TEMA 1 LOS N´UMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES

TEMA 1
LOS NÚMEROS REALES
Y SUS PROPIEDADES
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M. PÉREZ-LLANOS
1. Conjuntos
Definamos por el momento un conjunto como una colección de elementos.
Cuando S sea un conjunto y x sea un elemento de S, lo expresaremos x ∈ S, y por el
contrario, cuando x no sea un elemento del conjunto S lo expresamos x 6∈ S.
En el caso en que podamos listar los elementos que compongan un determinado conjunto
lo haremos entre llaves, de la siguiente forma, por ejemplo el conjunto de las vocales
S = {a, e, i, o, u}.
Existen conjuntos con un único elemento, el conjunto de las letras mudas, S = {h},
pero en este caso S = {h} 6= h (h es un elemento, y {h} es el conjunto formado por el
elemento h).
Sin embargo, para la mayorı́a de conjuntos con los cuales se suele trabajar en matemáticas
no será posible listar todos sus elementos. La forma que tendremos de definir tales conjuntos es hacerlo en términos de alguna propiedad o propiedades que verifiquen los elementos
de ese conjunto. Es decir, S = {x : P (x)}.
Un ejemplo concreto. Sea A = {x ∈ R : −2 ≤ x < 2}, esto es, dentro del conjunto de
números reales, P1 (x) es ser mayor o igual que −2 y P2 (x) es ser menor estricto que 2.
Decimos que B es un subconjunto de A si y solamente si para todo x ∈ B entonces
x ∈ A y lo denotamos B ⊆ A. Si existen elementos en A además de los que pertenecen
a B escribimos B ⊂ A y diremos que B es un subconjunto propio de A. Si B ⊆ A y
también A ⊆ B, entonces A = B.
Si B ⊆ A es falso se denota B 6⊆ A y significa que ∃x ∈ B tal que x 6∈ A.
Es importante distinguir los sı́mbolos ∈ y ⊆, el primero hace referencia a elementos y el
segundo a conjuntos y presenta la propiedad transitiva : B ⊆ A y C ⊆ B entonces C ⊆ A.
El primero no presenta la propiedad transitiva: Sean A = α, B = {α} y c = {{α}} (nada
impide que el elemento de un conjunto sea otro conjunto). Tenemos que A ∈ B y B ∈ C.
Pero sin embargo A 6∈ C, porque de ser ası́ tendrı́amos que α = {α} y esto ya dijimos que
no era cierto.
Consideremos el conjunto de los números reales, R, como la recta. Posteriormente
construiremos en detalle este conjunto como lı́mite de sucesiones de Cauchy de números
racionales y mediante algunos axiomas o supuestos.
Los subconjuntos de números reales se llaman intervalos. Por ejemplo el conjunto
definido anteriormente, A = {x ∈ R : −2 ≤ x < 2} = [−2, 2). Los intervalos pueden ser
abiertos (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, cerrados [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (incluyendo
ambos extremos), o incluir sólamente uno de los extremos, [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b},
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, en cuyo caso no son ni abiertos ni cerrados. Estos ejemplos
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de intervalos eran finitos. También existen intervalos infinitos (−∞, b) = {x ∈ R : x < b},
(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R : a < x},[a, +∞) = {x ∈ R : a ≤ x},
(−∞, ∞) = R. Nótese que el ±∞ va siempre abierto, porque el infinito no es un número
real y por tanto nunca está incluı́do.
Un conjunto que no tenga elementos se denomina conjunto vacı́o y se representa S = ∅.
El vacı́o está incluido en cualquier conjunto, ∅ ⊆ S para todo S. Si no fuera ası́, existirı́a
x ∈ ∅ tal que x 6∈ S, lo cual es imposible pues ∅ no tiene ningún elemento.
1.1. Algunas de las operaciones básicas con conjuntos.
Definición 1.1. Definimos la unión de los conjuntos A y B como
A ∪ B = {x : x ∈ A, ó x ∈ B}.
Ejemplo: (−∞, a] = (−∞, a) ∪ {a}.
Obviamente A ⊆ A ∪ B, B ⊆ A ∪ B, A ∪ ∅ = A. Si A, B 6= ∅ tenemos que A = A ∪ B
si y sólo si B ⊆ A y análogamente, B = A ∪ B si y sólo si A ⊆ B. Si A, B ⊆ S entonces
A ∪ B ⊆ S.
Definición 1.2. Definimos la intersección entre conjuntos como
A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.
Obviamente A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B, A ∩ ∅ = ∅. Tenemos que A ∩ B = A si y sólo si
A ⊆ B. Si S ⊆ A y también S ⊆ B entonces S ⊆ A ∩ B.
Definición 1.3. Definimos el complemento de un conjunto A ⊆ U como
U \ A = {x : x ∈ U pero x 6∈ A}.
Cuando no haya ambigüedad sobre el conjunto total U también se puede denotar Ac al
complementario de A.
Por ejemplo, (−∞, 3)c = [3, +∞) (se supone que el total es R).
Se tiene que si A ∩ B = ∅ si y sólo si A ⊆ B c (o viceversa B ⊆ A, ya que (Ac )c = A).
2. El conjunto de los números reales
A continuación construiremos el conjunto de los números reales. Esta cuestión ha sido
abordada desde muy antiguo por grandes matemáticos, como Cantor, Cauchy, Dedekind,
Weierstrass, etc.
Existen multitud de formas de construir este conjunto. Algunas construcciones presentan un punto de vista algebraico, como por ejemplo la construcción axiomática, que
consiste en asumir una serie de supuestos o axiomas. Uno de los más destacados es el
Axioma de Completitud, el cual sólo se verifica si estamos en el cuerpo de los números
reales, y no en cuerpos más pequeños como los racionales. Esta manera de construirlos
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es la que se abordará en Teorı́a de Números, con lo cual en esta asignatura adoptaremos
una construcción más analı́tica.
Asumiremos la existencia de al menos dos números reales, y estableceremos una relación
de orden total entre los mismos, que verifica las siguientes propiedades (que en álgebra
denominan axiomas, porque estamos suponiendo que son ciertas). A continuación, dotamos al conjunto de los números reales las operaciones suma y producto, verificando una
serie de propiedades. En concreto:
(A) Existen al menos dos números reales.
Relación de orden:
(RO.1) Si x e y son dos números reales entonces debe suceder que x < y, x = y ó y < x.
‘<’se conoce como la relación ser menor que. La relación de orden es total.
Cuando x < y ó x = y escribiremos x ≤ y.
(RO.2) Si x, y, z son reales tales que x < y e y < z, entonces x < z.
Nota 2.1. Notamos que el tercer elemento existe por el siguiente axioma.
Propiedades respecto de la suma:
(S.1) (Conjunto cerrado para la suma). Si x e y son números reales, entonces existe un
único número real x + y que se conoce como la suma de x e y.
(S.2) (Conjunto asociativo para la suma) Se verifica que (x + y) + z = x + (y + z).
(S.3) (Conjunto conmutativo para la suma) Se verifica que x + y = y + x.
(S.4) Si x, y son reales entonces existe un número real z0 tal que x + z0 = y.
Propiedades respecto al producto:
(P.1) (Conjunto cerrado para la multiplicación) Si x, y son reales existe un número real
denotado por x · y ó simplemente xy, que llamamos el producto de x e y.
(P.2) (Conjunto asociativo para el producto) Se verifica que (xy)z = x(yz).
(P.3) (Conjunto conmutativo para el producto) Se verifica que xy = yx.
(P.4) Si x, y son números reales e y es tal que y + z 6= z para cierto z, entonces existe
un real u tal que yu = x.
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Respecto de las dos operaciones se cumple:
(D) (Conjunto que cumple la ley distributiva) Se verifica que x(y + z) = xy + xz.
Dos axiomas más respecto a la relación de orden
(RO.3) x < y implica que x + z < y + z.
(RO.4) Si x < y y u < v entonces xu + yv > xv + yu.
Veamos algunas propiedades, elementales pero importantes, que se deducen directamente de los axiomas anteriores.
Teorema 2.1. Cancelación:
(a) Si x + z ≤ y + z entonces x ≤ y.
(b) El número real verificando el axioma (S.4) es único.
Prueba. (a) Si x > y, (R0.3) implica x + z > y + z. (b) Por (a) intercambiando x por y
tenemos que si x + z = y + z entonces x = y, lo que prueba la unicidad de la suma. 2
Teorema 2.2. Existe un número real z tal que x+z = x se verifica para cualquier número
real x. Este número z es único.
Prueba. Sea a ∈ R un real. Por el axioma (S.4), con x = y = a existe un número z
tal que a + z = a. Probamos que entonces y + z = y para todo y ∈ R. Sabemos que
(a + z) + y = a + y luego a + (z + y) = a + y. Cancelamos a y obtenemos que y = z + y
para todo y ∈ R. Por último si z̃ es un número tal que y + z̃ = y para todo y ∈ R entonces
y + z̃ = y = y + z, que cancelando y nos dice que z̃ = z y por lo tanto unicidad.
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Definición 2.1. Elemento cero: El elemento z ∈ R que verifica x + z = x para todo
x ∈ R se le conoce como cero, y es el neutro para la suma.
Definición 2.2. Elemento inverso para la suma: Para cada x ∈ R el único elemento que
verifica x + y = 0 se le conoce como el opuesto de x para la suma, −x. Es obvio ver que
−(−x) = x. El inverso del elemento cero es él mismo, 0 = −0.
Como el elemento cero existe, entonces el elemento opuesto −x existe por el axioma
(S.4). La unicidad se obtiene de (b) del Teorema 2.1.
Teorema 2.3. Si x ∈ R entonces x0 = 0.
Prueba. Para cualquier y ∈ R xy + x0 = x(y + 0) = xy = xy + 0. Entonces, xy + x0 =
xy + 0, y cancelando xy (o lo que es equivalente, sumando el opuesto −xy) obtenemos el
resultado.
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Definición 2.3. Dados x, y ∈ R, definimos x − y como el único real c tal que x + c = y.
O equivalentemente x − y = x + (−y).
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M. PÉREZ-LLANOS
Definición 2.4. Un número real p > 0 se llama positivo si p > 0 y un real n se dice
negativo si n < 0.
Algunas propiedades inmediatas:
(a): Si x > 0 e y ≥ 0 entonces x + y > 0. Nótese que si x > 0 entonces x + y > y para
todo y ∈ R por (RO.3). Como suponemos y ≥ 0, por
(b) Si x > y y z > 0 entonces xz > yz (consecuencia inmediata del axioma (RO.4)).
(c) Si x > y y z < 0 entonces xz < yz (consecuencia inmediata del axioma (RO.4)).
(d) Cancelación para el producto : Si z 6= 0 y zx = zy entonces x = y. (Si por ejemplo,
x > y, si z < 0 entonces xz < yz, contradicción. El resto de los casos es similar.)
(e) El axioma (P.4) podrı́a enunciarse : (P.4)’ Si x, y son números reales e y 6= 0,
entonces existe un real u tal que yu = x.
Teorema 2.4. Elemento neutro para el producto: Existe un número real e 6= 0 tal que
ex = x para todo x ∈ R. Si x 6= 0 este número es único.
Prueba. Por el axioma (1) existe un real distinto de cero, a 6= 0. Por el axioma (P.4)’
existe un real e tal que ea = a. Por el Teorema 2.3 e 6= 0. Entonces veamos que ex = x
para todo x ∈ R. Tenemos que para todo x ∈ R (ae)x = ax y ası́ a(ex) = ax, que por
la cancelación para el producto prueba que ex = x para todo x ∈ R. Si ẽ es tal que
ẽx = x para todo x ∈ R, entonces ẽx = x = ex, lo cual da que e = ẽ nuevamente por la
cancelación para el producto.
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Definición 2.5. El elemento neutro para el producto se le llama uno, 1.
Teorema 2.5. Sean x, y ∈ R, xy = 0 si y sólo si, x = 0 o y = 0.
Prueba. Si x = 0 o y = 0 entonces xy = 0 por el Teorema 2.3. En particular, esto
prueba que si xy 6= 0, entonces x 6= 0 e y 6= 0. Si xy = 0, supongamos que x, y 6= 0
ambos. Entonces por las propiedades (b) y (c) anteriores tendrı́amos que el producto xy
es estrictamente positivo o negativo, dependiendo de los signos de x e y, lo cual es una
contradicción.
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Definición 2.6. Sean x, ∈ R, con y 6= 0. Entonces sabemos que existe q ∈ R tal que
yq = x. El número q se le conoce como x sobre y. Para cualquier x ∈ R con x 6= 0 al
número x−1 = 1/x se le conoce como el inverso de x.
Es inmediato probar las siguientes propiedades:
i) y(x/y) = x,
yy −1 = 1 = y(1/y) = y/y,
ii) xy −1 = x/y = x(1/y)
para todo y 6= 0,
(y −1 )−1 = y,
para todo y 6= 0,
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iii) x/1 = x, para todo x, 0/x = 0, para todo x 6= 0.
iv) Si x, y ∈ R tales que x < y entonces
x+y
< y.
x<
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En particular, entre dos números reales cualesquiera siempre existe un número
real.
ası́ como las conocidas reglas para la operación con fracciones
i) Si b, c 6= 0, entonces
a
ac
= ,
bc
b
ii) Si b, d 6= 0, entonces
a c
ac
· = ,
b d
bd
iii) Si c 6= 0,
a+b
a b
= + ,
c
c c
iv) Si b, d 6= 0, entonces
ad + bc
a c
+ =
,
b d
bd
v) Si b, d 6= 0, entonces
c
a
= ,
b
d
si y sólo si ad = bc.
vi) Si b 6= 0, entonces
−a
a
a
=− =
.
b
b
−b
Nota 2.2. Obsérvese que no podemos dividir por cero!!!! Hemos definido x/y con y 6= 0
como q tal que qy = x. Si y = 0 con x 6= 0 el número q no existe ya que qy = q0 = 0 6= x,
luego x/0 no está definido, para x 6= 0. Si tuviéramos que x = 0 también, entonces no
hay unicidad sobre el número q ya que 0q = 0 para todo q real, luego 0/0 tampoco está
bien definido. En cualquier caso, no se puede dividir por cero !!!!!
Un conjunto K de números, junto con las operaciones suma y producto y la relación de
orden total definida anteriormente, (K, +, ·, ≤), verificando los 14 axiomas anteriores se
denomina cuerpo totalmente ordenado. Veremos que los números reales son un cuerpo totalmente ordenado. Pero antes de esto, veamos que existe un cuerpo totalmente ordenado
en R, el de los números racionales.
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2.1. El conjunto de los números naturales. El conjunto de los números naturales, N,
está definido como {1, 2, 3, 4, · · · } donde 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, etc. Escribamos
este conjunto como lo hacı́amos anteriormente, como el conjunto de números que verifican
ciertas propiedades. Esto va a dar lugar a la definición de conjunto inductivo.
Definición 2.7. Un conjunto I ⊆ R se llama un conjunto inductivo de números reales si
y sólo si, (i) 1 ∈ I y (ii) si x ∈ I implica que x + 1 ∈ I para cada x ∈ R.
Obviamente el propio conjunto R es inductivo.
Algunos ejemplos de conjuntos inductivos [1, +∞), {1} ∪ [2, +∞), {1, 2, 3} ∪ [π, +∞),
etc.
Sea I la clase de todos los conjuntos inductivos que se pueden definir con elementos de
R. Consideremos los elementos de R que pertenecen a todos los conjuntos inductivos que
hay en R, esto es
\
Z+ =
I.
I∈I
Trivialmente Z+ ⊆ I para todo I ∈ I. Más aún, Z+ se trata del menor conjunto
inductivo definido en R. Notar que 1 ∈ I para todo I ∈ I, luego 1 ∈ Z+ . Y si x ∈ Z+
entonces x ∈ I para todo I ∈ I, y como son conjuntos inductivos tenemos que x + 1 ∈ I
para todo I ∈ I, luego x + 1 ∈ Z+ , ası́ que Z+ es inductivo y es el menor en el sentido
de que está incluido en todo conjunto que sea inductivo, como señalamos anteriormente.
De este hecho se desprende inmediatamente:
Proposición 2.1. Si I es un conjunto inductivo tal que I ⊂ Z+ entonces I = Z+ .
(Notar que la inclusión que falta nos la da la observación anterior).
Proposición 2.2. Z+ es el conjunto de números naturales N.
(Notar que como 1 ∈ I para todo I ∈ I entonces 2, 3, 4.... ∈ I para todo I ∈ I, luego
N ⊆ Z+ . La igualdad nos la da la Proposición anterior.)
Ya estamos en condiciones de establecer el Principio de Inducción que será de una
utilidad enorme en infinidad de razonamientos matemáticos.
Teorema 2.6. Si P (n) es una propiedad que se verifica para ciertos números naturales
que satisface (i) P (1) se cumple y (ii) Si P (n) es cierta entonces P (n + 1) es cierta,
tendremos que P (n) se cumple para todo n ∈ N.
Prueba. Sea I = {n ∈ N tales que P (n) se cumple }. Trivialmente I ⊆ N. Por hipótesis,
como P (1) es cierta 1 ∈ I. Si n ∈ I es porque P (n) es cierta, y por hipótesis P (n + 1)
también se cumple, lo que implica que n + 1 ∈ I. Esto es, I es un conjunto inductivo,
incluido en los naturales, luego I = N con lo que P (n) se satisface para todo n ∈ N. 2
Algunos ejemplos de cómo aplicar el Principio de Inducción.
Ejercicio 2.1. Pruébese que para todo m natural con m > 1, m − 1 es un natural.
Prueba. Por reducción al absurdo, supongamos que existe m ∈ N con m > 1 tal que
m − 1 6∈ N. Definimos I = {n ∈ N : n 6= m} ⊆ N. Por hipótesis, como m > 1 tenemos
CAPÍTULO I
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que 1 ∈ I. Supongamos ahora que n ∈ I. Por I ⊆ N n ∈ N y n 6= m. Estamos asumiendo
que m − 1 6∈ N con lo que entonces n 6= m − 1, o equivalentemente, n + 1 6= m. Esto
implica que n + 1 ∈ I. Por el Principio de Inducción, tenemos que I = N. Pero m − 1 6∈ N
y sin embargo m − 1 6= m con lo que m − 1 ∈ I. Hemos llegado a una contradicción, que
prueba el resultado.
2
Ejercicio 2.2. Pruébese que para todo m natural con m > n, m − n es un natural.
Indicación: Usar el ejercicio anterior y el Principio de Inducción sobre n.
Ejercicio 2.3. Si n ∈ N no existe ningún natural m tal que n < m < n + 1.
Prueba. Si existiera tal m se tendrı́a que 0 < n − m < 1. Por el Ejercicio 2.2 n − m ∈ N,
lo cual es una contradicción.
2
Ejercicio 2.4. Si m y n son naturales tales que m > n. Entonces m ≥ n + 1.
Prueba. Si m < n + 1 tendrı́amos por hipótesis que n < m < n + 1, lo cual es una
contradicción, como se probó en el ejercicio anterior.
2
A continuación vamos a probar el Principio de Buena Ordenación para los números
naturales.
Teorema 2.7. Todo conjunto no vacı́o de naturales tiene un elemento mı́nimo.
Prueba. Supongamos que existe un I ⊆ N para el cual no existe un elemento mı́nimo.
Definimos T = {n ∈ N : n < k se verifica para todo k ∈ I}. Si tuviéramos que 1 ∈ I el
conjunto I tendrı́a elemento mı́nimo. Luego 1 6∈ I. Esto implica que k > 1 para todo
k ∈ I y por tanto 1 ∈ T . Supongamos que n ∈ T . Si n + 1 6∈ T entonces n + 1 serı́a el
elemento mı́nimo para I luego n + 1 ∈ T . Esto prueba que T = N, con lo que I = ∅. Si
existiera un elemento k0 ∈ I ⊆ N = T , luego k0 < k0 , absurdo. Hemos probado que si un
conjunto de números naturales no está minorado, es el vacı́o.
2
2.2. El conjunto de los números enteros.
Observemos que, por ejemplo, las definiciones 2.1 y 2.2 carecen de sentido para los
números naturales. Definimos el conjunto de los números enteros, que se denota por Z
(del alemán Zahl, número), como
−
Z = N ∪ {0} ∪ {−n : n ∈ N} = Z+ ∪ {0} ∪ Z− = Z+
0 ∪Z .
Los números naturales también se conocen como enteros positivos, de ahı́ la notación
anterior Z+ . También se trata de un conjunto inductivo y también presenta un Principio
de Inducción.
2.3. El conjunto de números racionales.
Un número racional es aquel que puede ser representado como r = pq , donde p, q ∈ Z,
q 6= 0. Se denota por Q = Q− ∪ Q+
0 , (del inglés, quotient).
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M. PÉREZ-LLANOS
Nótese que n = n/1 y −n = −n/1, luego Z ⊆ Q. Pero se trata de un subconjunto
propio, Z ⊂ Q, ya que por ejemplo 1/2 6∈ Z. Dado que 1/2 > 0 se tiene que 1/2 6∈ Z− ∪{0}.
Pero tampoco 1/2 ∈ N ya que 1/2 < 1.
h i
Se denomina función parte entera de un número racional, pq = max{n ∈ N : n ≤ pq }
h i
si pq ≥ 0. Obsérvese que pq + 1 > pq . Cuando pq < 0 la función parte entera se puede
h i
definir pq = − max{n ∈ N : n ≤ − pq }.
Diremos que r = pq es irreducible si mcd(p, q) = 1, donde mcd(p, q) denota el máximo
común divisor entre p y q.
Los denominados números combinatorios son un ejemplo de racionales. Se definen
como
n!
n
,
=
m
m!(n − m)!
(n > m) y se lee n sobre m. El sı́mbolo ! indica número factorial y se define como
n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n.
Puede comprobarse fácilmente que el conjunto de 14 axiomas que dimos se verifica
para los números racionales. En particular, entre dos números racionales existe siempre
un número racional.
Se puede probar que cualquier cuerpo ordenado contiene al cuerpo de números racionales.
Como ejemplo de cuerpo no ordenado tenemos el cuerpo de los números complejos C, en
el cual existe un elemento i tal que i2 = −1. No se puede dotar de estructura de cuerpo
ordenado, porque en un cuerpo ordenado el cuadrado de cualquier número es siempre
positivo (demostrarlo). En particular −1 y 1 serı́an ambos positivos, y entonces 1 serı́a
simultáneamente positivo y negativo, lo cual es absurdo.
Propiedad Arquimediana de los números racionales. Para cualquier
existe un número natural n tal que n > pq .
p
q
∈ Q
p
q
> 0 ya que si no el resultado es trivial. Supongamos que
h i
h i
existe pq00 ≥ n para todo n ∈ N. Pero pq00 + 1 ∈ N y se tiene que pq00 + 1 > pq00 , lo cual es
absurdo.
2
Prueba. Asumimos que
Nota 2.3. Como consecuencia inmediata de la propiedad Arquimediana se tiene que dados
dos racionales positivos cualesquiera, r1 , r2 ∈ Q, r1 , r2 > 0, existe n ∈ N tal que nr1 > r2 .
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Nota 2.4. Como consecuencia inmediata de la propiedad Arquimediana tenemos:
i) Dados dos racionales positivos cualesquiera, r1 , r2 ∈ Q, r1 , r2 > 0, existe n ∈ N
tal que nr1 > r2
ii) Dado r ∈ Q, con r > 0 existe n ∈ N tal que r > n1 .
En conclusión, (Q, +, ·) es un cuerpo totalmente ordenado que satisface la propiedad
Arquimediana.
2.4. Insuficiencia de los números racionales.
Ya tenemos construido un cuerpo con una relación de orden total, que además verifica que entre dos racionales cualesquiera siempre existe otro racional. Sin embargo aún
nos faltan multitud de números para cubrir toda la recta. El siguiente ejemplo nos lo
demuestra.
√
Sea 2. Supongamos
√ que existe un número racional, sin pérdida de generalidad irreducible, tal que pq = 2. Entonces p2 = 2q 2 , ası́ que p debe ser par, es decir p = 2q 0 .
Este hecho se prueba demostrando que el cuadrado de números impares es impar, ya que
(2k + 1)2 = 4K 2 + 2k + 1, que es claramente impar. Pero entonces p2 = 4(q 0 )2 = 2q 2 , de
donde se deduce que q 2 = 2(q 0 )2 y por lo mismo de antes, q es par. Pero pq era irreducible,
contradicción.
Este es un ejemplo de número que no pertenece a los racionales. Este conjunto de
números se llama irracionales y se denota por R \ Q.
2.5. Sucesiones
de números racionales.
√
Aunque 2 ∈ R \ Q veamos que
√ existe una sucesión de números racionales que se
aproxima tanto como queramos a 2, o en general a la raı́z cuadrada de cualquier número
racional. Se llama algoritmo babilónico.
Definición 2.8. Una sucesión de números racionales es una aplicación f : N → Q, que
a cada elemento n ∈ N le hace corresponder un elemento an ∈ Q. Se denotan {an }n∈N , y
an se denomina término general de la sucesión.
√
Queremos aproximar el valor de S. Llamemos x0 nuestro primer candidato, que
tendrá un error e de aproximación, es decir S = (x0 + e)2 = x20 + 2x0 e + e2 . Entonces
S−x2
S−x2
e = 2x0 +e0 ∼ 2x00 , porque al ser un error, estimamos que e x0 . Mejoremos nuestra
estimación anterior
S − x20
S + x20
1 S
x1 = x0 + e = x0 +
=
=
+ x0 .
2x0
2x0
2 x0
Repetimos el procedimiento hasta que alcancemos la precisión deseada,
√
x0 ∼ S · ··
S
· · · xn = 12 xn−1
+ xn−1 .
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M. PÉREZ-LLANOS
La sucesión {xn } es una sucesión dada de manera recurrente (el término n-ésimo viene
en función de los términos anteriores...), pero dependerá del valor que tomemos como
inicial. Se podrá demostrar que, eligiendo el primer
término de forma adecuada, es una
√
sucesión cuyos términos se aproximan al valor S.
Limitémonos por ahora a observar los primeros términos √
de esta sucesión cómo evolu6
cionan cuando tomamos x0 = 1.2 = 5 y tratamos de hallar 2.
x0 = 1.2,
2
+ x0 = 1.433333333333,
x0
1 2
x2 =
+ x1 = 1.41434108527,
2 x1
1 2
x3 =
+ x2 = 1.41421356812,
2 x2
√
con las primeras ocho cifras decimales exactas, pues 2 ∼ 1.41421356237 · · · .
Con los números racionales no cubrimos toda la recta, pero veremos que con los
racionales y el lı́mite de sucesiones de racionales sı́ la cubrimos.
1
x1 =
2
Definición 2.9. Una sucesión de números racionales {an }, se dice que tiene por lı́mite
` ∈ Q si para cada ε > 0 existe n0 tal que |an − `| < ε para todo n ≥ n0 . Este hecho se
denota limn→∞ an = `. El ı́ndice n0 dependerá del ε.
Teorema 2.8. Si una sucesión tiene lı́mite, este es único.
Prueba. Suponiendo que `1 y `2 son dos lı́mites para {an }, entonces existen n1 , n2 ∈ N
tales que |an − `1 | < ε para todo n ≥ n1 y |an − `2 | < ε para todo n ≥ n2 . Sea
n0 = max{n1 , n2 }. Para todo n ≥ n0 tenemos que |`1 − `2 | ≤ |an − `1 | + |an − `2 | ≤ 2ε.
Como esto se verifica para todo ε > 0, llegamos a que `1 = `2 , probando ası́ la unicidad
del lı́mite.
2
Teorema 2.9. Sea {an } → `, ` ∈ Q. Entonces existe K ∈ Q tal que |an | ≤ K para todo
n ∈ N. Se dice que la sucesión está acotada.
Prueba. Por la definición de lı́mite, tomando un ε concreto, por ejemplo, para ε = 1,
existirá n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 se tiene que |an − `| < 1.
Ası́ que |an | ≤ |an − `| + |`| ≤ 1 + |`|. Tómese k = max{|a0 |, · · · |an0 −1 |, 1 + |`|}.
2
Teorema 2.10. Si {an } → a y {bn } → b, se cumple entonces que {an + bn } → a + b y
{an · bn } → a · b.
CAPÍTULO I
13
Prueba. Para ε > 0 existen n0 , n1 tales que
|an − a| < ε/2 para todo n ≥ n0 ,
|bn − b| < ε/2 para todo n ≥ n1 .
Tomando n = max{n0 , n1 } tenemos |an + bn − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < ε.
Por el Teorema anterior sabemos que existe K ∈ Q tal que |an | ≤ K. Por otro lado,
|an bn − ab| ≤ |an bn − an b| + |an b − ab| = |an ||bn − b| + |b||an − a|. De la definición de lı́mite
tenemos que existirá n0 suficientemente grande tal que para todo n ≥ n0 se verifica
ε
ε
|bn − b| <
,
|an − a| <
2|b|
2K
con lo que |an bn − ab| ≤ ε, como querı́amos demostrar.
2
Teorema 2.11. Si una sucesión {an } tiene lı́mite, entonces para cada ε > 0 existe un n0
tal que para todo n, m ≥ n0 se verifica que |an − am | < ε.
Prueba. Si n, m ≥ n0 , por la definición de lı́mite |an − am | = |an − ` + ` − am | ≤
|an − `| + |am − `| < ε/2 + ε/2.
2
n+2
La sucesión (−1)n n+1
no tiene lı́mite, ya que la diferencia entre un término par y un
impar siempre es mayor que uno.
Definición 2.10. Diremos que una sucesión {an } es de Cauchy si para cada ε > 0 existe
un n0 tal que para todo n, m ≥ n0 se verifica que |an − am | < ε.
El Teorema anterior dice pues que toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.
Además es bastante más sencillo probar que una sucesión es de Cauchy, ya que no es
necesario conocer su lı́mite. Por esta razón serı́a deseable que ser sucesión de Cauchy
implicara ser convergente. Sin embargo este hecho no es verdad en los racionales: vamos
a ver un ejemplo de sucesión de Cauchy de números racionales, cuyo lı́mite no puede ser
un número racional.
Sea la sucesión cuyo término general viene dado por an = 1 + 1!1 + 2!1 + · · · +
m > n tenemos
1
1
1
|an − am | =
+
+ ··· +
(n + 1)! (n + 2)!
m!
1
1
1
=
1+
+ ··· +
(n + 1)!
(n + 2)
m(m − 1) · · · (n + 2)
1
2
1
1
1
≤
1 + + 2 · · · + m−n−1 <
.
(n + 1)!
2 2
2
(n + 1)!
1
.
n!
Para
Esto prueba que |an − am | se hace pequeño cuando m, n grandes. Es una sucesión de
Cauchy y sin embargo vamos a ver que el lı́mite no puede ser racional. Para ello demostramos el siguiente lema.
14
M. PÉREZ-LLANOS
Lema 2.1. Sea {an } → a. Si c ≤ an ≤ d para todo n ≥ n0 entonces c ≤ a ≤ d.
Prueba. Si fuese a > d elegimos ε = a − d para el cual debe existir un ı́ndice n1
tal |an − a| < a − d para todo n ≥ n1 . Tomado n ≥ max{n0 , n1 } se tiene que an =
a − (a − an ) ≥ a − |a − an | > a − (a − d) = d, absurdo. La demostración de c ≤ a se
concluye de forma análoga.
2
1
1
1
Regresando al ejemplo de la sucesión an = 1 + 1! + 2! + · · · + n! , suponiendo que tuviera
por lı́mite cierto pq ∈ Q obtendrı́amos
0<
p
2
− an ≤
.
q
(n + 1)!
Elegimos n > q y multiplicamos la desigualdad anterior por n! obtenemos
p
2
0 < n! − n!an ≤
.
q
n+1
Pero al haber tomado n > q ambos n! pq , n!an son naturales, lo que es una contradicción
2
porque n+1
< 1.
2.6. Axioma de Completitud de los números reales.
Definición 2.11. Definimos el conjunto de los números reales como un conjunto que respecto de las operaciones suma y producto es un cuerpo ordenado (mediante la relación
≤), que verifica la Propiedad Arquimediana y en el que toda sucesión de Cauchy es convergente. Esto es, un cuerpo completo por sucesiones.
Nota 2.5. El supuesto por el que toda sucesión de Cauchy es convergente en los reales se
denomina Axioma de Completitud.
Veamos algunas consecuencias importantes de esta definición y en particular del Axioma
de Completitud. Para ello debemos de introducir las siguientes nociones de acotación de
conjuntos.
Definición 2.12. Un conjunto S ⊆ R se dice acotado inferiormente si existe un número
real ` tal que si x ∈ S se tiene que x ≥ `. A ` se le conoce como cota inferior de S.
Definición 2.13. Un conjunto S ⊆ R se dice acotado superiormente si existe un número
real u tal que si x ∈ S se tiene que x ≤ u. A u se le conoce como cota superior de S.
Definición 2.14. Un conjunto S ⊆ R se dice acotado si existen números reales `, u tales
que si x ∈ S se tiene que ` ≤ x ≤ u.
Por ejemplo, el intervalo (−∞, 3) es un intervalo acotado superiormente y no es acotado
inferiormente. El intervalo [−2, 1) está acotado superior e inferiormente. −4 es una cota
inferior de [−2, 1) porque para todo x ∈ [−2, 1) tenemos que x ≥ −4. Aunque también
−π, −3, −2 etc son cotas inferiores para dicho intervalo. El número de cotas inferiores o
superiores de un conjunto de números reales puede ser infinito. Sin embargo, de todas las
cotas inferiores para [−2, 1) −2 es la mayor de ellas, y además pertenece al conjunto. Se
CAPÍTULO I
15
denominará mı́nimo. Sin embargo, la menor de las cotas superiores para [−2, 1) es 1 (ya
que para cualquier otro u < 1 existirı́an reales entre u y 1 pertenecientes a [−2, 1) por
encima de u, absurdo), que no pertenece al conjunto.
Definición 2.15. Denominamos ı́nfimo de un conjunto acotado inferiormente a la mayor
de las cotas superiores del conjunto. Cuando además el ı́nfimo pertenece al conjunto, lo
denominamos mı́nimo.
Definición 2.16. Denominamos supremo de un conjunto acotado superiormente a la
menor de las cotas inferiores del conjunto. Cuando además el supremo pertenece al conjunto, lo denominamos máximo.
Nota 2.6. Como consecuencia inmediata, de existir, el supremo/máximo y el ı́nfimo/mı́nimo
de un conjunto de números reales, es único.
Nota 2.7. Si existe M =máximo de cierto conjunto S, entonces M = sup S. El recı́proco
no es cierto. Análogamente, si existe m=mı́nimo de cierto conjunto S, entonces m =
inf S. El recı́proco no es cierto.
Teorema 2.12. Sea λ = inf S, entonces para todo ε > 0 existe un elemento x ∈ S tal
que x ≤ λ + ε.
Prueba. Supongamos que existe un ε0 > 0, tal que para todo x ∈ S tenemos que
x > λ + ε0 . Entonces λ + ε0 se trata de una cota inferior para S. Pero λ + ε0 > λ = inf S,
que es la mayor de las cotas inferiores, absurdo.
2
Teorema 2.13. Todo conjunto no vacı́o de números reales que está acotado superiormente
(resp. inferiormente) tiene supremo (resp. mı́nimo).
Lo demostramos en dos pasos:
Teorema 2.14. Todo conjunto no vacı́o de números reales que está acotado superiormente
tiene supremo.
Prueba. Sea S ∈ R un conjunto acotado superiormente, con k0 una cota superior de S
y s0 ∈ S. Consideremos el intervalo
[s0 , k0 ] = {x ∈ R : s0 ≤ x ≤ k0 } := I0 .
Lo dividimos en dos subintervalos de igual longitud:
s0 + k0
s0 + k0
y
, k0 .
s0 ,
2
2
s +k
0
0
Designamos
por
I
,
k
1 =
0 si éste contiene elementos de S. Caso contrario, I1 =
2
s +k s0 , 0 2 0 . Repetimos este proceso de dividir los intervalos en el punto medio, siempre
quedándonos con el más hacia la derecha posible, siempre que tenga elementos de S.
Conseguimos ası́ una sucesión de intervalos encajados
[s0 , k0 ] ⊃ [c1 , k1 ] ⊃ [c2 , k2 ] ⊃ · · · ⊃ [cn , kn ] · · ·
16
M. PÉREZ-LLANOS
donde
i) para todo kn es una cota superior de S;
ii) en todo intervalo In hay elementos de S;
0
iii) kn − cn = k02−s
n .
Tomando sn ∈ In ∩ S, la sucesión {sn } es de Cauchy: Si m < n, ambos suficientemente
0
grandes, tenemos |sm − sn | ≤ km − cm = k02−s
< ε, esta última desigualdad por la
m
Propiedad Arquimediana, véase (ii) de la Nota 2.4. Por el Axioma de Completitud, {sn }
tiene lı́mite ` ∈ R. Además como In ⊃ In+1 ⊃ · · · ⊃ In+m tendremos que cn ≤ sn+m ≤ kn .
Tomando m → ∞ por el Lema 2.1 sabemos que cn ≤ ` ≤ kn .
Veamos primero que ` es una cota superior de S. Supongamos que existe s ∈ S tal que
0
para n suficientemente grande encontramos un kn
s > `. Como kn − ` ≤ kn − cn ≤ k02−s
n
tal que ` ≤ kn < s. Pero kn son cotas superiores para S, lo cual es absurdo.
Terminamos la prueba demostrando que ` se trata del supremo para S, viendo que es
la menor de las cotas superiores. Supongamos que existe `˜ < ` que es cota superior. Por
el razonamiento anterior, existirá n suficientemente grande tal que `˜ < cn ≤ `. Pero como
por costrucción cada intervalo [cn , kn ] contiene elementos de S tenemos elementos de S
˜ con lo que no puede haber una cota superior menor que `.
mayores que `,
2
Teorema 2.15. Todo conjunto no vacı́o de números reales que está acotado inferiormente
tiene ı́nfimo.
Prueba. Sea S tal conjunto y sea B el conjunto de cotas inferiores. Por hipótesis S 6= ∅
y B 6= ∅. En particular existe x0 ∈ S y será tal que x0 ≥ b para todo b ∈ B. Es
decir, x0 es una cota superior para B, luego B es un conjunto de números reales acotado
superiormente. Por el teorema anterior existe un número real λ = sup B.
Vamos a comprobar que este supremo será el ı́nfimo para el conjunto S que estamos
buscando.
Supongamos que existe un x̃ ∈ S tal que x̃ < λ. Esto implica que x no es una cota
superior para B, luego existirá un b̃ ∈ B tal que b̃ > x̃. Esto es imposible pues b̃ ∈ B y
x̃ ∈ S, luego x̃ ≥ b̃. Hemos probado que x ≥ λ para todo x ∈ S, con lo que λ es una cota
inferior de S.
Para ver que de hecho es el ı́nfimo para S, debemos probar que se trata de la mayor
de las cotas inferiores. Sea ` otra cota inferior para S. Entonces ` ∈ B. Pero entonces
` ≤ λ = sup B. Esto prueba que λ = inf S.
2
Nota 2.8. Dar una demostración alternativa usando el ejercicio 9 de la hoja 1 de problemas y el Teorema 2.14.
Proposición 2.3. Sea {an } una sucesión monótona creciente (resp. decreciente) acotada
superiormente (resp. inferiormente). Entonces
lim an = ` ∈ R.
n→∞
Prueba.Realizamos la prueba en el caso creciente, ya que el caso decreciente se puede
argumentar de manera análoga. Por un lado tenemos que an+1 ≥ an para todo n. Como
CAPÍTULO I
17
está acotada superiormente, por el resultado anterior sabemos que existe S = sup({an }).
Por ser supremo verifica que S ≥ an para todo n y además ∀ε > 0 existe un an0 ∈ {an }
tal que S − ε ≤ an0 ≤ an ≤ S, para n ≥ n0 usando el crecimiento de la sucesión. Hemos
demostrado que
lim an = S = sup({an }).
n→∞
2
Proposición 2.4. Toda sucesión de Cauchy está acotada.
Prueba. Si {an } es de Cauchy, para ε = 1 existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0
tenemos |an | ≤ |an − an0 +1 | + |an0 +1 | ≤ 1 + |an0 +1 |.
2
2.7. Tres definiciones de R. La recta real se puede definir como el conjunto de números
que es un cuerpo totalmente ordenado para las operaciones +, · y la relación de orden ≤
que además:
(1) Que es completo para sucesiones de Cauchy.
O bien,
(2) en el que todo conjunto acotado superiormente (resp. inferiormente) tiene supremo
(resp. ı́nfimo).
O bien,
(3) en el que toda sucesión monótona creciente (resp. decreciente) acotada superiormente (resp. inferiormente) tiene lı́mite en R.
Estas tres definiciones serı́an equivalentes.
2.8. Densidad de Q y de R \ Q en R.
Teorema 2.16. Entre dos números reales existe siempre un número racional y uno irracional.
Prueba. Sin pérdida de generalidad, nos limitamos al caso de reales x, y > 0, ya que
los otros casos se podrı́an reducir fácilmente a este. Si 0 < x < y por la propiedad
arquimediana de los naturales existe n ∈ N tal que n1 < y − x. Tomamos ahora m ∈ N
tal que m − 1 ≤ nx < m, (nx ∈ R y dado cualquier real se encuentra siempre entre dos
naturales, por la propiedad arquimediana y la relación de orden). Entonces,
m 1
m
− ≤x< ,
n
n
n
luego x <
m
1
≤ x + < y.
n
n
Falta demostrar la existencia de un número irracional entre x e y. Para ello tomamos
un irracional positivo s ∈ R \ Q y consideramos el siguiente par de números reales xs y ys .
Por el caso anterior sabemos que existe un racional r ∈ Q tal que xs < r < ys . Esto implica
que x < rs < y luego rs es el número irracional entre x e y que estábamos buscando. 2
18
M. PÉREZ-LLANOS
2.9. El número de Euler. Se conoce por número de Euler, e al lı́mite de la sucesión
que estudiemos anteriormente
an = 1 +
1
1
1
+ + ··· + .
1! 2!
n!
(2.1)
Ya vimos que era una sucesión de Cauchy, luego es convergente en los reales. Ya demostramos también que su lı́mite no podı́a ser racional, e 6∈ Q.
En realidad, hemos aproximado el número e por una serie, esto es, una sucesión cuyo
término general es una sumatoria, para la cual el número de sumandos crece con n.
Estudiaremos este tipo especial de sucesiones más adelante.
Veamos que la siguiente sucesión también aproxima al número e:
n 1
{bn } =
1+
.
(2.2)
n
Para ello necesitaremos los siguientes resultados, que van a ser de utilidad en adelante
para calcular otros lı́mites.
Lema 2.2. Sean las sucesiones {an } → a y {bn } → b. Si an ≤ bn para todo n ≥ n0
entonces a ≤ b.
Prueba.Supongamos que a > b, y denotemos 2δ = a − b. Como {an } → a para todo
n ≥ n1 an − b > δ. Por otro lado, observamos que entonces bn ≥ b para n ≥ n1 , ya que de
otro modo tendrámos que bn < an , lo cual no es posible. Como también {bn } → b existirá
n2 ∈ N tal que bn − b < 2δ , para n ≥ n2 . Tomemos n3 = max{n0 , n1 , n2 }, para n ≥ n3 se
verifica
b n − an = b n − b + b − an <
lo cual es una contradicción.
δ
− δ < 0,
2
2
Nota 2.9. Aunque tuviéramos an < bn para todo n ≥ n0 sólo podemos afirmar a ≤ b.
Es decir, tomando lı́mites perdemos las desigualdades estrictas. Contraejemplo an = 0 y
bn = n1 , o bien an = − n1 y bn = n1 .
Lema 2.3. Sandwich: Sean {an }, {bn }, {cn } tres sucesiones verificando que an ≤ bn ≤
cn para n ≥ n0 . Entonces, si {an } → ` y {cn } → ` la sucesión {bn } también es convergente
y tiene por lı́mite `.
Prueba. Por la convergencia, tenemos que para todo ε > 0 existe n0 tal que an , cn ∈
(` − ε, ` + ε) para todo n ≥ n0 . Pero entonces también, para todo ε > 0 existe n0 tal que
bn ∈ (` − ε, ` + ε) para todo n ≥ n0 , lo que prueba la convergencia.
2
Ya estamos en condiciones de probar que las sucesiones (2.1) y (2.2) tienen el mismo
lı́mite.
CAPÍTULO I
19
n X
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
+
bn =
=1+
+
+ ··· +
k
2
3
2 n
k n
1 n
3 n
n nn
k=0
=1+n
1
n!
1
1
n!
n! 1
+
+
+
·
·
·
+
n 2!(n − 2)! n2 3!(n − 3)! n3
n! nn
1 n(n − 1)(n − 2)
1 n(n − 1) · · · 1
1 n(n − 1)
+
+ ··· +
2
3
2!
n
3!
n
n!
nn
= 1 + 1 + 2!1 1 1 − n1 + 3!1 1 1 − n1 1 − n2 + · · · + n!1 1 1 − n1 1 − n2 · · · 1 −
=1+1+
n−1
n
n−1 k
X
1
1
1
1
≤ 1 + + + ··· +
= an ≤ 1 +
≤ 3.
1! 2!
n!
2
k=0
En particular tenemos que la sucesión {bn } está acotada superiormente. Demostremos
que la sucesión {bn } es creciente.
Para ello veamos que bn+1
> 1. En efecto,
bn
n n+1 n
n
1
1
= 1+
1−
.
n+1
n+1
n+1
1
Multiplicando y dividiendo por 1 − n+1
y utilizando (a + b)(a − b) = a2 − b2 deducimos
que
n+1
1
n+1
1
−
1 − (n+1)
2
(n+1)2
bn+1
>
= 1.
=
1
1
bn
1 − n+1
1 − n+1
bn+1
=
bn
1+
1
n+1
n+1 En el penúltimo paso hemos usado la desigualdad de Bernouilli (Ejercicio 6, Hoja 1 para
1
x = − (n+1)
2 > −1 y en el caso n + 1 en vez de en el caso n).
Creciente y acotada superiormente, tenemos que {bn } → `. Además como bn ≤ an
sabemos que ` ≤ e. Nos falta probar la desigualdad opuesta. Para ello únicamente
observamos que si n > m se tiene
1
bn ≥ 1 + 1 + 2!1 1 1 − n1 + 3!1 1 1 − n1 1 − n2 + · · · + m!
1 1 − n1 1 − n2 · · · 1 − m−1
.
n
Dejando m fijo y tomando n → ∞ en la expresión anterior,
`≥1+
1
1
1
+ + ··· +
= am .
1! 2!
m!
Si a continuacón tomamos lı́mite cuando m → ∞ se obtiene ` ≥ e quedando probado que
n 1
= e.
lim {bn } = lim
1+
n→∞
n→∞
n
20
M. PÉREZ-LLANOS
2.10. La función exponencial. Recapitulando,
ya vimos que era posible aproximar la
√
raı́z cuadrada de un número a > 0, a, por sucesiones de racionales mediante el algoritmo
babilónico.
En general, existen algoritmos con los que se puede construir sucesiones de números
1
racionales aproximando la raı́z k-ésima de un número, a k .
Mediante la operación producto (véase que el producto de sucesiones de Cauchy es una
p
sucesión de Cauchy, Teorema 3.1 más adelante), podemos aproximar a q , para cualquier
p
∈ Q (si es negativo es mediante el inverso para el producto).
q
Definición 2.17. Sea a > 0. Para x ∈ R definimos la función
pn
pn
x
q
donde
→ x.
a = lim a n ,
n→∞
qn
Para ver que esta definición es correcta, necesitamos los siguientes resultados.
Lema 2.4. Sea a > 0,
1
{a n } → 1, cuando n → ∞
Prueba. Consideramos primero el caso a > 1. Queremos ver si ∀ε > 0 existe n0 ∈ N
1
1
tal que |a n − 1| = (a n − 1) < ε para n ≥ n0 . Eso sucede si y sólo si, a < (ε + 1)n para
n ≥ n0 . Pero observemos que
n n X
X
n k
n k
n
(ε + 1) =
ε = 1 + nε +
ε > 1 + nε.
k
k
k=0
k=2
Luego,
dado
ε > 0 es suficiente encontrar un natural tal que a < (1 + nε). Podemos tomar
n0 = a−1
+ 1 y esto completa la prueba en el caso a > 1.
ve
Para el caso 0 < a < 1, observamos que
1
1
1
1
1
an = a n = 1 = 1 = 1 → = 1,
1 n
1
1
bn
an
donde se ha usado que b =
1
a
a
> 1 y el caso anterior.
2
Lema 2.5. Sea {rn } una sucesión convergente de números racionales. Entonces, para
a > 0 la sucesión {arn } también es convergente.
Prueba. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que a > 1, yaque de otro modo
1
podemos reducirlo como anteriormente tomando la sucesión
. Veo que es una
r
( a1 ) n
sucesión de Cauchy:
Sea rn > rm , entonces
|arn − arm | = arm |arn −rm − 1|.
Como {rn } es convergente está acotada |rn | ≤ C luego |arn | ≤ aC = C̃ también está
acotada. Además {rn } es de Cauchy, luego para todo k ∈ N existe n0 ∈ N tal que
|rn − rm | <≤ k1 para m, n ≥ n0 .
CAPÍTULO I
21
En consecuencia,
1
|arn − arm | ≤ K̃|arn −rm − 1| ≤ C̃|a k − 1| < ε,
2
por el resultado anterior. Como {arn } es de Cauchy entonces es convergente.
0
La definición 2.17 es correcta en el sentido de que si {rn } y {rn } son dos sucesiones
convergiendo a x entonces
0
lim arn = lim arn .
n→∞
n→∞
En efecto,
0
0
1
0 ≤ |arn − arn | = arn |1 − arn −rn | ≤ C|1 − a k | < ε.
Propiedades:
(1) ax · ay = ax+y .
(2) (a · b)x = ax · bx .
(3) (ax )y = axy .
(4) Si a > 1 (resp. si a < 1) y tenemos que x < y entonces ax < ay (resp. ax > ay ).
La exponencial de base mayor que uno es creciente y con base menos que uno
decreciente.
(5) Si a < b y x > 0 (resp. x < 0) entonces ax < bx (resp. ax > bx ).
(6) Si a > 1 para cada positivo K ∈ R existe x ∈ R suficientemente grande tal que
ax > K. Si a < 1 para cada ε > 0 existe x ∈ R suficientemente grande tal que
ax < ε.
3. Apéndice al capı́tulo primero
A partir de aquı́ no es necesario para este curso.
En realidad definir los números reales como lı́mites de sucesiones de números racionales
no es una definición correcta del todo. Tengamos en cuenta que pueden existir muchas
sucesiones de Cauchy distintas de número racionales que convergen al mismo número real,
con lo que se trabajará con clases de equivalencia y la recta real será un conjunto cociente.
Teorema 3.1. La suma y el producto de dos sucesiones de Cauchy es también una
sucesión de Cauchy.
Prueba. Para ε > 0 existen n0 , n1 tales que
|an − am | < ε/2 para todo n, m ≥ n0 ,
|bn − bm | < ε/2 para todo n, m ≥ n1 .
Tomando n2 = max{n0 , n1 } tenemos
|an + bn − (am + bm )| ≤ |an − am | + |bn − bm | < ε.
Para el producto razonamos ası́:
|an bn − am bm | = |an bn − an bm + an bm − am bm | ≤ |an ||bn − bm | + |an − am ||bm |
≤ |k|ε/2 + |k|ε/2 ≤ ε̃.
22
M. PÉREZ-LLANOS
Hemos utilizado la Proposición 2.4, por la cual sabemos que |an |, |bm | están acotados. 2
Las propiedades de las operaciones suma y producto como la conmutativa, asociativa,
distributiva se verifican como consecuencia de que las mismas propiedades son ciertas en
Q. El elemento neutro para la suma es la sucesión constantemente cero y para el producto
la sucesión constantemente igual a uno. Y el elemento opuesto para la suma de {an } será
{−an}.
De esta forma el conjunto de sucesiones de Cauchy, A, tiene estructura de anillo con
elemento unidad.
Sin embargo, el conjunto de sucesiones de Cauchy no es un cuerpo. La sucesión { n1 } es
de Cauchy y no tiene inverso para el producto, pues {n} no es una sucesión de Cauchy.
En este punto surge la necesidad de considerar la siguiente partición de A.
Definición 3.1. Decimos que una sucesión de Cauchy es positiva si a partir de cierto n
en adelante an > δ > 0, para cierto δ > 0 fijo. Decimos que una sucesión de Cauchy es
nula si {an } → 0. Decimos que una sucesión de Cauchy es negativa si a partir de cierto
n en adelante an < −δ < 0, para cierto δ > 0 fijo.
Se puede demostrar que A = N ∪ P ∪ Y, donde N , P, Y son el conjunto de sucesiones
negativas, positivas y nulas respectivamente, se trata de una partición del anillo A (los
conjuntos anteriores tienen intersección nula, dicho de otro modo).
Proposición 3.1. El conjunto Y de sucesiones de Cauchy nulas es un ideal del anillo A.
Prueba. El producto de un elemento de A por uno de Y queda en Y. En efecto, si
{an } ∈ Y y {bn } ∈ A, por ser de Cauchy |bn | < K, para todo n. Entonces, |an bn | ≤
K|an | ≤ Kε, que tiende a cero.
La suma de dos sucesiones nulas, {an }, {bn } ∈ Y es trivialmente otra sucesión nula. 2
Observemos que para identificar un elemento α ∈ R con un lı́mite de sucesiones de
Cauchy, necesitamos identificar α con el conjunto de sucesiones de Cauchy que tengan
por lı́mite α. Este conjunto se llamará clase de equivalencia y la relación de equivalencia
será la que definimos a continuación.
Definición 3.2. Definimos la siguiente relación de equivalencia en A:
{an } ∼ {bn }
si y sólo si
{an − bn } ∈ Y.
Las propiedades reflexiva, transitiva y simétrica se demuestran fácilmente.
Designamos por {ãn } al elemento del conjunto cociente formado por todas las sucesiones
equivalentes a {an }.
CAPÍTULO I
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Definición 3.3. La relación de orden será:
{ãn } ≥ {b̃n }
si y sólo si la sucesión
{an − bn } es positiva o nula .
Para admitir la definición anterior como válida debemos demostrar que no depende
del representante de la clase de equivalencia. Est es que {an − bn } es nula si y sólo si
{a0n − b0n } es positiva para {an } ∼ {a0n } y {bn } ∼ {b0n }. Como {an − a0n } y {bn − b0n }
son nulas por definición de pertenecer a la misma clase de equivalencia, es suficiente
probar que si {αn } es positiva y {βn } es nula, la sucesión {αn + βn } es positiva. (porque
{an − bn } = {(an − a0n ) + (a0n − b0n ) + (b0n − bn )}). Pero este echo es obvio, pues para n0
grande αn > δ para n ≥ n0 (por ser positiva) y |βn | < δ/2 (por tender a cero). Entonces
αn − βn >≥ δ/2.
El conjunto de números reales será el conjunto cociente, R = A/Y con las operaciones
de suma y producto inducidas de A, que le dan estructura de anillo conmutativo con
elemento unidad, con la relación de orden anterior. Veamos que es un cuerpo.
Teorema 3.2. El anillo R = A/Y tiene estructura de cuerpo ordenado, completo por
sucesiones de Cauchy y verifica la Propiedad Arquimediana.
Prueba. Probemos que una clase de equivalencia {ãn } 6= {0̃}, tiene un inverso para el
producto. ({0̃} representa la clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy que tienden a
cero). Como {an } es positiva o negativa, existe un n0 tal que an 6= 0 para todo n ≥ n0 .
Definimos la sucesión {bn } como bn = 1 para todo n ≤ n0 − 1, y bn = an para n ≥ n0 . La
sucesión {b−1
n } es de Cauchy ya que
1
− 1 = |bm − bn | ≤ |bm − bn | .
bn b m b n bm
δ2
La clase {c̃n } con cn = b1n es el inverso para el producto de {ãn }.
Trivialmente se verifica la propiedad Arquimediana, pues toda sucesión de Cauchy es
acotada, luego |an | ≤ K para todo n.
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Departamento de Matemáticas, Universidad Autonoma de Madrid, Campus de Cantoblanco, 28049, Madrid, Spain.
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