función y dominio

Concepto de función
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos, de tal forma
que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un elemento y sólo uno del
conjunto final, la imagen. Se relacionan así dos variables numéricas que suelen
llamarse x e y,
x:variable independiente
y:variable dependiente
x → y=f(x)
En la escena puedes ver representada una función extraída de una información gráfica.
Calcula los valores de la variable independiente y de la dependiente que se piden.
Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos
entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se
define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno
llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango.
Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio
con dos elementos del codominio.
Una función es una relación entre dos variables a las que, en general, llamaremos
x e y.
x es la variable independiente (en el ejemplo del ciclista el tiempo).
y es la variable dependiente (en el ejemplo la distancia respecto al punto de
partida).
La función asocia a cada valor de x un único valor de y. Se dice que y es función
de x, lo que se escribe y = f(x).
- Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:
La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas).
La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas).
- Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, la abscisa x y la ordenada y.
- El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de
definición de la función.
- Los ejes deben estar graduados con las correspondientes escalas para que
puedan cuantificarse los valores de las dos variables.
Dominio
En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x +1 podemos dar a la
variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de
y. Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R (conjunto de
los números reales) o bien que su dominio de definición es R.
Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de
y para todos los valores de x. En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio
de la función.
Obtención del dominio de definición a partir de la
expresión algebraica para algunas funciones sencillas.
Efectivamente nos limitaremos a aprender a calcularlo para algunas funciones
sencillas y que utilizaremos a menudo. Éstas son:
FUNCIONES POLINÓMICAS:
Aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir,
las funciones polinómicas, tienen como dominio de definición todo el conjunto
de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, y
sustituyendo el valor de x por el número real que hayamos elegido podemos
calcular sin ningún problema el número real imagen y. Por ejemplo:
f(x)= 3x5- 8x + 1; D(f) = R
g(x)= 2x + 3; D(g) = R
h(x)=½ ; D(h) = R
FUNCIONES RACIONALES:
Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios,
nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio
denominador. Así pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuación
Q(x)=0 y obtendremos dichas raíces x1, x2,..., xn, y así tendremos que D(f) = R\{x1, x2,...,
xn}. Esto significa que forman el dominio de definición de la función todos los números
reales
salvo
x 1,
x2,...,
x n.
Por
ejemplo:
I)
Resolvemos la ecuación x2- 9 = 0; y obtenemos x1 = +3 y x2 = -3.
Por lo tanto D(f) = R \ {+3, -3}
II)
Resolvemos la ecuación x2+ 1 = 0; y nos encontramos que no tiene
solución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no
tenemos
que
excluirlos
del
dominio.
Por lo tanto D(f) = R.
FUNCIONES IRRACIONALES:
Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que
lleve en su radicando la variable independiente. Si el radical tiene índice impar, entonces el
dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de x
siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el
radicando. Pero si el radical tiene índice par, para los valores de x que hagan el radicando
negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen y según la función irracional
mencionada. Veamos el método para conseguir el dominio en este caso a través de unos
ejemplos:
I)
Resolvemos
x+1
es
una
expresión
Por lo tanto D(f) = [-1, +
la
inecuación
positiva
si
x
x
pertenece
+1 > 0;
al
==>
intervalo
x > -1;
[-1,
+
).
).
II)
Resolvemos la inecuación x2- 25 > 0; y obtenemos (x + 5)·(x - 5) >0;
R nos queda dividido en tres zonas y probamos en cuál de ellas se da que el signo del
radicando sea positivo.
Por lo tanto D(g) = (-
, -5] U [+5, +
)
III)
Resolvemos la inecuación x2- 2x - 8 > 0; y obtenemos (x + 2)·(x
- 4) >0; Observad que ahora la inecuación se plante con desigualdad estricta, esto es porque
el radicando está en un denominador y por lo tanto no puede valer 0.
¿En que se traduce esto? Pues sencillamente en tener que excluir de las zonas donde el
radicando
sea
positivo
los
extremos
-2
y
+4.
R nos queda dividido en tres zonas de nuevo y estudiando el signo del radicando obtenemos
el
dominio:
D(h) = (- , -2) U (+4, + ) (observad los extremos excluidos).

Calcula el dominio de las funciones que se dan a
continuación:
Dominio y recorrido
Dada una función f:x → y

Se llama dominio de f al conjunto de valores que toma la variable
independiente, x. Se indica como Dom f.
El dominio está formado, por tanto, por los valores de x para los que existe la
función, es decir, para los que hay un f(x).

El recorrido es el conjunto de valores que puede tomar la variable
dependiente, y, esto es el conjunto de las imágenes. Se representa como Im f.
Dominio y rango de una función
Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la
función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable
independiente (la x).
Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser
cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los
números reales.
En cambio, la función
tiene como dominio todos los
valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real
diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los
números reales para los cuales la función tiene sentido.
En el caso de la función
, el dominio de esta función son todos los
números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero
para que exista la raíz cuadrada.
Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo
siguiente:
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los
números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.
Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+
anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y nun entero no negativo), el dominio está
conformado por el conjunto de todos los números reales.
Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está
conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de
cero.
El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir,
es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente;
estos valores están determinados además, por el dominio de la función.
Ejemplo
Identificar dominio y rango de la función
Veamos:
Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los
cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son
mayores o iguales a 2.
El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto
que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo
la función f.
Dominio de una función
El dominio es el conjunto de elementos que tienen
imagen.
D = {x
/
f (x)}
Conjunto inicial Conjunto final
Dominio Conjunto imagen o recorrido
Estudio del dominio de una función
Dominio de la función polinómica entera
El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.
f(x)= x 2 - 5x + 6
D=R
Dominio de la función racional
El dominio es R menos los valores que anulan al
denominador (no puede existir un número cuyo denominador
sea cero).
Dominio de la función irracional de índice impar
El dominio es R.
Dominio de la función irrracional de índice par
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el
radicando sea mayor o igual que cero.
Cálculo de la función inversa
1Se escribe la ecuación de la función con x e y.
2Se despeja la variable x en función de la variable y.
3Se intercambian las variables.
Calcular la función inversa de:
Vamos a comprobar el resultado para x = 2