Diagramas de Bode
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Dr. Julio Romero Agü Agüero Circuitos Elé Eléctricos II - UNAH Diagramas de Bode • Una forma sistemá sistemática de obtener la respuesta en frecuencia consiste en utilizar los diagramas de Bode • En sistemas de comunicació comunicación, la ganancia se mide en bels (B) • El bel se usa para medir la razó razón entre dos niveles de potencia o la ganancia en potencia (G) G = número de bels = log10 P2 P1 • El decibel (dB (dB)) corresponde a 1/10 de bel GdB = 10 log10 P2 P1 • Cuando se comparan niveles de tensió tensión o de corriente se utiliza GdB = 20 log10 V2 V1 GdB = 20 log10 I2 I1 1 Dr. Julio Romero Agü Agüero Circuitos Elé Eléctricos II - UNAH Diagramas de Bode • Los diagramas de Bode son grá gráficas semilogarí semilogarítmicas del módulo (en decibeles) y de la fase (en grados) de una funció función de transferencia en funció ó n de la frecuencia funci • Los diagramas de Bode contienen la misma informació información que las grá gráficas no logarí logarítmicas pero son mucho má más fá fáciles de elaborar • En un diagrama de magnitud de Bode la ganancia Hdb se grafica en decibeles (dB (dB)) en funció función de la frecuencia H db = 20 log10 H • En un diagrama de fase de Bode, la fase φ se grafica en grados en funció función de la frecuencia 2 1 Dr. Julio Romero Agü Agüero Circuitos Elé Eléctricos II - UNAH Diagramas de Bode • Es posible escribir una funció función de transferencia en té términos de factores que tienen partes real e imaginaria (forma está estándar) H (ω ) = ±1 2 z1 ) 1 + j 2ζ 1 ω ω k + ( jω ω k ) " 2 (1 + jω p1 ) 1 + j 2ζ 1 ω ω n + ( jω ω n ) " K ( jω ) (1 + jω • Al elaborar un diagrama de Bode, se grafica cada factor por separado y luego se combinan grá gráficamente, esto es posible debido a los logaritmos implicados 3 Dr. Julio Romero Agü Agüero Circuitos Elé Eléctricos II - UNAH Diagramas de Bode • Término constante: para la ganancia K, la magnitud es 20log10K y la fase es 0° 0°, ambas son constantes con la frecuencia • Si K es negativa, la magnitud es 20log10|K|, pero la fase corresponde a ±180° 180° • Polo/cero en el orí (jω) en el orí orígen, gen, la orígen: gen: para el cero (jω pendiente de la grá gráfica de magnitud es 20 dB/d dB/década y su fase es constante con la frecuencia (90° (90°). Para el polo (jω (jω)-1 la pendiente de la grá gráfica de magnitud es -20 dB/d dB/década y su fase es constante con la frecuencia (-90° 90°) 4 2 Dr. Julio Romero Agü Agüero Circuitos Elé Eléctricos II - UNAH Diagramas de Bode • En general, para (jω (jω)N, donde N es un entero, entero, la grá gráfica de magnitud tendrá tendrá una pendiente de 20N dB/d dB/década, cada, mientras que la fase es de 90N grados • Polo/cero simple: para un cero simple (1+jω (1+jω/z1), la magnitud es 20log10|1+jω |1+jω/z1| y la fase equivale a tan-1ω/z1 H dB = 20 log10 1 + ω →0 jω =0 z1 H dB = 20 log10 1 + ω →∞ jω ω = 20 log10 z1 z1 5 Dr. Julio Romero Agü Agüero Circuitos Elé Eléctricos II - UNAH Diagramas de Bode • Es posible aproximar la magnitud como cero (una (una línea recta con pendiente cero) para valores pequeñ ñ os de ω y mediante peque una lí í nea recta con pendiente de 20 dB/d /dé é cada para valores l dB grandes de ω • La frecuencia donde las dos lí líneas asintó asintóticas se intersecan se denomina frecuencia de esquina o frecuencia de ruptura • La fase tan-1(ω/z1) se puede expresar como 0D , ω = 0 ϕ = tan −1 (ω z1 ) = 45D , ω = z1 D 90 , ω → ∞ • La grá gráfica de fase puede aproximarse mediante una lí línea recta φ ~ 0° para ω≤z1/10, φ ~ 45° 45° para ω=z1 y φ ~ 90° 90° para ω≥10z1 6 3 Dr. Julio Romero Agü Agüero Circuitos Elé Eléctricos II - UNAH Diagramas de Bode 7 Dr. Julio Romero Agü Agüero Circuitos Elé Eléctricos II - UNAH Diagramas de Bode • Los diagramas de Bode para el polo 1/(1+jω 1/(1+jω/p1) son similares, salvo que la frecuencia de esquina (ruptura) está está en ω=p1, la magnitud tiene una pendiente -20 dB/d /dé é cada y la fase tiene dB una pendiente de -45° ° por d é cada 45 • Polo cuadrá cuadrático cuadrático/cero: tico/cero: la magnitud del polo cuadrá 1/(1+j2ζ 1/(1+j2ζ2ω/ωn+(j +(jω/ωn)2) es -20log10|1+j2ζ |1+j2ζ2ω/ωn+(j +(jω/ωn)2| y la fase es –tan-1 (2ζ2 ω/ωn)/(1)/(1-ω/ωn2) j 2ζ 2ω H dB = − 20 log10 1 + ωn 2 jω + =0 ωn ω →0 H dB = − 20 log10 1 + j 2ζ 2ω ωn 2 jω ω + = −40 log10 ωn ωn ω →∞ 8 4 Dr. Julio Romero Agü Agüero Circuitos Elé Eléctricos II - UNAH Diagramas de Bode • La grá gráfica de amplitud está está compuesta por dos líneas rectas asintó asintóticas, ticas, una con pendiente cero para ω<ωn, donde ωn es la frecuencia de esquina o frecuencia de ruptura • La fase puede expresarse como 2ζ ω ω n 2 1 − (ω ω )2 n ϕ = − tan −1 0D , ω = 0 = −90D , ω = ω n D −180 , ω → ∞ • La grá gráfica de la fase es una recta con una pendiente de 90° 90° por década, se empieza en ωn/10 y termina en 10ω 10ωn • Para el cero cuadrá cuadrático, la grá gráfica de magnitud tiene una pendiente de 40 dB/d écada, en tanto que la de fase tiene una dB/dé pendiente de 90° 90° por década 9 Dr. Julio Romero Agü Agüero Circuitos Elé Eléctricos II - UNAH Diagramas de Bode ζ2 ζ2 ζ2 ζ2 ζ2 10 5 Dr. Julio Romero Agü Agüero Circuitos Elé Eléctricos II - UNAH Ejemplo • Elaborar el diagrama de Bode de H (ω ) = 5 ( jω + 2 ) jω ( jω + 10 ) 11 Dr. Julio Romero Agü Agüero Circuitos Elé Eléctricos II - UNAH Ejemplo • Elaborar el diagrama de Bode de H (ω ) = 50 jω ( jω + 4 )( jω + 10 )2 12 6
