã
!
2 1 1
2 −2
1 1


(a) A =
(b) A =
(c) A =  1 2 1 
−2
5
1 1
1 1 2
Ã
!
1+i
1
2. a) Verificar que A =
es una matriz simétrica compleja
1
1−i
no diagonalizable. Ã
!
i 1
b) Verificar que A =
es una matriz simétrica compleja que no
1 i
tiene valores propios reales
3. Verificar que A es hermı́tica y hallar una matriz P unitaria (esto es P −1 =
t
P ) tal que P −1 AP sea diagonal:


Ã
!
Ã
!
Ã
!
1 i 1
4
1−i
3 −i
6
2 + 2i


A=
A=
A=
A =  −i 0 0 
1+i
5
i
3
2 − 2i
4
1 0 0
Ejercicio 7.3. Sea A ∈ M4×4 (R) una matriz simétrica. Se sabe que λ y µ son
valores propios distintos de A, con mg(λ) = mg(µ) = 2. Además se sabe que los
vectores (1, 1, 0, 0) y (1, 1, 1, 1) pertenecen a Sλ (subespacio propio asociado a λ).
Entonces una base de Sµ (subespacio propio asociado a µ) es:
A) B = {(1, −1, 0, 0), (0, 1, −1, 0)}.
B) B = {(0, 1, −1, 0), (0, 0, 1, −1)}.
C) B = {(0, 0, 1, −1), (−1, 0, 0, 1)}.
D) B = {(−1, 0, 0, 1), (1, −1, 0, 0)}.
E) B = {(1, −1, 0, 0), (0, 0, 1, −1)}.
EJERCICIOS
33
Ejercicio 7.4. Sea A ∈ Mn×n (R) simétrica y λ1 , λ2 , . . . , λn los valores propios
de A.
1. Probar que tr(A) = λ1 + λ2 + . . . + λn y det(A) = λ1 .λ2 . . . . .λn
2. a) Si λ1 , λ2 , . . . , λr son no nulos y λr+1 = λr+2 = . . . = λn = 0 probar que
rango(A) = r.
b) Si además A es idempotente (esto es A2 = A ) demostrar que rango(A) =
tr(A).
Ejercicio 7.5. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto
interno. Sea S un subespacio de V y T : V → V un operador lineal. Probar que si
T es autoadjunto y S es invariante por T entonces existe una base ortonormal de S
formada por vectores propios de T
Ejercicio 7.6. (Diagonalización simultánea de operadores autoadjuntos) Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sean T1 y T2 dos operadores
lineales autoadjuntos en V . Probar que:
1. T1 y T2 conmutan ⇔ T1 ◦ T2 es autoadjunto.
2. Si T1 y T2 conmutan ⇒ los subespacios propios de T1 son invariantes bajo
T2 .
3. T1 y T2 conmutan ⇔ existe una base ortonormal de V en la cual T1 y T2 se
diagonalizan simultáneamente
Ejercicio 7.7. Se consideran los operadores lineales T : R4 → R4 y S : R4 → R4
tales que




1 1 0 0
0 −2 0 0
 1 1 0 0 
 −2 0 0 0 




(T
)
=
y
(S)
=




C
C
C
 0 0 1 0  C
 0
0 2 0 
0 0 0 1
0
0 4 −2
siendo C la base canónica de R4
1. Probar que T y S se diagonalizan simultáneamente.
2. Hallar una base R4 formada por vectores propios de ambos operadores.
Ejercicio 7.8.
1. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y B una base de V . Probar
que existe un producto interno h, i en V para el cual B es ortonormal.
34
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre R y T : V → V una
transformación lineal. Probar que: T es diagonalizable ⇔ existe un producto
interno en V para el cual T es autoadjunta.
3. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre R y T : V → V una
transformación lineal diagonalizable. Si S ⊂ V es un subespacio invariante
bajo T ⇒ S tiene una base formada por vectores propios de T .
Ejercicio 7.9. Operadores antiautoadjuntos
Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre un cuerpo K y T un operador
lineal en V . Diremos que T es antiautoadjunto sı́ y solo sı́ T = −T ∗ .
1. Si K = C.
a) Probar que: T es antiautoadjunto ⇔ existe un operador S autoadjunto
tal que T = iS.
b)
1) Si λ es un valor propio de un operador antiautoadjunto T probar
que Re(λ) = 0.
2) Si λ1 y λ2 son valores propios distintos de un operador antiautoadjunto T probar que los subespacios propios Sλ1 y Sλ2 son
ortogonales.
c) Si además V tiene dimensión finita:
1) Deducir que todas las raı́ces del polinomio caracterı́stico de un
operador antiautoadjunto T son imaginarias puras (parte real
nula).
2) Si B base ortonormal de V y A = B (T )B .
Probar que T es antiautoadjunto ⇔ A es antihermı́tica (esto es
t
A = −A )
2. Enuncie y demuestre resultados análogos a los de las partes (b) y (c) cuando
K=R 6
3. a) (Teorema Espectral) Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con
producto interno sobre C. Si T es antiautoadjunto probar que existe
una base ortonormal de V formada por vectores propios de T .
Sugerencia: Utilizar la parte 1 (a).
b) Si existe una base ortonormal de V formada por vectores propios de
T y los valores propios son son imaginarias puroas probar que T es
antiautoadjunto.
6Recordamos que una matriz A (real o compleja) se dice antisimétrica si A = −At
8. OPERADORES ORTOGONALES Y UNITARIOS
35
4. En R3 , con el producto interno habitual, se considera el operador lineal
T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (y + z, − x + z, − x − y). Probar que T
es antiadjunta y no es diagonalizable.
8.
Operadores ortogonales y unitarios
Hay una analogı́a entre la conjugación de los números complejos y el adjunto de
un operador. Por ejemplo, sabemos que si z = z entonces z ∈ R y de las secciones
anteriores sabemos que cuando T = T ∗ entonces los valores propios de T son reales.
Por otro lado, si z = −z entonces z es imaginario puro y si un operador cumple que
T = −T ∗ entonces los valores propios de T son imaginarios puros (Ver Ejercicio
7.9, pág. 34).
En la conjugación compleja tenemos la siguiente propiedad: si z −1 = z entonces
|z| = 1,¿para los operadores lineales que cumplen que T −1 = T ∗ será válido que
los valores propios de T tiene módulo 1?, ¿existe un Teorema Espectral para tales
operadores?
Busquemos respuestas a estas interrogantes.
Proposición 1.24. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre un
cuerpo K y T un operador lineal en V .
Entonces T es invertible y T −1 = T ∗ ⇔ T es una isometrı́a lineal sobreyectiva
Demostración:
(⇒) Como T es invertible (y por lo tanto T es sobreyectivo) con T −1 = T ∗ se cumple
que T ∗ ◦ T = I, luego
hv, wi = hT ∗ (T (v)) , wi = hT (v) , T (w)i
es decir que T es una isometrı́a lineal.
(⇐) Recordar que las isometrı́as son inyectivas. Como además T es sobreyectiva se
tiene que T es invertible. Luego
­
¡
¢®
hT (v) , wi = T (v) , T T −1 (w)
∀v, w ∈ V
y por ser T una isometrı́a lineal
­
¡
¢® ­
®
T (v) , T T −1 (w) = v, T −1 (w)
De donde
­
®
hT (v) , wi = v, T −1 (w)
∀v, w ∈ V
∀v, w ∈ V
36
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Por lo tanto existe T ∗ y coincide con T −1 .
¤
Definición 1.4. Consideremos en un espacio vectorial V con producto interno
sobre el cuerpo K un operador lineal T invertible tal que
T −1 = T ∗
(a) Cuando K = R diremos que T es ortogonal.
(b) Cuando K = C diremos que T es unitario.
Observación 1.5. Es importante recordar las propiedades de las isometrı́as
lineales estudiadas en la sección 1.
Ejercicios
Ejercicio 8.1.
1. Se considera M2×2 (R)2×2 con el producto interno: hA, Bi = tr(B t A)
ÃÃ
!! Ã
!
a b
d a
=
.
Sea T : M2×2 (R)2×2 → M2×2 (R)2×2 tal que T
c d
b c
Probar que T es ortogonal.
2. Se considera C2 con el producto interno habitual. Sea T : C2 → C2 tal que
T (1, 1) = (−i, i), y T (1, −1) = (i, i). Probar T es unitaria.
3. Se considera R4 con el producto interno habitual. Sea T : R4 → R4 tal que
T (2, 2, 2, 2) =
(4, 0, 0, 0),
T (2, 2, 0, 2) =
(3, 1, −1, 1),
T (2, 0, 2, 2) = (3, −1, 1, 1),
T (2, 2, 2, 0) = (3, 1, 1, −1)
¿ T es ortogonal?
Ejercicio 8.2. Probar que la composición de unitarias (ortogonales) es una unitaria (ortogonal).
Ejercicio 8.3. ¿Existe un operador unitario T : C2 → C2 que cumpla que
T (1, 1) = ei(2+i) (1, 1) ?
Ejercicio 8.4. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre el cuerpo
C (o R) y T un operador lineal en V . Probar que
1. Si T es autoadjunto y T es unitario (u ortogonal) ⇒ T 2 = I.
2. Si T es autoadjunto y T 2 = I ⇒ T es unitario (u ortogonal).
9. REPRESENTACIÓN MATRICIAL. MATRICES ORTOGONALES Y UNITARIAS
37
3. Si T es unitario (u ortogonal) y T 2 = I ⇒ T es autoadjunto..
Ejercicio 8.5. (Transformada de Cayley) Sea V un espacio vectorial de
dimensión finita sobre el cuerpo C y T un operador lineal en V .
1. Si T es autoadjunto.
a) Probar que T − iI y T + iI son invertibles.
b) Se define el operador
U = (T − iI)(T + iI)−1
(transfornada de Cayley de T )
1) Probar que U es unitario.
Sugerencia: De la conmutatividad de T − iI y T + iI deducir la conmutatividad de (T − iI)−1 y (T + iI)−1 .
2) Probar que U − I es invertible.
2. Si U es un operador unitario con U − I invertible, probar que
T = −i(U + I)(U − I)−1 es autoadjunto.
Ejercicio 8.6. Sea V un espacio con producto interno de dimensión finita sobre
el cuerpo C (o R) y S ⊂ V un subespacio no trivial.
1. Si T es un operador unitario en V y S es invariante bajo T , probar que T |S
es un operador unitario (u ortogonal) en S.
2. Si T : S → V es una transformación lineal tal que kT (s)k = ksk ∀s ∈ S
probar que existe un operador unitario (u ortogonal) Te : V → V tal que
Te(s) = T (s) ∀s ∈ S.
9.
Representación matricial. Matrices ortogonales y unitarias
Definición 1.5 (Matrices ortogonales y unitarias).
(a) Sea A ∈ Mn×n (R)n×n , diremos que A es ortogonal cuando es invertible y
A−1 = At .
t
(b) Sea A ∈ Mn×n (C), diremos que A es unitaria cuando es invertible y A−1 = A .
Dadas dos matrices (reales o complejas) A y B, indicaremos con A(i) a la i¡
¢
ésima fila de A y por B (j) a la j-ésima columna de B. Además (AB)ij y AB ij
representarán a los elementos ij (es decir de la fila i y columna j) de las matrices AB
y AB respectivamente.
38
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
­
®
Lema 1.25. (a) Si A y B ∈ Mn×n (R)n×n entonces (AB)ij = A(i) , B (j) , donde
h , i el producto interno habitual en Rn .
¢
­
®
¡
(b) Si A y B ∈ Mn×n (C)n×n , entonces AB ij = A(i) , B (j) , donde h , i el producto
interno habitual en Cn .
Demostración:
(a) En efecto, si A(i) = (ai1 , ai2 , . . . , ain ) ∈ Rn y B (j) = (b1j , b2j , ..., bnj ) ∈ Rn resulta
de la definición del producto interno habitual en Rn que
D
E k=n
X
A(i) , B (j) =
aik bkj
k=1
Por otro lado, por la definición de producto de matrices
(AB)ij =
k=n
X
aik bkj
k=1
Igualando se obtiene la tesis.
(b) Ejercicio.
¤
Proposición 1.26. (a) Sea A ∈ Mn×n (R)n×n . Entonces A es ortogonal si y
©
ª
sólo si sus columnas A(1) , A(2) , . . . , A(n) forman una base ortonormal de Rn (considerado con el producto interno habitual).
©
ª
(b) Sea A ∈ M (C)n×n . Entonces A es unitaria ⇔ sus columnas A(1) , A(2) , ..., A(n)
son una base ortonormal de Cn (considerado con el producto interno habitual).
Demostración:
(a) La matriz A es ortogonal ⇔ A es invertible y A−1 = At . Entonces At A = I de
donde vemos que (At A)ij = (I)ij . Entonces
(
0 si i 6= j
t
(A A)ij =
1 si i = j
Usando el Lema 1.25 se tien que lo anterior se cumple si y sólo sı́
(
D
E
0 si i 6= j
t
(j)
A(i) , A
=
1 si i = j
Como At(i) = A(i) , resulta que
D
(i)
(j)
A ,A
(
E
=
0 si i 6= j
1 si i = j
9. REPRESENTACIÓN MATRICIAL. MATRICES ORTOGONALES Y UNITARIAS
39
©
ª
es decir que A(1) , A(2) , . . . , A(n) es un conjunto ortonormal de Rn .
(b) Ejercicio.
¤
Proposición 1.27. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto
interno sobre el cuerpo R, B una base ortonormal de V y T un operador lineal en V .
Entonces T es ortogonal ⇔ B (T )B es una matriz ortogonal.
Demostración: Indiquemos por A(j) a la columna j de B (T )B . Como B = {v1 , ..., vn }
es una base ortonormal para cualquier v ∈ V se tiene que:
v = hv, v1 iv1 + ... + hv, vn ivn
En particular se tiene:
T (vj ) = hT (vj ), v1 iv1 + ... + hT (vj ), vn ivn ∀ j = 1, 2, ..., n
De donde se deduce que la j-ésima columna de B ((T ))B es


hT (vj ), v1 i


..

A(j) = 
.


hT (vj ), vn i
Por otro lado se tiene que:
hT (vi ), T (vj )i =
hhT (vi ), v1 iv1 +...+ hT (vi ), vn ivn , hT (vj ), v1 iv1 +. . .+ hT (vj ), vn ivn i
( observar que B es ortonormal y el espacio es real)
=
=
hT (vi ), v1 ihT (vj ), v1 i + ... + hT (vi ), vn ihT (vj ), vn i
D
E
(producto interno usual en Rn )
A(i) , A(j) n
R
Entonces, usando propiedades vistas antes:
(
1 si i = j
⇔
T ortogonal ⇔ T (B) es una base ortonormal de V ⇔ hT (vi ), T (vj )i =
0 si i 6= j
(
­ (i) (j) ®
1 si i = j
A ,A
=
⇔ las columnas de B (T )B forman una base ortonormal
Rn
0 si i 6= j
de Rn ⇔ B (T )B es una matriz ortogonal.
¤
Proposición 1.28. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto
interno sobre el cuerpo C, B una base ortonormal de V y T un operador lineal en V .
T es unitaria ⇔ B (T )B es una matriz unitaria.
40
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Demostración: Queda como ejercicio.
Ejercicios
Ejercicio 9.1.
1. Hallar todas las matrices ortogonales cuya primera columna sea colineal con
(1, 1) .
2. Hallar todas las matrices unitarias cuya primera columna sea colineal con
(1, 1 − i) .
Ejercicio 9.2. Sea A ∈ Mn×n (R).
1. Probar que A es ortogonal ⇔ At es ortogonal.
2. Deducir que A es ortogonal ⇔ sus filas forman una base ortonormal de Rn ,
considerado con el producto interno habitual.
3. Enunciar y demostrar el resultado análogo para matrices complejas unitarias.
Ejercicio 9.3.
Ã
!
eiθ
e−iθ
1
1. Mostrar que la matriz √
es unitaria para todo θ ∈ R.
ieiθ −ie−iθ
2
2. Mostrar que si P es una matriz ortogonal entonces eiθ P es unitaria para
todo θ ∈ R.
Ejercicio 9.4. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto
interno sobre el cuerpo C. Dado un vector no nulo u ∈ V se define el operador lineal
Hu : V → V tal que
Hu (v) = v − 2hv, uiu
1. Determinar que condición debe cumplir el vector u para que el operador Hu
sea unitario.
2. Si V = Cn , determine en función de las coordenadas de u la matriz asociada
a Hu en la base canónica de Cn (“matriz de Householder”).
3. ¿Qué condiciones debe cumplir un vector columna w ∈ Cn para que la matriz
U = I − 2wwt sea unitaria?
10. TEORÍA ESPECTRAL DE OPERADORES UNITARIOS
10.
41
Teorı́a Espectral de operadores unitarios
Teorema 1.29. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre el cuerpo
C y T un operador unitario en V .
(a) Si λ es un valor propio de T entonces |λ| = 1.
(b) Si dim(V ) es finita entonces todas las raı́ces del polinomio caracterı́stico de T
tienen módulo 1.
Demostración:
(a) Si λ es un valor propio de T entonces existe v 6= ~0 tal que T (v) = λv. Como T es
unitario en V , T conserva la norma, por lo tanto
kvk = kT (v)k = kλvk = |λ| kvk
como kvk 6= 0, se tiene que |λ| = 1.
(b) En dimensión finita, cuando el cuerpo es C, las raı́ces del polinomio caracterı́stico
de T coinciden con los valores propios de T , los cuales, según el resultado anterior,
son complejos de módulo 1.
¤
Proposición 1.30. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre el
cuerpo R y T un operador ortogonal en V .
(a) Si λ es un valor propio de T entonces λ = ±1.
(b) Si dim(V ) es finita entonces todas las raı́ces del polinomio caracterı́stico de T
tienen módulo 1.
Demostración:
(a) Se procede como en la parte (a) de la Proposición anterior y se tiene que
|λ| = 1. Como λ ∈ R se deduce que λ = ±1.
(b) Sea B una base ortonormal de V . Como T es ortogonal la matriz A =B (T )B
es ortogonal. Consideremos en el espacio vectorial Cn sobre el cuerpo C con producto
interno usual la transformación lineal Te : Cn → Cn tal que C (Te)C = A, donde C es la
base canónica de Cn . Como la matriz C (Te)C es unitaria (pues, por ser A ortogonal
real, se cumple que Āt = At = A−1 ) y C es una base ortonormal se tiene que Te
unitaria (sobre C). Luego, por la parte anterior, se concluye que todas las raı́ces del
polinomio caracterı́stico de Te tienen módulo 1. Pero como χTe = χA = χT , se concluye
que todas las raı́ces del polinomio caracterı́stico de T tienen módulo 1.
¤
42
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Corolario 1.31. (a) Sea A ∈ Mn×n (R). Si A es ortogonal entonces todas las
raı́ces del polinomio caracterı́stico de A tienen módulo 1.
(b) Sea A ∈ Mn×n (C). Si A es unitaria entonces todas las raı́ces del polinomio
caracterı́stico de A tienen módulo 1.
Demostración: Queda como ejercicio a cargo del lector (considerar un operador
lineal T que en una base ortonormal tenga a A como matriz asociada y aplicar los
resultados anteriores).
¤
Proposición 1.32. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre el
cuerpo C y T un operador unitario en V . Si λ1 y λ2 son valores propios distintos
de T entonces los subespacios propios Sλ1 y Sλ2 son ortogonales
Demostración: Sean v ∈ Sλ1 y w ∈ Sλ2 . Por ser T unitario se tiene que
hv, wi = hT (v), T (w)i = hλ1 v, λ2 wi = λ1 λ2 hv, wi
De donde
λ1 λ2 hv, wi = hv, wi
y por lo tanto
(24)
¡
¢
1 − λ1 λ2 hv, wi = 0
Como |λ2 | = 1 (por ser valor propio de un operador unitario), se tiene que
1 − λ1 λ2 = (λ2 − λ1 ) λ2
y siendo λ1 6= λ2 , se deduce de (24) que hv, wi = 0.
¤
Proposición 1.33. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre el
cuerpo R y T un operador ortogonal en V Si λ1 y λ2 son valores propios distintos
de T entonces los subespacios propios Sλ1 y Sλ2 son ortogonales
Demostración: Queda como ejercicio a cargo del lector.
¤
Ejemplo 1.9. (Un operador ortogonal no diagonalizable) Consideremos,
en R3 con el producto interno usual, el operador lineal T : R3 → R3 tal que


0 0 −1


0 
C (T )C =  0 1
1 0 0
donde C es la base canónica de R3 . Como las columnas de C (T )C forman un conjunto
ortonormal, por la Proposición 1.26, se tiene que C (T )C es una matriz ortogonal.
10. TEORÍA ESPECTRAL DE OPERADORES UNITARIOS
43
Y siendo C una base ortonormal de R3 , por la Proposición 1.27, se tiene que T es
¡
¢
un operador ortogonal. Es inmediato que χT (λ) = (λ − 1) λ2 + 1 y por lo tanto
el único valor propio de T es λ = 1. Por lo tanto T no es diagonalizable (el único
subespacio propio tiene dimensión 1, siendo imposible obtener una base de R3 formada
por vectores propios).
Sin embargo, para operadores unitarios (en espacios vectoriales complejos) tenemos un Teorema Espectral. Veamos un resultado previo:
Lema 1.34. Si T es unitario y S es invariante bajo T entonces S ⊥ es invariante
bajo T
Demostración:
Por un lado tenemos que T (S) ⊆ S (pues S es invariante bajo T ) y por otro lado,
siendo T invertible se tiene que dim (S) = dim(T (S)) (pues T |S es un isomorfismo
lineal entre S y su imagen T (S) ). Por lo tanto T (S) = S. Ası́ para todo s ∈ S existe
s0 ∈ S tal que s = T (s0 ).
Tomemos ahora un vector w ∈ S ⊥ . Luego para todo s ∈ S se tiene que
hT (w), si = hT (w), T (s0 )i = hw, s0 i = 0
Entonces T (w) ∈ S ⊥ . Por lo tanto S ⊥ es invariante bajo T.
¤
Teorema 1.35 (Teorema Espectral para operadores unitarios). Sea V un
espacio vectorial con producto interno de dimensión finita sobre el cuerpo C. Si T es
un operador unitario en V entonces existe una base ortonormal de V formada por
vectores propios de T .
Demostración: Como V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo C, el operador T tiene por lo menos un valor propio λ0 , y por lo tanto existe un
vector no nulo v0 ∈ Sλ0 (subespacio propio asociado a λ0 ). Consideremos el vector
v0
w0 =
∈ Sλ 0 .
kv0 k
Continuamos la prueba por inducción completa en n = dim(V ).
Paso base: Si n = 1 se cumple la tesis pues B = {w0 } es la base ortonormal buscada.
Paso inductivo: Suponemos el resultado cierto para todo espacio vectorial de dimensión menor o igual a n − 1 y debemos probar que se cumple cuando la dimensión es
n.
Consideremos el subespacio S = [w0 ]. Como w0 es un vector propio de T se tiene que
44
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
el subespacio S es invariante bajo T y por el Lema 1.34 resulta que S ⊥ es invariante
bajo T .
Luego como T es unitario y S ⊥ es invariante bajo T se tiene que T |S ⊥ : S ⊥ → S ⊥
es unitario (pues al ser unitario en todo V su restricción a un subespacio invariante
también verificará la definición de ser unitario).
¡ ¢
Entonces como dim S ⊥ = dim(V ) − dim(S) = n − 1 y T |S ⊥ es unitario, por la
hipótesis inductiva, existe una base ortonormal {w1 , w2 , ..., wn−1 } de S ⊥ formada por
vectores propios de T |S ⊥ (es decir, vectores propios de T en S ⊥ ).
Por último, siendo V = S ⊕ S ⊥ , {w0 } base ortonormal de S y {w1 , w2 , ..., wn−1 } base
ortonormal de S ⊥ , ambas formadas por vectores propios de T resulta que {w0 , w1 , ..., wn−1 }
es una base ortonormal de V formada por vectores propios de T .
¤
Proposición 1.36. Sea V un espacio vectorial complejo (K = C) de dimensión
finita. Si existe una base ortonormal de V formada por vectores propios de T y los
valores propios de T tienen módulo 1 entonces T es unitario.
Demostración: Sea B = {v1 , v2 , ..., vn } una base ortonormal de V formada por
vectores propios de T , es decir que T (vi ) = λi vi con |λi | = 1.
Entonces


λ1 0
... 0
 0
λ2 . . . 0 





.
0
0
.
.
.
0
A = B ((T ))B = 

..
.. 
 ..
 .
.
. 
0
0
...
λn
n
Utilizando el producto interno habitual en C se tiene:
(
0
si i =
6 j
hA(i) , A(j) i =
2
|λi | = 1 si i = j
Por lo tanto las columnas de A son una base ortonormal de Cn (con el producto
interno habitual) por lo que A es unitaria. omo B es una base ortonormal de V y
B (T )B = A es unitaria se concluye que T es unitaria.
¤
Teorema 1.37 (Teorema Espectral para matrices unitarias). Si A ∈ Mn×n (C)
t
es una matriz unitaria, entonces existe P ∈ Mn×n (C) unitaria tal que D = P AP
es una matriz diagonal.
EJERCICIOS
45
Demostración: Queda como ejercicio a cargo del lector.
¤
Ejercicios
Ejercicio 10.1.
1. En el espacio vectorial C3 con el producto interno habitual se considera el
operador lineal T : C3 → C3 tal que
µµ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
¶
1+i
1+i
1+i
1+i
T (x, y, z) =
x−
y,
x+
y, −iz
2
2
2
2
a) Probar que T es unitario.
b) Hallar una base B ortonormal de C3 formada por vectores propios de
T y determinar B (T )B .
2. En el espacio vectorial R3 con el producto interno habitual se considera el
operador lineal T : R3 → R3 tal que
³ √ ´
³√
´
T (1, 1, 0) = 0, 2, 0 ,
T (1, −1, 0) =
2, 0, 0 ,
T (0, 0, 1) = (0, 0, 1)
Ejercicio 10.2.
1. a) Probar que T es ortogonal.
b) ¿T es diagonalizable en una base ortonormal de R3 ?
Ejercicio 10.3.
1. Verificar que la matriz A es unitaria y hallar una matriz unitaria P
t
D = P AP sea diagonal.





0 i 0
0 −1 0
0 1





(a) A =  i 0 0  (b) A =  1 0 0  (c) A =  1 0
0 0 1
0 0 1
0 0
tal que

0

0 
1
2. Observar que las matrices de las partes (b) y (c) son ortogonales. ¿Existe
una matriz ortogonal P tal que D = P t AP sea diagonal?
Ejercicio 10.4. Sea θ ∈ R
1. Se considera en R2 con el producto interno usual el operador T : R2 → R2
tal que
Ã
!
cos θ − sin θ
C (T )C =
sin θ cos θ
donde C es la base canónica de R2 .
a) Probar que T es ortogonal ∀θ ∈ R.
b) Determinar los valores de θ ∈ R para los cuales T es diagonalizable.
46
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
2. Se considera, en C2 con el producto interno usual, el operador U : C2 → C2
tal que:
¢
¢
¡
¡
y
U (1, −i) = e−iθ , −ie−iθ
U (1, i) = eiθ , ieiθ
a) Probar que U es unitario.
b) Hallar una base ortonormal de C2 en la cual U se diagonaliza.
c) Tomando combinaciones lineales de (1, i) y (1, −i) construir una base
B de C2 cuyas componentes sean reales y tal que
Ã
!
cos θ − sin θ
.
B (U )B =
sin θ cos θ
Ejercicio 10.5. (Operadores no negativos y positivos) Sea V un espacio
vectorial de dimensión finita con producto interno y T un operador lineal en V .
def
1. Diremos que T es no negativo ⇔ T es autoadjunto y hT (v), vi ≥ 0 ∀v ∈ V .
Probar que son equivalentes:
a) T es no negativo.
b) T es autoadjunto y los valores propios de T son no negativos.
c) T = S 2 para algún operador S autoadjunto.
d ) T = U ∗ U para algún operador lineal U.
def
2. Diremos que T es positivo ⇔ T es autoadjunto y hT (v), vi > 0 ∀v ∈ V ,
v 6= 0. Probar que son equivalentes:
a) T es positivo.
b) T es autoadjunto y los valores propios de T son estrictamente positivos.
c) T = S 2 para algún operador S autoadjunto e invertible.
Ejercicio 10.6. En R3 con el producto interno usual se consideran los siguientes
operadores operadores Ti : R3 → R3 , i = 1, 2, 3, tal que






1 3 1
5 2 4
4 2 4






C (T3 )C =  −1 2 2 
C (T2 )C =  2 1 2 
C (T1 )C =  2 2 2 
1 0 2
4 2 4
4 2 5
donde C es la base canónica R3
1. Probar que T1 es positivo.
2. Probar que T2 es no negativo.
3. Probar que hT3 (x, y, z) , (x, y, z)i ≥ 0
autoadjunto.
∀ (x, y, z) ∈ R, aunque T3 no es
EJERCICIOS
47
Ejercicio 10.7. (Raı́z cuadrada de un operador no negativo)
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno y T un operador
lineal en V . Si T es un operador no negativo vimos en el Ejercicio 10.5 que existe
un operador no negativo S tal que T = S 2 . Al operador S se le llama raı́z cuadrada
de T . Probar la unicidad de la raiz cuadrada de un operador.
Ejercicio 10.8. En el espacio vectorial C3 con el producto
se
 interno habitual

1 0 0


considera el operador lineal T : C3 → C3 tal que B (T )B =  0 1 0 , siendo
1 2 4
B = {(1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)} .
1. Hallar los valores y vectores propios de T.
2. Probar que T es positivo.
3. Hallar una matriz asociada a S (siendo S la raı́z cuadrada de T ).
Ejercicio 10.9. Sean T1 y T2 operadores lineal positivos.
1. Probar que T1 + T2 es positivo.
2. Dar un ejemplo que muestre que T1 ◦ T2 no tiene por que ser positivo.
3. Probar que T1 ◦ T2 es positivo ⇔ T1 y T2 conmutan.
Ejercicio 10.10. Se considera un espacio vectorial V de dimensión finita sobre
el cuerpo R con un producto interno h, i1 .
1. Dada un operador lineal T : V → V se define la función h, i2 : V × V → R
tal que
def
hv, wi2 = hT (v), wi1
∀v, w ∈ V
Probar que T es positivo (respecto al producto interno h, i1 ) ⇔ h, i2 es un
producto interno en V .
2. Si h, i0 es cualquier otro producto interno en V , probar que existe un único
operador T positivo (respecto al producto interno h, i1 ) tal que hv, wi0 =
hT (v), wi1 ∀v, w ∈ V.
3. Si h, i es un producto interno en Rn deducir que existe una única matriz
simétrica A con valores estrictamente positivos tal que hx, yi0 = xt Ay ∀x, y ∈
Rn
def
4. ¿ h(x, y, z) , (x0 , y 0 , z 0 )i = 2x0 x + x0 y + x0 z + y 0 x + 4y 0 y − y 0 z + z 0 x − z 0 y + 4z 0 z
es un producto interno en R3 ?
48
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Ejercicio 10.11. Se considera el espacio vectorial Rn con el producto interno
habitual:
hx, yi1 =
i=n
X
xi yi
∀x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ Rn
i=1
el operador lineal T : Rn → Rn tal que
T (x1 , x2 , · · · , xn ) = (x1 , 2x2 , 3x3 , · · · , nxn )
y la función h, i2 : Rn × Rn → R tal que
hx, yi2 =
i=n
X
ixi yi
∀x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ Rn
i=1
1.
2.
3.
4.
Probar que T es positivo (respecto al producto interno h, i1 ).
Deducir que h, i2 es un producto interno en Rn .
Probar que T es autoadjunto respecto al producto interno h, i2 .
Indiquemos por V al espacio vectorial Rn con el producto interno h, i2 y
por W al espacio vectorial Rn con el producto interno h, i1 . Se considera la
transformación lineal S : V → W tal que
√
√
√
S(x1 , x2 , x3 , · · · , xn ) = (x1 , 2x2 , 3x3 , · · · , nxn )
Si B es una base ortonormal de V probar que S(B) es una base ortonormal
de W .
Ejercicio 10.12. (Operadores normales)
Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre un cuerpo K y T un operador
lineal en V . Diremos que T es normal ⇔ T ∗ ◦ T = T ◦ T ∗ .
Probar que son equivalentes:
1. T es normal.
2. hT (v) , T (w)i = hT ∗ (v) , T ∗ (w)i
3. kT (v)k = kT ∗ (v)k
∀v, w ∈ V.
∀v, w ∈ V.
`
´
Sugerencia: considerar primero el caso real y utilizar que hT (v) , T (w)i = 14 kT (v + w)k2 − kT (v − w)k2
`
´
1
y en el caso complejo hT (v) , T (w)i = 4i
i kT (v + w)k2 − i kT (v − w)k2 − kT (v + iw)k2 + kT (v − iw)k2 .
Ejercicio 10.13. Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre un cuerpo K y T un operador lineal en V . Si T es normal probar que:
1. T y T ∗ tienen el mismo núcleo y la misma imagen.
∀α ∈ K.
2. T − αI es normal
EJERCICIOS
49
3. v es un vector propio de T con valor propio λ ⇔ v es un vector propio de
T ∗ con valor propio λ.
4. Si λ1 y λ2 son valores propios distintos de T entonces los subespacios propios
Sλ1 y Sλ2 son ortogonales.
Ejercicio 10.14.
1. Probar que los operadores autoadjuntos, los unitarios y los ortogonales son
normales.
2. Se considera en C2 , con el producto interno usual, el operador lineal T :
C2 → C2 tal que T (i, 0) = (i, i) y T (0, i) = (i, 2i − 1). Probar que T es
normal, pero no es autoadjunto, ni unitario.
3. Se considera en R2 , con elÃproducto !interno usual, el operador lineal T :
1 −1
R2 → R2 tal que C (T )C =
, donde C es la base canónica de R2 .
1 1
Probar que T es normal, pero no es autoadjunto, ni ortogonal.
Ejercicio 10.15. (Teorı́a Espectral de operadores normales)
1. Sea T un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobre el
cuerpo K. Si existe una base ortonormal de V formada por vectores propios
de T probar que T es normal.
2. Se considera en R2 , con el producto interno usual, el operador lineal T :
R2 → R2 tal que tal que T (1, 1) = (−2, 2) y T (1, −1) = (2, 2). Probar que
T es normal y no es diagonalizable.
3. Si A es un conjunto7 de vectores propios de T entonces A⊥ es invariante
bajo T .
4. Sea T un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobre
el cuerpo C. Si T es normal probar que existe una base ortonormal de V
formada por vectores propios de T .
Sugerencia: La demostración es idéntica a la demostración del Teorema 1.21 (pag.
29) o la del Teorema 1.35 (pag.43).
Ejercicio 10.16. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto
interno sobre el cuerpo C y T un operador lineal en V . Probar que:
1. T es normal y todos los valores propios son reales ⇔ T es autoadjunto.
7No es necesario que A sea un subespacio, ni que los vectores propios en A correspondan al
mismo valor propio.
50
1. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
2. T es normal y todos los valores propios tienen módulo 1 ⇔ T es unitario.
3. T es normal y todos los valores propios son positivos ⇔ T es positivo.
Ejercicio 10.17.
1. Dar ejemplos de operadores normales T1 y T2 tales que T1 + T2 y T1 ◦ T2 no
sean normales.
2. Sean T1 y T2 dos operadores normales. Si T1 y T2 conmutan probar que T1 +
T2 y T1 ◦ T2 son normales.
3. Si T1 es normal y T1 conmuta con un operador T2 (no necesariamente normal) probar que T1 y T2∗ conmutan
Ejercicio 10.18. (Diagonalización simultánea de operadores normales)
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno sobre el cuerpo
C. Sean T1 y T2 dos operadores normales. Si T1 y T2 conmutan probar que existe
una base ortonormal de V formada por vectores propios de T1 y T2 (es decir que T1
y T2 se diagonalizan simultáneamente)
Ejercicio 10.19. Se consideran los operadores T1 : C3 → C3 tal que
T1 (x, y, z) = (x + ix + z − iz,
2iy,
x − ix + z + iz)
4y,
−2x + 2ix + 2z + 2iz)
y T2 : C3 → C3 tal que
T2 (x, y, z) = (2x + 2ix − 2z + 2iz,
1. Probar que T1 y T2 son normales y conmutan.
2. Hallar una base ortonormal de C3 formada por vectores propios de T1 y T2 .
Ejercicio 10.20. Descomposición cartesiana de un operador lineal
Sea V un espacio vectorial con producto interno sobre el cuerpo C y T un operador
lineal en V .
1. Probar que T + T ∗ es autoadjunto y que T − T ∗ es antiautoadjunto.
2. Probar que existen dos operadores autoadjuntos T1 y T2 tales que
T = T1 + iT2
(descomposición cartesiana de T )
Al operador T1 se llama la parte real de T y T2 se llama la parte imaginaria
de T . Probar la unicidad de la parte real y de la parte imaginaria de T.
3. Probar que: T es normal ⇔ T1 y T2 conmutan.
—–oo0oo—–