COLEGIO DE POSTGRADUADOS INSTITUCIÓN DE ENSEÑANZA E INVESTIGACIÓN EN CIENCIAS AGRÍCOLAS INSTITUTO DE SOCIOECONOMÍA, ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA PROGRAMA EN ESTADÍSTICA UNA PRUEBA PARA EXPONENCIALIDAD BASADA EN LA RAZÓN DE DOS ESTIMADORES MARÍA DIÓDORA KANTÚN CHIM T E S I S PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO DE: M A E S T R A EN C I E N C I A S MONTECILLO, TEXCOCO, EDO. DE MÉXICO 2004 La presente tesis titulada: UNA PRUEBA PARA EXPONENCIALIDAD BASADA EN LA RAZON DE DOS ESTIMADORES, realizada por la alumna: MARÍA DIÓDORA KANTÚN CHIM, bajo la dirección del Consejo Particular indicado, ha sido aprobada por el mismo y aceptada como requisito parcial para obtener el grado de: MAESTRA EN CIENCIAS PROGRAMA EN ESTADÍSTICA CONSEJO PARTICULAR CONSEJERO Dr. José A. Villaseñor Alva ASESOR Dr. Humberto Vaquera Huerta ASESOR Dr. Carlos M. Becerril Pérez MONTECILLO, TEXCOCO, EDO. DE MÉXICO; MARZO DE 2004. AGRADECIMIENTOS Ante todo a Dios, por su gran amor. Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, por el apoyo financiero otorgado para este grado profesional. A la Universidad Autónoma de Yucatán por permitirme continuar con mi formación académica. Al Colegio de Postgraduados, en particular al Programa de Estadística, por darme la oportunidad de continuar y crecer académicamente. A mi consejo particular: Dr. José A. Villaseñor Alva, por su paciencia, valiosa dirección y apoyo que proporcionó en todo momento para el logro de este trabajo y en mi formación académica. Dr. Humberto Vaquera Huerta y Dr. Carlos M. Becerril Pérez, por su valioso apoyo, acertadas sugerencias y comentarios en este trabajo. A cada uno de los profesores que han contribuido en esta formación en las distintas áreas, por su paciencia para compartir sus conocimientos a lo largo de esta meta. A todo el personal administrativo por su amabilidad y apoyo que siempre han brindado. A todos mis compañeros y amigos que me acompañaron a alcanzar el mismo objetivo, por cada ayuda proporcionada en los tropiezos que tuvimos, Miroslava, Cecilia, Rocío, Eduardo, Omar, Víctor, Osval, Faustino y Castulo, gracias. DEDICATORIAS A mis padres y hermanos: Por ser la principal fuente de fortaleza para alcanzar las metas anheladas, por su comprensión y apoyo, a cada uno de ustedes por el gran amor y cariño que les tengo. Al Dr. Luis A. Rodríguez Carvajal: Por su confianza, apoyo, consejos y ánimos que de manera incondicional siempre me ha brindado, a quien aprecio y admiro. A mi prima: Teresita de J. Villegas Chím , por haber sido una persona muy especial. Con todo cariño Diódora CONTENIDO RESUMEN..........................................................................................................................................i ABSTRACT.......................................................................................................................................ii NOTACIÓN...................................................................................................................................... iii 1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................1 1.1 Revisión sobre pruebas de exponencialidad ............................................................ 2 1.2 Objetivos .................................................................................................................. 3 2. CONCEPTOS DE PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE .............................................................4 3. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL...............................................................................................6 4. 3.1 Aspectos relevantes de la distribución exponencial ............................................... 6 3.2 Distribuciones alternativas a la distribución exponencial ..................................... 8 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE BASADA EN LA RAZÓN DE DOS ESTIMADORES ......11 4.1 Una característica de la distribución exponencial ................................................. 11 4.2 La estadística R de la razón del rango y dos veces el semirango .......................... 11 4.2.1 Funciones de densidad y distribución de R.................................................... 12 4.2.2 Comportamiento de la función de densidad de R .......................................... 15 4.2.3 Cuantiles de la función de densidad de R ...................................................... 18 4.2.4 La prueba de bondad de ajuste R ................................................................... 21 4.3 Tamaño de la prueba R .......................................................................................... 21 4.4 5. 6. Potencia de la prueba R.......................................................................................... 23 ESTUDIO COMPARATIVO DE LA POTENCIA DE LA PRUEBA R........................................26 5.1 Descripción de las pruebas a comparar ................................................................. 26 5.2 Tamaños de las pruebas en comparación............................................................... 29 5.3 Resultados de la comparación de pruebas por medio de su potencia .................... 30 DISTRIBUCIÓN ASINTÓTICA DE LA ESTADÍSTICA R.....................................................36 6.1 Estimación de los cuantiles de la distribución asintótica de R por simulación ..... 40 6.2 Distribución asintótica de la estadística R ............................................................ 43 7. CONCLUSIONES Y RECOMEDACIONES ...........................................................................44 8. BIBLIOGRAFÍA....................................................................................................................45 ANEXOS ........................................................................................................................................47 ANEXO A . Tablas y cuadros............................................................................................ 48 ANEXO B . Programas en el paquete S-plus 2000 ........................................................... 52 ANEXO C . Desarrollo analítico de funciones .................................................................. 63 RESUMEN En el análisis estadístico de la duración de vida, la distribución exponencial es importante como un modelo de referencia en las áreas de análisis de supervivencia y teoría de confiabilidad. Varias de las pruebas que han sido propuestas para exponencialidad son basadas en la estimación del parámetro de escala. En el presente documento se propone una prueba basada en la razón del rango y semirango muestrales, la estadística de prueba es desarrollada y analizada. De los estudios de las pruebas para exponencialidad realizadas por D’Agostino & Stephens (1984), Spurrier(1984) y Ascher(1990), se deduce que las pruebas de Cox & Oakes y la de Hollander & Proschan resultan ser de las más potentes. Otra prueba de interés es la de Wong & Wong la cual es basada en las estadísticas extremas al igual que la prueba propuesta. Con el propósito de comprar la prueba propuesta contra las pruebas mencionadas anteriormente respecto a sus potencias, se realizó un estudio de simulación Monte Carlo considerando las hipótesis alternativas Gamma, Weibull, Pareto Generalizada, Lognormal y Beta. Los resultados muestran que cuando la alternativa es la distribución Gamma, Weibull ó Pareto Generalizada la potencia de la prueba propuesta es en general tan alta como las pruebas de Cox & Oakes y la de Hollander & Proschan. Cuando los tamaños de muestra son grandes, se calculan los cuantiles para la distribución asintótica de la estadística propuesta vía simulación Monte Carlo. Palabras claves: prueba de exponencialidad, prueba estadística, distribución de vida. i ABSTRACT In the statistical analysis of the duration of life, the exponential distribution is important as a model of reference in the areas of the analysis of survival and theory of reliability. Several of the proposed tests for exponentiality are based on the estimation of the scale parameter. In the present paper a test based in the ratio of the rank and the semirank is proposed, the statistic of this test is developed and analyzed. Of the studies about test for exponentiality executed for D’Agostino & Stephens (1984), Spurrier(1984) y Ascher(1990) is deduced that the test of Cox & Oakes and Hollander & Proschan are the most powerfull. Another test of interest has been proposed by Wong & Wong which is based on the extreme statistics as the proposed test. In order to compare the proposed test against the test before mentioned with respect to their power, a Monte Carlo simulation study is performed, where the considered alternative hypotesis son Gamma, Weibull, Pareto Generalizada, Lognormal y Beta. The results show that when the alternative is either Gamma, Weibull or Generalized Pareto, the power of the proposed test in general is as high as the tests of Cox & Oakes and Hollander & Proschan. When the sample sizes are large, the quantiles of the asymptotic distribution of the proposed test have been calculed via Monte Carlo simulation. Key words: exponentiality test, statistical test, life distribution ii NOTACIÓN n tamaño de muestra X 1 , X 2 ,..., X n variables aleatorias básicas Y1 , Y2 ,..., Yn estadísticas de orden de una muestra aleatoria X 1 , X 2 ,..., X n i.i.d independientes e idénticamente distribuidas Y1 mínimo ( X 1 , X 2 ,..., X n ) Yn máximo( X 1 , X 2 ,..., X n ) Y1* Y1 normalizada Yn* Yn normalizada m.a muestra aleatoria v.a´s variables aleatorias α* tamaño de prueba α ALFA (Parámetro de la distribución definida en el texto) β BETA (Parámetro de la distribución definida en el texto) R estadística RE estadística R estandarizada f función de densidad F función de distribución f R(r) función de densidad de R FR(r) función de distribución de R FR ( rA ) función de distribución asintótica de R h(x) función de riesgo F (x ) 1-F(x) función de supervivencia ó función de confiabilidad A Y1 − Yn Y1 + Yn iii 1. INTRODUCCIÓN El estudio del análisis estadístico de la duración de vida de un artículo tiene una larga historia y está estrechamente relacionado con la distribución exponencial; además es aplicada en una amplia variedad de procesos estadísticos. Existen eventos en los cuales la distribución exponencial aparece de manera natural como el modelo apropiado, además, está relacionada con algunas distribuciones bien conocidas que tienen aplicaciones estadísticas, como lo son las distribuciones Gamma y Weibull. El tiempo de vida puede ser representado por una variable con distribución exponencial considerando una asociación teórica relativamente simple, Jonson & Kotz (1994). La distribución exponencial tiene una importante relación con pruebas de tiempo de vida, como lo es en el área de estadística médica, tiempo de vida en artículos industriales, etc. En la teoría de confiabilidad la distribución exponencial es básica y es especial en el área de análisis de supervivencia, ya que las funciones de supervivencia pueden ser clasificadas en relación a la distribución exponencial. La distribución exponencial es empleada para modelar eventos de tiempo de vida de un artículo, en las que tienen la misma probabilidad de vida no importando el tiempo de vida que tenga en el presente. Un ejemplo clásico es la vida de un foco, que sin importar el tiempo que ha durado, la probabilidad de falla en el presente es la misma que en el tiempo inicial del mismo. Se puede observar que : U ~U(0,1) ⇔ x= -lnU ~exp (1) donde U(0,1) es la distribución uniforme en (0,1) y exp(1) la distribución exponencial estándar. La distribución uniforme U(0,1) es de gran importancia para generar números aleatorios; esto tiene mucho sentido en el campo de la simulación con diversos objetivos, entre los cuales se pueden mencionar la investigación de la distribución de estadísticas en pruebas de hipótesis y la integración numérica. 1 1.1 Revisión sobre pruebas de exponencialidad A partir de 1960, se han desarrollado pruebas de bondad de ajuste para la distribución exponencial con uno ó dos parámetros; otras han sido desarrolladas para casos de datos completos, para datos censurados ó bien para ambos casos; además, unas pruebas han considerando distribuciones establecidas en la hipótesis alternativa. D’Agostino & Stephens (1984) presentaron algunas de las primeras pruebas de exponencialidad, entre ellas están: la prueba de kolmogorov, otras basadas en al función de distribución empírica, las cuales son pruebas clásicas que pueden ser empleadas en la mayoría de las distribuciones; sin embargo, en general resultan ser muy laboriosas. Spurrier (1984) presenta una revisión de varias pruebas de bondad de ajuste para la distribución exponencial, entre ellas están: la estadística de Gini, introducida por Gail y Gastwirth (1978b), algunas pruebas consideradas por Bickel & Doksum (1969) y la prueba “New-Better-than-Used” de Hollander & Proschan (1972). Esta última prueba, presenta procesos para pruebas de bondad de ajuste para la distribución exponencial para una y dos colas, dependiendo de la alternativa establecida, además estas pruebas son designadas como de alta potencia contra alternativas de distribuciones con función de riesgo monótona. Ascher (1990) realiza un estudio de comparación de pruebas selectas para exponencialidad, la comparación fue realizada mediante la potencia de las pruebas. Ascher en su estudio consideró una variedad de pruebas entre las que se encuentran: la prueba de Skewness and kurtosis KUSK; la prueba de Hollander and Proschan “New better than used”; la prueba de Gini G, introducido por Gail y Gastwirth; la prueba de Lorenz L(p); la prueba de KolmogorovSmirnov KSL; la prueba de Cox y Oakes Score Cox la prueba del cociente extremo de Wong y Wong , y otras no mencionadas. El estudio de Ascher concluye con respecto a las pruebas estudiadas que cuando no se conoce nada acerca de la distribución alternativa (forma de la función de riesgo de la distribución) la prueba de Cox y Oakes resulta ser de las más potente. Esta prueba también rechaza exponencialidad para alternativas con distribuciones muy cercana 2 a la forma exponencial, de manera general en este estudio se obtuvo evidencias que esta prueba es la que presenta mayor potencia ante las demás pruebas en estudio. Si se tiene sospecha de que la distribución tiene función de riesgo monótona, existen pruebas especializadas de una cola que pueden ser más apropiadas. Mientras que el uso de pruebas de dos colas puede ser más apropiado para función de riesgo no monótona. Para que una prueba de bondad de ajuste alcance una buena potencia, comúnmente se consideran las características de la distribución en estudio. Las pruebas de exponencialidad no han sido la excepción y se han propuesto varias pruebas tomando en cuenta este punto, sin embargo, las pruebas encontradas no han sido prácticas en su cálculo; es de interés, analizar otras características de la distribución, que permita proporcionar una estadística práctica para una prueba de bondad de ajuste. 1.2 Objetivos Proponer una estadística de prueba para bondad de ajuste que posea buena potencia para la distribución exponencial. Realizar un estudio comparativo de la prueba propuesta contra las de Wong & Wong, Cox & Oakes y la de Holander & Proschan. 3 2. CONCEPTOS DE PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE Cuando se tiene una muestra aleatoria (m.a.) X 1 , X 2 ,..., X n de un fenómeno y se piensa que puede ser modelada por una función de densidad f, una pregunta crucial es: ¿realmente f es un buen modelo para las observaciones dadas? Una respuesta a esta pregunta se puede dar empleando técnicas de pruebas de bondad de ajuste. Estas pueden ser de dos tipos: i) Técnica informal: involucra puntos y gráficos de los datos del fenómeno; consiste en ver el comportamiento y deducir de manera intuitiva si los datos son modelados por la función f propuesta. ii) Técnica formal ó rigurosa: consiste en emplear una estadística para probar la hipótesis de que los datos del fenómeno son modelados por la función de densidad f . La primera técnica resulta ser en ocasiones ambigua, ya que depende mucho del criterio del investigador. En este caso no se conoce la probabilidad de cometer algún tipo de error. Si se desea ser formal es recomendable emplear la segunda técnica ya que proporciona mayor certeza para hacer conclusiones, además, permite fijar la probabilidad deseada de algún tipo de error sobre el modelo planteado para el fenómeno. La segunda técnica de bondad de ajuste se pueden presentar en dos tipos de pruebas: • Bondad de ajuste para una hipótesis completamente especificada Sean X 1 , X 2 ,..., X n variables aleatorias i.i.d. (independientes, e idénticamente distribuidas) con distribución F desconocida. Una prueba completamente especificada es presentada al proponer una distribución Fo con parámetros conocidos, de tal forma que la hipótesis a probar es: H o : F = Fo • vs. H A : F ≠ Fo Bondad de ajuste para una hipótesis no especificada Sean X 1 , X 2 ,..., X n variables aleatorias i.i.d. con una distribución F desconocida. Una 4 prueba no especificada se presenta cuando la prueba es: Ho : F ∈F vs. H A : F ∉ F donde F es una familia de distribuciones en la cual, cada elemento está bien caracterizado por sus parámetros particulares. Tipos de error en pruebas de hipótesis: Cuando es empleada alguna estadística de prueba para bondad de ajuste existe la posibilidad de cometer algún error, estos pueden ser de los siguientes tipos: a) Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera (Error tipo I), cuya probabilidad es representada por: P(error tipo I) = α * b) No rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa (Error tipo II), cuya probabilidad es representada por: P(error tipo II) = β * Tamaño de una prueba: Una prueba φ(X) es de tamaño α* si satisface: P(Error Tipo I usando la prueba φ(X) )≤ α * esto es, la máxima probabilidad de cometer el error de tipo I no es mayor que α * Función de potencia: Se dice que Pφ (θ): Ω→[0,1] es la función potencia de la prueba φ cuando: Pφ (θ)=P(rechazar la hipótesis nula Ho usando φ θ ) donde θ es el parámetro de la distribución. 5 3. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Definición: Una variable aleatoria, (v.a) X tiene una distribución exponencial si ésta tiene una función de densidad de la forma: 1 − f X (x ) = e â =0 x −θ x ≥ θ ≥ 0, β > 0 â (3.1) de otro modo donde θ y β son constantes, θ es el parámetro conocido como el origen de la distribución y β el parámetro de escala. Esta función de densidad es un caso particular de la función de densidad Gamma, sin embargo, es de considerable importancia para aplicaciones en confiabilidad. Con frecuencia es razonable emplear la distribución exponencial con el parámetro de origen θ=0, así la distribución se reduce a: x 1 − f X (x ) = e â â =0 x ≥ 0, β > 0 (3.2) de otro modo función con la cual se trabajará en esta investigación. 3.1 Aspectos relevantes de la distribución exponencial Hollander & Wolfe (1999) presentan temas relacionados con pruebas de vida que involucran a la distribución exponencial. Supóngase que X es una v.a no negativa, así X puede denotar el tiempo en que ocurre el final del evento, tal como lo es el fallo de un componente o bien la muerte de un individuo. Definición: Sea la función de distribución: F ( x) = P ( X ≤ x) F ( x) = 0 para x < 0 (3.1.1) F(x) es llamada función de distribución de vida y F ( x) = 1 − F ( x) (3.1.2) la función de supervivencaia ó función de confiabilidad. 6 Definición: Sea f la función de densidad de F con soporte en [0,∞), la función de riesgo es definida por: h (x ) = f ( x) 1 − F (x ) x ≥ 0, F(x)<1 (3.1.3) Sea la variable aleatoria X que representa el tiempo de fallo de algún sistema físico, entonces h(x)dx denota la probabilidad de ocurrencia de fallo en el intervalo (x, x+dx] dado que el sistema no ha fallado hasta el tiempo x. Las distribuciones con función de riesgo monótona son de gran importancia como modelos de duración en la teoría de confiabilidad. Estas comprenden distribuciones con función de riesgo creciente y función de riesgo decreciente, para los cuales se tienen h’(x)≥0 y h’(x)≤ 0 respectivamente y con estricta desigualdad en algunos intervalos abiertos. Una clase de distribución entre ambas familias es la exponencial tal que h’(x)= 0, surge de manera natural en estudio de la hipótesis: x Ho : f ( x; â ) = 1 −â e â x ≥ 0, â > 0 (3.1.4) con parámetro en el origen y parámetro de escala desconocido â . Otra interpretación común es que el producto h ( x )δx es la probabilidad de que un artículo (unidad, persona, partícula) activo en la edad x pueda fallar en el intervalo (x, x + δx ) donde δx es pequeño. La función de riesgo creciente corresponde al deterioro de la unidad conforme el tiempo aumenta; La función de riesgo decreciente corresponde al beneficio de la unidad conforme el tiempo aumenta. Ahora, una función de riesgo constante corresponde a un modelo en el cual la función de riesgo crece o decrece con el tiempo es decir es independiente al tiempo. La hipótesis en este caso es: Ho : h( x) = â , para alguna â > 0 y toda x > 0 (3.1.5) La hipótesis nula afirma que la función de riesgo â es constante, es decir la función de riesgo no depende de la edad o tiempo x. La hipótesis nula especifica que F es una distribución exponencial, pero no especifica con qué parámetro â . Una caracterización de la distribución exponencial es que F es una distribución exponencial si y sólo si la función de riesgo es una constante. Así, Ho de 3.1.5 puede ser reescrita como: 7 x − 1 − e â Ho : F ( x ) = 0 â > 0 y x ≥ 0 con â no especificado si x < 0 (3.1.6) Considérese la hipótesis de interés como: Ho: P(X ≥ x + yX ≥ x)=P(X ≥ y) para todo x≥0, y≥0 (3.1.7) En este caso, la hipótesis Ho asegura que la probabilidad de supervivencia en un tiempo adicional “y” dado que la unidad ha sobrevivido hasta el tiempo “x” es igual a la probabilidad que una nueva unidad pueda sobrevivir el período “y” desde su período inicial de vida. Es decir, un artículo usado tiene la misma probabilidad de falla que un artículo nuevo o bien esto equivale a que la función de riego de falla no depende del tiempo, esto es equivalente a tener la distribución exponencial. Usando la función de supervivencia, 3.1.7 puede ser escrita como: 1 − P( x + y ) = 1 − P( X ≤ y ) 1 − P (x ) F ( x + y) = F ( y) F (x ) de tal forma que la hipótesis Ho dada en 3.1.6 es equivalente a: F ( x + y) = F ( y) F ( x) ∀ x, y ≥ 0 (3.1.8.A) Ho : F ( x + y ) = F ( y) F ( x ) ∀ x, y ≥ 0 (3.1.8.B) Ho : ó 3.2 Distribuciones alternativas a la distribución exponencial Hollander & Wolfe, (1999) presentan pruebas para algunas distribuciones establecidas en la hipótesis alternativa. A continuación se presentarán las alternativas establecidas que han sido objeto de estudio para el desarrollo de pruebas de bondad de ajuste para la distribución exponencial por diversos autores. Supuestos para cada prueba S1. Las variables aleatorias (v.a’s) X 1 , X 2 ,..., X n son i.i.d de una función de distribución continua F. S2. F es una función de distribución 8 • Alternativas FRC y FRD Una distribución de vida F es de la clase de función de riesgo creciente (FRC) si la función de riesgo es no decreciente. De manera equivalente una función de distribución de vida F es de la clase de función de riesgo decreciente (FRD) si la función de riesgo es no creciente. La clase FRC es usada como modelo desfavorable al envejecimiento ó deterioro de la unidad; la FRD es usada como modelo favorable al envejecimiento ó deterioro de la unidad. Si la función de riesgo h(x) existe, se dice que h(x) es de la clase FRC si : h ( x ) ≤ h( y ) para toda x ≤ y (3.2.1A) de manera similar, se dice que h(x) es de la clase FRD si : h ( x ) ≥ h( y ) para toda x ≤ y (3.2.1B) Las hipótesis alternativas HA en este caso son: HA1: F es FRC (y no exponencial) HA2: F es FRD (y no exponencial) HA3: F es FRC o FRD (y no exponencial) Ejemplos de la clase FRC son la distribución Weibull con parámetro de forma α>1 con cualquier parámetro de escala y la distribución Gamma con parámetro de forma α>1, con cualquier parámetro de escala. Ejemplos de la clase FRD son la distribución Weibull con parámetro de forma α<1 con cualquier parámetro de escala y la distribución Gamma con parámetro de forma α<1, con cualquier parámetro de escala. Cuando α=1 la distribución Weibull y Gamma se reducen a la distribución exponencial. Para ilustrar el comportamiento de una función de riesgo es considerada la distribución Weibull(α,β), en la Gráfica 3.2.1 se ha fijado β=1 y se observa una clase de FRC cuando α=1.5, la clase FRD cuando α=0.8 y una distribución exponencial cuando α=1. 9 Función de Riesgo α β Gráfica 3.2.1. Función de riesgo para la distribución Weibull(α,β) con β=1 y α=0.8,1.0 y 1.5. • Alternativas NBU y NWU Una función de distribución es de la clase nuevo mejor que el usado NBU “New Better Than Used” si: Ho : F ( x + y ) ≤ F ( y ) F ( x) ∀ x, y ≥ 0 (3.2.2A) Una distribución es de la clase nuevo peor que el usado NWU “New Worse Than Used” si : Ho : F ( x + y ) ≥ F ( y ) F ( x) ∀ x, y ≥ 0 (3.2.2B) Las alternativas de Ho de interés en este caso son : HA1: F es NBU (y no exponencial) HA2: F es NWU (y no exponencial) HA3: F es NBU o NWU ( y no exponencial) Las distribuciones de la clase FRC y las de FRD forman subconjuntos de las distribuciones NBU y NWU respectivamente. 10 4. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE BASADA EN LA RAZÓN DE DOS ESTIMADORES 4.1 Una característica de la distribución exponencial Algunos estudios sobre los estimadores basados en muestras de una población exponencial han sido asociados con las estadísticas de orden. Lloyd (1952) describió un método para obtener los mejores estimadores lineales insesgados para los parámetros, él empleó las estadísticas de orden. Siguiendo un estudio de la distribución exponencial con las estadísticas de orden y considerando una m.a. X 1 , X 2 ..., X n de la distribución exponencial, se tiene que: E(Xi) = â =µ (4.1.1) Var(Xi)= â 2 = σ2 ⇔ σ = â (4.1.2) son características particulares de la distribución exponencial. Sean: Y1 = mínimo ( X 1 , X 2 ,..., X n ) y Yn = máximo( X 1 , X 2 ,..., X n ) Sean los estimadores de σ y µ funciones de las estadísticas de orden Y1 y Yn , definidas respectivamente como: σˆ = Yn − Y1 µ ˆ= 4.2 Y1 + Yn 2 rango semirango (4.1.3) (4.1.4) La estadística R de la razón del rango y dos veces el semirango El propósito de esta sección es estudiar la función de distribución de la estadística R como una estadística de prueba de bondad de ajuste para la distribución exponencial. Considerando la razón del rango entre dos veces el semirango se tiene: 11 σ R= ˆ 2µˆ R = Yn − Y1 Yn + Y1 (4.2.1) Y1 Y − Y1 Yn además : R = n = Y Yn + Y1 1+ 1 Yn 1− La hipótesis a probar es : Ho: La m.a X 1 , X 2 ,..., X n , proviene de una distribución exponencial. HA: La m.a X 1 , X 2 ,..., X n , no proviene de una distribución exponencial. Nótese que la hipótesis Ho es no especificada, ya que β es desconocida. La prueba que se propone es: Rechazar Ho si R< r1 o R>r2 Si se desea tener una prueba de tamaño α * entonces es necesario encontrar los valores de r1 y r2 tales que cumplan: á * = P ( R < r1 o R > r2 Ho ) = 1 − P( r1 < R < r2 Ho ) ⇒ P (r1 < R < r2 Ho ) = 1 − á * Una manera de seleccionar a los valores de r1 y r2 es : P ( R < r1 Ho) = P ( R > r2 Ho ) = 4.2.1 á* 2 Funciones de densidad y distribución de R Para lo anterior es necesario conocer la distribución de la estadística R bajo Ho. Nótese que la distribución de R no depende del parámetro de escala β. A continuación se procede a obtener la densidad de la estadística de R bajo Ho. La función de distribución conjunta de las estadísticas de orden Y1 y Yn es: 12 f Y1 ,Yn ( y1 , y n ) = n! {F ( y n ) − F ( y 1 )}n− 2 f ( y n ) f ( y1 ) ( n − 2 )! 0 < y n < y1 < 1 donde y1 y y n son el mínimo y máximo de la m.a. de la distribución exponencial f X (x ) = 1 e â −x â FX ( x ) = 1 − e −x â con x ≥0 y β>0, − yn −ây1 f Y1 ,Yn ( y1 , y 2 ) = n (n − 1)e − e â − ( y1 + yn ) n −2 â e I ( 0 , ∞ ) ( y1 ) I ( 0 ,∞ ) ( y n ) â2 Empleando el método de Jacobianos: T: se tiene, y n − y1 y n + y1 w = y1 + y n w (1 + r ) 2 w y1 = (1 − r ) 2 r= yn = − w (1+ r ) − w2(1â− r ) f R ,W ( r , w) = n (n − 1)e −e 2â n− 2 − w â e w I ( 0 ,1) ( r ) I ( 0 ,∞ ) ( w) â2 2 donde la función de densidad de R es: n − 2 ( − 1) n − 2 −k f R ( r ) = 2 n( n − 1)∑ k [r ( n − 2 − 2k ) + n]2 k =0 n− 2 (4.2.2) y la función de distribución de la estadística R bajo Ho es: r n −2 (− 1)n− 2− k dq 2 FR (r ) = ∫ 2n( n − 1) ∑ n − k [q (n − 2 − 2 k ) + n]2 k =0 0 n − 2 (− 1)n −2 − k r FR (r ) = 2( n − 1) ∑ k r (n − 2 − 2k ) + n k =0 n −2 (4.2.3) el desarrollo para obtener las funciones de densidad y de distribución para la estadística R, así como comprobar que la función es una función de densidad es presentado en el Anexo C 13 Para analizar la función de distribución de la estadística R se procede a evaluar FR(r) en los valores de r =0.1, 0.2, 0.3, ......0.9, este proceso es realizado por el Programa 1 en el paquete S-Plus 2000, (Anexo B), los resultados se presentan en la Tabla 4.2.1 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN FR(r) PARA DISTINTOS TAMAÑOS DE MUESTRA n Y r = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4,...,0.9. Tabla 4.2.1 n/r 0.1 2 1.000000e-001 3 8.898776e-003 4 7.518797e-004 5 6.168666e-005 6 4.965835e-006 7 3.944870e-007 8 3.103266e-008 9 2.422896e-009 10 1.880421e-010 15 2.137179e-015 20 -2.582989e-013 25 2.356672e-011 30 -3.539001e-009 35 -9.346726e-010 40 -1.692504e-006 45 1.597919e-005 50 1.952348e-001 55 7.859322e-001 60 -1.322460e+001 65 2.465608e+003 70 -1.101074e+005 75 -2.682089e+006 80 1.408453e+008 85 -1.990331e+008 90 7.342771e+011 95 2.747572e+012 100 7.246248e+014 0.2 0.3 2.000000e-001 3.000000e-001 3.571429e-002 8.080808e-002 6.060606e-003 2.071611e-002 9.990010e-004 5.161865e-003 1.616031e-004 1.262626e-003 2.579979e-005 3.048624e-004 4.079019e-006 7.290455e-005 6.400922e-007 1.730555e-005 9.985017e-008 4.083746e-006 8.662260e-012 2.819499e-009 3.686904e-012 -5.853651e-013 2.598415e-011 -5.053158e-012 1.361378e-010 -3.984465e-010 -6.779581e-008 4.063144e-008 2.838125e-007 -8.595085e-006 -1.697061e-006 2.371434e-005 3.882285e-001 5.785738e-001 1.372773e+000 2.074276e+000 -2.076924e+001 -4.282923e+001 5.008576e+003 7.487008e+003 -2.209934e+005 -3.269820e+005 -5.331597e+006 -8.164397e+006 2.755877e+008 4.147585e+008 -9.356707e+008 -2.133589e+009 1.474003e+012 2.207755e+012 5.545682e+012 8.390246e+012 1.450962e+015 2.180478e+015 0.4 4.000000e-001 1.447964e-001 5.000000e-002 1.679749e-002 5.542445e-003 1.805687e-003 5.827506e-004 1.867046e-004 5.947110e-005 1.841305e-007 5.388886e-010 -6.996643e-011 -2.098914e-009 -3.558412e-009 4.142802e-006 1.349614e-005 7.736742e-001 2.580957e+000 -4.237316e+001 1.047224e+004 -4.398021e+005 -1.136089e+007 5.534634e+008 -3.696107e+009 2.943996e+012 1.137292e+013 2.911551e+015 0.5 5.000000e-001 2.285714e-001 1.000000e-001 4.262404e-002 1.785714e-002 7.389927e-003 3.030303e-003 1.233796e-003 4.995005e-004 5.134694e-006 4.992012e-008 2.850333e-010 6.847944e-009 1.024429e-007 -4.751250e-006 3.066517e-004 9.634063e-001 3.374183e+000 -5.245855e+001 1.352453e+004 -5.555253e+005 -1.454259e+007 6.982429e+008 -5.393042e+009 3.677755e+012 1.403127e+013 3.651838e+015 14 0.6 0.7 6.000000e-001 7.000000e-001 3.333333e-001 4.606345e-001 1.780220e-001 2.931624e-001 9.281895e-002 1.826938e-001 4.761905e-002 1.122142e-001 2.414796e-002 6.819847e-002 1.213893e-002 4.111445e-002 6.060606e-003 2.462927e-002 3.009361e-003 1.467831e-002 8.599931e-005 1.047656e-003 2.327479e-006 7.096529e-005 6.117745e-008 4.666508e-006 -2.210597e-009 3.111972e-007 2.557386e-007 -5.670686e-008 -4.335043e-006 4.459286e-006 -1.546927e-004 -1.116339e-004 1.150514e+000 1.335069e+000 3.756896e+000 3.477279e+000 -6.269552e+001 -6.398526e+001 1.646930e+004 1.951147e+004 -6.633549e+005 -7.936354e+005 -1.799086e+007 -2.109785e+007 8.194924e+008 9.517056e+008 -7.953500e+009 -1.072578e+010 4.414389e+012 5.157043e+012 1.696194e+013 2.011753e+013 4.386371e+015 5.114973e+015 0.8 8.000000e-001 6.124402e-001 4.571429e-001 3.355899e-001 2.434545e-001 1.750518e-001 1.250000e-001 8.876598e-002 6.274966e-002 1.056997e-002 1.696614e-003 2.648337e-004 4.058433e-005 5.860183e-006 -5.927284e-006 -3.526192e-004 1.515621e+000 4.160281e+000 -7.145295e+001 2.267749e+004 -8.966706e+005 -2.480094e+007 1.096661e+009 -1.394661e+010 5.888872e+012 2.316401e+013 5.872893e+015 0.9 9.000000e-001 7.912088e-001 6.855799e-001 5.880941e-001 5.006868e-001 4.237723e-001 3.569780e-001 2.995384e-001 2.505162e-001 9.893507e-002 3.759896e-002 1.395803e-002 5.100409e-003 1.842832e-003 6.568011e-004 7.061346e-004 1.707603e+000 4.291263e+000 -9.245470e+001 2.624695e+004 -1.033585e+006 -2.929298e+007 1.247093e+009 -1.834265e+010 6.626812e+012 2.545871e+013 6.626015e+015 Para los valores negativos que aparecen en el Cuadro 4.2.1 con factor de base 10-X donde x≥004 son valores que se consideran como cero. En este cuadro se observa que para n>45, se tiene que FR(r)>1 ó FR(r)<0, para algunos valores de r como por ejemplo: para n=50 FR(0.7)=1.335069 y para n=60 FR(0.1)= -13.22460, lo cual es una violación a las propiedades de una función de distribución. Observando la función de distribución de R (4.2.3) es : n −2 n − 2 (− 1)n −2 − k r FR (r ) = 2( n − 1) ∑ k r (n − 2 − 2k ) + n k =0 Esta ecuación es una función determinada por una sumatoria con términos de signos alternados, cada término de la sumatoria involucra elementos factoriales, es posible que el redondeo de cada término realizado por el paquete S-Plus 2000, dentro del Programa 1 acumule el error en la sumatoria. Esto puede ser la causa por la que el resultado de FR(r) sea una violación a la función de distribución para tamaño de muestra n>45 y para algunos valores de r, además se observa que el error crece conforme n se hace más grande. Desafortunadamente, esta observación hace limitar el uso de la distribución de la estadística R como una estadística de prueba para tamaños de muestra n≤ 45. 4.2.2 Comportamiento de la función de densidad de R Para analizar el comportamiento de f R(r) donde 0<r<1 se consideran distintos tamaños de muestra y distintos valores de r . Los resultados (Cuadro 4.2.2 Anexo A) son generados por el Programa 2 en el paquete S-Plus 2000 (Anexo B) y representadas por las Gráficas 4.2.1 a la 4.2.3 que presentan el comportamiento de f R(r) para los tamaños de muestra n=5, 20, y 40 respectivamente. 15 5 4 3 2 VALORES DE fr 1 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 VALORES DE r 15 10 5 0 VALORES DE fr 20 25 Gráfica 4.2.1 Función de densidad de fr para n=5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 VALORES DE r Gráfica 4.2.2 Función de densidad de fr para n=20 16 30 20 VALORES DE fr 10 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 VALORES DE r Gráfica 4.2.3 Función de densidad de fr para n=40 Como puede observarse de las Gráficas 4.2.1 a la 4.2.3, para tamaños de muestra n≤40 el comportamiento de la función de densidad tiende a concentrarse a 1 por la izquierda cuando el tamaño de la muestra n crece. Para conocer el comportamiento de la esperanza de f R(r), se realiza un proceso de simulación mediante el Programa 3 en el paquete S-Plus (Anexo B), este proceso permite obtener las esperazas estimadas para distintos tamaños de muestra y es realizado por el algoritmo siguiente: Algoritmo 1 (estimación de la esperanza de R E(r)) 1. Se genera por simulación, n variables aleatorias con distribución exponencial estándar. 2. Se calcula la estadística r = y n − y1 . y n + y1 3. Se repite el paso 1 y 2, 10,000 veces. 4. Del paso 1 al 3 se obtienen ri valores donde i=1,2,...,10,000. Se calcula la media muestral de las ri , sea esta E(ri). 5. La esperanza de f R(ri) para el tamaño de muestra n es E(ri). 17 Los resultados del algoritmo 1 son presentadas en la Tabla 4.2.2 proporcionando las esperanzas estimadas de la función de densidad de f R para los tamaño de muestra con n=2, 3, 4, 5(5), 70(10), 100. Se observa que las esperanzas se concentran de 0.5 (aproximadamente) hasta 1 y que para tamaños de muestra n>8 la esperanza es mayor que 0.90; así, la característica de f R es de una tendencia muy rápida a uno, como se observa en las Gráficas 4.2.1 a la 4.2.3. Tabla 4.2.2 Esperanza de f R (r) para distintos tamaños de muestra n n 2 3 4 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 80 90 100 E(r) 0.4941782 0.6827144 0.7713899 0.8269147 0.9282465 0.9575107 0.9704701 0.9778357 0.9822608 0.9854829 0.9874997 0.9893939 0.9903946 0.9916453 0.9924355 0.9932098 0.9939398 0.9946929 0.9953780 0.9959417 Es importante recordar que las esperanzas de f R obtenidas en la Tabla 4.2.2 para los distintos tamaños de muestra es para cualquier distribución exponencial, ya que f R no depende del parámetro β. 4.2.3 Cuantiles de la función de densidad de R Para realizar la prueba de hipótesis: Ho: La m.a. X 1 , X 2 ,..., X n , proviene de una distribución exponencial. HA: La m.a. X 1 , X 2 ,..., X n , no proviene de una distribución exponencial. el proceso que se propone es: 18 rechazar Ho si R< r1 o R>r2 , donde los valores r1 y r2 son tales que: á* P ( R < r1 Ho) = P ( R > r2 Ho ) = (4.2.4) 2 donde α* es el tamaño de la prueba designada. Para este proceso es necesario conocer los cuantiles de f R para hallar los valores de r1 y r2 que cumplan la condición (4.2.4) del proceso. Para obtener los cuantiles mencionados se procede, considerando la función de distribución de R (4.2.3). Encontrar el cuantil r para un tamaño de prueba α* implica la siguiente condición: n − 2 (− 1)n − 2 − k r 2( n − 1) ∑ =á* k r ( n − 2 − 2 k ) + n k=0 n− 2 (4.2.5) Una solución para encontrar el cuantil r que cumpla (4.2.5), es realizada de manera numérica con un error de delta=0.0001. Para diferentes valores α* los cuantiles son obtenidos por medio del Programa 4 en el paquete S-Plus 2000 mediante el siguiente algoritmo: Algoritmo 2 (estimación de los cuantiles de R) 1.- Se consideran valores para α* y un tamaño de muestra n. 2.- Se proporcionan los valores iniciales como r1 =0, r2 =1 , r = r1 + r2 y delta=0.0001. 2 3.- Se evalúa r en FR (r ) . 4.- Obtener dif = á * − FR (r ) . 5.- Si delta<dif, continuar con los pasos 6 o 7, en caso contrario, continuar con el paso 9. 6.- Si α* – FR(r)> 0 y dif > delta, hacer r1 = r, y r = r1 + r2 . 2 7.- Si α* – FR(r) <0 y dif < delta, hacer r2 = r, y r = r1 + r2 . 2 8.- Repetir los pasos 3 al 7 las veces necesarias. 9.- El valor aproximado del cuantil tal que FR(r) es aproximadamente α* con error de delta=0.0001 es r. 19 Observaciones: 1. delta es el error de aproximación al tamaño de la prueba α* 2. n es el parámetro del cual depende la función de distribución FR(r). En los resultados obtenidos se han considerado los tamaños de la prueba de α*= 0.005, 0.0125, 0.025, 0.05, 0.95, 0.975, 0.9875, 0.995 y para tamaños de muestra n=1,2,...,45. Los resultados son presentados en la Tabla 4.2.3. El motivo por el que se presenta hasta n=45 es la mencionada en la sección 4.2.1 relacionado con la violación de la definición de la función de distribución de FR(r) para tamaños demuestra n>45. Tabla 4.2.3 CUANTILES ESTIMADOS DE R CON ERROR delta=0.0001 PARA DIFERENTES α* n/ α * 0.005 0.0125 0.025 0.05 0.95 0.975 0.9875 2 0.005004883 0.01245117 0.02490234 0.05004883 0.9499512 0.9750977 0.9875488 3 0.075195312 0.11816406 0.16748047 0.23632812 0.9774170 0.9887695 0.9943848 4 0.187500000 0.25390625 0.31933594 0.39990234 0.9860840 0.9931030 0.9965820 5 0.296875000 0.37304688 0.44042969 0.51904297 0.9901733 0.9951477 0.9975891 6 0.390625000 0.46679688 0.53222656 0.60546875 0.9925232 0.9963074 0.9981689 7 0.470703125 0.54296875 0.60351562 0.66894531 0.9940186 0.9970398 0.9985352 8 0.535156250 0.60253906 0.65820312 0.71704102 0.9950562 0.9975586 0.9987793 9 0.585937500 0.65039062 0.70117188 0.75439453 0.9958038 0.9979248 0.9989777 10 0.630859375 0.68945312 0.73583984 0.78393555 0.9963684 0.9982147 0.9991150 11 0.667968750 0.72167969 0.76416016 0.80786133 0.9968109 0.9984283 0.9992218 12 0.699218750 0.74902344 0.78759766 0.82739258 0.9971619 0.9985962 0.9993057 13 0.724609375 0.77148438 0.80737305 0.84387207 0.9974518 0.9987488 0.9993744 14 0.748046875 0.79101562 0.82421875 0.85766602 0.9976959 0.9988632 0.9994354 15 0.767578125 0.80761719 0.83837891 0.86938477 0.9978943 0.9989624 0.9994812 16 0.784179688 0.82226562 0.85083008 0.87963867 0.9980621 0.9990463 0.9995270 17 0.798828125 0.83447266 0.86157227 0.88842773 0.9982147 0.9991150 0.9995651 18 0.812500000 0.84570312 0.87109375 0.89624023 0.9983368 0.9991837 0.9995956 19 0.824218750 0.85546875 0.87939453 0.90307617 0.9984512 0.9992371 0.9996185 20 0.834960938 0.86474609 0.88696289 0.90905762 0.9985504 0.9992867 0.9996452 21 0.844726562 0.87255859 0.89355469 0.91455078 0.9986420 0.9993286 0.9996643 22 0.853515625 0.87939453 0.89965820 0.91937256 0.9987183 0.9993668 0.9996872 23 0.860351562 0.88623047 0.90502930 0.92370605 0.9987869 0.9994049 0.9997025 24 0.868164062 0.89208984 0.90991211 0.92773438 0.9988556 0.9994354 0.9997177 25 0.874023438 0.89721680 0.91442871 0.93133545 0.9989128 0.9994621 0.9997330 26 0.879882812 0.90209961 0.91845703 0.93469238 0.9989624 0.9994888 0.9997482 27 0.885742188 0.90673828 0.92224121 0.93768311 0.9990120 0.9995117 0.9997597 28 0.890625000 0.91064453 0.92578125 0.94042969 0.9990578 0.9995346 0.9997673 29 0.895507812 0.91455078 0.92895508 0.94299316 0.9990959 0.9995537 0.9997787 30 0.899414062 0.91796875 0.93188477 0.94537354 0.9991341 0.9995728 0.9997883 31 0.903320312 0.92138672 0.93457031 0.94757080 0.9991703 0.9995918 0.9997978 32 0.907226562 0.92431641 0.93713379 0.94964600 0.9992027 0.9996071 0.9998055 33 0.910644531 0.92724609 0.93945312 0.95153809 0.9992332 0.9996223 0.9998131 34 0.914062500 0.92993164 0.94165039 0.95330811 0.9992599 0.9996357 0.9998188 35 0.916992188 0.93237305 0.94372559 0.95495605 0.9992867 0.9996490 0.9998245 36 0.919921875 0.93457031 0.94567871 0.95654297 0.9993114 0.9996605 0.9998322 37 0.922363281 0.93676758 0.94750977 0.95800781 0.9993343 0.9996719 0.9998360 38 0.924804688 0.93896484 0.94921875 0.95935059 0.9993553 0.9996834 0.9998436 39 0.927246094 0.94091797 0.95080566 0.96063232 0.9993763 0.9996929 0.9998474 40 0.929687500 0.94262695 0.95239258 0.96185303 0.9993973 0.9997025 0.9998512 41 0.931640625 0.94433594 0.95385742 0.96301270 0.9994125 0.9997120 0.9998569 42 0.934082031 0.94604492 0.95520020 0.96411133 0.9994316 0.9997196 0.9998608 43 0.935546875 0.94775391 0.95654297 0.96514893 0.9994488 0.9997272 0.9998646 44 0.937500000 0.94894409 0.95777893 0.96612549 0.9994621 0.9997349 0.9998684 45 0.939453125 0.94995117 0.95877075 0.96710205 0.9994812 0.9997412 0.9998723 20 . 0.995 0.9949951 0.9978027 0.9986572 0.9990234 0.9992676 0.9994202 0.9995117 0.9995880 0.9996490 0.9996948 0.9997253 0.9997559 0.9997711 0.9997940 0.9998093 0.9998245 0.9998398 0.9998474 0.9998589 0.9998665 0.9998741 0.9998817 0.9998894 0.9998932 0.9999008 0.9999046 0.9999084 0.9999123 0.9999161 0.9999199 0.9999237 0.9999237 0.9999275 0.9999313 0.9999332 0.9999352 0.9999371 0.9999390 0.9999409 0.9999428 0.9999447 0.9999466 0.9999475 0.9999456 4.2.4 La prueba de bondad de ajuste R Los datos son una muestra aleatoria de tamaño n, con alguna función de distribución desconocida y denotada por F(x). Supuestos: 1.- La muestra X 1 , X 2 ,..., X n , es aleatoria. 2.- La escala de medición es al menos de intervalo. Proceso de la prueba R: 1. Dada la m.a. X 1 , X 2 ,..., X n , calcular la estadística de prueba: r= y n − y1 y n + y1 2. Rechazar Ho si r ≤ rá * / 2 ó r ≥ r1−( á * / 2 ) de otro modo no rechazar Ho, donde rá*/ 2 y r1− (á */ 2 ) son valores críticos de la Tabla 4.2.3 que satisfacen P{r ≤ rá* / 2 } = á* = P{r ≥ r1−( á* / 2 ) } 2 Característica de la prueba: 1.- Es una prueba no paramétrica. 2.- No requiere la estimación del parámetros de escala para su realización. 4.3 Tamaño de la prueba R En una prueba de bondad de ajuste es importante que la prueba preserve su tamaño, para verificarlo se estima la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando las muestras pertenecen a la distribución exponencial. Esto es, se procede a generar una m.a con distribución exponencial considerando tamaños de muestra n=10,20,30 y 40, esta se somete a la prueba R para tamaños de la prueba α*=0.01, 0.025, 0.05, 0.1, el proceso es realizado con 1000 réplicas. Este proceso es realizado por el Programa 5 en el paquete S-Plus (Anexo B) mediante el siguiente algoritmo: 21 Algoritmo 3 (tamaño de la prueba R) 1.- Se establece el tamaño de la prueba α* y el tamaño de muestra n. 2.- Se generan muestras aleatorias de tamaño n de la distribución exponencial estándar. 3.- Se calcula R. 4.- Si r calculada ≤ rα * / 2 ó r calculada ≥ r1− (α *) / 2 la muestra toma el valor de 1. Si rα * / 2 ≤ r calculada ≤ r1− (α *) / 2 la muestra toma el valor de 0. 5.- Se repite 1000 veces del paso 2 al 4. 6.- Se suman los valores que tomaron las muestras en el paso 4 y se divide entre 1000, el resultado que se obtiene es una estimación de la probabilidad de error tipo I para el tamaño de muestra n y α* dados. Los resultados obtenidos para el tamaño estimado de la prueba son representados en la Gráfica 4.3.1 (datos del Cuadro 4.3.1 Anexo A). En la Gráfica 4.3.1 se observa que las probabilidades de error tipo I que se presentan son muy cercanos a los tamaños de las pruebas establecidos en los tamaños muestra presentados. Sin perder generalidad, esta gráfica es válida para la distribución exponencial con cualquier valor de parámetro. Probabilidad de Error Tipo I TAMAÑO ESTIMADO DE LA PRUEBA R 0.12 0.1 10 0.08 20 0.06 30 0.04 40 0.02 0 0.01 0.025 0.05 0.1 Tamaño de la Prueba Gráfica 4.3.1. Tamaños estimados de la prueba R para n=10,20,30 y 40 y α* =0.01,0.025,0.05 y 0.1 cuando la muestra proviene de una distribución exponencial. 22 4.4 Potencia de la prueba R La potencia solo es posible obtenerla cuando la hipótesis alternativa es establecida. Con el propósito de conocer el comportamiento de la prueba R, se establecen diferentes distribuciones a la exponencial como la hipótesis alternativa. Las distribuciones que se establecerán en la hipótesis alternativa para este análisis son: Gamma, Weibull y Pareto Generalizada. Función de densidad Gamma: x x á −1 exp − â , á > 0, â > 0, x ≥ 0 . f ( x; á , â ) = Γ( á )â á Función de densidad Weibull: f ( x; á , â ) = xá á á −1 , x exp − â â á > 0, â > 0, x ≥ 0 . Si en cualquiera de estas dos funciones se consideraá =1 se tiene la función de densidad exponencial con parámetro â . Función de distribución Pareto Generalizada: 1 − á x á F ( x; á , â ) = 1 − 1 − á ≠ 0, â > 0 x > 0 â − x á = 0, â > 0 F ( x; á , â ) = 1 − exp â x > 0 cuando á ≤ 0 y 0 < x < â / á cuando á > 0 . Suárez (2000). En cada una de las distribuciones anteriores, á es el parámetro de forma y â es el parámetro de escala. Para obtener los resultados para un análisis de la potencia de la prueba de R se procede a generar una m.a con alguna distribución establecida en la hipótesis alternativa considerando tamaños de muestra n=10, 20, 30 y 40, ésta se somete a la prueba R para el tamaño de prueba α*=0.05. Este proceso es realizado por el Programa 6 en el paquete S-Plus (Anexo B) 23 mediante el algoritmo 3 con la modificación en el paso dos en el que se generan variables aleatorias con la distribución establecida en la hipótesis alternativa. Las potencias aproximadas que se obtienen de la prueba R cuando es considerada como hipótesis alternativa la distribución Gamma es representada por la Gráfica 4.4.1 (Cuadro 4.4.1 Anexo A); cuando la hipótesis alternativa establecida es la distribución Weibull los resultados son presentados en la Gráfica 4.4.2 (Cuadro 4.4.2 Anexo A) y cuando la hipótesis alternativa establecida es la distribución Pareo Generalizada se presenta en la Gráfica 4.4.3 (Cuadro 4.4.3 Anexo A) En las Gráficas 4.4.1 y 4.4.2 se observa que cuando á = 1 la probabilidad de error tipo I es aproximadamente igual al tamaño de la prueba á * = 0.05 establecida, es decir, la prueba detecta una distribución exponencial con un error aproximado de á * = 0.05 en este punto. POTENCIA ESTIMADA DE LA PRUEBA R CUANDO LA H.A. ES GAMMA Potencia Estimada 1.2 1 10 0.8 20 0.6 30 0.4 40 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.8 1 1.5 2 5 8 Parámetro Alfa Gráfica 4.4.1 Potencias estimadas de la prueba R cuando la hipótesis alternativa es la distribución Gamma(α,1) con á * = 0.05 y n=10, 20, 30 y 40. 24 POTENCIA ESTIMADA DE LA PRUEBA R CUANDO LA H.A. ES WEIBULL Potencia Estimada 1.2 1 10 0.8 20 0.6 30 0.4 40 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.8 1 1.5 2 5 8 Parámetro Alfa Gráfica 4.4.2 Potencia estimada de la prueba R cuando la hipótesis alternativa es una distribución Weibull(α,1) con α*= 0.05 y n=10, 20, 30 y 40. En la Gráfica 4.4.3 se observar que, cuando α tiende a cero la prueba detecta una distribución exponencial con una probabilidad de error tipo I aproximadamente igual al tamaño de la prueba á * = 0.05 establecida. POTENCIA ESTIMADA DE LA PRUEBA R CUANDO LA H.A. ES PARETO GENERALIZADA Potencia Estimada 1.2 1 10 0.8 20 0.6 30 0.4 40 0.2 6 4 8 0. 2 3 0. 1 .0 .5 -0 -0 -1 -3 -5 -1 0 0 Parámetro Alfa Gráfica 4.4.3 Potencia estimada de la prueba R cuando la hipótesis alternativa es la distribución Pareto Generalizada con tamaño de la prueba á * = 0.05 y para n=10,20,30 y 40. En las Gráficas 4.4.1, 4.4.2 y 4.4.3 se observa que cuando el tamaño de la prueba crece la potencia crece, lo que indica que la prueba R es una prueba consistente. 25 5. ESTUDIO COMPARATIVO DE LA POTENCIA DE LA PRUEBA R 5.1 Descripción de las pruebas a comparar De los resultados obtenidos por el estudio de Ascher en 1990, se determinó que las pruebas de bondad de ajuste para la distribución exponencial con mayor potencia es la prueba de Cox & Oakes (1984). Además, se ha considerado la estadística de Hollander & Proschan (1972) como la prueba más usada para la bondad de ajuste de la distribución exponencial además de ser una de las pruebas más potentes. Otra prueba relacionada también con las estadísticas extremas, es la prueba de Wong & Wong (1979). A continuación se presentan los procedimientos de estas pruebas que se han considerado las más relevantes para realizar un estudio de comparación mediante sus potencias contra la estadística de prueba R propuesta. La hipótesis de interés a probar es: Ho: F es una distribución exponencial A. Prueba de Hollander & Proschan: Hollander & Wolfe (1999) Sean Y1 , Y2 ,..., Yn las estadísticas de orden de la muestra aleatoria X 1 , X 2 ,..., X n La estadística de prueba es: T = ∑ψ(Y , Y i > j >k i j + Yk ) 1 ψ( a, b ) = 1 / 2 0 donde: si a > b si a = b si a < b obsérvese que la sumatoria en T es sobre todas las n(n-1)(n-2)/6 triples ordenadas (i,j,k) con i>j>k. En la tabla A.35 de Hollander & Wolfe (1999) Anexo A, los valores críticos aproximados que satisfacen P{T ≤ t á * } = á * , son proporcionados para diferentes tamaño de muestra n ≤ 50 y diferentes α*, estos valores críticos han sido calculados vía simulación Monte Carlo. i) Prueba de una cola contra alternativas NBU Para probar: Ho: F es exponencial vs. HA1: F es NBU (y no exponencial) 26 Para el tamaño de prueba α* establecida: Rechazar Ho si T ≤ t á * de otro modo no se rechaza Ho. donde la constante t á * satisface P{T ≤ t á * } = á * . ii) Prueba de una cola contra alternativas NWU Para probar: Ho: F es exponencial vs. HA2: F es NWU (y no exponencial) Para el tamaño de prueba α* establecida: Se rechaza Ho si T ≥ t á * , de otro modo no rechazar Ho donde la constante t á * satisface P{T ≥ t á* } = á * . iii) Prueba de dos colas contra alternativas NBU y NWU Para probar: Ho: F es exponencial vs. HA3: F es NBU ó NWU (y no exponencial) Para el tamaño de prueba α* establecida: Rechazar Ho si T ≤ t á 1* o T ≥ t á 2* , de otro modo no rechazar Ho { } { } donde las constantes t á 1* y t á 2 * satisfacen P T ≤ t á 1* = á 1 * , P T ≥ t á 2 * = á 2 * y α 1 *+α 2 *=α*. Para tamaños de muestra grande es empleada la estadística: T* = T − E(T ) = [var(T )]1/ 2 n( n − 1)( n − 2) T − 8 2 2 7 1 (n − 3)( n − 4) + ( n − 3) + n( n − 1)( n − 2) 432 48 2592 3 la cual tiene una distribución normal estándar Hollander & Wolfe (1999). 27 1 2 B. Estadística de Cox & Oakes (1984): Sean X 1 , X 2 ,... X n una m.a. y sean: 2 n 1 2 ∑ xi log x x i 1 n 1 Vkk = n + ∑ xi log xi − i =1 2 x i =1 x x n −1 y n ∑ xi log xi i =1 x U k 0 = n + ∑ log x i − la estadística de prueba es: Cox = U ko (Vkk )1 / 2 donde la estadística Cox tiene una distribución aproximadamente normal estándar. Para probar: Ho: F es exponencial vs. H.A.: F no es una exponencial Para el tamaño de prueba α*. Cox ≥ Z1 -(á * / 2 ) Se rechaza Ho si Cox ≤ Z á * / 2 ó , de otro modo no rechazar Ho. Las constantes Zα * /2 y Z 1-(á * /2) satisfacen P{T ≤ t á* /2 } = á * /2 , P{T ≥ t 1-(áá 2 ) } = 1 − (á * /2) , los valores de Zα * /2 y Z1- (á * /2) son obtenidos de la distribución normal estándar. C. Estadística de Wong & Wong (1979): Sean Y1 , Y2 ,..., Yn , las estadísticas de orden de la muestra aleatoria X 1 , X 2 ,..., X n La estadística de prueba propuesta por Wong & Wong es: Q= Yn Y1 Para probar: Ho: F es exponencial vs. HA: F no es una exponencial Para el tamaño de prueba α* Rechazar Ho si Q ≥ q , de otro modo no se rechaza Ho donde la constante q satisface P{Q ≥ q} = á * . Los valores críticos aproximados q son dados por los autores Wong & Wong, Tabla Q (Anexo A), los autores presentan en su artículo cuantiles para n≤20, ya que en este estudio se requiere también de los cuantiles para n≥20 se ha generado la Tabla Q por el Programa 7 en el paquete S-Plus 2000 (Anexo B). 28 5.2 Tamaños de las pruebas en comparación En esta sección se analizará el tamaño para las pruebas: R propuesta, Q (prueba de Wong y Wong), Cox (prueba de Cox y Oakes) y HP (prueba de Hollander y Proschan). Para este análisis se procede a generar una muestra aleatoria con distribución exponencial para considerando tamaños de muestra n=10, 20, 30 y 40, esta se somete a las pruebas R, Q, Cox, y HP para el tamaño de prueba α*=0.05, con 1000 réplicas. Este proceso es realizado por el Programa 8 en el paquete S-Plus 2000 (Anexo B) mediante el siguiente algoritmo: Algoritmo 4 ( tamaño de las pruebas) 1.- Se establece el tamaño de la prueba α* y el tamaño de muestra n. 2.- Se genera una muestras aleatoria de tamaño n de la distribución exponencial estándar. 3.- Se calculan las estadísticas R, Q, Cox, y HP. 4.- a) Si r calculada ≤ rá*/ 2 ó r calculada ≥ r1− (á* / 2 ) la muestra MRi (i=1,2...1000) toma el valor de 1, de otro modo MRi toma el valor de cero. b) Si q calculada ≥ q1− á* la muestra MQi toma el valor de 1, de otro modo MQi toma el valor de cero. c) Si Cox calculada ≤ Z á* / 2 ó Cox calculada ≥ Z1−( á* / 2 ) la muestra MCi toma el valor de 1, de otro modo MCi toma el valor de cero. d) Si t calculada ≤ t á * / 2 ó t calculada ≥ t1−( á*/ 2 ) la muestra MHPi toma el valor de 1, de otro modo MHPi toma el valor de cero. 5.- Se repite i=1,2,...,1000 veces del paso 2 al 4. 6.- Se consideran los valores MR=suma de las MRi; MQ=suma de las MQi; MC=suma de las MCi y MHP= suma de las MHPi. 7.- El tamaño de la prueba R es MR/1000. El tamaño de la prueba Q es MQ/1000. El tamaño de la prueba Cox es MC/1000. El tamaño de la prueba HP es MHP/1000. 29 En la Gráfica 5.2.1 (datos del Cuadro 5.2.1, Anexo A) se presentan las probabilidades de error tipo I estimadas para cada una de las pruebas en comparación. En esta Gráfica se observa que la prueba de HP es la que conserva mejor el tamaño de la prueba de α*=0.05, sin embargo, se puede ver de manera general que existe un buen comportamiento a partir del tamaño de muestra n=20 en todas las pruebas, es decir las potencias de las pruebas conservan aproximadamente el tamaño de la prueba establecida. Probabilidad de Error Tipo I TAMAÑO ESTIMADO PARA LAS PRUEBAS R, Q, COX Y HP 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 R Q COX HP 0.02 0.01 0 10 20 30 40 Tamaño de muestra Gráfica 5.2.1. Tamaño estimadas de las pruebas R , Q, Cox y HP con α*=0.05 y n= 10,20,30 y 20, cuando la muestra proviene de una distribución exponencial estándar. 5.3 Resultados de la comparación de pruebas por medio de su potencia Para analizar la comparación entre la potencia de la prueba R contra las potencia de las pruebas mencionadas en la sección anterior, se procede con el algoritmo 4 realizado por el programa 8 en el paquete S-Plus 2000 (Anexo B), con la modificación en el paso dos, en la que se generan variables aleatorias con la distribución: Gamma, Weibull, ó Pareto Generalizada. El proceso es realizado para el tamaño de muestra n=20 â =1, diferentes parámetros de forma α y tamaño de la prueba α*=0.05, estas especificaciones se han proporcionado para cualquier caso de la distribución como alternativa. Los resultados son presentados en el Cuadro 5.3.1 30 Cuadro 5.3.1 Comparación de las potencias de las pruebas R, Q, Cox y HP cuando la hipótesis alternativa es Gamma, Weibull o Pareto Generalizada. Potencias estimadas de las pruebas R, Q, Cox, y HP cuando la hipótesis alternativa es Gamma(α, β=1) con n=20 y α*=0.05 (1000 repeticiones). PRUEBAS/α R Q COX HP 0.2 0.5 0.7 0.8 1.0 1.5 2.0 4.0 8.0 0.995 0.997 1.00 0.997 0.447 0.592 0.716 0.569 0.162 0.255 0.261 0.210 0.104 0.148 0.135 0.127 0.054 0.056 0.053 0.051 0.185 0.001 0.235 0.181 0.440 0.000 0.583 0.466 0.949 0.000 0.995 0.981 1.000 0.000 1.000 1.000 Potencias estimadas de las pruebas R, Q, Cox, y HP cuando la hipótesis alternativa es Weibull(α,β=1) con n=20 y α*=0.05 (1000 repeticiones). 0.2 PRUEBAS/α R Q COX HP 1.000 1.000 1.000 1.000 0.5 0.7 0.8 0.700 0.818 0.965 0.896 0.225 0.358 0.553 0.459 0.116 0.186 0.239 0.197 1.0 0.051 0.063 0.043 0.051 1.2 1.5 0.107 0.014 0.156 0.125 0.393 0.002 0.586 0.484 2.0 0.788 0.000 0.970 0.935 4.0 1.000 0.000 1.000 1.000 8.0 1.000 0.000 1.000 1.000 Potencias estimadas de las pruebas R, Q, Cox, y HP cuando la hipótesis alternativa es Pareto Generalizada (α, β=1) con n=20 y α*=0.05 (1000 repeticiones). Pruebas/α R Q COX HP 1 En -5.0 -3.0 -1.0 -0.3 -0.1 -0.01 0.01 0.3 1.0 3.0 5.0 0.995 0.998 1.000 0.999 0.964 0.988 1.000 0.979 0.278 0.428 0.798 0.532 0.069 0.115 0.190 0.106 0.047 0.059 0.062 0.067 0.046 0.050 0.052 0.056 0.049 0.051 0.053 0.056 0.103 0.035 0.122 0.100 0.323 0.018 0.598 0.685 0.684 0.001 0.963 0.997 0.789 0.003 0.992 1.000 el Cuadro 5.3.1 se observa que existe evidencia que cuando se tiene a la distribución Gamma o Weibull como hipótesis alternativa, la prueba de Cox es la que tiene mayor potencia por lo general. Cuando se tiene a la distribución Pareto Generalizada las pruebas de Cox y HP son las que tiene potencias igualmente altas. 2 Cuando la distribución alternativa es Gamma (con β fija) y parámetros α≤0.2 ó 4≤α, las pruebas R, Cox y HP presentan potencias muy altas y cuando la hipótesis es una distribución Weibull con (β fija) y parámetros α≤0.5 ó 2≤α, las pruebas R, Cox y HP presentan potencias altas. 3 Cuando se tiene la distribución Gamma o Weibull como hipótesis alternativa la prueba Q carece de potencia cuando el parámetro α>1; cuando se tiene a la Pareto Generalizada como hipótesis alternativa, esta prueba presenta evidencias de potencias muy bajas cuando α>0. 31 Nota: 1 Las pruebas de Cox y HP han sido desarrolladas específicamente para hipótesis considerando alternativas con característica de función de riesgo monótonas, por lo que supuestamente debería tener gran ventaja sobre la prueba R propuesta. 2 Se puede observar que la prueba R, es bastante aceptable, además, se comporta de manera similar a las de Cox y HP, en el sentido de como α va variando, caso contrario a la prueba Q. Las distribuciones Gamma y Weibull tienen función de riesgo monótonas y se suponen favorables a las pruebas HP y Cox, ya que estas son basadas en esta característica. Además las distribuciones Gamma, Weibull y Pareto Generalizada contienen a la distribución exponencial como caso particular. Con la finalidad de analizar el comportamiento de las pruebas cuando las distribuciones no tienen función de riesgo monótonas se considerarán las distribuciones: Lognormal y Beta. Función de densidad Lognormal: (log e x − µ) 2 1 f ( x; µ, σ) = exp − x > 0, - ∞ < ì < ∞, ó > 0 2σ 2 x 2πσ donde: µ es parámetro de escala y σ es parámetro de forma. Función de densidad Beta: f ( x; á , â ) = 1 x á −1 (1 − x) â −1 , B( á , â ) 0 < x < 1, á > 0, â > 0 donde á y â son parámetros de forma. Para analizar el comportamiento cuando se tiene la distribución Lognormal como hipótesis alternativa, se fija primero el parámetro µ y se toman diferentes valores para el parámetros σ; posteriormente se fija el parámetro σ y se toman diversos valores para el parámetro µ. Los resultados son presentados en el Cuadro 5.3.2. 32 Cuadro 5.3.2 Comparación de las potencias de las pruebas R, Q, Cox y HP cuando la hipótesis alternativa es Lognormal (µ,σ). Potencias estimadas de las pruebas R, Q, Cox y HP cuando la hipótesis alternativa es la distribución Lognormal(µ=0, σ) con n=20 y α*=0.05 (1000 repeticiones). 0.1 0.6 0.8 1 1.5 2 5 Pruebas/σ R Q Cox HP 1 0 1 1 0.903 0 0.895 0.881 0.399 0 0.348 0.284 0.094 0 0.097 0.068 0.022 0.068 0.546 0.306 0.384 0.572 0.946 0.806 1.00 1.00 1.00 1.00 10 1 1 1 1 Potencias estimadas de las pruebas R, Q, Cox y HP cuando la hipótesis alternativa es la distribución Lognormal(µ, σ=0.5) con n=20 y α*=0.05 (1000 repeticiones). Pruebas/α R Q Cox HP -10 0.992 0 0.991 0.989 -5 0.991 0 0.984 0.985 -2 0.996 0 0.986 0.986 -1 0.992 0 0.994 0.995 0 1 0.990 0.984 0 0 0.987 0.985 0.983 0.988 2 0.993 0 0.985 0.99 5 0.992 0 0.989 0.984 Potencias estimadas de las pruebas R, Q, Cox y HP cuando la hipótesis alternativa es la distribución Lognormal(µ, σ=1) con n=20 y α*=0.05 (1000 repeticiones). -10 -5 -2 -1 0 1 2 5 Pruebas/µ R Q Cox HP 0.111 0 0.096 0.070 0.087 0 0.090 0.061 0.109 0 0.098 0.043 0.078 0 0.091 0.065 0.094 0 0.097 0.068 0.085 0 0.082 0.059 0.087 0 0.081 0.057 0.083 0 0.080 0.054 Potencias estimadas de las pruebas R, Q, Cox y HP cuando la hipótesis alternativa es la distribución Lognormal(µ, σ=2) con n=20 y α*=0.05 (1000 repeticiones). -10 -5 -2 -1 0 1 2 5 Pruebas/µ R Q Cox HP 1 0.334 0.524 0.925 0.778 0.341 0.556 0.931 0.810 0.358 0.541 0.937 0.802 0.356 0.546 0.915 0.784 0.340 0.536 0.927 0.786 0.326 0.528 0.927 0.793 0.345 0.548 0.906 0.792 0.331 0.514 0.931 0.785 10 0.992 0 0.991 0.988 10 0.103 0 0.078 0.049 10 0.366 0.549 0.929 0.806 En el cuadro 5.3.2 se observa que cuando se tiene la distribución Lognormal con parámetro µ=0 y el parámetro σ<1, como hipótesis alternativa las potencias de las pruebas R, Cox y HP son iguales, mientras que cuando µ=0 y σ>1 la que tiene mayor potencia es la pruebas de Cox; la prueba R resulta ser de menor potencia. 2 Hay evidencias que las pruebas tienen potencias altas cuando µ=0 y σ≤0.6 ó µ=0 y 2<σ. 3 Cuando la hipótesis alternativa es la distribución Lognormal con parámetro diferentes µ σ=0.5 y las potencias de las pruebas R, Cox y HP son muy altas. Cuando la hipótesis alternativa es la distribución Lognormal con parámetro σ=1 y diferentes µ las potencias de las pruebas R, Cox y HP son muy bajas. 33 4 Cuando la hipótesis alternativa es la distribución Lognormal con parámetro σ=2 y diferentes µ existe evidencias que la prueba de Cox es la de mayor potencia, mientras que la prueba R es la mas baja. 5 La prueba Q en general no presenta buena potencia en comparación de las pruebas R, Cox y HP. Considerando la distribución Beta como hipótesis alternativa, para observar el comportamiento de las potencia de la pruebas se fija primero el parámetro â y se toman diferentes valores para el parámetros á , posteriormente se fija el parámetro á y se consideran diversos valores para el parámetro â . Los resultados son presentados en el Cuadro 5.3.3 Cuadro 5.3.3 Comparación de las potencias de las pruebas R, Q, Cox y HP cuando la hipótesis alternativa es una distribución Beta (α,β). Potencias estimadas de las pruebas R, Q, Cox y HP cuando la hipótesis alternativa es Beta(α,β=1) con n=20 y α*=0.05 (1000 repeticiones). 0.1 1 1 1 1 Pruebas/α R Q Cox HP 0.5 0.287 0.372 0.259 0.121 0.8 0.128 0.041 0.212 0.271 1 0.318 0.017 0.579 0.650 1.5 0.779 0.000 0.983 0.986 2 0.932 0 1 1 5 1 0 1 1 Potencias estimadas de las pruebas R, Q, Cox y HP cuando la hipótesis alternativa es Beta(α,β=2) con n=20 y α*=0.05 (1000 repeticiones). Pruebas/α R Q Cox HP 0.1 1 1 1 1 0.5 0.8 0.375 0.505 0.484 0.326 0.092 0.087 0.086 0.083 1 0.141 0.018 0.256 0.232 1.5 2 0.580 0.001 0.863 0.821 0.859 0 0.997 0.995 Potencias estimadas de las pruebas R, Q, Cox y HP cuando la hipótesis alternativa es Beta(α=1,β) con n=20 y α*=0.05 (1000 repeticiones). 0.1 0.5 0.8 1 1.5 2 Pruebas/β R Q Cox HP 1 0.876 0.002 0.999 1 0.562 0.008 0.901 0.976 0.387 0.011 0.709 0.825 0.287 0.005 0.564 0.640 0.225 0.022 0.374 0.371 0.158 0.017 0.268 0.249 5 1 0 1 1 5 0.083 0.040 0.100 0.093 En el cuadro 5.3.3 se observa que cuando se tiene como hipótesis alternativa la distribución Beta con parámetro β=1 y α<0.5 las potencias de las pruebas R, Cox y HP son por lo general iguales; cuando β=1 y α>0.8 las pruebas Cox y HP presentan las potencias más altas; ocurre lo mismo cuando β=2 y α<0.8 34 2 Cuando se tiene como hipótesis alternativa la distribución Beta con parámetro α=1 y β>5 todas las pruebas dan evidencias de potencias muy bajas. 3 La prueba Q muestra evidencias de no ser confiable, ya que en algunas especificaciones de parámetros ésta proporciona potencias muy bajas mientras que las otras pruebas proporcionan potencias altas. De las observaciones hechas del cuadro 5.3.3 no existen evidencias para que de manera general se pueda concluir si las pruebas son de alta potencia o no. 35 6. DISTRIBUCIÓN ASINTÓTICA DE LA ESTADÍSTICA R En el capítulo cuatro se desarrollo un estudio de la estadística R la cual resultó adecuada para una prueba con muestra de tamaño pequeño. Con el objetivo de establecer una prueba para muestras de tamaño grande, en este capítulo se analizará y desarrollará la distribución asintótica de la estadística R. Para ello, primero se establecerán simbologías y teoremas importantes relacionados con las estadísticas de orden Y1 y Yn de una muestra aleatoria. Se define el ínfimo de la función de distribución F(x) como: α( F ) = inf{ x : F ( x) > 0} y puede ser -∞ o finito. Se define el supremo de la función de distribución F(x) como: ω( F ) = sup{ x : F ( x) < 1} y puede ser +∞ o finito. Teorema 1 Galambos (1987): Supóngase que para una k finita : ω( F ) ∫ (1 − F ( y ))dy < +∞ k Para α(F) <t<ω(F) defínase: ω (F ) R(t ) = (1 − F (t )) −1 ∫ (1 − F ( y ))dy t supóngase que para todo número real x cuando t → ω( F ) lim 1 − F (t + xR(t )) = e−x 1 − F (t ) Entonces existen sucesiones an y b n >0 tales que cuando n → +∞ , lim P(Yn < a n + bn x ) = H 3 , 0 ( x) donde: H 3 , 0 = exp( −e − x ) - ∞ < x < +∞ . y las constantes de normalización pueden ser seleccionadas como: 36 a n = inf x : 1 − F ( x ) ≤ 1 n (6.1) bn = R( an ) y (6.2) Teorema 2 Galambos (1987): Sea α( F ) finita. Supóngase que la función de distribución 1 F * (tx) F * ( x ) = F α( F ) − , x<0 satisface: lim t → -∞ * = x −γ x F (t ) entonces existen sucesiones cn y d n >0 tales que, cuando n → +∞ , lim P(Y1 < cn + d n x ) = L2 ,γ ( x) 1 − exp( − x γ ) donde: L2 ,γ ( x) = 0 si x > 0 si x ≤ 0 y las constantes de normalización cn y d n pueden ser seleccionadas como: cn = α( F ) y (6.3) d n = sup x : F ( x ) ≤ 1 − α( F ) n (6.4) Teorema 3 Galambos, (1987): Sean X 1 , X 2 ,.... X n variables aleatorias i.i.d con función de distribución F(x). Supóngase que F(x) es tal que existen sucesiones a n , c n , bn > 0 y d n > 0 para las cuales cuando n → +∞ , lim F n ( an + bn x ) = H ( x) y lim[ 1 − F (c n + d n x)] n = 1 − L( x) existen y son no-degenerados. Entonces, cuando n → +∞ lim P(Y1 < cn + d n x, Yn < a n + bn y ) = L( x) H ( y) En otras palabras, si las distribuciones asintóticas de Y1 y Yn existen y son apropiadamente normalizadas, entonces Y1 y Yn son asintóticamente independientes. 37 Ahora, sean X 1 , X 2 ,..., X n variables aleatorias i.i.d de la distribución exponencial, para encontrar las función de densidad asintótica de la estadística R, se emplearán las distribuciones asintóticas normalizadas de las estadísticas de orden Y1 y Yn . a) Distribución Asintótica Normalizada de la Estadística de Orden Yn. Empleando el Teorema 1 y considerando la distribución exponencial de interés se procede al siguiente análisis: ω( F ) = sup{ x : F ( x) < 1} = sup{ x : 1 − e ω( F ) ∫ (1 − F ( x )) dx = +∞ − x β ∫e k dx = − βe − x β k x β < 1} = +∞ +∞ k − = βe β < +∞ k − βt ∫t (1 − F ( y ))dy = e ω (F ) R(t ) = (1 − F (t )) −1 − −1 t − βe β = β − t → ω( F ) lim t + xβ β 1 − F (t + xR(t )) 1 − F ( t + xR( t )) e = t → +∞ lim = t → +∞ lim t − 1 − F (t ) 1 − F (t ) β e = e −x por el Teorema 1 se afirma que la distribución asintótica normalizada Yn* , de la estadística de orden Yn es una distribución Gumbel, es decir: FY * ( x) = exp( −e − x ) n - ∞ < x < +∞ y por el mismo Teorema 1 por las ecuaciones (6.1) y (6.2) se deduce que las constantes de normalización son: bn = R( an ) = β 1 − F (a n ) = b) 1 n ⇔ e a − n β = 1 n ⇔ y, 1 a n = − β log = β log n n Distribución Asintótica Normalizada de la Estadística de Orden Y1. Empleando el Teorema 2 y considerando que la distribución de interés es la distribución exponencial se tiene que: α( F ) = inf{ x : F ( x) > 0} = inf{ x : 1 − e 38 − x β > 0} = 0 1 1 1 F ( x) = F α( F ) − = F − = 1 − e xβ x x * analizando: 1 F * (tx) 1 − e txβ t → −∞ lim * = t → −∞ lim 1 F (t) tβ 1− e 1 /por regla de L’ Hópital/ = t → −∞ lim βt 2 e txβ βxt e 2 1 tβ 1 1 1 1 − = lim t → −∞ e t xβ β = x −1 x por el Teorema 2 se tiene que la distribución asintótica normalizada Y1* de la estadística de orden Y1 es la distribución exponencial: 1 − e − x FY * ( x) = 1 0 si x > 0 si x ≤ 0 y por el mismo Teorema 2 por las ecuaciones (6.3) y (6,4), las constantes de normalización son: c n = α( F ) = 0 y F (d n ) = 1− e d − n β 1 − α( F ) n = 1 n ⇔ log 1 − d 1 =− n n β 1 n d n = −β log 1 − = β log n n −1 ⇔ Así, las estadísticas asintóticas normalizadas de Yn y Y1 son respectivamente: Yn = Yn − an Yn − β log n = bn β (6.5) Y1 = Y1 − c n = dn (6.6) * y * Y1 . n β log n −1 De (6.5) y (6.6) se tiene que: Yn = β(Yn * + log n) n * Y1 = β log Y1 . n −1 y 39 Para encontrar la distribución asintótica de la estadística de R se procede a definir R en función * * de Yn y Y1 . n * Yn + Y1 = β(Yn * + log n) + β log Y1 n − 1 n * = βYn * + log Y1 + log n n −1 * n * Yn − Y1 = β(Yn + log n) − β log Y1 n −1 n * = βYn * − log Y1 + log n n − 1 * * la estadística R en función de Yn y Y1 es: n * * Yn + log Y + log n n −1 1 R= n * Yn * − log Y1 + log n n −1 (6.7) donde : Y1* tiene distribución exponencial Yn* tiene distribución gumbel * * y por el Teorema 3, Yn y Y1 son asintóticamente independientes. 6.1 Estimación de los cuantiles de la distribución asintótica de R por simulación Recuérdese que las esperanzas de las funciones de densidad de R dependen del tamaño de muestra. En la sección 4.2.2 se encontró por medio de simulación, que estas esperanzas son de aproximadamente 0.5 a 1, por esto se decide estandarizar las funciones de densidad para centrarlas en 1 por medio de una constante de estandarización, la constante de estandarización propuesta es: CR = E (Yn + Y1 ) , E (Yn − Y1 ) 40 para encontrar esta constante se procede a calcular E(Y1 ) y E(Yn ): x 1 − f X (x ) = e β β FX ( x) = 1 − e − x β con x ≥0, β >0 f Y1 ( y1 ) = n{1 − F ( y1 )} n −1 − yβ1 f Y1 ( y1 ) = n e ∞ ∞ n −1 ny1 f Y1n ( y n ) = nF n −1 ( y n ) f ( y n ) f ( y1 ) y ny 1 − β1 n − β 1 e = e β β ∞ y − n f Yn ( y n ) = n1 − e β n −1 y 1 − βn e β ny1 − n − n E (Y1 ) = ∫ y1 f ( y1 ) = ∫ y1 e β = ∫ y1 e β dy1 β β0 0 0 2 − y1 n ya que f ( y1 ) = y1 e β es una densidad Γ(2,β/n) se tiene que: β E (Y1 ) = n nβ 2 β = n 2β n y − n E (Yn ) = ∫ y n f ( y n ) = ∫ y n n1 − e β ) 0 0 ∞ ∞ n −1 yn y ∞ − n 1 −β n e dy n = ∫ y n 1 − e β β β 0 n −1 − e yn β dy n y y − n ( n −1− k ) − n − n ( n −1− k ) + n n ∞ n −1 n − 1 n ∞ n −1 n − 1 β n −1− k β β n −1 −k = ∫ y n ∑ ( −1) e e dy n = ∫ y n ∑ (−1) e β dy1 β 0 k =0 k β 0 k=0 k y y n− k β ∞ − yn n n −1 n − 1 n −1− k = ∑ ( −1) y e ∫0 n β k=0 k 2 −yn n− k ya que f ( y n ) = yn e β E (Yn ) = n− k β es una densidad Γ[2,β/(n-k)] se tiene que: n −1 n − 1 ( −1) n −1− k β 2 n n −1 n − 1 (−1) n −1 −k = n β ∑ ∑ 2 β k = 0 k (n − k ) 2 k=0 k (n − k ) n −1 n − 1 ( −1) n −1− k 1 E(yn -y1 ) = E(yn ) - E(y1 ) = β n∑ − 2 k n k = 0 (n − k ) n −1 n − 1 ( −1) n −1− k 1 E(yn + yn )= E(yn )+ E(y1 ) = β n∑ + 2 k n k = 0 (n − k ) 41 La constante de estandarización propuesta es: n − 1 ( −1) n −1− k 1 n ∑ − E ( y n + y1 ) (n − k )2 n k =0 k CR = = n −1 E ( y n − y1 ) n − 1 ( −1) n −1− k 1 n∑ + 2 n k =0 k (n − k ) n −1 (6.1.1) de tal forma que la estadística R estandarizada es: n * Yn * + log Y1 + log n n −1 RE = CR * n * Yn − log Y1 + log n n −1 (6.1.2) Los cuantiles estimados de la distribución asintótica de R estandarizada son calculados por medio de simulación mediante el siguiente algoritmo. Algoritmo5: (cuantiles estimados para la distribución asintótica R estandarizada ) 1.- Generar una variable aleatoria exponencial y otra Gumbel 2.- Se calcula la estadística RE 3.- Se repiten 10,000 veces los pasos 1 y 2 para un tamaño de muestra fijado n> 45 4.- Se considera la función de distribución empírica que resulte de los 10,000 valores de RE, la cual es considerada como una estimación de la distribución R. 5.- Con base en el paso 4 se estiman los cuantiles deseados. Considerando la prueba de dos colas, se proporcionan los cuantiles estimados para tamaños de la prueba α*=0.001, 0.0125, 0.025, 0.95, 0.975, 0.9875, y 0.995, el resultado ha sido obtenido por el algoritmo 5 realizado por el programa 9 en el paquete S-Plus 2000 (Anexo B). Se considera para la distribución asintótica los cuantiles correspondientes al tamaño de muestra n=50, ya que la varianza de la distribución asintótica para tamaños de muestra mayores a 50 crece muy lentamente y no tienen mucha relevancia (esto puede observarse en la Tabla 6.1.1A Anexo A). Los cuantiles aproximados correspondientes para tamaños de muestra n>45 correspondientes a la distribución asintótica son proporcionados en la tabla 6.1.1 42 Tabla 6.1.1 Cuantiles aproximados de la distribución asintótica R estandarizada 50 Colas inferiores y superiores de diferentes α * 0.005 0.0125 0.025 0.05 0.95 0.975 0.9875 0.9630911 0.9714149 0.9774180 0.9830523 1.018277 1.020019 1.021737 Para tamaños de muestra 0.995 1.023820 n>45, la hipótesis Ho: la m.a es una distribución exponencial, es rechazada cuando la RE estandarizada es menor al cuantil de la cola inferior o mayor al cuantil de la cola superior presentado en la tabla 6.1.1. Obsérvese que la estadística de prueba considerada aquí es: RE = CR 6.2 Yn − Y1 Yn + Y1 Distribución asintótica de la estadística R Para encontrar la distribución asintótica de R de la estadística (6.7), se procede a realizar transformaciones por el método de Jacobianos con el propósito de simplificar el procedimiento * * son +1 y n del álgebra y cálculo integral. Se toma en consideración el hecho de que Yn y Y1 asintóticamente independientes. La distribución asintótica de R es: FR ( rA ) = 2Γ 1 n log n −1 + 1 1 A log n + 1 n n − 1 n n −1 log ( r +1) log n n−1 n ∞ log + 1 ∫0 F1 u n−1 du 1 donde F1 es la función de distribución Gamma con parámetros: En el Anexo C se presenta el desarrollo analítico para la obtención de FR 43 n log n −1 A 7. CONCLUSIONES Y RECOMEDACIONES 1. Ya que la función de densidad de la prueba basada en R es libre del parámetro de escala de la distribución exponencial, no es necesario su estimación como ocurre en otras pruebas. 2. La prueba propuesta es consistente con respecto al tamaño de la muestra, esto es, cuando el tamaño de la muestra crece la potencia de esta prueba aumenta. 3. La potencia estimada de la prueba R es buena cuando los datos provienen de las distribuciones Gamma, Weibull y Pareto Generalizada. 4. La prueba R es una prueba de bondad de ajuste la cual no considera características de distribuciones alternativas. Los resultados comparativos obtenidos de esta prueba dan evidencias de su robustez al compararla con las pruebas de Hollander & Proschan y la de Cox & Oakes, las cuales han sido desarrolladas para las alternativas con función de riesgo monótonas, por lo que deberían tener gran ventaja sobre la prueba R propuesta. 5. La prueba R es la más recomendable cuando el investigador desea realizar una prueba rápida y sin mucho calculo, ya que las estadísticas de pruebas HP y Cox resultan muy laboriosas; mientras que la estadística de prueba R se limita a considerar el mínimo y máximo de una muestra aleatoria. 6. La distribución asintótica analítica de la estadística de R fue identificada. 7. Se presentaron evidencias de que la prueba Q de Wong & Wong no es recomendable para probar exponencialidad. 8. Se encontró evidencias de que cuando la muestra proviene de una distribución Beta con parámetro α=1 y β>5 las pruebas R, HP, y Cox detectan una distribución exponencial. Aunque de manera general las potencias de las pruebas no son confiables ante las distribuciones Beta y Lognormal como alternativas. Es recomendable analizar estas distribuciones como alternativas para las pruebas R, HP, y Cox. 44 8. BIBLIOGRAFÍA Ascher S. (1990). A Survey of Test for Exponentiality. Commun. Statist. Theory Meth., 19(5) p.p. 1811-1825. Bickel P., Doksum K. (1969). Test for Monotone Failure Rate Based on Normalized Spacings. The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 40, No. 4, pp. 1216-1235. Cox D. & Oakes D. (1984). Analysis of Survival Data. Champan and Hall. First edition. D’Agostino R. & Stephens M. (1984) Goodness-Of-Fit Techniques. Marcel Dekker. Gail M. & Gastwirth J. (1978). A Scale-Free Goodness-of-Fit Test for the Exponential Distribution Based on the Gini Statistic. Journal of Royal Statistical Society. Series B (Methodological), Vol. 40 No. 3, pp. 350-357. Galambos J. (1987) The asymptotic Theory of Extreme Order Statistics. Robert E. Krieger. Second Edition. Hollander M. & Proschan F. (1972). Testing Whether New is Better than Used. The Annals of Methematical Statistics Vol. 13 No.4 1136-1146. Hollander M. & Wolfe D, (1999). Nonparametric Statistical Methods, Wiley-Interscience. Second Edition. Johnson N., Kotz S. & Balakrishnan N. (1994). 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An Extremal Quotient Test Metrika Volume 26, pp. 1-4. 46 for Exponential Distribution . ANEXOS 47 ANEXO A Tablas y cuadros Tabla 4.2.2 f R evaluada en distintos valores de r para distintos tamaños de muestra n r/n 0.001 0.010 0.025 0.050 0.075 0.100 0.125 0.150 0.175 0.200 0.225 0.250 0.275 0.300 0.325 0.375 0.350 0.400 0.425 0.450 0.475 0.500 0.525 0.550 0.575 0.600 0.625 0.650 0.675 0.700 0.725 0.750 0.775 0.800 0.810 0.825 0.835 0.845 0.850 0.865 0.875 0.900 0.910 0.925 0.935 0.950 0.965 0.975 0.990 n=5 2.457600e-009 2.457747e-006 3.841440e-005 3.076614e-004 1.040309e-003 2.472417e-003 4.845344e-003 8.407610e-003 1.341687e-002 2.014199e-002 2.886528e-002 3.988494e-002 5.351765e-002 7.010150e-002 8.999917e-002 1.413317e-001 1.136015e-001 1.736492e-001 2.110557e-001 2.541001e-001 3.033855e-001 3.595768e-001 4.234091e-001 4.956980e-001 5.773512e-001 6.693816e-001 7.729238e-001 8.892522e-001 1.019803e+000 1.166199e+000 1.330282e+000 1.514148e+000 1.720193e+000 1.951160e+000 2.051218e+000 2.210212e+000 2.322496e+000 2.440111e+000 2.501002e+000 2.692446e+000 2.827770e+000 3.195464e+000 3.355266e+000 3.609880e+000 3.790218e+000 4.077846e+000 4.387634e+000 4.607451e+000 4.958736e+000 n=20 2.217861e-012 -1.123103e-011 2.406061e-012 -4.179955e-012 6.812120e-012 2.432330e-011 -6.961758e-012 -1.400361e-011 -9.510205e-012 -9.637100e-012 8.313107e-012 2.087143e-011 1.594065e-011 1.443419e-010 5.427264e-010 7.868298e-009 2.153913e-009 2.693887e-008 8.621407e-008 2.606013e-007 7.494509e-007 2.062291e-006 5.458654e-006 1.396097e-005 3.463949e-005 8.367857e-005 1.974508e-004 4.564655e-004 1.036765e-003 2.319721e-003 5.126240e-003 1.121722e-002 2.436846e-002 5.270031e-002 7.170361e-002 1.137937e-001 1.548684e-001 2.108747e-001 2.461329e-001 3.919533e-001 5.353301e-001 1.176184e+000 1.618058e+000 2.625857e+000 3.642969e+000 6.003630e+000 1.001853e+001 1.421609e+001 2.441648e+001 48 n=40 -1.508279e-005 -3.004841e-006 -2.050183e-005 2.605650e-006 -1.982732e-006 -1.196274e-005 -4.779161e-006 4.239427e-006 -1.295052e-005 2.975085e-005 -4.759025e-006 -1.491447e-005 -2.011902e-006 -1.185452e-005 -7.949238e-006 -2.240525e-005 -1.081643e-005 -1.422075e-005 3.087296e-006 -2.920782e-006 2.466906e-005 2.926277e-006 -1.771325e-006 2.492535e-006 -6.878613e-006 3.661941e-005 -8.616010e-006 5.557646e-006 -1.088183e-005 4.206498e-006 1.015446e-005 -1.590170e-005 2.111231e-005 4.799966e-005 9.290457e-005 3.227775e-004 5.878650e-004 1.143837e-003 1.610067e-003 4.243254e-003 8.232499e-003 4.437585e-002 8.806389e-002 2.502063e-001 5.088895e-001 1.514816e+000 4.694311e+000 1.027515e+001 3.533623e+001 n=53 1.972196531 2.144367816 1.968946907 1.721719227 1.649640436 1.857161283 1.836728697 1.539467754 1.698504370 1.539769793 1.486762749 1.457642181 1.572657180 1.422813058 1.376614184 1.033073194 1.289773191 1.138367886 1.121702176 1.163847785 1.224958352 1.040154828 1.050840459 0.989545580 0.838509068 0.641181966 0.761567445 0.842814858 0.652341470 0.613421954 0.645621870 0.470397081 0.430093973 0.232778246 0.384094650 0.441776829 0.324706264 0.091692243 0.126690270 0.247419392 0.145785256 0.001476622 0.184012209 0.190291538 0.318401763 0.499369101 2.165648028 6.390494412 35.093453869 Tabla Q. Cuantiles superiores para la prueba de Wong & Wong n/α 0.01 2 199.0128 3 447.5403 4 729.2175 5 1035.7666 6 1362.3047 7 1705.3223 8 2062.3779 9 2432.2510 10 2813.1104 11 3203.7354 12 3603.5156 13 4011.8408 14 4427.4902 15 4849.8535 16 5279.5410 17 5715.3320 18 6157.2266 19 6604.0039 20 7056.8848 21 7513.4277 22 7976.0742 23 8442.3828 24 8913.5742 25 9388.4277 26 9868.1641 27 10350.3418 28 10837.4023 29 11325.6836 30 11821.2891 31 12316.8945 32 12817.3828 33 13320.3125 34 13825.6836 35 14335.9375 36 14848.6328 37 15361.3281 38 15878.9062 39 16401.3672 40 16923.8281 0.025 79.00238 177.49786 289.17313 410.72845 540.19928 676.26953 817.94739 964.66064 1115.64636 1270.67566 1429.29077 1591.18652 1756.13403 1923.82812 2094.26880 2267.15088 2442.32178 2619.62891 2799.07227 2980.49927 3163.75732 3348.99902 3535.76660 3724.36523 3914.18457 4105.83496 4299.01123 4493.40820 4689.33105 4886.47461 5084.83887 5284.42383 5485.22949 5687.25586 5890.50293 6094.66553 6300.04883 6506.34766 6713.86719 0.05 39.00051 87.49008 142.49325 202.37923 266.18004 333.23288 403.07999 475.36850 549.81232 626.22070 704.42200 784.22546 865.55481 948.25745 1032.25708 1117.47742 1203.88031 1291.35132 1379.85229 1469.30695 1559.71527 1651.00098 1743.16406 1836.09009 1929.77905 2024.30725 2119.52209 2215.42358 2312.01172 2409.21021 2507.01904 2605.51453 2704.62036 2804.26025 2904.35791 3005.14221 3106.38428 3208.16040 3310.39429 49 0.1 19.00017 42.47665 69.13424 98.17600 129.12512 161.66449 195.56522 230.65567 266.80946 303.90739 341.88271 380.64003 420.14122 460.31952 501.12724 542.53578 584.49745 626.99318 669.99435 713.46283 757.38907 801.75400 846.51947 891.68549 937.25204 983.16193 1029.43420 1076.03073 1122.97058 1170.23468 1217.80396 1265.64026 1313.80081 1362.22839 1410.92300 1459.88464 1509.09424 1558.57086 1608.29544 T A B L E A.35. Selected Critical Values for the Null Distribution of the Hollander-Proschan T Statistic: n =4(1)20(5)50 For given and α*, the lower-tail entry is t1 (α*,n) satisfying P0 {T≤t1 (α*, n)}≅ α* and the up per-tail entry is t2(α*, n) satisfying P0{T≥t2 (α*, n)}≅ α*. (Tail probabilities were computed via Monte Carlo estimation. A parenthetical value adjacent to an upper (lower) critical point x gives the estimated probability P0 {T ≥x}(P0 {T≤x}). Parenthetical values are included for those estimated tail probabilities that were not within .002 of the nominal α*.) Lower - Tail α* n .01 .025 .05 .075 .10 4 0(.067) 1 (.103) 5 0(.018) 1 (.028) 2 (.040) 3 (.072) 4 6 2 5 (.028) 7 8 (.061) 9 (.086) 7 7 11 14 (.045) 16 (.072) 18 (.105) 8 15 21 25 28 30 9 27 34 40 44 47 10 42 52 60 65 69 11 63 76 86 92 97 12 89 105 117 125 131 13 122 141 157 167 174 14 162 185 204 215 223 15 209 236 259 272 282 16 266 298 323 338 350 17 330 368 397 415 429 18 405 446 480 502 518 19 490 538 577 601 619 20 594 642 685 713 732 25 1250 1351 1427 1472 1507 30 2320 2463 2574 2651 2704 35 3850 4064 4215 4316 4394 40 5947 6214 6434 6593 6700 45 8665 9040 9341 9543 9686 50 12170 12661 13020 13255 13439 (continued) T A B L E A.35. (continued) Upper - Tail α* n .01 .025 .05 .075 .10 4 5 10(.177) 6 20(.053) 19(.167) 7 35 34(.047) 33(103) 8 55 54 53 52.(.083) 52(.083) 9 81 80(.019) 78 77 76 10 114 112 110 109(.067) 107(107) 11 155 152(.028) 150(.046) 148(.070) 146 12 205 201 198(.047) 195 193 13 264 260 255 252(.072) 249 14 334 328 322 318 315 15 415 408 401 396 392 16 508 499 491 484 480 17 613 603 593 586 580 18 732 720 709 700 693 19 866 852 838 828 820 20 1015 998 982 970 961 25 2018 1986 1956 1934 1918 30 3521 3461 3411 3375 3349 35 5625 5546 5464 5403 5359 40 8418 8301 8189 8113 8049 45 12012 11864 11709 11600 11502 50 16519 16310 16085 15937 15823 Adapted from M. Hollander and F. Proschan, Testing whether new is better than used, Annals of Mathematical Statistics 43 (1972): 1136-1146, with permission of the authors, the editor of The Annals of Mathematical Statistics, and the Institute of Mathematical Statistics. 50 Cuadro 4. 3.1 Tamaños de la prueba estimada para n=10, 20, 30 y 40, y α*=0.01, 0.025, 0.05, 0.1 (1000 repeticiones) 0.01 0.011 0.005 0.003 0.006 n/α* 10 20 30 40 0.025 0.021 0.019 0.020 0.029 0.05 0.052 0.052 0.044 0.061 0.1 0.097 0.093 0.091 0.101 Cuadro 4.4.1 Potencias estimadas de la prueba R cuando la hipótesis alternativa es Gamma(α,β=1) para n=10,20,30 y 40, α*=0.05 (1000 repeticiones). n/α* 0.1 0.2 1 0.950 10 1 0.994 20 30 40 1 1 1.000 1.000 0.3 0.769 0.4 0.550 0.5 0.359 0.8 0.082 1.0 0.04 1.5 0.102 2.0 0.254 5.0 0.870 8.0 0.977 0.907 0.726 0.484 0.101 0.048 0.158 0.452 0.985 1.00 0.972 0.991 0.823 0.856 0.549 0.603 0.103 0.098 0.058 0.054 0.27 0.303 0.547 0.635 0.996 1.00 1.00 1.00 Cuadro 4.4.2 Potencias estimadas de la prueba R cuando la hipótesis alternativa es Weibull(α,β=1) para n=10,20,30 y 40, α*=0.05 (1000 repeticiones). n/α* 10 0.1 0.2 1.000 0.996 0.3 0.4 0.5 0.8 0.943 1.0 1.5 5.0 8.0 0.806 0.566 0.120 0.217 0.562 0.997 1.000 20 30 1.000 1.000 1.000 0.996 0.933 1.000 1.000 0.974 0.735 0.802 0.111 0.0490 0.363 0.134 0.040 0.465 0.776 0.879 1.000 1.000 1.000 1.000 40 1.000 1.000 0.844 0.135 0.0440 0.538 0.888 1.000 1.000 1.000 0.988 0.050 2.0 Cuadro 4.4.3 Potencias estimadas de la prueba R cuando la hipótesis alternativa es Pareto Generalizada(β=1,α*) para n=10,20,30 y 40, α*=0.05 (1000 repeticiones). n/α* 10 20 30 40 n/α* 10 20 30 40 -10. 1 1 1 1 .3 0.086 0.106 0.129 0.109 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -.8 -.5 -.3 -.01 0.994 0.961 0.923 0.815 0.580 0.213 0.161 0.077 0.052 0.052 1.000 0.997 0.991 0.941 0.768 0.291 0.182 0.078 0.053 0.057 1.000 1.000 1.000 0.984 0.858 0.328 0.211 0.100 0.050 0.041 1.000 1.000 0.999 0.993 0.906 0.403 0.244 0.110 0.058 0.048 .5 .8 1 2 3 4 5 6 10 0.112 0.181 0.217 0.461 0.592 0.676 0.718 0.755 0.848 0.149 0.262 0.323 0.528 0.667 0.697 0.781 0.815 0.903 0.179 0.299 0.350 0.559 0.690 0.770 0.805 0.825 0.897 0.187 0.296 0.393 0.624 0.715 0.798 0.812 0.852 0.904 .01 0.037 0.050 0.051 0.061 Cuadro 5.2.1 Tamaños estimadas de las prueba R, Q, Cox y HP para n=10,20,30 y 40 con α*=0.05, cuando la muestra aletoria es una distribución exponencial (1000 repeticiones). n/PRUEBA 10 20 30 40 R 0.068 0.044 0.048 0.047 Q 0.056 0.054 0.054 0.047 Cox 0.056 0.042 0.057 0.049 HP 0.049 0.043 0.050 0.046 Tabla 6.1.1A Cuantiles de la distribución asintótica de R generada por simulación para distintos tamaños de muestra n≥50 y distintas α* (1000 repeticiones). n/α α * 0.005 50 0.9630911 80 0.9739354 100 0.9796966 200 0.9909272 300 0.9946939 500 0.9968893 0.0125 0.9714149 0.9785372 0.9834684 0.9926922 0.9955719 0.9974155 0.025 0.9774180 0.9827605 0.9862996 0.9938479 0.9962438 0.9978704 0.05 0.9830523 0.9860349 0.9890088 0.9949959 0.9969528 0.9983221 51 0.95 1.018277 1.005328 1.004016 1.001789 1.001113 1.000640 0.975 1.020019 1.006440 1.004840 1.002120 1.001332 1.000767 0.9875 1.021737 1.007418 1.005654 1.002397 1.001533 1.000852 0.995 1.023820 1.008369 1.006586 1.002707 1.001762 1.001005 ANEXO B Programas en el paquete S-plus 2000 Programa 1 Genera el cálculo de la distribución FR (r) # Este programa realiza los cálculos de la distribución FR (r) para tamaños de # muestra n=2,3,4,.....100 y r=0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 rs<-c(0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9) #valores de r m<-100 # tamaños de muestra n=2,3.....100 ynr<-matrix(0,m,length(rs)) # Matriz que contendrá los resultados ynr1<-c(1:100) j<-1 while (j<=length(rs)) { r<-rs[j] n<-2 while (n<=m) { k<-c(0:n-2) suma<-sum( choose(n-2,k)*((-1)^(n-2-k))*(1/(r*(n-2-2*k)+n)) ) Fr<-2*(n-1)*r*suma ynr[n,j]<-Fr n<-n+1 } j<-j+1 } n<-n-1 columnas<-c(rs) filas<-c(ynr1) dimnames(ynr)<-list(filas, columnas) ynr Programa 2. Genera el cálculo de la densidad de fR(r)y grafica la función correspondiente al tamaño de muestra. # Este programa hace los cálculos de la distribución R(r) con n=30 # proporciona la gráfica de la función de densiadad de f(r) con n=30 rs<-c(0.001, 0.01, 0.025, 0.050, 0.075, 0.10, 0.125, 0.15, 0.175, 0.20, 0.225, 0.25, 0.275, 0.30, 0.325, 0.375, 0.35, 0.40,0.425, 0.45, 0.475, 0.50, 0.525, 0.55, 0.575, 0.60, 0.625, 0.65, 0.675, 0.70, 0.725, 0.75, 0.775, 0.80, 0.810, 0.825, 0.835, 0.845, 0.850, 0.865, 0.875, 0.90, 0.910, 0.925, 0.935, 0.95, 0.965, 0.975, 0.990 ) # valores de r calculadas en f(r) # El tamaño de muestra se puede cambiar. m<-c(30) # tamaño de muestra para el cálculo de los rs en fr y su gráfica ynr<-matrix(0,length(rs),length(m)) # matriz que contendrá los resultados j<-1 while(j<=length(rs)) { r<-rs[j] l<-1 while (l<=length(m)) { n<-m[l] k<-c(0:n-2) suma<-sum( choose(n-2,k)*(-1)^(n-2-k)*(1/ ( (r*(n-2-2*k)+n)^2) ) ) fr<-2*n*(n-1)*suma ynr[j,l]<-fr 52 l<-l+1 } j<-j+1 } m<-matplot(rs, ynr, type="ll", lty=c(1),main="FUNCION DE fr PARA n=30",xlab="VALORES DE r", ylab="VALORES DE fr", col=1) m columnas<-c("fr") filas<-c(rs) dimnames(ynr)<-list(filas, columnas) ynr Programa 3 (ALGORITMO 1) Genera, mediante simulación la esperanza de la estadística R para diversos tamaños de muestra n. # Programa para generar la esperanza de R para varios tamaños de muestra # Se consideran nr repeticiones. m<-c(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,30,35,40, 45,50,55,60,65,70,80,90) #Aquí se pueden cambiar tamaños de muestra n nr<-1000 # No.de repeticiones para analizar la esperanza de f(r), se puede cambiar matmedias<-matrix(0,length(m),2) # vector que tendra los resultados l<-1 while (l<=length(m)) { n<-m[l] vecRl<-matrix(0,nr,1) vecR2<-matrix(0,nr,1) for (i in 1:nr) { g<-matrix(rexp(n,1),n,50) vecRl[i]<-(max(g)-min(g))/(max(g)+ min(g)) } media<-mean(vecRl) matmedias[l,1]<-m[l] matmedias[l,2]<-media l<-l+1 } columnas<-c("n","E(r)") filas<-c(m) dimnames(matmedias)<-list(filas, columnas) matmedias Programa 4.(ALGORITMO 2)Genera los cuantiles para la estadística de R # Este programa hace los cálculos de cuantiles de F(r) para tamaño de muestra n # y distintas tamaños de la prueba con error delta=.0001 se recomienda hasta n=45 alphas <- c(0.005, 0.0125, 0.025, 0.05, 0.995, 0.9875, 0.975, 0.950) m<-c(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28, 29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45) # Tamaños de muestra # Matrices que obtendrán los resultados finales matalfa<-matrix(0,length(m),length(alphas)) matcuantilr<-matrix(0,length(m), length(alphas)) l<-1 while(l<=length(m)) { n<-m[l] j<-1 while(j<=length(alphas)) 53 { r1<-0 r2<-1 r<-(r1+r2)/2 alpha<-alphas[j] dif<-1 while(dif>=1e-005) { k<-c(0:n-2) suma<-sum( choose(n-2,k)*((-1)^(n-2-k))*(1/(r*(n-2-2*k)+n)) ) Fr<-2*(n-1)*r*suma dif<-abs(alpha-Fr) if(alpha-Fr>0 & dif>=1e-005) r1<-r if(alpha-Fr>0 & dif>=1e-005) r<-(r1+r2)/2 if(alpha-Fr<0 & dif>=1e-005) r2<-r if(alpha-Fr<0 & dif>=1e-005) r<-(r2+r1)/2 } matcuantilr[l,j]<-r matalfa[l,j]<- Fr j<-j+1 } l<-l+1 } columnas<-c(alphas) filas<-c(m) dimnames(matcuantilr)<-list(filas, columnas) matcuantilr Programa 5 # # # # (ALGORITMO 3) Genera cuantiles y el tamaño de la prueba R Programa para generar la potencia de la prueba R, considerando distintos tamaños de muestra y sometiéndolos a la prueba R para de diferentes tamaños de la prueba. Se consideran nr repeticiones alphas<-c(0.01,0.025,.05,0.1) # tamaños de la prueba a la que se somete la prueba R alph<-alphas #Para la prueba R de dos colas alphas1<-alphas/2 alphas2<-1-alphas/2 alphas<-c(alphas1,alphas2) m<-c(10,20,30,40) nr<-1000 #tamaños de muestra n a analizar, (dar n<46) # Número de repeticiones para ver el tamaño de la prueba # SECCION DONDE SE CALCULAN LAS CUANTILES DE LA ESTADÍSTICA DE R matrizr<-matrix(0,length(m),length(alphas)) #matriz que contiene los cuantiles r Tprueba<-matrix(0,length(m),length(alphas)/2) #matriz con el tamaño de la prueba j<-1 while (j<=length(alphas)) { l<-1 while (l<=length(m)) { n<-m[l] r1<-0 r2<-1 r<-(r1+r2)/2 alpha<-alphas[j] dif<-1 54 while(dif>=0.0001) { k<-c(0:n-2) suma<-sum(choose(n-2,k)*((-1)^(n-2-k))*(1/(r*(n-2-2*k)+n))) Fr<-2*(n-1)*r*suma dif<-abs(alpha-Fr) if(alpha-Fr>0 & dif>=0.0001) r1<-r if(alpha-Fr>0 & dif>=0.0001) r<-(r1+r2)/2 if(alpha-Fr<0 & dif>=0.0001) r2<-r if(alpha-Fr<0 & dif>=0.0001) r<-(r2+r1)/2 } matrizr[l,j]<-r l<-l+1 } j<-j+1 } # EMPIEZA A ANALIZARSE EL TAMAÑO DE LA PRUEBA j<-1 while (j<=(length(alphas))/2) { l<-1 while (l<=length(m)) { n<-m[l] vecRlj<-matrix(0,nr,1) for (i in 1:nr) { g<-matrix(rexp(n,1),n,1) vecRlj[i]<-(max(g)-min(g))/(max(g)+ min(g)) } # number of rejections if(j==1 & l==1) vecRlj11<-vecRlj if(j==1 & l==2) vecRlj12<-vecRlj if(j==2 & l==1) vecRlj21<-vecRlj if(j==2 & l==2) vecRlj22<-vecRlj nrej1<-as.matrix(vecRlj[vecRlj<matrizr[l,j]]) nrej2<-as.matrix(vecRlj[vecRlj>matrizr[l,j+length(alphas)/2]]) # estimated power powero<-(nrow(nrej1)+nrow(nrej2))/nr nr powero Tprueba[l,j]<-powero l<-l+1 } j<-j+1 } columnas<-c(alphas) filas<-c(m) dimnames(matrizr)<-list(filas, columnas) matrizr columnas<-c(alph) filas<-c(m) dimnames(Tprueba)<-list(filas, columnas) Tprueba Programa 6. (ALGORITMO 3 MODIFICADO) Genera los cuantiles de 0.025 y 0.975 y además proporciona la potencia de la prueba R con alternativa de la distribución Gamma con tamaño de la prueba de 0.05, y tamaños de muestra n=10,20,30 y 40 # nr es el no. de repeticiones. 55 # ESTE PROGRAMA SOLAMENTE CONSIDERA ALFA=0.05 Y n=10,20,30,40. alphas1<-c(0.05) # tamaño de la prueba a la que se someten la prueba R m<-c(10,20,30,40) #tamaños de muestra a analizar, nr<-1000 # Número de repeticiones para ver el tamaño de la prueba A2colas1R<-alphas1/2 A2colas2R<-1-alphas1/2 A2colasR<-c(A2colas1R,A2colas2R) R2colasR<-matrix(0,length(m),length(A2colasR)) _____________________________________________________ # CALCULO DE CUANTILES DE LA ESTADÍSTICA DE PRUEBA R (PRUEBA DE 2 COLAS) # ------------------------------------------------------------------alphas<-A2colasR j<-1 while (j<=length(alphas)) { l<-1 while (l<=length(m)) { n<-m[l] r1<-0 r2<-1 r<-(r1+r2)/2 alpha<-alphas[j] dif<-1 while(dif>=0.0001) { k<-c(0:n-2) suma<-sum(choose(n-2,k)*((-1)^(n-2-k))*(1/(r*(n-2-2*k)+n))) Fr<-2*(n-1)*r*suma dif<-abs(alpha-Fr) if(alpha-Fr>0 & dif>=0.0001) r1<-r if(alpha-Fr>0 & dif>=0.0001) r<-(r1+r2)/2 if(alpha-Fr<0 & dif>=0.0001) r2<-r if(alpha-Fr<0 & dif>=0.0001) r<-(r2+r1)/2 } R2colasR[l,j]<-r l<-l+1 } j<-j+1 } #_________________________________________________________________ # SECCION DONDE SE CALCULAN LAS POTENCIAS O TAMAÑOS DE LAS PRUEBAS #_________________________________________________________________ # en la variable parámetros se cambian los parámetros de la hipótesis alternativa, # en caso de tener dos parámetros se puede fijar uno e ir variando el otro. # Se recomienda dar pocos parámetros por los cálculos que son muy tardados parametros<-c(.1,.2,.3,.4,.5,.8, 1,1.5,2,5,8) T2colasR<-matrix(0,length(m),length(parametros)) pbas<-c(1,2,3,4) # SE ESTAN PROPORCIONANDO 4 PRUEBAS EN ESTE PROGRAMA l<-1 j<-1 while (l<=length(m)) { n<-m[l] ptro<-1 while (ptro<=length(parametros)) { parametro<-parametros[ptro] vecRlj<-matrix(0,nr,1) for (i in 1:nr) 56 { # AQUÍ SE GENERAN LAS VRIABLES ALEATORIAS g<-matrix(rgamma(n,parametro,1),n,1) #AQUÍ SE GENERAN LAS V.A #calculo de las estadístas vecRlj[i]<-(max(g)-min(g))/(max(g)+min(g)) #Estadistica R } # numero de rechazos rej2colas1R<-as.matrix(vecRlj[vecRlj<R2colasR[l,j]]) rej2colas2R<-as.matrix(vecRlj[vecRlj>R2colasR[l,j+length(alphas1)]]) t2colasR<-(nrow(rej2colas1R)+ nrow(rej2colas2R))/nr # estimated power T2colasR[l,ptro]<-t2colasR ptro<-ptro+1 } l<-l+1 } columnas<-c(A2colasR) filas<-c(m) dimnames(R2colasR)<-list(filas, columnas) R2colasR columnas<-c(parametros) filas<-c(m) dimnames(T2colasR)<-list(filas, columnas) T2colasR Nota: solamente se tiene que generar v.a. de la hip. Alternativa deseadas en la línea correspondiente para obtener resultados de la potencia a) para obtener las potencias de la prueba R con alternativas Weibull se generan muestras aleatorias con distribución Weibull lo cual es directo en este paquete de S-Pluss 2000 b) para obtener las potencias de la prueba R con alternativa Pareto Generalizada se generan muestras aleatorias de pareto generalizada mediante el método de inversión, esto es: u<-matrix(runif(n,0,1),n,1) g<-matrix(1-(1-u)**(parametro))*(1/(parametro)) PROGRAMA 7 # Este programa genera los cuantiles de la prueba de Wong y Wong # para difenentes niveles de significancia alfa y para tamños de muestra # y para diferentes tamaños de muestra alphas1<-c(0.01, .025, .05, .1) # n.s. considerados m<-c(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30, 31,32,33,34,35,36,37,38,39,40) #tamaños de muestra a analizar, nr<-1000 # Número de repeticiones para ver el tamaño de la prueba A2colas1R<-alphas1/2 A2colas2R<-1-alphas1/2 A2colasR<-c(A2colas1R,A2colas2R) A1colasupQ<-1-alphas1 A2colas1C<-alphas1/2 A2colas2C<-1-alphas1/2 A2colasC<-c(A2colas1C,A2colas2C) R2colasR<-matrix(0,length(m),length(A2colasR)) R1colasupQ<-matrix(0,length(m),length(A1colasupQ)) R2colasHP<-matrix(0,length(m),length(A2colasR)) #________________________________________________ # SECCION DONDE SE CALCULA LA TABLA DE CUANTILES # _______________________________________________ 57 # INICIA EL CALCULO DE LA TABLA PARA LA PRUEBA Q DE WONG (PRUEBA COLA SUPERIOR) # ------------------------------------------------------------------alphas<-A1colasupQ Rcolas<-R1colasupQ j<-1 while (j<=length(alphas)) { l<-1 while (l<=length(m)) { n<-m[l] r1<-0 r2<-40000 r<-(r1+r2)/2 alpha<-alphas[j] dif<-1 while(dif>=0.000001) { k<-c(0:n-1) suma<-sum(choose(n-1,k)*((-1)^k)*(1/(n+k*(r-1))) ) Fr<-n*suma dif<-abs(alpha-Fr) if(alpha-Fr>0 & dif>=0.000001) r1<-r if(alpha-Fr>0 & dif>=0.000001) r<-(r1+r2)/2 if(alpha-Fr<0 & dif>=0.000001) r2<-r if(alpha-Fr<0 & dif>=0.000001) r<-(r2+r1)/2 } Rcolas[l,j]<-r l<-l+1 } j<-j+1 } R1colasupQ<-Rcolas R1colasupQ columnas<-c(alphas1) filas<-c(m) dimnames(R1colasupQ)<-list(filas, columnas) R1colasupQ Programa 8 (ALGORITMO 4)genera tamaños o potencia de las pruebas R, Q, Cox y HP, además proporciona los cuantiles para el tamaño de la prueba de 0.05 de las pruebas # Este programa proporciona el tamaño de la prueba de R,Q,Cox y HP aproximadas las # pruebas son sometidas al tamaño de la prueba=0.05, se consideran nr repeticiones. # ESTE PROGRAMA SOLAMENTE CONSIDERA ALFA=0.05 Y n=10,20,30,40 # DEBIDO A QUE ALGUNOS CUANTILES DE PRUBAS NO SON CALCULADOS AQUI alphas1<-c(0.05) # n.s. considerado a la que se someten las pruebas m<-c(10, 20,30,40) #tamaños de muestra a analizar, nr<-1000 # Número de repeticiones para ver el tamaño de la prueba A2colas1R<-alphas1/2 A2colas2R<-1-alphas1/2 A2colasR<-c(A2colas1R,A2colas2R) A1colasupQ<-1-alphas1 # ns para la prueba R # ns para la prueba Q R2colasR<-matrix(0,length(m),length(A2colasR))#matriz para val. Crit. P/prueba R R1colasupQ<-matrix(0,length(m),length(A1colasupQ))#matriz para val. Crit. P/prueba Q 58 R2colasHP<-matrix(0,length(m),length(A2colasR)) # matriz para val. Crit. P/prueba HP # ________________________________________________________________ # SECCION DONDE SE CALCULAN LAS TABLAS DE CUANTILES DE LAS PRUEBAS # ________________________________________________________________ # INICIA EL CALCULO DE CUANTILES PARA LA PRUEBA R (PRUEBA DE 2 COLAS) # ------------------------------------------------------------------alphas<-A2colasR Rcolas<-R2colasR j<-1 while (j<=length(alphas)) { l<-1 while (l<=length(m)) { n<-m[l] r1<-0 r2<-1 r<-(r1+r2)/2 alpha<-alphas[j] dif<-1 while(dif>=0.0001) { k<-c(0:n-2) suma<-sum(choose(n-2,k)*((-1)^(n-2-k))*(1/(r*(n-2-2*k)+n))) Fr<-2*(n-1)*r*suma dif<-abs(alpha-Fr) if(alpha-Fr>0 & dif>=0.0001) r1<-r if(alpha-Fr>0 & dif>=0.0001) r<-(r1+r2)/2 if(alpha-Fr<0 & dif>=0.0001) r2<-r if(alpha-Fr<0 & dif>=0.0001) r<-(r2+r1)/2 } Rcolas[l,j]<-r l<-l+1 } j<-j+1 } R2colasR<-Rcolas # valores criticos calculados para la prueba R # INICIA EL CALCULO DE LA TABLA PARA LA PRUEBA Q DE WONG (PRUEBA COLA SUPERIOR) # ------------------------------------------------------------------alphas<-A1colasupQ Rcolas<-R1colasupQ j<-1 while (j<=length(alphas)) { l<-1 while (l<=length(m)) { n<-m[l] r1<-0 r2<-40000 r<-(r1+r2)/2 alpha<-alphas[j] dif<-1 while(dif>=0.000001) { k<-c(0:n-1) suma<-sum(choose(n-1,k)*((-1)^k)*(1/(n+k*(r-1))) ) Fr<-n*suma dif<-abs(alpha-Fr) if(alpha-Fr>0 & dif>=0.000001) r1<-r 59 if(alpha-Fr>0 & dif>=0.000001) r<-(r1+r2)/2 if(alpha-Fr<0 & dif>=0.000001) r2<-r if(alpha-Fr<0 & dif>=0.000001) r<-(r2+r1)/2 } Rcolas[l,j]<-r l<-l+1 } j<-j+1 } R1colasupQ<-Rcolas # valores criticos calculados para la prueba Q # TABLA PARA LA PRUEBA HP (PRUEBA DE 2 COLAS) # TABLA PARA LA PRUEBA DE HOLLANDER (TOMADOS DEL AUTOR TABLA A.35 ANEXO A) # ------------------------------------------------------------------HOLLAN<-c(52, 112, 642, 998, 2463, 3461, 6214, 8301) R2colasHP<-matrix(HOLLAN, nrow=4, byrow=T) columnas<-c(0.025, 0.975) filas<-c(10,20,30,40) dimnames(R2colasHP)<-list(filas, columnas) R2colasHP #_________________________________________________________________ # SECCION DONDE SE CALCULAN LAS POTENCIAS O TAMAÑOS DE LAS PRUEBAS #_________________________________________________________________ parametros<-c(.8, 1,1.2) # AQUÍ SE CAMBIAN LOS PARÁMETROS DE LA DSITRIBUCIÓN T2colasR<-matrix(0,length(m),length(parametros)) TcolasupQ<-matrix(0,length(m),length(parametros)) T2colasC<-matrix(0,length(m),length(parametros)) T2colasHP<-matrix(0,length(m),length(parametros)) pbas<-c(1,2,3,4) l<-1 j<-1 while (l<=length(m)) { n<-m[l] ptro<-1 while (ptro<=length(parametros)) { parametro<-parametros[ptro] vecRlj<-matrix(0,nr,1) vecQlj<-matrix(0,nr,1) vecClj<-matrix(0,nr,1) vecHPlj<-matrix(0,nr,1) for (i in 1:nr) { g<-matrix(rweibull(n,parametro),n,1) #CALCULO DE LAS ESTADÍSTICAS vecRlj[i]<-(max(g)-min(g))/(max(g)+min(g)) #R vecQlj[i]<- max(g)/min(g) #Q #COX VKK<-n+(1/mean(g))*sum(g*(log(g/mean(g)))^2)(1/(n*(mean(g))^2)) *(sum( g*log(g/mean(g))) )^2 UK0<-n+sum(log(g))-(1/mean(g))*sum(g*log(g)) vecClj[i]<-UK0/(VKK^(.5)) Nsup<-qnorm(1-alphas1/2, mean=0, sd=1) #HOLLANDER ord<-order(g) K<-1 TH<-0 while (K<=length(g)-2) { J<-K+1 60 while (J<=length(g)-1) { I<-J+1 while (I<=length(g)) { if(g[ord[I]]>g[ord[J]]+g[ord[K]]){TH<-TH+length(g)-I+1 I<-length(g)} if(g[ord[I]]==g[ord[J]]+g[ord[K]]){TH<-TH+0.5} I<-I+1 } J<-J+1 } K<-K+1 } TH vecHPlj[i]<-TH } pba<-1 while (pba<=length(pbas)) { # numero de rechazos if(pba==1){rej2colas1R<-as.matrix(vecRlj[vecRlj<R2colasR[l,j]]) rej2colas2R<as.matrix(vecRlj[vecRlj>R2colasR[l,j+length(alphas1)]]) t2colasR<-(nrow(rej2colas1R)+ nrow(rej2colas2R))/nr} if(pba==2){rejcolasupQ<-as.matrix(vecQlj[vecQlj>R1colasupQ[l,j]]) tcolasupQ<-nrow(rejcolasupQ)/nr} if(pba==3){rej2colasC<-as.matrix(vecClj[abs(vecClj)>=qnorm(1alphas1/2, mean=0, sd=1)]) t2colasC<-nrow(rej2colasC)/nr} if(pba==4){rej2colas1HP<-as.matrix(vecHPlj[vecHPlj<R2colasHP[l,j]]) rej2colas2HP<as.matrix(vecHPlj[vecHPlj>R2colasHP[l,j+length(alphas1)]]) t2colasHP<-(nrow(rej2colas1HP)+ nrow(rej2colas2HP))/nr} # estimated power if (pba==1) {T2colasR[l,ptro]<-t2colasR} if (pba==2) {TcolasupQ[l,ptro]<-tcolasupQ} if (pba==3) {T2colasC[l,ptro]<-t2colasC} if (pba==4) {T2colasHP[l,ptro]<-t2colasHP} pba<-pba+1 } ptro<-ptro+1 } l<-l+1 } columnas<-c(parametros) filas<-c(10,20,30,40) dimnames(T2colasR)<-list(filas, columnas) dimnames(TcolasupQ)<-list(filas, columnas) dimnames(T2colasC)<-list(filas, columnas) dimnames(T2colasHP)<-list(filas, columnas) # POTENCIAS T2colasR # TcolasupQ # T2colasC # T2colasHP # DE LAS PRUEBAS POTENCIAS DE LA POTENCIAS DE LA POTENCIAS DE LA POTENCIAS DE LA PRUEBA PRUEBA PRUEBA PRUEBA R Q Cox HOLLANDER # VALORES CRITICOS DE LAS PRUEBAS EMPLEADAS dimnames(R2colasR)<-list(m, A2colasR) dimnames(R1colasupQ)<-list(m,A1colasupQ) R2colasR R1colasupQ 61 Nsup R2colasHP Programa 9 (ALGORITMO 5) Este programa hace los cálculos de cuantiles de R (estandarizada) por el método de simulación para distintos tamaños de muestra. alphas <- c(.005, 0.0125, 0.025, 0.05, ,0.95, 0.975, 0.9875, 0.995) m<-c(50,80,100,200,300,500) # Tamaños de muestra nr<-10000 # Número de replicas para ver el tamaño de la prueba # Matrices que obtendrán los resultados finales matcuantilREst<-matrix(0,length(m), length(alphas)) ms<-1 while(ms<=length(m)) { n<-m[ms] vecRlj<-matrix(0,nr,1) for (i in 1:nr) { ynA<-rexp(1,1) u<-runif(1, min=0, max=1) y1A<-log( (log (u^(-1) ))^(-1) ) r1<-(ynA-y1A*log(n/(n-1))+log(n)) r2<-(ynA+y1A*log(n/(n-1))+log(n)) Rasint<-r1/r2 k<-c(0:n-1) Cn<-sum( choose(n,k)*((-1)^(n-k-1))*(1/(n-k)) Cninv<-(Cn+(1/n))/(Cn-(1/n)) RasintEst<-Cninv*Rasint vecRlj[i]<-RasintEst } cuantilesREst<-quantile(vecRlj, c(alphas)) matcuantilREst[ms,]<-cuantilesREst ms<-ms+1 } columnas<-c(alphas) filas<-c(m) dimnames(matcuantilREst)<-list(filas, columnas) matcuantilREst 62 ) ANEXO C Desarrollo analítico de funciones Desarrollo para obtener la función de densidad de la estadística R La función de distribución conjunta de las estadísticas de orden Y1 y Yn cuando la hipótesis nula es una función exponencial es: f Y1 ,Yn ( y1 , y n ) = n! {F ( y n ) − F ( y1 )}n− 2 f ( y n ) f ( y1 ) ( n − 2)! 0 < y n < y1 < 1 donde y1 y y n son el mínimo y máximo de la m.a. de la distribución exponencial 1 f X (x ) = e â −x â FX ( x ) = 1 − e −yn − y1 â f Y1 ,Yn ( y1 , y 2 ) = n( n − 1) 1 − e − 1 + e â − yn −ây1 = n (n − 1)e − e â n− 2 e n− 2 e −x â − yn â e donde x ≥0 y β>0, − y1 â â2 I ( 0 ,∞ ) ( y1 ) I ( 0 , ∞ ) ( y n ) − ( y1 + yn ) â â2 I ( 0 , ∞ ) ( y1 ) I ( 0 ,∞ ) ( y n ) Por el método de Jacobianos se tiene: T: y n − y1 y n + y1 w = y1 + y n w (1 + r ) 2 w y1 = (1 − r ) 2 r= J T −1 w = 2 w − 2 Note que: yn = 1+ r 2 = w(1 − r ) + w(1 + r ) = ( w + w) = w 1− r 4 4 4 2 2 por otro lado: y n > y1 ⇔ y n − y1 > 0 x i ∈ (0, ∞) ⇒ y1 + y n > 0 w>0 y − y1 r= n >0 y n + y1 y n < y n + y1 y n − y1 < y n ⇒ y n − y1 < y n + y1 y − y1 ⇒r= n <1 y n + y1 por lo tanto 0<w y 0<r<1 así: 63 − w (1+ r ) − w2(1â− r ) f R ,W ( r , w) = n (n − 1)e −e 2â n− 2 − w â e w I ( 0 ,1) ( r ) I ( 0 ,∞ ) ( w) â2 2 Obsérvese que: w(1 +r ) − − w (21−â r ) − e 2â e n −2 =e − w (1+ r )( n − 2 ) 1+ r 2â wrâ e − 1 n− 2 =e − w (1+ r )(n −2 ) 2â n − 2 e ∑ k k=0 n− 2 wrk â (− 1)n− 2− k rk ( n− 2) − − w n − 2 n − 2 −k 2â â = ∑ (− 1) e k k =0 n− 2 Así, la función de densidad de R es obtenida por: n( n − 1) n − 2 n − 2 (− 1)n − 2 − k e − wc wdw ∫0 2 â 2 ∑ k k=0 ∞ f R (r) = 1 + r rk 1 ( n − 2) − + donde c = â â 2â f R (r) = ∞ n( n − 1) n −2 n − 2 n− 2− k −wc ( − 1 ) ∑ ∫0 e wdw , 2 â 2 k =0 k obsérvese que f(w) = c 2 we −cw es una densidad Γ(2,1/ c) f R (r) = n( n − 1) n −2 n − 2 (− 1)n − 2 − k ∑ 2 â 2 k =0 k c 2 1 ((1 + r )( n − 2) − 2 rk + 2) 2 = 1 2 (n − 2 + rn − 2 r − 2rk + 2 )2 2 4â 4â 1 = [n + rn − 2 r − 2rk ]2 = 1 2 [r ( n − 2 − 2k ) + n]2 2 4â 4â c2 = Sustituyendo c se obtiene la función de densidad de R n − 2 ( − 1) n − 2 −k f R ( r ) = 2 n( n − 1)∑ k [r ( n − 2 − 2k ) + n]2 k =0 n− 2 Obsérvese que la función de densidad de la estadística de R es una función libre del parámetro β, además, depende del tamaño de muestra n. 64 Comprobando que fR(r) es una función de densidad 1 1 n −2 n −2 n − 2 (− 1) n−2− k n −2 dr n −2 − k 2 n ( n − 1 ) dr = 2 n ( n − 1 ) ( − 1 ) ∑ ∑ ∫0 k [r (n − 2 − 2k ) + n ]2 k ∫ 2 k =0 k =0 0 [r ( n − 2 − 2 k ) + n] Haciendo un cambio de variable: v = r(n-2-2k)+ n dv = (n-2-2k)dr dv/(n-2-2k)=dr 1 ∫ 0 n− 2− k n − 2 ( −1) f R ( r ) dr = 2n (n − 1)∑ k n − 2 − 2k k=0 n− 2 ∫ 2 ( n − k −1) n r=0 ⇒v=n r = 1 ⇒ v = n-2-2k + n =2(n-k-1) n− 2− k n− 2 dv n − 2 ( −1) = − 2 n( n − 1)∑ k n − 2 − 2k v2 k =0 1 v 2 ( n − k −1) n ( −1) 1 1 = −2n (n − 1)∑ n −k 2 − n − 2 − 2 k 2(n − k − 1) n k =0 n− 2 n− 2− k n −2 n − 2 (−1) n − 2 − k n − 2n + 2k + 2 = −2 n( n − 1)∑ k =0 k n − 2 − 2k 2 n( n − k − 1) n− 2 n − 2 (−1) n − 2 − k = −( n − 1)∑ k =0 k n − 2 − 2k n −2 n − 2 ( −1) n − 2 − k − n + 2 + 2k = ( n − 1 ) ∑ n − k −1 k =0 k n − k −1 n− 2 n −2 ( n − 2)! (−1) n −2 − k ( n − 1)! (−1) n −2 − k (n − 1)!( −1) n −1− k = ( n − 1)∑ =∑ = −∑ (n − 1 − k )! k! (n − 1 − k )! k! k = 0 (n − 2 − k )! k!( n − k − 1) k=0 k =0 n− 2 n −2 (n − 1)! (−1) n −1 −k ( n − 1)! (−1) (n −1) −( n −1) (n − 1)!( −1) ( n −1 )− (n −1) = −∑ + − [( n − 1) − ( n − 1)]! (n − 1)! [(n − 1) − (n − 1) ]!( n − 1)! k =0 (n − 1 − k )! k! n −1 (n − 1)!( −1) n −1− k ( n − 1)! n −1 n − 1 (n − 1)! = −∑ − = ∑ ( −1) n −1− k − = −[0 − 1] = 1 ( n − 1)! k = 0 k (n − 1)! k =0 (n − 1 − k )! k! n n k n n− k ( 1 ) ( − 1 ) = ( −1) n − k =(1 − 1) n = 0 ∑ ∑ k k =0 k=0 k n Obsérvese que : Obtención de función de distribución de la estadística R r n −2 n − 2 (− 1)n− 2− k dq FR (r ) = ∫ 2n( n − 1) ∑ k [q (n − 2 − 2 k ) + n]2 k =0 0 n −2 n − 2 r dq = 2 n( n − 1) ∑ (− 1)n − 2 −k ∫ 0 k [q( n − 2 − 2 k ) + n]2 k =0 65 n − 2 (− 1)n − 2 − k 1 (− 1)n− 2− k = −2n (n − 1)∑ k n − 2 − 2k k =0 q (n − 2 − 2k ) + n n− 2 0 r n− 2 (− 1) n− 2−k (− 1) n− 2−k 1 1 = −2n (n − 1)∑ n −k 2 − n − 2 − 2k k=0 r ( n − 2 − 2k ) + n n n −2 n − 2 (− 1)n − 2 − k (− 1)n− 2 − k n − r ( n − 2 − 2 k ) − n = −2 n( n − 1) ∑ k n − 2 − 2k k =0 [r ( n − 2 − 2 k ) + n]n n − 2 (− 1)n − 2 − k (− 1)n − 2− k − r ( n − 2 − 2k ) = −2(n − 1)∑ k n − 2 − 2k k=0 [r ( n − 2 − 2 k ) + n] n− 2 n −2 (− 1)n− 2− k r . FR (r ) = 2( n − 1) ∑ n − 2 k r ( n − 2 − 2k ) + n k =0 Desarrollo analítico de la distribución asintótica de la estadística R n * * Yn + log Y + log n n −1 1 R= n * Yn * − log Y1 + log n n −1 Dada la distribución exponencial de interés se tiene que : a n = β log n bn = β Yn − an Y1 − cn * * Yn = Y1 = donde: cn = 0 bn dn d n = β log ( nn−1 ) β − parámetro de la exponencia l * 1 Y es una distribución exponencial y * n Y es una distribución Gumbel Por el teorema 3 Y1* y Yn* son asintóticamente independientes, esto es: fY * * 1 ,Y n { ( y * , yn* ) = exp − y* − y*n − e − y 1 1 * n } por el método de Jacobianos: T: y1 = d n y1* + c n y1 − cn dn y − an y *n = n bn T −1 : y *1 = y n = bn y *n + an con soportes: 0 < y1 y J T −1 = 1 dn 0 - ∞ < yn < ∞ 66 0 1 bn = 1 d n bn por el método de Jacobianos: y T : z1 = n T −1 : y1 = ( z 2 − z1 )d n bn y y z2 = 1 + n y n = z 1bn d n bn { f Z1,Z 2 ( z1 , z2 ) = n exp − z 2 − ne− z1 R= obsérvese que: } J T −1 = dn - dn 0 bn con soportes: − ∞ < z1 < ∞ = d n bn y − ∞ < z2 < ∞ y n − y1 z 1bn − ( z 2 − z 1 ) d n (bn + d n ) z1 − d n z 2 = = y n + y1 z1 bn + ( z 2 − z 1 ) d n (bn − d n ) z1 + d n z 2 Por lo que, realizando la transformación: T: w1 + w2 2bn b + dn b + dn 1 w1 + n z 2 = n − dn 2bn d n 2bn d n T −1 : z1 = w 1 = (bn + d n ) z 1 − d n z 2 w 2 = (bn − d n ) z1 + d n z 2 J T −1 1 2bn = bn + d n 1 − 2bn d n dn 1 2bn b +d b +d 1 1 = n 2 n − n 2n + = bn + d n ( 2bn ) d n (2bn ) d n 2bn d n 2bn d n 2bn d n { fW1 ,W2 ( w1 , w 2 ) = n exp − d1w1 − d 2 w 2 − ne −d 3 ( w1+w2 ) } 2b1d n con soportes w2 − ∞ < w1 < ∞ y = n { n e −d1w1 −d2w2 exp − ne−d 3 ( w1 + w2 ) 2bn d n } − ∞ < w2 < ∞ n − β bn + d n d n − bn 1 1 1 n −1 donde : d 1 = − = = = − 2bn d n dn 2bn d n n 2 β 2 β log n 2 2 β log n −1 n −1 n β log +β b + dn 1 1 1 1 n −1 d2 = n = = + d3 = = 2bn d n n 2 β 2 β log n 2bn 2β 2 2 β log n −1 n − 1 0 ∞ w1 ( ) P( R ≤ r ) = P R ≤ r = ∫ P w1 > w2 r W 2 = w2 f W 2 ( w2 ) dw2 + ∫ P (w1 ≤ w2 r W2 = w2 ) f W 2 ( w2 ) dw2 w 2 −∞ 0 β log ∞ n −d 1w1 − d 2 w2 −d 3 ( w1 + w2 ) P ( w > w r W = w ) f ( w ) dw = e exp − ne dw dw2 1 2 2 2 W 2 2 1 ∫ 2 ∫ w∫r 2bn d n −∞ −∞ 2 0 ne − d 2 w2 ∞ −d 1w1 − d 2 w2 − d 3 ( w1 + w2 ) = ∫ e exp − ne dw ∫ 1 dw2 −∞ 2bn d n w r 2 0 { 0 { } 67 } 1 1 1 1 − − w − + w2 1 2β n 2β n 1 0 − ( w1 +w 2 ) ∞ 2 β log n −1 2 β log n −1 ne − d 2 w2 2β = ∫ exp − ne e dw1 dw2 n w∫2 r 2 −∞ 2β log n −1 − w2 w1 1 n 1 ∞ − ( w + w ) 2 β log − ( w + w ) 1 2 1 2 ne e 2β n −1 = ∫ e exp − ne 2 β ∫ e dw1 dw2 n 2 − ∞ 2β log w2 r n −1 − d 2 w2 0 n 2 β log n −1 por cambio de variable: x =e − 1 2β 1 ( w1 + w2 ) dx = − 1 − 2 β ( w1 + w2 ) e dw1 2β w2 xe 2 β = e − w2 n 2 β log n −1 − w1 2β −1 − w2 e − ( w2 r2 +βw2 ) n n log 2 β log ne e n −1 n −1 = ∫ e exp {− nx}dx dw2 ∫ x n −∞ −∞ β log n − 1 −1 ( w 2 r + w2 ) − 2β n 0 log log( nn−1 ) + 3 ne −kw2 e n −1 = ∫ exp {− nx}dxdw2 con k = ∫ x 2β log( n n−1 ) n −∞ −∞ β log n −1 ( w 2 r + w2 ) 1 − 2β n 0 log e n − kw2 n − 1 = e x exp { − nx } dx dw2 ∫ n −∫∞ −∞ β log n −1 1 Γ n + 1 ( w r + w2 ) 0 log n −1 − 2 ne −kw2 2β = ∫ F ( e ) 1 dw2 1 +1 n −∞ n log β log n −1 n − 1 n 1 +1 n log donde F1 es la función de distribución Gamma con parámetros: y n n −1 1 Γ n + 1 w ( r +1 ) log n −1 0 − 2 − kw2 2β = )dw2 1 ∫ e F1 (e 0 − d 2 w2 n log n −1 n n −1 n −∞ β log 68 (I) Realizando cambio de variable: 1 1 u = e −kw2 du = − e − kw2 dw2 − w2 = log u k k 1 2Γ n + 1 log n −1 ∞ log n1 (r + 1) logu du = F1 exp n − 1 1 ∫ n n 1 log log + 3 log n + 3 n n −1 n − 1 n − 1 1 2Γ n + 1 log (nn−11 )( r +1) log n −1 ∞ log n +3 = F1 u n −1 du 1 ∫ n 1 log n + 3 n log n −1 n − 1 (II) ( ) ∞ w2 r n −d 1w1 − d 2 w2 − d 3 ( w1 + w2 ) P ( w < w r W = w ) f ( w ) dw = e exp − ne dw dw2 1 2 2 2 W 2 2 1 ∫0 ∫0 −∫∞ 2bn d n 2 (el proceso es similar al realizado para el término anterior con la diferencia de analizar los ∞ { } límites del integrando) w2 r −d 1w1 −d 2 w2 exp − ne − d 3 ( w1 + w2 ) dw1 dw2 ∫e −∞ 1 1 1 − w − 1 + w − 1 2 n n 2β 2β 1 ∞ − ( w1 + w2 ) w2r 2 β log n −1 2 β log n −1 ne − d 2 w2 2β =∫ exp − ne ∫ e dw1 dw2 n 2 0 2 β log −∞ n −1 ∞ { ne −d 2 w2 =∫ 2bn d n 0 } −w2 n 2 β log n −1 w1 w r 1 n 1 2 − ( w + w ) 2 β log − ( w1 + w2 ) 1 2 ne e n −1 =∫ e 2β e exp − ne 2 β dw1 dw2 ∫ n 0 2β 2 log −∞ n − 1 ∞ − d 2 w2 por cambio de variable (I): − w2 = ∞ ∫ 0 ne − d 2 w2 n 2 β log n −1 e n β log n −1 −1 − w2 ∞ n n log 2 β log n −1 n −1 e exp{− nx}dxdw2 ∫x − ( w2 r + w2 ) 2β 69 −1 ∞ log n log( nn−1 ) + 3 ne n − 1 =∫ exp {− nx}dx dw2 con k = ∫x n − ( w2r + w2 ) 2β log( nn−1 ) 0 β log 2β n −1 1 1 Γ n + 1 Γ n + 1 (w r + w2 ) ∞ log n −1 log n −1 − 2 ne −kw 2 2β =∫ F ( e ) dw = 1 2 1 1 n + 1 n n 0 β log log n log n −1 n −1 n − 1 n β log n n −1 ∞ − kw2 ∞ ∫e −kw2 − F1 ( e w2 (r +1) 2β )dw2 0 por cambio de variable II: 1 2Γ n + 1 log n −1 1 log n1 ( r + 1) logu du = F1 exp n − 1 1 ∫ n n 0 + 3 log log n + 3 n log n −1 n − 1 n − 1 1 n1 2Γ n + 1 log( n −1 )(r +1) log n −1 1 log n +3 = F1 u n −1 du 1 ∫ n 0 log n + 3 n log n −1 n − 1 ( ) Así: ∞ w 0 P ( R ≤ r ) = P R 1 ≤ r = ∫ P (w1 > w 2 r W 2 = w2 ) f W (w 2 )dw2 + ∫ P (w1 ≤ w2 r W 2 = w 2 ) f W ( w2 ) dw2 w2 −∞ 0 1 1 log ( ) ( r + 1 ) 2Γ n + 1 2 Γ n + 1 log( )( r +1) log log n n −1 ∞ log +3 n −1 1 log n +3 n −1 = F1 u F1 u n −1 du du + 1 ∫ 1 ∫ n 1 n 0 n log n−1 n log n −1 log + 3 n log + 3 n n − 1 n − 1 2 2 n1 n −1 P( R ≤ r ) = 2Γ 1 n log n −1 log n + 3 n n − 1 n1 n− 1 + 1 1 log n n −1 log ( nn−11 )( r +1 ) ∞ log nn−1 + 3 ∫0 F1 u du 70