repaso de radicales

 REPASO DE RADICALES • TEORÍA Simplificación de radicales: 1. Dividir el índice de la raíz y los exponentes del radicando por su m.c.d. 2. Extraer del radical todos los factores posibles. Potencia de un radical: !
Para elevar una raíz a una potencia se eleva el radicando a esa potencia: 𝑎
Raíz de un radical (raíz de una raíz): Será una raíz cuyo radicando es el mismo y por índice el producto de los índices. ! !
𝑏=
!.!.!
𝑏=
!"
!
=
!
𝑎 ! 𝑏 Relación raíz-­‐potencia: Toda raíz representa una potencia de exponente fraccionario cuya base es el radicando y por exponente una fracción cuyo numerador es el exponente del radicando y por denominador el índice del radical. !
!
𝑎 ! = 𝑎 ! Adición y sustracción de radicales: S los radicales no son semejantes (mismo índice y mismo radicando) se deja indicada la suma o resta. Si los radicales son semejantes, el resultado será otro radical semejante cuyo coeficiente se obtiene sumando o restando los coeficientes de los radicales semejantes. 5 7 − 4 5 + 4 7 − 28 + 45 = 5 7 − 4 5 + 4 7 − 2 7 + 3 5 = 8 7 − 5 Racionalización de denominadores Si en el denominador hay una raíz cuadrada, se multiplican numerador y denominador por la raíz que está en el denominador. 5
5. 3
5. 3 5. 3 5. 3
=
=
=
=
2.3
6
2 3 2 3. 3
2 9
Si en el denominador hay una raíz que no es cuadrada, se multiplican numerador y denominador por una raíz del mismo índice que la que está en el denominador. El radicando de la raíz por la que se multiplica debe ser tal que al multiplicar las raíces del denominador, el exponente del radicando resultante coincida con el índice de la raíz. !
!
!
!
5
5 2!
5 2!
5 2! 5 2!
=
=
=
=
!
!
!
!
!
2
2!
2! . 2!
2! . 2!
2!
Raíz de índice n: !
De un número a es otro número b, que elevado a la potencia n da como resultado a: 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑏 ! = 𝑎 Propiedad fundamental de las raíces: El valor de una raíz no varía si se multiplican o se dividen por un mismo número el exponente del radicando y el índice de la raíz. !.!
!
𝑎 !.! = 𝑎 ! Colegio Marista Cristo Rey (La Coruña). Depto de Ciencias. Prof. José Vizoso 1 REPASO DE RADICALES Transformación de radicales: Un radical se puede transformar, de infinitas formas, en otro, multiplicando o dividiendo el exponente del radicando y el índice del radical por un mismo número. 3𝑎 =
!
3! . 𝑎 ! =
!"
3! . 𝑎 ! Reducción de radicales a índice común: 1. Se halla el m.c.m. de los índices, que será el índice común 2. Se divide el índice común por cada índice y el cociente obtenido se multiplica por el exponente del radicando. Producto/División de radicales: Para poder multiplicar/dividir radicales es necesario que tengan el mismo índice. Si no lo tienen, hay que reducirlos a índice común. Se obtiene una raíz con el mismo índice y por radicando el producto/división de los radicandos. Extracción de factores del radical: 1. Se divide el exponente del radicando por el índice de la raíz. 2. El cociente, de dicha división, se escribe como exponente del factor fuera del signo radical 3. El resto de la división se escribe como exponente, del factor o factores, del radicando. Introducción de factores dentro del radical: Si un factor multiplica a una raíz, para introducirlo, se multiplica el exponente del factor por el índice de la raíz y se escribe el producto como exponente del factor dentro del signo radical. •
EJERCICIOS DE REPASO Transformar raíz en potencia y potencia en raíz !
!
1. 3! 2. 5
!
3.
4.
!
! !
!
!
!
7! 7. 3
!
! 8.
9.
!
! !
!
5.
6.
! !
!
10.
11.
2! !
5! !
!
7! 17.
!
! 13. 5
!
!
7!
!"
!
!
!"
12.
! !
14.
!
15.
5!" 16.
5!" !
!!
!!
!"
!"
3!"! Extraer factores 1.
2.
!
3.
!
54 6.
!
64 8 4.
!
375 7.
!
250 2! 5.
!
2! . 3! . 5! 8.
!
288 Colegio Marista Cristo Rey (La Coruña). Depto de Ciencias. Prof. José Vizoso 2 !
REPASO DE RADICALES 9.
Introducir factores 450 !
!"
!
1. 3 3 10. 162 11.
!
5. 3 2! 6. 2 4 !
7. 5 25 !
8. 5 2 !
!
2. 2 2! 7!" !
12. 2! . 3!" !
3. 3 3 4. 2 5 Multiplicación y división de radicales !
!
1.
5. 7 2.
!
2! .
32 14.
192. 16 4.
!
5.
!
27. 64 6.
!
a! . a. a 7.
!
15.
a! . a !
!
8.
5. 6 9.
!
!
!
!
12.
13.
!
!
a! b !
19. !
!!
!"
3a! b !
!
!. !
!
!
28.
!
! !
27.
!
!!
!
26.
!
!
!
25.
!
!.
!
! !
!
!
!
!
! !"
24. a! bc ! d: abcd 17. ! !
!"
!
!
7. 5 11. 12: 18 !"
!
18.
10. 12: 18 !
23.
16. x ! a xa! x ! a 3a! b. 24ab ! !
!
!
!
3.
!"
!"
!! ! !! !
!
!! !
!
!!! !
!"!!
29. 2a:
30.
20.
!
a! . b ! :
ab 21.
!
!
a! bc ! :
a! bc ! !
! !"
!
!
!
!
!!!
!
a! b 22. 2a: 3a • SUMA Y RESTA DE RADICALES 1.
125 − 5 8. 2 3 + 3 3 − 3 + 4 3 2.
32 − 2 9.
3.
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 4. 6 24 + 2 150 − 4 54 5.
ab ! + 7 a! b ! − ab 6.
3 + 5 27 + 12 − 2 75 7. 8 2 − 4 2 + 2 2 − 2 10.
!
!
5+
!
!
5−
!
!
5+
!
!
5 75 + 27 + 48 11. 3 20 + 12 45 + 2 125 12. 7 108 + 4 3 − 10 27 13.
44 − 5 176 + 2 99 14. 6 24 + 2 6 − 4 54 Colegio Marista Cristo Rey (La Coruña). Depto de Ciencias. Prof. José Vizoso 3 REPASO DE RADICALES 1
23.
15. 2 3 − 2 12 + 4 27 16.
1
+
32
17.
50 + 2 !
18.
1
−
2
24.
1
8
!
!
250 + 54 + 16 1
26. −3 45 − 3 125 + 2 500 − 5 20 16 + 250 27. 6 24 + 2 50 − 4 54 19. 7 50 − 2 32 − 3 2 − 4 18 28.
20. 2 5 − 3 45 + 3 20 15 − 2 375 + 3 60 − 5 8 + 72 !
29. 2 + 8 + 162 21. 4 18 + 2 8 − 3 32 !
!
25. 3 2 + 4 2 − 2 2 !
!
24 − 2 6 + 486 30.
!
22. 7 16 + 3 54 − 2 128 256 + 243 + 162 + 50 + 147 • RACIONALIZAR 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
!
! !
! !
! !
!
8.
9.
10.
!
! !
!
!" !"
! !" !
!" !!! ! ! 16.
!
!
13.
15.
! 11. !
12.
! !"
!
!
!
1
8
!
! !
20.
21.
22. !
23. !
!
24. !
25. !
! ! !
! !
!" 19. !
!! !!!
! !
18.
!"
! 17. !
!! !!
14. !
!
!
! !
! ! 26.
!
!!! 27.
28.
!
!! ! !"
!"!! !
! !
! !
! !! ! !"
!" ! ! !
! ! Colegio Marista Cristo Rey (La Coruña). Depto de Ciencias. Prof. José Vizoso 4