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PROBLEMAS SELECCIONADOS DE
DINÁMICA / TRABAJO Y ENERGÍA
Antonio J. Barbero / Alfonso Calera Belmonte / Mariano Hernández Puche
Departamento de Física Aplicada UCLM
Escuela Técnica Superior de Agrónomos
Campus de Albacete
1
PROBLEMA 1
Un automovilista descuidado deja su vehículo aparcado en lo alto de una pendiente
del 7% al final de la cual hay un rellano seguido de una cuesta arriba del 4% (véase
esquema). Si el coeficiente de rozamiento efectivo una vez que el coche empieza a
rodar cuesta abajo es 0.05, calcular qué distancia d recorrerá sobre la pendiente del
4%.
d
7%
4%
10 m
10 m
2
3
PROBLEMA 2
Sobre una plataforma inclinada que puede girar en torno a un eje vertical (véase
figura) hay un pequeño dado situado a 20 cm del eje. Si la plataforma gira a 30 rpm
y su ángulo es 5º, determinar el coeficiente de rozamiento estático mínimo para que
el dado no resbale.
30 rpm
20 cm
5º
4
5
PROBLEMA 3
Una fuerza variable viene dada por la expresión
F=
4
(1 + t )
2 2
(F en newton, t en segundos)
Esta fuerza actúa sobre un cuerpo de 2 kg inicialmente en reposo a partir de t = 0.
Calcular:
a) El impulso mecánico comunicado por la fuerza al cabo de 3 s.
b) Velocidad adquirida en dicho instante.
c) Aceleración del cuerpo en ese instante.
d) Velocidad máxima que puede adquirir el cuerpo.
6
7
PROBLEMA 4
A
Demostrar que cuando un cuerpo atado a una cuerda se
mueve en una órbita circular situada en un plano vertical, la
diferencia entre las tensiones de la cuerda en las posiciones
extremas inferior y superior es igual a seis veces el peso del
cuerpo.
TB − TA = 6mg
Punto A: La fuerza centrípeta FCA es
la suma de la tensión de la cuerda y
del peso (ambos de igual sentido)
vA
mg
R
TB
B
Punto B: La fuerza centrípeta FCB es
la diferencia entre la tensión de la
cuerda y del peso (sentidos opuestos)
A
TA
TA
m
TB
FCA
B
vB
FCB
mg
FCA
v A2
= TA + mg = m
R
FCB
vB2
= TB − mg = m
R
8
PROBLEMA 4 (Cont.)
FCA
v A2
= TA + mg = m
R
FCB = TB − mg = m
vB2
=
v A2
vB2
Relación entre las velocidades en los puntos A y B
Energías: referencia de energías potenciales en B
EPA + ECA = ECB
R
1
1
mg ⋅ 2 R + mv A2 = mvB2
2
2
+ 4 gR
TB − mg − (TA + mg ) =
(
m 2
vB − v A2
R
TB − TA − 2mg =
)
m
⋅ 4 gR
R
A
m
2R
B
TB − TA = 6mg
Pregunta. ¿Puede hacerse girar en un plano vertical un objeto de masa 0.5 kg
sujetándolo con una cuerda que soporta una tensión máxima de 2.5 kp?
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PROBLEMA 5
El perfil de una montaña rusa corresponde al esquema que se presenta en la figura, donde la
vagoneta debe remontar un rizo circular de radio R, y termina su viaje deteniéndose a la
derecha del punto F. Para que la atracción sea segura se estima que la velocidad que debe
llevar la vagoneta en el punto más alto es el doble de la velocidad mínima necesaria para
remontar el rizo. Se pide:
Velocidad mínima inicial que debería llevar la vagoneta para superar el rizo.
Velocidad mínima inicial, vB, que debe llevar la vagoneta para cumplir la condición de
seguridad especificada.
Reacción normal de los raíles en el punto C
Velocidad de llegada al punto F (despréciese el rozamiento)
R
C
vB
F
R/4
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PROBLEMA 5 (Cont.)
R
C
vB
F
R/4
11
PROBLEMA 5 (Cont.)
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PROBLEMA 6
La lenteja de un péndulo se cuelga de un hilo inextensible que es
capaz de soportar una tensión máxima igual a 1.23 veces el peso
de la misma. Si se separa la lenteja de la vertical un ángulo inicial
de 60º y a continuación se suelta dejándola oscilar libremente,
¿completará una oscilación completa o llegará a partirse el hilo
antes de conseguirlo?
¿Existe algún valor del ángulo inicial que permita que se
verifiquen oscilaciones completas de este sistema?
(Considérese la lenteja como una masa puntual).
Resolvamos el problema general
para un ángulo inicial θ0.
Debe comprobarse si la tensión a
la que está sometido el hilo
excede a la tensión máxima
posible para algún valor del
ángulo de separación con la
vertical a medida que transcurre
la oscilación.
L
L(1 − cosθ 0 )
Fc
T
60º
θ0
θ
L(1 − cosθ )
mg cosθ
mg
mg senθ
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PROBLEMA 6 (Cont.)
L
L(1 − cosθ 0 )
Fc
T
v2
Fc = m = T − mg cosθ
L
θ0
θ
L(1 − cosθ )
mg cosθ
mg
mg senθ
Tomando el origen de energía potencial
en el punto más bajo de la oscilación, la
velocidad de la lenteja del péndulo como
función del ángulo se obtiene mediante el
siguiente balance de energía mecánica:
1 2
mv = mgL(1 − cosθ 0 ) − mgL(1 − cosθ )
2
v2
= g (cosθ − cosθ 0 )
L
El hilo se romperá si se cumple que T = 1.23 mg
cosθ =
1.23 + cosθ 0 1.23 + 0.5
=
= 0.865
2
2
Si la amplitud es θ0 = 60º ...
T = mg (2 cosθ − cosθ 0 )
2 cosθ − cosθ 0 = 1.23
Se rompe cuando θ = 30º
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PROBLEMA 6 (Cont.)
L
El valor máximo de la tensión del hilo
corresponde a un ángulo θ = 0 y su valor es
Fc
Tm = mg ( 2 − cosθ 0 )
Por lo tanto, la máxima amplitud posible de una
oscilación completa tiene que cumplir la condición
Tm < 1.23 mg
− cosθ 0 < −0.77
2 − cosθ 0 < 1.23
cosθ 0 > 0.77
θ 0 < 39.6º
T
θ0
θ
Tm
mg senθ
mg cosθ
mg
T = mg ( 2 cosθ − cosθ 0 )
A medida que el ánguloθ
se reduce desde su valor
inicial θ 0 aumenta la
tensión T
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PROBLEMA 7
Una pequeña bolita de diámetro 2r situada inicialmente en reposo en el polo de
una cúpula semiesférica cuyo radio es R (R = 100r) empieza a rodar sobre la
superficie de la misma. Se pide:
a) Determinar la velocidad del centro de masas de la bolita desde que empieza a
rodar hasta que pierde contacto con la cúpula, determinando el ángulo θs,
medido con respecto a la vertical, para el que se produce dicha pérdida de
contacto.
b) Representar gráficamente el cuadrado de la velocidad del centro de masas de
la bolita en unidades gR.
c) Determinar la velocidad angular de la bolita en el momento en que pierde
contacto con la superficie semiesférica. ¿Cuántas vueltas da la bolita hasta ese
momento?
2r
R
θs
O
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PROBLEMA 7 (Cont.)
En un instante cualquiera
mg cosθ
2r
Fc
R
θ
O
R (1 − cosθ )
mg senθ
θ
A medida que rueda, la energía
potencial de la bolita se va
convirtiendo en energía cinética
de traslación y energía cinética
de rotación
mg
2
1
1
1
1 2
7
v
mgR (1 − cosθ ) = mv 2 + Iω 2 = mv 2 +  mr 2   = mv 2
2
2
2
25
 r  10
Relación entre la velocidad del centro de la bolita y el ángulo descrito sobre la superficie
v2 =
10
gR(1 − cosθ )
7
¿Qué fuerza obliga a la bolita a seguir una trayectoria curva?
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PROBLEMA 7 (Cont.)
mg cosθ
A la componente radial del peso...
N
Fc
R
θ
mg senθ
θ
... hay que restarle la reacción normal N
sobre la bolita
La diferencia entre ambas es la fuerza centrípeta
mg
O
Fc = mg cosθ − N
El momento en que la bolita se separa de la superficie esférica es aquel en que el valor
Denotaremos por s a las magnitudes en ese momento
de N se reduce a cero.
2r
R (1 − cosθ s )
mg senθs
Fcs
R
θs
θs
vs2
m = mg cosθ s
R
vs2 = gR cosθ s
mg
O mg cosθs
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PROBLEMA 7 (Cont.)
Combinando este resultado con el balance de energía:
10
10
vs2 = gR (1 − cosθ s )
vs2 = gR cosθ s
cosθ s = (1 − cosθ s )
7
7
Sustituyendo para la velocidad angular:
ωs =
1 10
R
gR = 2.40
r 17
r
La longitud L del arco de
circunferencia de la cúpula
recorrida por la bolita es
cosθ s =
10
17
θ s = 54º
(ω s r )2 = 10 gR1 − 10  = 10 gR
7

Para R = 100 r
54π
R
L = θsR =
180
17  17
ω s = 24 rad/s
La longitud l de la circunferencia
completa de la bolita es l = 2π r
Por tanto el número de vueltas será (rueda sin deslizar)
n=
L
1 54πR
1 54π 100r
=
=
= 15 vueltas
l 2πr 180
2πr 180
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PROBLEMA 7 (Cont.)
Representación gráfica (apartado b)
Componente radial del peso (unidades mg)
2,0
1,8
v2 en función del ángulo θ
1,6
(unidades gR)
1,4
1,0
2
v /gR
1,2
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Grados
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PROBLEMA 8
La figura muestra dos pistas sin rozamiento en las que hay dos deformaciones de
perfil semicircular, una de ellas un promontorio y la otra un badén. Ambas pistas
tienen igual longitud.
En la cabecera de cada pista hay una bolita; cada una de ellas comienza a moverse
en el mismo instante y con la misma velocidad.
a) Cuál de ellas llegará antes al final de la pista, suponiendo que ambas lleguen?
b) La velocidad inicial de ambas bolitas es 2 m/s.
La velocidad de la bolita B cuando está en el fondo del badén es 3 m/s. ¿Qué
velocidad tendrá la bolita A cuando llegue a la parte más elevada del
promontorio que hay en su pista, si es que llega?
A
B
21
22