FUNCIONES CON DOMINIO RESTRINGIDO

Funciones con DOMINIO restringido
Preparado por: Prof. Evelyn Dávila
En esta sección trabajarás con funciones que por su naturaleza no pueden tener como su
DOMINIO al conjunto de los números reales. De hecho, en estos casos tenemos que
determinar cuál es el conjunto que representa a su DOMINIO y éste será un subconjunto de los
números reales.
Es importante que se tenga conocimiento de los siguientes temas previo a estudiar esta
sección:
Radicales
Expresiones racionales
Inecuaciones lineales
Dos tipos de funciones que como regla general tendrán DOMINIO restringido son: las
funciones con radicales y las funciones racionales.
I FUNCIONES QUE ENVUELVEN RAÍCES CUADRADAS
Llena la tabla de valores indicada. Utiliza la siguiente función
x
8
3
0
-1
-5
y
f ( x)  x  1
Indica los pares ordenados que has encontrado.
¿Puedes marcar los 5 pares ordenados en el PLANO CARTESIANO xy ?
OBSERVA
f (5)   5  1   4  2i
2i es un número imaginario por tanto no puede ser elemento del RECORRIDO
de f(x). Esto implica que -5 no puede ser elemento del DOMINIO de f(x) .
Una función con DOMINIO restringido es aquella en la que su regla no permite operar en
el conjunto de los números reales para algunos valores particulares. Es decir, existen
valores reales que si los utilizas para evaluar la función el resultado que obtendrás no
está definido en los números reales.
En la función f ( x)  x  1 , no es posible sustituir valores menores que –1 ya que
obtendrás valores negativos y no cumple con la definición de raíz cuadrada.
El DOMINIO de f(x) es específicamente
definida.
x  1 , ya que en estos valores la función está
REPASO SOBRE RADICALES
DEFINICION
Sea n un entero y a,b representan números reales , entonces
n
a  b  bn  a
Cuando el índice, n , es par tenemos los siguientes casos:


Si a  0 entonces
Si a < 0 entonces
n
a es b y b es positiva
n
a no está definida en los números reales
Procedimiento para determinar el Dominio de una función con raíz cuadrada.
A la expresión del radicando se le aplica la propiedad de radicales correspondiente y se
despeja para la variable. El resultado de esta inecuación es el Dominio de la función.
EJEMPLO 1
Procedimiento
EJEMPLO 2
Determina el DOMINIO de f ( x)  x  1
x 1 0
x  1
El Dominio de la función f es dado por
x  1 .
Determina el DOMINIO de g( x)  2x  1
Ya que tenemos una raíz cuadrada entonces 2x+1 debe ser mayor o igual a cero, por lo tanto
escribes la desigualdad que establece esa condición y resuelves para x.
Procedimiento
g ( x)  2 x  1
2 x  1  0 resuelve esta desigualda d
2x  0  1
1
x
2


El DOMINIO de f es x 
 1
 .
2
Ejemplo 3
𝒉(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟒
Repasar Inecuaciones cuadráticas
Ejemplo 4
𝒈(𝒙) = √𝒙𝟐 + 𝟏
II FUNCIONES RACIONALES
Una función racional consiste en una expresión racional. Es fundamental repasar la definición
de números racionales.
DEFINICION
Un número racional es un número que se puede representar
a
, donde
en la forma b
b  0 y a, b son enteros
.
Para determinar el DOMINIO de una función racional debemos identificar los valores de x
que hacen al denominador cero y excluirlos del Dominio de la función.
Procedimiento:
1. Halla las raíces del denominador, es decir, igualas la expresión del denominador a
cero y resuelves.
2. Los valores encontrados los excluyes del DOMINIO
EJEMPLO 1
Indica el Dominio de la función
f (x) 
2
3x  1
2
3x  1
3x  1  0
Igualas el deno min ador a cero y despejas.
f ( x) 
Procedimiento
x
1
3
El DOMINIO de f(x) es x   y x  1 
3

Si sustituyes este valor en la función el denominador será cero y la variable y no estará
definida. Debes excluir este valor del dominio.
EJEMPLO 2
Indica el Dominio de la función
h( x ) 
2x  1
4x  3
2x  1
4x  3
4x  3  0
Igualas el deno min ador a cero y despejas.
4 x  3
h( x ) 
x
3
4


Este valor se excluye del DOMINIO por lo tanto el DOMINIO de h(x) es x y x 
EJEMPLO 3
Indica el Dominio de la función
g( x ) 
3x
2x  5 x  3
2
Esta función requiere que el estudiante factorice un polinomio de grado dos.
3x
g( x ) 
2
2x  5 x  3
Iguala el denomi nador a cero y resuelve la ecuación cuadrática
2x 2  5 x  3  0
( x  3) (2x  1)  0
x 3  0
x3
2x  1  0
ó
x
1
2
En este caso excluimos del DOMINIO a los dos valores.
El DOMINIO de g(x) es
1 

x  R y x  , 3 
2


 3

4 
III
EJEMPLOS COMBINANDO LOS DOS TIPOS DE FUNCIONES
Ejemplo 1
f ( x) 
OBSERVA QUE EN ESTE EJEMPLO LA EXPRESION QUE ESTA EN EL
DENOMINADOR OPERA UN RADICAL POR LO TANTO EL
DENOMINADOR TIENE DOS CONDICIONES: NO PUEDE SER CERO Y EL
RADICANDO TIENE QUE SER MAYOR O IGUAL A CERO.
x4
x 1
x  1 0
x 1
SI COMBINAMOS AMBAS CONDICIONES ENTONCES TIENES QUE EL
RADICANDO DEBE SER MAYOR QUE CERO PARA QUE LA FUNCION
F(X) ESTE DEFINIDA
El DOMINIO de f(x) es
Ejemplo 2
Ejemplo 3
 x  1
𝒉(𝒙) =
g ( x) 
√𝒙+𝟑
𝒙−𝟒
x 1
x2  4
resuelve la siguientedesigualda
d
x2  4  0
( x  2)( x  2)  0
solución
x  2  x  2
El Dominio de g(x) es
x  2  x  2
Práctica
Determina el DOMINIO de cada función
1. ℎ(𝑥) = √5𝑥 − 3
2. 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥
3. 𝑔(𝑥) = √𝑥2 − 9
4.
f ( x) 
x2
x  4x  5
2
5. h( x)  x2  1
x 1
6. g ( x)  2x  4
x  16
7.
f ( x) 
8.
f ( x) 
x 1
x3
x 1
x2  9
Respuestas
1)
𝟑
𝑫𝒉 = {𝒙 ≥ }
𝟓
4) 𝑫𝒇 = {𝒙𝝐𝑹 𝒚 𝒙 ≠ −𝟏, 𝟓}
7) 𝑫𝒇 = {𝒙 > 𝟑}
Práctica del libro
2) 𝑫𝒇 = {𝒙 ≤ 𝟒}}
3) 𝑫𝒈 = (−∞, −𝟑]𝑼[𝟑, ∞)
5) 𝑫𝒉 = {𝒙𝝐𝑹 𝒚 𝒙 ≠ −𝟏, 𝟏}
6) 𝑫𝒈 = {𝒙 ≥ −𝟒}
8) 𝑫𝒇 = {𝒙𝝐𝑹}