Cap, tulo 2 Diferenciabilidad de funciones de varias variables

Cap
tulo 2
Diferenciabilidad de funciones de
varias variables
Cap
tulo 2
Diferenciabilidad de funciones de varias
variables
2.1
Noci
on de derivada.
Interpretaci
on geom
e-
trica
Antes de comenzar nuestro estudio, ilustremos con un par de situaciones la aplicabilidad de las nociones a tratar.
Cuando una bola de billar golpea a otra parada, en un punto P de su supercie,
esta se mueve a lo largo de la recta de impacto, unvocamente determinada por P y
por el centro de la bola. El impacto puede suceder de dos formas.
Si la bola lanzada se mueve en la recta de impacto (lo cual requiere una precision
mayuscula), esta se para en seco y cede todo su momento a la bola parada, como
muestra la primera gura.
Figura 2.1:
Situacion en que se transmite todo el momento
Sin embargo, lo normal es que la bola lanzada se desve a un lado u otro de la
recta de impacto, reteniendo parte de su momento. No obstante, la parte de momento
41
42
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
que se transmite a la bola parada siempre se orienta sobre la lnea de impacto, con
independencia de la direccion de la bola lanzada, como se indica en la segunda gura.
Figura 2.2:
Ahora solo se transmite parte del momento
Las matematicas dan una explicacion a este hecho: la bola parada se mueve
siempre segun la recta normal a su supercie en el punto de impacto P . Hablar de
la recta normal a la supercie es hablar del plano tangente a la supercie, lo que se
traduce en hablar de la diferenciabilidad de la supercie.
Cambiemos de problema. Supongamos que nos encontramos en plena sierra y
pretendemos hacer un recorrido cual alpinista, buscando siempre la trayectoria de
maximo ascenso. Este problema tiene una traduccion natural al ambito de las matematicas, y concierne al gradiente de la supercie que dene la sierra. De hecho,
este vector marca siempre la direccion de maximo crecimiento, as como su opuesto
marca la de mnimo crecimiento.
En esta seccion vamos a abordar las ideas de derivada y diferencial de una funcion,
conceptos que se confunden en uno solo en funciones de IR en IR, pero que son
claramente distinguibles en el caso de funciones de IRn en IR, para n 2.
Geometricamente, la derivada de una funcion f : D IR ! IR en un punto a
indica la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto (a; f (a)).
Analogamente, la derivada direccional de f : D IR2 ! IR en un punto (a; b)
segun la direccion del vector unitario u = (cos ; sen ) indica la pendiente de la recta
tangente a la supercie en el punto (a; b; f (a; b)) segun la direccion del vector u.
Por otra parte, que f : D IR2 ! IR sea diferenciable en (a; b) se traduce
geometricamente en que el plano tangente a la supercie z = f (x; y) en el punto
(a; b; f (a; b)) aproxima linealmente a la funcion f (x; y) en un entorno del punto (a; b).
A la vista esta que no es lo mismo calcular el valor de las pendientes de las rectas
2.1.
43
Noci
on de derivada. Interpretaci
on geom
etrica
tangentes en (a; b; f (a; b)) a la supercie z = f (x; y) segun todas las direcciones
posibles u (derivadas direccionales segun dichos vectores), que el hecho de que el
plano tangente aproxime bien a la funcion en un entorno del punto (a; b; f (a; b)). De
aqu que las de derivabilidad y diferenciabilidad sean nociones diferentes en IRn, para
n 2.
En lo que sigue daremos contenido a lo avanzado hasta ahora.
Es de conocimiento general que una funcion f : D IR ! IR denida en un
entorno del punto a 2 D es derivable en a si el siguiente lmite existe y es nito,
lim f (a + h) f (a) :
!0
h
h
Este valor, que se denota por f 0(a), mide el ritmo de cambio de y = f (x) respecto
de x en dicho punto; es decir, la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x)
en (a; f (a)).
En terminos fsicos, f 0(a) representa la velocidad instantanea en el instante t = a de
un movil que recorre una distancia de f (t) unidades en un tiempo t; y se corresponde
con el valor lmite de la velocidad promedio del movil en un entorno de a de amplitud
h, cuando h se aproxima a 0:
f (a + h) f (a)
f 0 (a) = lim
= lim f (t) f (a)
!0
h
h
!a
t
t a
Ejemplo 2.1.1 Un agente de traco supervisa la posible evolucion de la velocidad
de un automovil que ha invertido aproximadamente hora y media para ir de Sevilla a
Isla Canela (Ayamonte), poblaciones que distan unos 150 kilometros entre s. >Que
conclusiones saca?
En una primera estimacion, se puede concluir que la velocidad promedio del viaje
ha sido de 150
1:5 = 100km=h, que en principio no supera la barrera de los 120km=h.
Evidentemente, esta cantidad no puede reejar la velocidad mantenida a lo largo
de todo el trayecto: sin ir mas lejos, dentro de las poblaciones de salida y llegada (en
las que el lmite maximo de velocidad permitido es de 50km=h), la circulacion propia
de las urbes impide mantener una velocidad de 100km=h (<saliendo ileso!), por mucho
que uno persista en no respetar las se~nalizaciones existentes.
44
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
As, la informacion que proporciona esta velocidad promedio resulta irrelevante
para un agente de la Guardia Civil de Traco que quiera discernir si el conductor
infringio el lmite de velocidad permitido en algun instante. Interesa averiguar la
velocidad que llevaba en cada instante t una vez recorridos f (t) kilometros: es decir, el
cumulo de velocidades instantaneas, el valor de f 0(t) para cada instante t comprendido
en la hora y media que duro el trayecto.
Esto le resultara posible al agente de tener a su alcance mediciones de patrullas
provistas de radares que hubieran estado sitas a lo largo del trayecto seguido por el
vehculo. Notese que los radares que se situan en las carreteras miden, de hecho, velocidades instantaneas. Aun cuando todas las hipoteticas mediciones reejen valores
permisibles, esto no es obice para que el conductor no haya sobrepasado en algun
instante distinto las velocidades maximas permitidas.
Toda vez que esta informacion no esta disponible, lo maximo que puede hacer el
agente es aventurar si el conductor pudo realizar el trayecto sin infringir las normas
vigentes.
Dado que el vehculo hubo de recorrer 20 kilometros de va en poblacion (13 para
salir de Sevilla y otros 7 para atravesar Ayamonte hasta Isla Canela) y 130 kilometros
de autova (la A-49, en sentido Sevilla-Huelva-Portugal), manteniendo la marcha en
cada va a la maxima velocidad permitida (50km en va urbana y 120km en autova),
resulta un tiempo de 2050 60 + 130120 60 = 24 + 65 = 89 minutos; esto es, un minuto
menos de lo que invirtio el conductor.
El agente de traco concluye que hay indicios fundados de que el conductor supero
el lmite de velocidad permitido, puesto que no es razonable que el vehculo mantenga
en todo instante la velocidad maxima permitida en cada va durante todo el trayecto,
sin llegar a excederla, teniendo solo un margen de un minuto a lo largo de todo el
trayecto para pasar de una velocidad a otra (de 0km=h en la salida o llegada, hasta
los 50km=h dentro de las poblaciones, y de aqu hasta los 120km=h de la autova).
No obstante, sabiendo que cualquier abogado buen conocedor del sistema llevara a
todo juez a fallar a favor del conductor (todos somos inocentes hasta que se demuestre
sin paliativos ni suras lo contrario, y, por inverosmil que sea la posibilidad de no
haber infringido el lmite de velocidad, dicha posibilidad existe), el agente nalmente
opta por archivar el caso.
2.1.
45
Noci
on de derivada. Interpretaci
on geom
etrica
Ejemplo 2.1.2 Consideremos ahora la curva y = f (x) = 6 x2
Se tiene que f (x) es derivable en todo su dominio de denicion (D = IR), siendo
2x.
f 0 (x) =
Si tomamos el punto a = 1, se tiene que f 0( 1) = 2, de modo que la recta
tangente a la curva y = 6 x2 en el punto ( 1; f ( 1)) = ( 1; 5) es
y
f(
1) = f 0( 1)(x ( 1)) y 5 = 2(x + 1) y = 2x + 7:
15
10
5
-4
-2
4
2
-5
-10
-15
Figura 2.3:
Tangente a y = 6
x2
en x = 1
En general, si f (x) es derivable en el punto x = a, la recta tangente a y = f (x)
en a tiene por ecuacion y f (a) = f 0(a) (x a).
Ejemplo 2.1.3 Consideremos ahora la supercie z = f (x; y ) = 6 x2
y2.
El corte de la supercie con cada plano del tipo u2x u1 y = c determina una curva
de la supercie en la direccion del vector u = (u1; u2). En particular, consideremos el
plano vertical en la direccion u = (1; 0) que pasa por el punto (1; 2; 1), el cual tiene
por ecuacion y = 2.
La curva que determina la traza de z = 6 x2
2
Figura 2.4) viene dada por la ecuacion yz == 22 x
8
<
:
y2
segun este plano y = 2 (ver
46
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
La pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto de coordenadas (1; 2; 1)
consiste en la derivada direccional de f (x; y) en dicho punto segun la direccion del
vector u = (1; 0), que viene dada por
2
@f
(1; 2) = D f (1; 2) = lim f (1 + h; 2) f (1; 2) = lim 2 (1 + h) 1 = 2
@u
u
h
!0
!0
h
h
h
Figura 2.4:
Seccion de z = 6 x2 y2 segun el plano y = 2
Si hubiesemos tomado la traza segun el plano vertical en la direccion u = (0; 1)
z = 5 y2
que pasa por (1; 2; 1), hubieramos obtenido la curva x = 1
8
<
:
La recta tangente a esta curva en (1; 2; 1) tiene por pendiente la derivada direccional de f (x; y) en dicho punto segun la direccion del vector v = (0; 1),
2
@f
(1; 2) = D f (1; 2) = lim f (1; 2 + h) f (1; 2) = lim 5 (2 + h) 1 = 4
@v
v
Figura 2.5:
h
!0
h
Seccion de z = 6
h
x2
!0
h
y 2 segun el plano x = 1
Y con la traza segun el plano vertical en la direccion w = ( p12 ; p12 ) que pasa por
2
2
(1; 2; 1) obtenemos la curva zx = y6 = x 1 y
8
<
:
2.1.
Noci
on de derivada. Interpretaci
on geom
etrica
47
La recta tangente a esta curva en (1; 2; 1) tiene por pendiente la derivada direccional de f (x; y) en dicho punto segun la direccion del vector w,
p6 h h2
p
f (1 + ph2 ; 2 + ph2 ) f (1; 2)
@f
2
2
(1
; 2) = Dw f (1; 2) = hlim
=
lim
=
3
!0
h!0
@w
h
h
Figura 2.6:
Seccion de z = 6 x2 y2 segun el plano x y = 1
Aqu debemos hacer un alto. Es destacable el hecho de que hayamos exigido al
vector u que daba la direccion el ser unitario. Si escogemos otro vector v = u,
resulta que
p6 h 2 h2
f (1 + p2 h; 2 + p2 h) f (1; 2)
@f
2
(1
; 2) = hlim
=
lim
!
0
h
!
0
@v
h
p h
de manera que Dv f (1; 2) = 3 2 = Duf (1; 2). As, aunque u y v determinan la
misma direccion, las derivadas direccionales a ellos asociados dieren proporcionalmente segun la razon de sus modulos. Salta una
p duda inmediatamente: >por que
de entre todos estos valores (o vectores) es 3 2 (o u) el que corresponde con la
pendiente de la curva en el punto (1; 2; 1)? >Por que precisamente uno unitario?
La respuesta la tenemos que buscar en las escalas o medidas en que viene representada la supercie, y por tanto la curva segun la traza correspondiente a la direccion
u. Efectivamente, si queremos calcular la ecuacion de la curva determinada por la
traza x y = 1 de la supercie z = 6 x2 y2, necesitamos considerar como nuevo
eje de abscisas la recta OT zx = y0 = 1 y como eje de ordenadas el eje OZ . A la
hora de preservar la escala que tenamos en el espacio segun los ejes OX , OY y OZ ,
necesitamos un vector de modulo 1 en la recta anterior, que precisamente viene dado
por u = ( p12 ; p12 ). Si tomamos como t la variable del eje OT , la relacion entre t y x
sera x = pt2 , puesto que para t = 1 se obtiene el vector u, cuya primera coordenada
(proyeccion sobre OX ) es x = p12 .
8
<
:
48
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
OZ
p1
2
OY
R@ (1; 2)
@
@@
@ OT
OX
Figura 2.7:
s
@@
1
@R
p
2 juj = 1
OY
OX
Las direcciones deben ser unitarias para preservar la geometra
8
<
z = 6 x2 y 2
Como la ecuacion de la curva : x y = 1
respecto x es
z (x) = 6 x2 (x + 1)2 = 5 2x2 2x;
p
se tiene que la ecuacion de la curva respecto de t sera z(t) = 5 t2 2t. As, la
pendiente de la curva que da el corte de la supercie con la trazapanterior en el punto
(1; 2; 1) viene a ser la pendiente de la curvap z(t) en el punto t p= 2 (quepcorresponde
a la abscisa x = 1): como z0 (t) = 2t 2, se tiene que z0 ( 2) = 3 2, que es el
valor que obtuvimos al considerar la derivada direccional de la funcion f (x; y) en el
punto (1; 2) segun el vector u.
Tengase en cuenta que el respetar la escala inicial lo es todo, de otro modo estaramos cambiando de funcion.
Ejemplo 2.1.4 Considerese la funcion seno en radianes y grados.
La primera graca de la Figura 2.8 representa el seno en funcion de los radianes
r, y = sen r; mientras que la segunda lo hace en funcion de los grados g , y = sen g .
Aunque la funcion seno esta unvocamente determinada, si uno pretende calcular
la derivada de la funcion en un punto, tiene que jar que escala esta usando. Evidentemente en una misma altura y 2 [ 1; 1], <la pendiente de la tangente a y = sen r en
general no coincide con la pendiente de la tangente a y = sen g! La Figura 2.9 reeja
este hecho.
2.1.
49
Noci
on de derivada. Interpretaci
on geom
etrica
1
y = sen r
0.5
-3
-2
-1
1
2
3
-0.5
-1
1
y = sen g
0.5
-150 -100 -50
50
100
150
-0.5
-1
Figura 2.8:
Gracas de sen x en 1radianes y grados, respectivamente
y = sen g
0.5
-30
-20
-10
10
20
30
-0.5
Figura 2.9:
-1
y = sen r
La funcion sen r recorre muchos periodos en uno de sen g
Mas aun, <<la derivada de sen g no es cos g!! En efecto, nosotros sabemos que la
derivada del seno como funcion en radianes es el coseno como funcion en radianes,
r,
(sen r)0 = cos r. Como la relacion entre grados y radianes viene dada por g = 180
se tiene que sen g = sen 180
r; de modo que
0
(sen g)0 = (sen 180
r) =
cos
r=
180 180 180 cos g 6= cos g;
salvo en aquellos grados g en los que cos g = 0.
Es en este sentido que cuando calculemos una derivada direccional en un punto
respecto de una direccion u, para poder asegurar que el valor obtenido repre-
50
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
senta la pendiente de la curva en el punto en cuestion es imprescindible
que el vector u sea unitario.
As, en general, dada una supercie z = f (x; y) y una direccion segun el vector
unitario u = (cos ; sen ), la derivada direccional de f (x; y) en el punto (a; b),
@f
(a; b) = lim f (a + h cos ; b + h sen ) f (a; b) ;
@u
h
!0
h
representa la pendiente de la recta tangente a z = f (x; y) en el punto (a; b; f (a; b))
segun la direccion u.
En particular, cuando u = (1; 0) se habla de derivada parcial respecto de x, y
se nota @f
(a; b) = fx(a; b) = zx0 (a; b) = D1f (a; b); y cuando u = (0; 1) se habla de
@x
@f
derivada parcial respecto de y , y se nota
(a; b) = fy (a; b) = zy0 (a; b) = D2 f (a; b).
@y
Formalmente, para la derivacion parcial respecto de x o y son de aplicacion las
reglas de derivacion de las funciones de una variable. Mas aun, el procedimiento
operativo para el calculo de derivadas parciales es el mismo que el que se sigue para
hallar derivadas en el caso de una variable, considerando el resto de variables (si
hubiere) como constantes.
En el caso anterior, @f
(1; 2) = 2xj(1;2) = 2.
@x
(1; 2) = 2yj(1;2) = 4.
Analogamente, @f
@y
Geometricamente, las derivadas parciales fx y fy tienen aun mas interpretacion,
puesto que determinan el plano tangente a la supercie z = f (x; y) en punto (a; b)
dado.
El motivo no es otro que (0; 1; fy (a; b)) y (1; 0; fx(a; b)) son vectores presentes en
el plano tangente en cuestion:
A lo largo de la recta r z f (a; b) = fx(a; b) (x a) tangente a la supercie en
(a; b; f (a; b)) segun la traza y = b, un cambio x de 1 unidad en x produce en z
un cambio z = fx(a; b), de suerte que el vector que va del punto (a; b; f (a; b))
al (a + 1; b; f (a + 1; b)) es (1; 0; fx(a; b)).
2.2.
51
Noci
on de diferencial. Interpretaci
on geom
etrica
Analogamente, a lo largo de la recta s z f (a; b) = fy (a; b) (y b) tangente
a la supercie en (a; b; f (a; b)) segun la traza x = a, un cambio y de 1 unidad
en y produce en z un cambio z = fy (a; b), de suerte que el vector que va del
punto (a; b; f (a; b)) al (a; b + 1; f (a; b + 1)) es (0; 1; fy (a; b)).
De modo que el plano tangente a z = f (x; y) en (a; b; f (a; b)) queda unvocamente
determinado por el vector normal que resulta del producto vectorial
(0; 1; fy (a; b)) (1; 0; fx(a; b)) = (fx; fy ; 1):
La ecuacion de dicho plano tangente queda por tanto
fx (a; b)(x a) + fy (a; b)(y
2.2
Noci
on de diferencial.
b)
(z
f (a; b)) = 0:
Interpretaci
on geom
e-
trica
Una funcion f : D IR ! IR se dice diferenciable en un punto a 2 D cuando existe
una constante 2 IR de modo que
f (a + x) f (a) x
lim
= 0:
x!0
x
Dicho de otro modo, cuando existe una aproximacion lineal en x de la variacion
de la funcion en un entorno sucientemente peque~no de a:
f (a + x) f (a) = y = x + (x)x;
donde (x) ! 0 cuando x ! 0.
En el caso de una funcion y = f (x), f : D IR ! IR, derivable en un punto a,
con recta tangente en el punto (a; f (a)) igual a r(x) y = f (a) + f 0(a) (x a), de
pendiente f 0 (a); resulta que la derivada f 0(a) permite aproximar linealmente en x
el valor de la curva en un entorno sucientemente peque~no de a.
52
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
4
3.5
y
3
dy
2.5
2
1.5
x
1
0.5
1
Figura 2.10:
2
3
4
5
6
La variacion y se puede aproximar por dy en las proximidades de a
En efecto, dado un punto a y un punto proximo a +x, la variacion de la funcion
viene dada por y = f (a + x) f (a), y una buena aproximacion de este valor es
la variacion de la ordenada en la recta tangente, dy = r(a + x) r(a) = f 0(a) x.
Esto es as porque, por denicion de derivada en un punto,
y ;
f (a + x) f (a)
=
lim
f 0 (a) = lim
x!0 x
x!0
x
de modo que existe una funcion (x) que tiende a cero cuando x ! 0 tal que
y = f 0(a) x + (x)x y = dy + (x)x ' dy
cuando x es sucientemente peque~no (esto es, en las proximidades de a).
As, si una funcion f : D IR ! IR es derivable en a, entonces asimismo es
diferenciable, tomando = f 0(a). De modo que para funciones de una variable las
nociones de diferencial y derivada se confunden. De hecho,
f (a + x) f (a) x
f (a + x) f (a)
=
0
,
lim
=
, = f 0 (a):
lim
x! 0
x
!
0
x
x
Ejemplo 2.2.1 Se sabe que la velocidad de la sangre a 0:002cm del centro de un
vaso sanguneo es de 1:111cm=s, mientras que si se aumenta la distancia en 0:001cm
la velocidad resulta ser de 1:037cm=s. Estimar la velocidad a 0:001cm del centro
(asumimos presion y viscosidad de la sangre constantes).
Localmente, un vaso sanguneo (ya sea en vena o arteria) se puede modelar como
un tubo cilndrico de radio R y longitud l, como muestra la Figura 2.11.
2.2.
Noci
on de diferencial. Interpretaci
on geom
etrica
R
53
r
l
Figura 2.11:
Modelo de una vena en forma de cilindro
Segun el enunciado, v(0:002) = 1:111cm=s, y
v = 1:037 1:111 = 74cm=s;
dv
j
r =0:002 dr
r 0:003 0:002
0
de donde v (0:002) 74cm=s. As, v r v0(0:002), por lo que
v (0:001) v (0:002) 0:001 ( 74) = 1:184cm=s:
Esta estimacion no resulta ser demasiado able en este caso, dado lo reducido
de las dimensiones que se manejan. De hecho, la ley del ujo laminar, descubierta
por el fsico frances Poiseuille en 1840, expresa la relacion entre v y r en la forma
P
v = (R2 r2 ), donde es la viscosidad de la sangre y P la diferencia de presion
4l
entre los extremos del tubo. Para nuestros propositos, podemos asumir que , P y l
son constantes.
Debido a la friccion en las paredes del tubo, la velocidad v de la sangre es maxima
a lo largo del eje central del propio tubo, y decrece conforme aumenta la distancia r
del eje, hasta que v se vuelve 0 en la pared (de ah que el colesterol, que se pega a
las paredes internas de los conductos sanguneos, sea nocivo para la salud en grandes
concentraciones). Esto concuerda con el hecho de que v0(0) = 0.
Pr
Mas concretamente, se tiene que dv
=
dr
2l .
Por tanto, en una vena humana peque~na, con = 0:027, R = 0:008cm, l = 2cm,
P = 4000dinas=cm2 , se tiene que v 1:85 104 (6:4 10 5 r2 ) cm=s.
As, en r = 0:002cm, la sangre uye a una velocidad de 1:11cm=s y el gradiente
j
74(
cm=s)=cm = 74s 1 .
de velocidad en ese punto es dv
r =0:002 dr
Pero v(0:001) = 1:166cm=s, que diere del valor 1:184cm=s obtenido en la aproximacion primigenia, que en verdad es la velocidad maxima que se puede alcanzar,
en el centro del vaso sanguneo.
54
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Analicemos el caso analogo para funciones de dos variables, tratando de aproximar
el valor de la funcion z = f (x; y) en un entorno de un punto (a; b) segun el plano
tangente a la supercie en dicho punto.
Una funcion f : D IR2 ! IR se dice diferenciable en un punto (a; b) cuando
existen constantes ; 2 IR de modo que
f (a + x; b + y ) f (a; b) x y
= 0:
lim
(x;y)!(0;0)
jj(x; y)jj
Aqu, jj(x; y)jj representa la distancia del punto (x; y) al origen de coordenadas,
resp
pecto de cualquier aplicacion distancia (por ejemplo, eucldea, x2 + y 2 ; o distancia uno, jxj + jy j).
Al igual que ocurriera en el caso de funciones de una variable, que una funcion
f (x; y ) sea diferenciable en un punto (a; b) signica que el plano tangente a la supercie z = f (x; y) en dicho punto, p z = fx(a; b) (x a) + fy (a; b) (y b) + f (a; b),
aproxima linealmente en x y y a la propia funcion:
f (a + x; b + y ) ' p(a + x; b + y ):
Mas concretamente, dado un punto (a; b) y un punto proximo (a + x; b + y),
la variacion de la funcion viene dada por z = f (a + x; b + y) f (a; b), y un
candidato a aproximar este valor es la variacion de la ordenada en el plano tangente,
dz = p(a + x; b + y ) p(a; b) = fx(a; b) x + fy (a; b) y .
x
Figura 2.12:
y
dz
z
Se tiene que dz aproxima a z en un entorno de (a; b)
De hecho, si la funcion f (x; y) es diferenciable en (a; b), se tiene que existen constantes y tales que
f (a + x; b + y ) f (a; b) x y
lim
= 0:
(x;y)!(0;0)
jj(x; y)jj
2.2.
Noci
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etrica
55
Mas aun, se puede probar que estas constantes resultan ser = fx(a; b) y = fy (a; b).
De modo que existen funciones 1 y 2 que tienden a cero cuando (x; y) ! (0; 0)
que hacen que z = fx(a; b) x + fy (a; b) y + 1 x + 2 y, por lo que
z ' dz = fx(a; b) x + fy (a; b) y:
As, aun sin conocer la formula explcita de una funcion, se puede aproximar
su valor en un punto conocidas las derivadas parciales en dicho punto, mediante la
aproximacion lineal que da el plano tangente.
Ejemplo 2.2.2 Supongamos que en una fabrica se preparan rollos de metal de un
cierto grosor g (v; t) haciendo pasar el metal por unos rodillos muy grandes, de modo
que el grosor nal depende de la velocidad de giro v de los rodillos y de la temperatura t
del metal; amen de la distancia de separacion de los rodillos, que suponemos constante
igual a 4mm. Para un cierto metal se ha conseguido un espesor de 4mm con un giro
de 10m=s y una temperatura de 900Æ . Experimentalmente, se sabe que un incremento
de 0:2m=s en la velocidad produce un aumento de 0:06mm en el espesor, mientras que
un incremento de 10Æ en la temperatura disminuye el espesor en 0:04mm. Estimar el
espesor para una velocidad de 10:1m=s y una temperatura de 880Æ .
Aun cuando no conocemos una expresion explcita para la funcion g(v; t), s
tenemos estimaciones acerca de las derivadas parciales de la funcion en el punto
(10; 900): gv0 (10; 900) ' 00::062 = 0:3, dado que una variacion de 0:2m=s en la velocidad de giro produce un aumento de 0:06mm en el espesor; por otra parte,
de manera analoga, se tiene que gt0 (10; 900) ' 010:04 = 0:004, toda vez que
un incremento de 10Æ en la temperatura disminuye el espesor en 0:04mm. Una
aproximacion del valor de g(v; t) en un entorno proximo al punto (10; 900) viene
dado, pues, por el plano p(v; t) tangente a g(v; t) en dicho punto, cuya ecuacion es
p(v; t) = g (10; 900) + gv0 (10; 900)(v 10) + gt0 (10; 900)(t 900).
As, g(10:1; 880) ' p(10:1; 880) ' 4+0:3(10:1 10) 0:004(880 900) = 4:11mm.
Luego diferencial y derivadas parciales estan intrnsecamente relacionadas, aunque no son conceptos equivalentes en el caso de funciones de varias variables: si una
56
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
funcion es diferenciable en un punto (a; b), veremos que posee en dicho punto las derivadas parciales (mas aun, las derivadas direccionales segun cualquier direccion u); sin
embargo, el que una funcion posea en un punto todas las derivadas parciales (incluso
todas las direccionales, segun cualquier direccio2 n) no signica
que sea diferenciable,
3
x y 2x3
como es el caso de la extension continua de x2 + y4 en el origen, que trataremos
posteriormente.
A continuacion, vamos a detallar la relacion local (que no global, en todo el dominio de denicion) entre continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones
de varias variables en un punto (a; b) dado:
1. No hay ninguna relacion entre la existencia de las derivadas direccionales y la
continuidad de la funcion en el punto: hay funciones continuas que no admiten algunas (incluso ninguna) derivadas direccionales; y, recprocamente, hay
funciones que tienen todas las derivadas direccionales y no son continuas.
2. Tampoco la hay entre la mera existencia de las derivadas parciales (ambas
discontinuas, necesariamente) y la existencia de las restantes derivadas direccionales. La cuestion cambia cuando todas las derivadas parciales (exceptuando
a lo sumo una) son continuas, como veremos mas tarde.
3. Sin embargo, si la funcion es diferenciable, entonces es asimismo continua. El
recproco es falso: hay funciones continuas que no son diferenciables.
4. Si la funcion es diferenciable, entonces admite derivadas direccionales segun
cualquier direccion. El recproco es falso: la existencia de todas las derivadas
direccionales no implica la diferenciabilidad de la funcion.
5. No obstante, si existen las derivadas parciales y a lo sumo una de ellas es discontinua en el punto, entonces s se puede garantizar que la funcion es diferenciable
(y por tanto ademas admite derivadas direccionales segun cualquier direccion).
6. En cualquier caso, que la funcion sea diferenciable no quiere decir que las derivadas parciales sean continuas en el punto.
7. Las funciones f que admiten las derivadas parciales continuas se dicen de clase
1, y se nota f 2 C1 . En particular, son diferenciables (aunque no todas las
diferenciables son de clase 1, como se ha dicho previamente). En verdad, se
trata de las funciones que son diferenciables, con diferencial continua.
2.2.
57
Noci
on de diferencial. Interpretaci
on geom
etrica
Veamos contraejemplos que conrmen las situaciones anteriores.
Ejemplo 2.2.3 No hay ninguna relacion entre la existencia de las derivadas direccionales y la continuidad de la funcion en el punto: hay funciones continuas que no
admiten algunas (incluso ninguna) derivadas direccionales; y, recprocamente, hay
funciones que tienen todas las derivadas direccionales y no son continuas.
Por ejemplo, consideremos la funcion f (x; y) =
8
>
<
>
:
x3
;
y
0;
si y 6= 0
si y = 0
Figura 2.13:
El mapa de densidad sugiere que no existe lmite a lo largo de y = x2
Esta funcion admite todas las derivadas direccionales en el origen, siendo todas
ellas nulas: dado u = (cos ; sen ), se tiene que
h3 cos3 lim
= 0; si sen 6= 0
h!0 h2 sen f (h cos ; h sen )
lim
=
h!0
h
0 = 0;
lim
si sen = 0
h!0 h
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Ello no conlleva que la funcion sea continua en el origen. De hecho, la funcion
f (x; y ) es discontinua en toda la recta y = 0, tal como reeja la Figura 2.13:
En los puntos (a; 0), con a 6= 0, esto es claro, puesto que no existe
y
y
lim
f (x; y ) (vale 1 dependiendo de que ! 0 o ! 0+ ).
(x;y)!(a;0)
x
x
58
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
En el origen, tampoco es continua: tomando las trayectorias
y = mx3 para
3
x
1 , que depende
acercarnos al origen, resulta que lim
f
(
x;
y
)
=
lim
=
3
x!0 mx
!
m
y =mx
del parametro m 6= 0 (trayectoria y = mx3 ) elegido.
(x;y )
(0;0)
3
Por otra parte, la funcion f (x; y) = px2 + y2 es continua en todo IR2 (en particular, en el origen), y sin embargo no admite ninguna derivada direccional en el origen:
jhj , que no existe (vale 1 por la izquierda, cuando
lim f (h cos ;h h sen ) = hlim
!0 h
h!0
h ! 0 , y 1 por la derecha, cuando h ! 0+).
Figura 2.14:
La funcion px2 + y2 no admite derivadas direccionales en el origen
Ejemplo 2.2.4 Tampoco hay relacion entre la mera existencia de las derivadas parciales (ambas discontinuas en el punto, necesariamente) y la existencia de las restantes derivadas direccionales.
8
>
<
xy
si (x; y) 6= (0; 0)
0;
si (x; y) = (0; 0)
Esta funcion es claramente discontinua en el origen:
Sea la funcion f (x; y) =
lim
!
=
(x;y )
(0;0)
y mx
>
:
;
x2 + y 2
xy
2
mx
m
=
lim
=
;
2
2
2
2
x + y x!0 x (1 + m ) 1 + m2
2.2.
Noci
on de diferencial. Interpretaci
on geom
etrica
59
que depende de la direccion y = mx tomada.
No obstante, f (x; y) admite derivadas parciales en el origen, siendo
0
h
fx (0; 0) = hlim
!0 h
2
= 0 = fy (0; 0):
Hagamos notar que f (x; y) tambien admite derivadas
parciales en los3 restantes
3 a2 b
2
b
puntos (a; b) 6= (0; 0) de IR2 , siendo fx(a; b) = (a2 + b2 )2 y fy (a; b) = (aa2 + bb2a)2 ; y
que estas funciones (simetricas en3 las variables
a y b) no son continuas en el origen,
2
b (1 m )
que no existe al valer 1 (para m2 6= 1)
dado que lim
f
x (a; b) = lim 4
!
b!0 b (1 + m2 )2
a=mb
segun tienda b a cero por la izquierda o por la derecha.
(a;b)
(0;0)
Por otra parte, no existe ninguna otra derivada direccional, dado que para
u = (cos ; sen ) con cos sen 6= 0 se tiene que
f (h cos ; h sen )
h2 cos sen lim
= lim
;
!0
h
h
h
que no existe (vale 1, segun se tome h ! 0
Figura 2.15:
h3
o h ! 0+).
!0
Las unicas derivadas direccionales existentes son las parciales
Posteriormente quedara patente que para que en un punto dado (a; b) existan fx
y fy pero no ninguna otra derivada direccional es indispensable que ambas fx y fy
sean discontinuas en (a; b).
60
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Ejemplo 2.2.5 Sin embargo, si la funcion es diferenciable, entonces es asimismo
continua. El recproco es falso: hay funciones continuas que no son diferenciables.
Basta tomar la funcion del apartado primero, f (x; y) = px2 + y2, que era continua
en el origen y no tena ninguna derivada direccional en el origen (en particular, no
admita derivadas parciales en el origen); de modo que no es diferenciable en el origen.
Incluso hay funciones que son continuas, admiten todas las derivadas direccionales
(en particular, las parciales) y aun as no son diferenciables en el punto.
3x2 y 2x3 si (x; y) 6= (0; 0)
Por ejemplo, sea f (x; y) = x2 + y4
0;
si (x; y) = (0; 0)
8
>
<
>
:
Esta funcion es continua en todo IR2 , por ser cociente de funciones continuas en
IR2 f(0; 0)g, y por ser f (0; 0) = 0 = (x;ylim
f (x; y ), dado que
)!(0;0)
3x2y 2x3 3x2 y 2x3 j3yj + j2xj (x;y)!!(0;0) 0:
x2 + y 4
x2
Por otra parte, tiene derivadas direccionales en (0; 0) segun cualquier vector unitario u = (cos ; sen ):
f (0 + h cos ; 0 + h sen ) f (0; 0)
h3 cos2 (3 sen 2 cos )
lim
= hlim
;
h!0
!0 h3 (cos2 + h2 sen4 )
h
6= 0;
que vale 30 sen 2 cos sisi cos
cos = 0:
De este modo, fx(0; 0) = 2 y fy (0; 0) = 0.
8
<
:
Sin embargo la funcion no es diferenciable en (0; 0): para que as lo fuera, habra
de ser
f (x; y ) f (0; 0) fx (0; 0) x fy (0; 0) y
0 = (x;ylim
;
)!(0;0)
jj(x; y)jj
esto es, debera ocurrir que
3
x2 y + 2xy 4 )
0 = (x;ylim
:
)!(0;0) (x2 + y 4 )jj(x; y )jj
2.2.
61
Noci
on de diferencial. Interpretaci
on geom
etrica
Sin embargo, tomando jj(x; y)jj = px2 + y2 y la direccion y = mx se tiene que
3m ;
mx3 (3 + 2mp3 x2 )
p
=
lim
x!0 jx3 j(1 + m4 x2 ) 1 + m2
1 + m2
que no existe (lmites laterales en 0+ y 0 distintos, y aun cuando existiera, dependera
de m). De modo que no existe el lmite original y la funcion no es diferenciable en el
origen.
Figura 2.16:
Se observa que la funcion no es diferenciable en el origen
Ejemplo 2.2.6 Si la funcion es diferenciable, entonces admite derivadas direcciona-
les segun cualquier direccion. El recproco es falso: la existencia de todas las derivadas
direccionales no implica la diferenciabilidad de la funcion.
Como contraejemplos podemos utilizar funciones que yaxyhemos considerado pre; si (x; y ) 6= (0; 0)
viamente, tales como la del Ejemplo 2.2.4, f (x; y) = x2 + y2
0;
si (x; y) = (0; 0)
(que no era continua en el origen, y por tanto tampoco puede ser diferenciable en dicho
punto, a pesar de admitir todas las derivadas direccionales2 en el punto);
o tambien la
3
3x y 2x si (x; y) 6= (0; 0)
que se ha trabajado en el Ejemplo 2.2.5, g(x; y) = x2 + y4
0;
si (x; y) 6= (0; 0)
(que a pesar de ser continua y admitir todas las derivadas direccionales no era diferenciable en el origen).
8
>
<
>
:
8
>
<
>
:
62
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
No obstante, consideramos otra funcion, que no es continua en el origen (por lo
que no es diferenciable en dicho punto) y sin embargo admite todas las derivadas
direccionales:
x2 y
; si (x; y ) 6= (0; 0)
f (x; y ) = x4 + y 2
0;
si (x; y) = (0; 0)
8
>
<
>
:
La funcion no es continua en el origen, dado que
mx4
m
lim
f
(
x;
y
)
=
lim
=
4
2
x!0 x (1 + m )
!
1 + m2 ;
(x;y )
=
( 0;0)
y mx2
que depende de la trayectoria y = mx2 elegida. De modo que tampoco es diferenciable
en el origen (recuerdese que la diferenciabilidad en un punto implica la continuidad
en dicho punto).
Sin embargo, admite en el origen derivadas direccionales en cualquier direccion
u = (cos ; sen )
cos2 ; si cos sen 6= 0
h3 cos2 sen lim
= sen h!0 h3 (h2 cos4 + sen2 )
0;
si cos sen = 0
8
>
<
>
:
Figura 2.17:
ciable
Aun cuando existen todas las derivadas direccionales, no es diferen-
Ejemplo 2.2.7 No obstante, si existen las derivadas parciales y a lo sumo una de
ellas es discontinua en el punto, entonces s se puede garantizar que la funcion es
2.2.
63
Noci
on de diferencial. Interpretaci
on geom
etrica
diferenciable (y por tanto ademas admite derivadas direccionales segun cualquier direccion).
E ste es el caso, por ejemplo, de la funcion f (x; y) = '(x) y, tomando como
x; si x 2 Q
'(x) =
x; si x 2 II = IR Q
8
<
:
La funcion admite derivadas parciales en el origen, toda vez que
f (h; 0) f (0; 0)
0 = 0;
fx (0; 0) = hlim
=
lim
!0
h!0 h
h
f (0; h) f (0; 0)
= lim 0 = 0:
f (0; 0) = lim
!0
y
h
h
h
!0 h
De ellas, fx no es continua, dado que fx solo esta denida en puntos (a; b) con b = 0,
f (a + h; b) f (a; b)
('(a + h) '(a))b , que existe (y vale 0)
puesto que hlim
=
lim
!0
h
!
0
h
h
solo cuando b = 0.
f (a; b + h) f (a; b)
'(a) h
En cambio, fy (a; b) = hlim
=
lim
= '(a), siendo
!0
h
!
0
h
h
continua en el origen, dado que
lim f (a; b) = (a;blim
'(a) = 0 = fy (0; 0):
(a;b)!(0;0) y
)!(0;0)
Como al menos una de entre fx y fy es continua en el origen, la funcion f ha de
ser diferenciable en el origen. Comprobemoslo.
y
f (x; y ) f (0; 0) xfx (0; 0) yfy (0; 0)
=
lim
'(x)
lim
(x;y)!(0;0)
(x;y)!(0;0)
jj(x; y)jj
jj(x; y)jj = 0;
y 1, independientemente
dado que xlim
'
(
x
)
=
0
y
!0
jj
(
x;
y
)
jj
p
2
2
distancia, jj(x; y)jj = x + y o jj(x; y)jj = jxj + jyj.
de la eleccion de la
Ejemplo 2.2.8 En cualquier caso, que la funcion sea diferenciable no quiere decir
que las derivadas parciales sean continuas en el punto.
1
(
x2 + y 2) sen 2 2 ; si (x; y ) 6= (0; 0)
x +y
Sea f (x; y) =
0;
si (x; y) = (0; 0)
8
>
<
>
:
64
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
La funcion admite evidentemente derivadas parciales fx y fy en todos los puntos
del plano distintos del origen por derivacion formal,
1
2x cos 1 ;
fx (a; b) = 2x sen 2 2
2
x + y x + y2
x2 + y 2
1
2y cos 1 :
fy (a; b) = 2y sen 2 2
2
x + y x + y2
x2 + y 2
Por otra parte,
h2
1 = 0:
fx (0; 0) = fy (0; 0) = hlim
sen
!0 h
h2
Ninguna de las funciones fx y fy es continua en el origen, a la vista del valor que
1
toman en puntos distintos al origen. Aunque (a;blim
2
a sen 2 2 = 0, el lmite
)!(0;0)
a +b
2
a
1
lim
cos a2 + b2 no existe: de una parte, (a;blim
cos 1 no existe
(a;b)!(0;0) a2 + b2
)!(0;0) a2 + b2
2a tampoco existe
(oscila recorriendo todo el intervalo [ 1; 1]); de otra, (a;blim
)!(0;0) a2 + b2
(por la direccion a = 0 vale 0, mientras que por la direccion b = 0 ni siquiera existe,
valiendo 1 cuando a ! 0 y +1 cuando a ! 0+).
Figura 2.18:
La funcion derivada parcial fx(x; y) no es continua en el origen
Esto no supone un obstaculo para que la funcion sea diferenciable en el origen,
puesto que existe
f (x; y ) f (0; 0) xfx (0; 0) yfy (0; 0)
x2 + y 2
1 = 0;
lim
=
lim
sen
(x;y)!(0;0)
(x;y)!(0;0) jj(x; y )jj
jj(x; y)jj
x2 + y 2
p
dado que 2la funci
o
n
seno
est
a
acotada
y
tomando
jj
(
x; y )jj = x2 + y 2 es
x + y2
= lim x2 + y2 = 0:
lim
(x;y)!(0;0) jj(x; y )jj (x;y)!(0;0)
q
2.2.
65
Noci
on de diferencial. Interpretaci
on geom
etrica
Figura 2.19:
Pese a todo, la funcion es diferenciable en el origen
Las funciones de clase uno son las funciones diferenciables con diferencial continua, y consisten precisamente en aquellas funciones que poseen todas sus derivadas
parciales continuas.
Aun en el caso de funciones reales, f : D IR ! IR, las nociones de funcion
diferenciable (derivable) y funcion de clase 1 (funcion con derivada continua) son
distintas.
8
>
<
Ejemplo 2.2.9 Considerese la funcion f (x) = >
:
1
x2 sen ; si x 6= 0
x
0;
si x = 0
Esta funcion es derivable en todo IR f0g de manera evidente, pero tambien en
el origen:
h2 sen h1
f (0 + h) f (0)
1 = 0:
lim
=
lim
=
lim
h
sen
h!0
h!0
h !0
h
h
h
1 cos 1 ; si x 6= 0
2
x sen
0
As, f (x) =
x
x
0;
si x = 0
La funcion derivada no es continua en x = 0, dado que
lim 2x sen 1 cos 1 = lim cos 1 ;
8
>
<
>
:
!0
x
x
x
x
!0
que no existe (oscila recorriendo todo el intervalo [ 1; 1]).
x
66
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
0.15
0.1
0.05
-0.75 -0.5 -0.25
0.25 0.5 0.75
-0.05
-0.1
-0.15
Figura 2.20:
La funcion es derivable, incluso en el origen
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
Figura 2.21:
No existe xlim
cos x1
!0
En conclusion, la manera mas economica de estudiar el dominio de diferenciabilidad de una funcion de dos variables consiste en hallar los puntos en los que estan
denidas ambas derivadas parciales, para discriminar posteriormente en cuales de
ellos es continua al menos una de estas derivadas. Automaticamente, la funcion es
diferenciable en estos puntos. En aquellos puntos en los que existen las derivadas
parciales y estas no son funciones continuas, hay que estudiar directamente la diferenciabilidad segun la denicion, pues carecemos de informacion (puede que la funcion
sea diferenciable, puede que no).
Por otra parte, en los puntos en los que la funcion no es continua o no tiene todas
las derivadas direccionales, automaticamente tampoco es diferenciable.
2.2.
67
Noci
on de diferencial. Interpretaci
on geom
etrica
Ejemplo 2.2.10 Estudiar la diferenciabilidad de la funcion dada por
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
f (x; y ) = >
>
>
>
>
>
>
>
>
:
1
1
x2 sen + y 2 sen ;
x
y
1
2
y sen ;
y
1
2
x sen ;
x
0;
si xy 6= 0
si x = 0 e y 6= 0
si x 6= 0 e y = 0
si (x; y ) = (0; 0)
La funcion es continua en todo su dominio (el plano IR2), dado que cuando alguno
de los senos no esta denido (i.e. cuando x ! 0 o y ! 0), aparece multiplicado por
2 sen 1 = 0.
una cantidad que tiende a cero: lim
t
t!0
t
Luego, en principio, puede ser diferenciable en todo su dominio. Estudiemos las
derivadas parciales primeras (posteriormente veremos que tiene sentido plantearse
derivadas parciales de orden superior).
De un lado, f (x; y) = 2x sen 1 cos 1 cuando xy 6= 0.
x
x
x
h2 sen h1 + y 2 sen y1
Si x = 0, entonces fx(0; y) = hlim
!0
h
y 2 sen y1
= 0.
(x + h)2 sen x+1 h x2 sen x1 , de
Por otra parte, si y = 0, entonces fx(x; 0) = hlim
!0
h
modo que
x2 (sen x+1 h sen x1 ) + 2xh sen x+1 h + h2 sen x+1 h
:
f (x; 0) = lim
x
h
!0
h
Dado que sen u sen v = 2 cos u +2 v sen u 2 v , el lmite anterior queda
2x2(cos(
1
f (x; 0) = 2x sen + lim
x
x
esto es,
!0
h
2x2 sen 2x(xh+h)
1
1
fx (x; 0) = 2x sen +cos hlim
x
x !0
h
1
1
+1
+
)
sen(
2
2
x+h
x
x
>
:
x
h
sen 2 ( + ) !
0 2 ( +
h
h
x x h
=
1 cos 1 ; si x 6= 0
2
x sen
En denitiva, fx(x; y) =
x
x
0;
si x = 0
8
>
<
1
h
h
x x
h)
)) ;
2x sen x1 +cos x1
68
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
As, fx es discontinua a lo largo de la recta x = 0, dado que no existe xlim
f (x; y ),
!0 x
1.
por no existir xlim
cos
!0
x
Como el papel de y y de x es simetrico en la funcion f (x; y), no hay necesidad de
1 cos 1 ; si y 6= 0
2
y sen
y
y
repetir calculos, y podemos asegurar que fy (x; y) =
0;
si y = 0
Luego fy es discontinua a lo largo de la recta y = 0. En particular, fx y fy
son discontinuas simultaneamente tan solo en el punto (0; 0), de donde f (x; y) es
automaticamente diferenciable en todo IR2 salvo eventualmente en el origen de coordenadas, singularidad que hemos de estudiar de manera independiente.
8
>
<
>
:
Como fx(0; 0) = 0 y fy (0; 0) = 0, para que f (x; y) sea diferenciable en (0; 0)
f (x; y ) f (0; 0)
hemos de probar que (x;ylim
= 0. Y, en efecto, resulta que
)!(0;0)
jj
(
x; y )jj
x2 sen x1 + y 2 sen y1
lim
= 0, pues tomando jj(x; y)jj = jxj + jyj, se tiene que
(x;y)!(0;0)
jj(x; y)jj
y 2 sen y1
x2 sen x1 + y 2 sen y1
x2 sen x1
0
+
jxj + jyj
jxj + jyj jxj + jyj x2 sen 1 jxj
x
+
y 2 sen y1 x2 y 2
+
=
j
xj + jy j (x;y)!!(0;0) 0
jyj jxj jyj
Luego la funcion tambien es diferenciable en (0; 0), luego en todo su dominio, IR2.
Figura 2.22:
La funcion es diferenciable en IR2
2.3.
2.3
69
Gradiente
Gradiente
Las derivadas parciales fx y fy de una funcion diferenciable f (x; y) desempe~nan un
papel esencial, no solo ya en la determinacion del plano tangente a la supercie
z = f (x; y ) en cada punto, sino tambien a la hora de calcular derivadas direccionales
y direcciones de maximo crecimiento o decrecimiento de la funcion f (x; y). Por ello, la
funcion r : IR2 ! IR2 que a un punto (a; b) le asocia el vector de derivadas parciales
rf (a; b) = (fx(a; b); fy (a; b)) recibe un nombre especial, gradiente. As, el gradiente
de la funcion diferenciable f (x; y) en el punto (a; b) es el vector (fx(a; b); fy (a; b)).
Es importante recalcar que el gradiente de una funcion en un punto solo esta
denido si la funcion es diferenciable en dicho punto. La mera existencia del vector
(fx(a; b); fy (a; b)) no basta para que se le otorgue el nombre de gradiente, dado que
ya hemos visto que hay funciones que admiten todas las derivadas direccionales en
un punto y aun as no son diferenciables en dicho punto. El motivo de esta particular exigencia es que el vector (fx(a; b); fy (a; b)) verica unas propiedades cuando
la funcion es diferenciable que de otro modo no verica. Para poder distinguir una
situacion de otra se reserva el termino gradiente para los vectores (fx(a; b); fy (a; b))
asociados a funciones diferenciables en el punto (a; b) en cuestion.
Sea f (x; y) una funcion diferenciable. Las propiedades principales del gradiente
rf (a; b) son:
1. La derivada direccional de f (x; y) en el punto (a; b) segun la direccion del vector
u = (cos ; sen ) viene dada por el producto escalar rf (a; b) u.
2. El maximo ritmo de cambio de f (x; y) en el punto (a; b) es jrf (a; b)j y ocurre
rf (a; b) .
en la direccion del gradiente, u = jr
f (a; b)j
3. El ritmo de cambio mnimo de f (x; y) en el punto (a; b) es jrf (a; b)j y ocurre
rf (a; b) .
en la direccion opuesta a la del gradiente, u = jr
f (a; b)j
4. El gradiente rf (a; b) es ortogonal a la curva de nivel que pasa por el punto
(a; b; f (a; b)), zz == fc (x; y) f (x; y) = c, para c = f (a; b).
9
=
;
En efecto:
70
2.
1.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
La derivada direccional de f (x; y ) en el punto (a; b) segun la direccion del vector
u = (cos ; sen ) viene dada por el producto escalar rf (a; b) u.
Esto es consecuencia de la regla de la cadena, a detallar posteriormente. En
denitiva, estamos diciendo que los vectores tangentes a las curvas que pasan
por el punto (a; b; f (a; b)) son combinaciones lineales de los vectores tangentes
a la curva en ese punto segun las direcciones de los ejes OX y OY . Esto es
evidente desde un punto de vista geometrico, desde el momento en que todos los
vectores estan situados sobre el plano tangente, y este viene dado por fx(a; b)
y fy (a; b).
As, en las funciones diferenciables es inmediato calcular las derivadas direccionales, reduciendolas a un simple producto escalar de vectores.
Ejemplo 2.3.1 Determinar la derivada direccional de la funcion f (x; y ) = x2 +
34
y 2 en el punto (1; 1) segun la direccion u = ( ; ).
55
La derivada direccional viene dada por
f (1 35 h; 1 + 54 h)
@f
(1; 1) = lim
@u
h
!0
h
f (1;
1) = lim h2
!0
h
Mas facil hubiera sido efectuar el producto escalar
rf (1; 1) u = (2; 2) ( 53 ; 54 ) = 145 :
h
14 h
5
= 145 :
@f
Hemos de hacer notar que la relacion @u
(a; b) = (fx(a; b); fy (a; b)) u para toda
direccion unitaria u no es condicion suciente para que una funcion sea
diferenciable, aunque por supuesto s es necesaria.
8
<
Ejemplo 2.3.2 Considerar f (x; y ) = :
1;
0;
si y 6= x2 o (x; y ) = (0; 0)
si y = x2 y x 6= 0
Se puede probar que esta funcion admite derivadas direccionales en el origen
segun cualquier direccion unitaria u, siendo todas ellas nulas:
@f
(0; 0) = lim f (hu1; hu2) f (0; 0) = lim 0 = 0;
h!0
@u
h
dado que f (hu1; hu2) = f (0; 0) = 1, puesto
r (x; y ) = (0; 0) + u corta a la parabola y
!0 h
h
que cualquier recta del tipo
= x2 en a lo sumo un punto
2.3.
Gradiente
71
distinto del origen, de modo que f (hu1; hu2) = 1 para todo h salvo excepcionalmente un unico valor real de h.
@f
As, en particular, (fx(0; 0); fy (0; 0)) u = 0 = @u
(0; 0) para cualquier vector u.
Y, sin embargo, f (x; y) no es diferenciable en el origen, dado que ni siquiera es
continua en el origen (segun la trayectoria y = x2 la funcion f (x; y) se acerca
al origen tomando el valor 0, mientras que en los restantes puntos se acerca al
origen tomando el valor 1).
2.
El maximo ritmo de cambio de f (x; y ) en el punto (a; b) es
rf (a; b) .
en la direccion del gradiente, u =
jrf (a; b)j
jrf (a; b)j y ocurre
Debemos interpretar convenientemente el enunciado: nos referimos a la direccion en la que el valor de la funcion aumenta lo maximo posible, situados en
el punto (a; b). Es decir, la direccion unitaria u cuya derivada direccional en
(a; b) es maxima entre todas las derivadas direccionales en dicho punto.
@f
(a; b) = rf (a; b) u para toda direccion unitaria u, el valor de maximo
Como @u
cambio se producira cuando el producto escalar rf (a; b) u sea maximo. Dado
que rf (a; b) u = jrf (a; b)j juj cos , para el angulo que forman los dos
vectores; el valor maximo se alcanzara cuando cos sea 1, esto es, para = 0.
rf (a; b) , y el valor maximo coincide con jrf (a; b)j.
Esto ocurre cuando u = jr
f (a; b)j
Hay que saber interpretar esta relacion: el hecho de que la direccion de maximo
crecimiento de la funcion f (x; y) en el punto (a; b) se produzca en el sentido del
vector rf (a; b), no quiere decir que la funcion siempre tenga que crecer en ese
sentido. En general, una vez que se llega al punto (a + x; b + y) la direccion
de maximo crecimiento probablemente cambiara.
Esto tiene una clara interpretacion en el mundo real: cuando un alpinista trata
de escalar una pared por su vertiente mas abrupta, no siempre sigue la misma
direccion, sino que en cada instante ha de redirigir su curso hacia la zona que
en ese momento apunta la maxima pendiente.
Si uno estuviera interesado en calcular la trayectoria a seguir para disfrutar en
cada instante de la pendiente maxima, habra de resolver una ecuacion diferencial, que no entra dentro de los objetivos del presente curso.
Ejemplo 2.3.3 Notese que la direccion de maximo ascenso en un punto no
72
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
tiene por que se~nalar, en general, hacia un maximo relativo o absoluto de la
funcion.
E ste es el caso de la funcion f (x; y) = 3x x3 3xy2 en el punto P (0:6; 0:7),
cuyo vector gradiente es rf (P ) = (0:45; 2:52) y no apunta al maximo relativo
situado en (1; 0).
Incluimos un mapa de curvas de nivel con el punto P y el gradiente de la funcion
en dicho punto, as como un campo vectorial generalizado del gradiente, con los
vectores gradientes de la funcion en diversos puntos.
-1
2
2
1
1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5 -1
-0.5
0.5
-1
-1
-2
-2
Figura 2.23:
1
1.5
2
2.5
El gradiente no apunta al maximo local
Ejemplo 2.3.4 Supongamos que un alpinista quiere escalar una monta~na cuya
altura z viene dada en funcion de la posicion (x; y ), z = f (x; y ) = 20 4x2 y 2 .
Pretende seguir una trayectoria r(t) = (x(t); y (t)) que marque en cada instante
la maxima pendiente, comenzando en el punto (2; 3).
Para que la trayectoria r(t) verique que en cada instante la pendiente es
maxima, es necesario que el vector tangente a la curva r(t) en cada instante, r0(t) = (x0 (t); y0(t)), sea el correspondiente al de maximo crecimiento,
rf (x(t); y(t)). As, ha de ser x0(t) = fx(x(t); y(t)) e y0(t) = fy (x(t); y(t)):
dx
dt
= 8x
y
dy
dt
= 2y:
La solucion general de esta ecuacion diferencial viene dada por x(t) = C1e 8t
e y(t) = C2e 2t . Para que esta curva pase por el punto (2; 3) = (x(0); y(0))
debe ser C1 = 2 y C2 = 3, de modo que la trayectoria buscada viene dada
2.3.
73
Gradiente
por r(t) = (2e 8t; 3e 2t ). Equivalentemente, la curva, como funcion implcita
de x e y, viene dada por la ecuacion 81x = 2y4, que se obtiene despejando t
en funcion de x e y e igualando. De hecho, por la rama negativa que dene
implcitamente la ecuacion anterior, y = 3 x2 .
Figura 2.24:
3.
1
4
Trayectoria de maxima pendiente hacia la cumbre
El ritmo de cambio mnimo de f (x; y ) en el punto (a; b) es
rf (a; b) .
en la direccion opuesta a la del gradiente, u =
jrf (a; b)j
jrf (a; b)j y ocurre
Hay que tener mucho cuidado con la forma en que se interpreta la frase \ritmo
de cambio mnimo": no signica que sea la direccion en la que la funcion permanece mas estable, con menos cambios en sus valores; mas al contrario, signica
precisamente la direccion en la que el valor de la funcion disminuye mas pronunciadamente (esto es, se hace lo mnimo posible), desde el punto (a; b). Esto
se traduce en encontrar la direccion unitaria cuya derivada direccional en (a; b)
es mnima entre todas las derivadas direccionales en dicho punto.
Ahora, el valor de cambio mnimo se producira cuando el producto escalar
rf (a; b) u = jrf (a; b)j juj cos sea mnimo; esto es, para = , de modo
rf (a; b) , y el valor mnimo coincide
que cos = 1. Esto ocurre cuando u = jr
f (a; b)j
con jrf (a; b)j.
Nuevamente, la direccion de decrecimiento maximo no es constante, y puede
cambiar en cada punto. Piensese, por ejemplo, en el recorrido a seguir por un
esquiador intrepido en descenso libre por una monta~na, que persigue tomar en
todo instante la ruta mas rapida de bajada.
74
2.
4.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
rf (a; b) es ortogonal a la curva de nivel que pasa por el punto
(a; b; f (a; b)), z = f (x; y) f (x; y) = c, para c = f (a; b).
El gradiente
9
=
;
z=c
En efecto, sea v el vector tangente a la curva de nivel f (x; y) = f (a; b) en el
punto (a; b; f (a; b)); el cual sera de la forma v = (u1; u2; 0), dado que la curva
esta inmersa en el plano horizontal z = f (a; b). Como vector tangente a la supercie z = f (x; y) en el punto (a; b; f (a; b)) que es, el vector v es perpendicular al
vector normal n del plano tangente en dicho punto, n = (fx(a; b); fy (a; b); 1);
de modo que 0 = v n = fx(a; b)u1 + fy (a; b)u2.
De modo que la derivada direccional de la funcion en el punto (a; b) en la
direccion del vector u = (u1; u2) (que coincide en el espacio con el vector v,
tangente a la curva de nivel) es nula, dado que
@f
(a; b) = rf (a; b) u = fx(a; b)u1 + fy (a; b)u2 = 0:
@u
De donde el vector gradiente es perpendicular al vector u, luego a v; esto es, al
vector tangente a la curva de nivel en (a; b; f (a; b)).
Gracamente, esto se puede comprobar en el dibujo que corresponde a la trayectoria a describir por el alpinista del ejemplo anterior.
2.4
Propiedades elementales de las funciones diferenciables reales
En este apartado vamos a recopilar varios resultados clasicos concernientes a funciones
derivables.
Teorema de Rolle. Sea f (x) una funcion continua en [a; b],
(a; b), con f (a) = f (b). Entonces, existe c 2 (a; b) con f 0(c) = 0.
diferenciable en
Geometricamente, este resultado viene a decir que cualquier funcion diferenciable
en un intervalo que tome en sus extremos el mismo valor, necesariamente posee una
tangente horizontal en un punto interior del intervalo.
Ejemplo 2.4.1 Sea la funcion f (x) = 3 sen x
1.
2.4.
Propiedades elementales de las funciones diferenciables reales
75
2
1.5
1
0.5
1
2
3
-0.5
-1
-1.5
-2
Figura 2.25:
E ste es el caso de 3 sen x 1 en [0; ]
Necesariamente, esta funcion ha de tener un punto de tangencia horizontal en el
intervalo (0; 3), puesto que la funcion se anula dos veces en dicho intervalo (cerca de
los puntos 0:339837 y 2:80176).
En este caso, la tangencia horizontal se alcanza en el
0
punto x = 2 , puesto que f ( 2 ) = 3 cos 2 = 0.
Teorema de Lagrange (de los incrementos nitos o del Valor Medio). Sea f (x)
una funcion continua en [a; b], diferenciable en (a; b). Entonces, existe un c 2 (a; b)
de modo que f 0(c) = f (bb) fa (a) .
Este resultado engloba al anterior, dado que cuando f (a) = f (b), la relacion
f (b) f (a)
queda
f 0 (c) = 0.
f 0 (c) =
b a
Geometricamente, este resultado viene a decir que cualquier funcion diferenciable
en un intervalo tiene en un punto interior del intervalo una tangente paralela a la
cuerda que une los extremos de dicho intervalo.
1
0.75
0.5
0.25
-1
-0.5
0.5
1
-0.25
-0.5
-0.75
-1
Figura 2.26:
La tangente no tiene por que ser unica
76
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Ejemplo 2.4.2 Sea la funcion f (x) = x3 , que pasa por los puntos (
(1; 1), que estan alineados en la recta y = x, de pendiente 1.
1; 1), (0; 0) y
Al ser diferenciable la funcion f (x) en todo IR, debe haber un punto en cada
uno de los intervalos ( 1; 0) y (0; 1) donde la recta tangente a la funcion tenga por
pendiente 1. En este caso, los puntos en cuestion son x = p127 .
Ejemplo 2.4.3 A las 14:00 horas el velocmetro de un automovil indica 60km=h,
mientras que diez minutos despues indica 100km=h. Demostrar que en algun instante
durante esos 10 minutos el automovil tuvo una aceleracion de exactamente 240km=h2 .
Asumamos que la velocidad del automovil es una funcion derivable en el transcurso
de esos 10 minutos (lo cual es una realidad, si no media cambio brusco de la velocidad).
Aplicando el teorema del valor medio, se tiene que existe un instante c entre las 14:00
y las 14:10 de manera que v0 (c) = 1001=6 60 = 240km=h2 , toda vez que 10 minutos
constituyen la sexta parte de una hora.
El Teorema del Valor Medio admite una facil generalizacion al caso de funciones
de varias variables. Concretamente, si f : D IR2 ! IR es diferenciable en los
puntos del segmento del plano de extremos a; b 2 IR2, con a = (a1 ; a2) y b = (b1; b2 );
entonces existe un c = (c1; c2) interior en este segmento de modo que
f (b1 ; b2 ) f (a1 ; a2 ) = fx (c1 ; c2 )(b1
a1 ) + fy (c1 ; c2 )(b2
a2 ):
La interpretacion geometrica sigue siendo igualmente valida.
A continuacion tratamos una generalizacion del Teorema de Lagrange en el caso
de una variable.
Teorema de Cauchy (o del Valor Medio generalizado). Sean f (x) y g (x) dos
funciones
continuas en [a; b], derivables en (a; b). Entonces, existe c 2 (a; b) con
f 0 (c) f (b) f (a)
=
.
g 0 (c) g (b) g (a)
2.4.
Propiedades elementales de las funciones diferenciables reales
77
Este resultado engloba al anterior: tomando g(x) = x0, se tiene que g(b) = b,
f (c) f (b) f (a)
queda
g (a) = a y g 0 (x) = 1 para todo x; de modo que la relacion 0 =
g (c) g (b) g (a)
f (b) f (a)
f 0 (c) =
.
b a
Geometricamente, este resultado se puede interpretar de la siguiente manera. Supongamos que f y g satisfacen las
hipotesis del Teorema de Cauchy en el intervalo
f 0 (c) f (b) f (a)
[a; b], y sea c 2 (a; b) tal que g0(c) = g(b) g(a) . Consideremos la curva de IR2
cuyas ecuaciones parametricas son xy == gf((tt)) o equivalentemente y = g(f 1(x)).
8
<
:
El Teorema de Cauchy se traduce entonces en que esta curva tiene en un punto
interior del intervalo una recta tangente paralela a la cuerda que pasa por sus extremos.
En verdad, la tangente a esta curva en el punto (f (c); g(c)) tiene por pendiente
dy dg
df 1
1 g0(c)
=
(
c) (
f (c)) = g 0(c) 0 = 0 :
dx dt
dx
f (c) f (c)
Por tanto, la recta tangente en este punto es paralela a la cuerda que une los extremos
de la curva en [a; b], (f (a); g(a)) y (f (b); g(b)); cuya pendiente viene dada por el
cociente de los incrementos en la ordenada y en la abscisa, fg((bb)) gf((aa)) .
Todos estos resultados tienen aplicaciones que van mas alla de las meras interpretaciones geometricas que hemos apuntado anteriormente. Por ejemplo, pueden
utilizarse para estudiar el crecimiento de una funcion (signo de la derivada primera),
para determinar el numero de ceros de una funcion y su multiplicidad, o incluso para
probar ciertas desigualdades entre funciones.
Ejemplo 2.4.4 Probar que j sen aj jaj para todo a 2 IR.
De un lado, sen 0 = 0. Consideremos la funcion f (x) = sen x, con f 0(x) = cos x.
Para a 6= 0, se tiene que ha de existir un numero c real en el intervalo abierto que
determinan 0 y a de modo que f 0(c) = f (aa) f0 (0) , esto es, cos c = sena a . Como la
78
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
funciosen
n cos
x esta acotada en valor absoluto por 1, de la relacion anterior se desprende
a
que a 1, de donde j sen aj jaj tambien para a 6= 0.
Sean f : D IR ! IR y g : IR ! IR dos funciones
derivables en un entorno reducido de a (a nito o innito), con f (a) = g(a) 0= 0, de
f (x)
modo que g0(x) 6= 0 para todo x en dicho entorno reducido. Si existe xlim
!a g 0 (x) = l
f (x )
nito o innito, entonces existe xlim
!a g (x) y vale l.
Regla de L'Hopital.
El enunciado tambien es valido si se sustituyen los lmites por lmites laterales.
Recomendamos ver el Apendice A acerca del calculo de lmites para una mejor comprension del uso y limitaciones de esta regla.
2.5
Jacobiano.
Regla de la cadena.
Derivaci
on
impl
cita
Para recoger todas las derivadas parciales de una funcion f : IRp ! IRq (esto es, de
sus q funciones componentes, f = (f1 ; : : : ; fq )), se suele utilizar una representacion
matricial, denominada matriz jacobiana de la funcion, de modo que
0
J (f (a)) =
B
B
B
B
B
B
@
@f1
(a)
@x1
@f1
@x
(a)
@fq
(a)
@x1
@fq
@x
(a)
...
...
p
1
C
C
C
C
C
C
A
p
El determinante de esta matriz se denomina jacobiano de la funcion.
: IR3 ! IR2 denida como
f (x; y; z ) = (sen(x2 + y 2 ); cos(xyz )):
Ejemplo 2.5.1 Sea la funcion f
Las funciones componentes son f1 (x; y; z) = sen(x2 + y2) y f2(x; y; z) = cos(xyz),
1 = 2x cos(x2 + y 2), @f1 = 2y cos(x2 + y 2 ), @f1 = 0,
y sus derivadas parciales son @f
@x
@y
@z
2.5.
79
Jacobiano. Regla de la cadena. Derivaci
on impl
cita
@f2
@x
2 = xz sen(xyz ), @f2 = xy sen(xyz ). De modo que la
= yz sen(xyz), @f
@y
@z
matriz jacobiana viene dada por
2x cos(x2 + y2) 2y cos(x2 + y2)
0
J (f ) =
yz sen(xyz )
xz sen(xyz )
xy sen(xyz )
0
1
@
A
A veces, una funcion viene expresada mediante la composicion de otras. E ste es
el caso, por ejemplo, de los cambios de variables. En estas situaciones, a la hora de
determinar las diferenciales de las funciones implicadas, es util recurrir a la regla de
la cadena, que relaciona las derivadas parciales de las funciones que se componen.
Esta relacion es facil de describir en terminos de matrices jacobianas: en general, si
h resulta de la composicion de las funciones f y g , h = g Æ f , y denotamos y = f (x),
entonces J (g Æ f )(x) = J (g(y)) J (f (x)):
A continuacion vamos a incidir en los casos mas relevantes.
El caso de la composicion de funciones reales de variable real es bien conocido:
dadas dos funciones f; g : IR ! IR que admiten ser compuestas en la forma g Æ f ,
derivables en a y f (a), respectivamente; se tiene que g Æ f es derivable en a, siendo
(g Æ f )0(a) = g0(f (a)) f 0(a).
Ejemplo 2.5.2 Sea f (x) = ln x y g (t) = sen t. Determinar (f Æ g )0 (t).
Se tiene que la derivada de h(t) = lnsen t es h0(t) = f 0(sen t) g0(t) = cotg t.
Ejemplo 2.5.3 Analizar la inuencia del cambio de radianes a grados en la funcion
seno, f (x) = sen x.
La relacion de cambio de grados a radianes viene dada por la funcion g(t) = 180
t,
de modo que t grados son 180 radianes. As, la derivada del seno en grados viene
t
cos 180
, <<que no es exactamente igual al
dada por (f Æ g)0(t) = f 0(g(t)) g0(t) = 180
coseno de los grados de entrada, sino a un multiplo escalar suyo!!
80
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
1
y=
0.5
-200
-100
100
200
t
cos
180 180
t
y = sen
-0.5
y = cos
180
t
180
2.27: El cambio de unidad inuye en la funcion derivada
-1
Figura
t
Ejemplo 2.5.4 Conforme el Sol se esconde tras un edicio de 40 metros de altura,
crece la sombra que el mismo proyecta. >Cuan rapido crece la sombra (en metros
por segundo) si los rayos del Sol forman un angulo de
radianes con respecto la
4
horizontal?
40m
q
x
Figura 2.28:
>Como variara la sombra que proyecta el edicio?
Sea x la longitud de la sombra, en metros, que depende del angulo que forman
los rayos del Sol con respecto la horizontal, el cual a su vez vara en funcion del tiempo
t transcurrido (que medimos en segundos). El problema pide hallar la tasa de cambio
de x respecto de t, Dtx. Dado que x es funcion de (x = 40 cotg ), y lo es de
t (la Tierra da una vuelta cada 24 horas, esto es, cada 86400 segundos, a velocidad
2 radianes por segundo, con
constante; de donde con una velocidad de Dt = 86400
signo negativo puesto que el angulo disminuye conforme el Sol se oculta), se trata
2.5.
Jacobiano. Regla de la cadena. Derivaci
on impl
cita
de aplicar la regla de la cadena:
Dt x = D x Dt = 40(
Cuando = 4 , tenemos que
Dt x =
cosec2 )
81
2 = cosec2 86400 360
2 0:0175m=s;
cosec
360
4
velocidad que consecuentemente ha de ser positiva, toda vez que la sombra crece al
ocultarse el Sol (esto es, con el transcurrir de la puesta del Sol).
Ejemplo 2.5.5 Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical.
Si su extremo inferior se resbala y aleja de la pared a una velocidad de 1 pie por
segundo, >con que velocidad se desliza el extremo superior por el muro cuando el
extremo inferior esta a seis pies de la pared?
Sean x los pies que separan por el suelo el extremo inferior de la escalera con
el muro, e y los pies que separan por la vertical del muro el extremo superior de la
escalera con el suelo. Ambas magnitudes son funciones del tiempo t, y satisfacen en
todo instante x2 + y2 = 100 (segun el teorema de Pitagoras).
d(100)
dx
dy
=
1
pie=s. Dado que
=
0,
se
tiene
que
2
x = 2y , de
Ademas, dx
dt
dt
dt
dt
dy
x dx
6
3
donde dt jx=6 = y dt jx=6 = 8 = 4 pies=s.
En el caso de funciones f : IR2 ! IR y g : IR ! IR que se puedan componer
(esto es, tales que Im(f ) Dom(g), de modo que tiene sentido la expresion g(t) para
t = f (x; y )), con f diferenciable en un punto (a; b) y g diferenciable en c = f (a; b), se
tiene que h = g Æ f : IR2 ! IR es diferenciable en (a; b), siendo
@h
dg
@f
(
a; b) = (c) (a; b)
@x
dt
@x
y
@h
dg
@f
(
a; b) = (c) (a; b);
@y
dt
@y
es decir, hx(a; b) = g0(c) fx(a; b) y hy (a; b) = g0(c) fy (a; b).
82
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
sen(x2 + y2) se puede recorrer a
distinta velocidad, como resultado de la composicion de f (x; y ) = x2 +y 2 con funciones
g (t) = sen(t).
Ejemplo 2.5.6 La supercie sinusoidal del tipo
As, las derivadas de las funciones g Æ f son
(g Æ f )x(a; b) = g0 (f (a; b)) fx(a; b)
y
(g Æ f )y (a; b) = g0 (f (a; b)) fy (a; b);
esto es, (g Æ f )x(a; b) = 2x cos(x2 + y2) y (g Æ f )y (a; b) = 2y cos(x2 + y2).
Gracamente, podemos observar como afectan los distintos valores del parametro
(para = 1; 2; 3) a la velocidad con que se recorre la supercie, tal como se analizara
en los Ejemplos 2.1.4 y 2.5.3 para el caso de funciones de una variable.
y = sen(x2 + y 2 )
Figura 2.29:
Supercie segun el periodo natural
2.5.
83
Jacobiano. Regla de la cadena. Derivaci
on impl
cita
y = sen(2x2 + 2y 2)
Figura 2.30:
Supercie modicada por un factor de 2
y = sen(3x2 + 3y 2)
Figura 2.31:
Supercie modicada por un factor de 3
Analogamente, para funciones f : IR2 ! IR2 y g : IR2 ! IR que se puedan
componer, con f (x; y) = (s(x; y); t(x; y)) diferenciable en un punto (a; b) y g(s; t)
diferenciable en (c; d) = f (a; b), se tiene que h = g Æ f : IR2 ! IR es diferenciable en
(a; b), siendo
@h
@g
@s
@g
@t
(
a; b) = (c; d) (a; b) + (c; d) (a; b)
@x
@s
@x
@t
@x
y
@h
@g
@s
@g
@t
(
a; b) = (c; d) (a; b) + (c; d) (a; b):
@y
@s
@y
@t
@y
84
2.
Es decir,
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
hx (a; b) = gs (c; d) sx (a; b) + gt (c; d) tx (a; b);
hy (a; b) = gs(c; d) sy (a; b) + gt (c; d) ty (a; b):
Ejemplo 2.5.7 Considerar el cambio a coordenadas polares, f
que f : (r; ) 7! (x; y ) = (r cos ; r sen ).
y r
: IR2 ! IR2, de modo
x
Figura 2.32:
Relacion graca entre las coordenadas cartesianas y polares
As, cualquier supercie z = g(x; y) admite una expresion en coordenadas polares
z = h(r; ) = (g Æ f )(r; ); de modo que en un punto (a; b), con (c; d) = f (a; b), se
tiene que hr (a; b) = gx(c; d) xr (a; b) + gy (c; d) yr (a; b), mientras que por su parte
h (a; b) = gx(c; d) x (a; b) + gy (c; d) y (a; b); siendo xr (a; b) = cos b, yr (a; b) = sen b,
x (a; b) = a sen b e y (a; b) = a cos b.
No es difcil extender la regla de la cadena para la composicion de funciones del
tipo IRp ! IRq ! IRr : basta trabajar componente a componente. La expresion
general de la regla de la cadena se puede enunciar como sigue.
Sean f : IRp ! IRq y g : IRq ! IRr funciones susceptibles de ser compuestas, siendo
f = (f1 ; : : : ; fq ) las funciones componentes de f , de modo que y = f (x) = (y1 ; : : : ; yq ),
con yj = fj (x1 ; : : : ; xp).
Supongamos que f es diferenciable en x y que g es diferenciable en y = f (x).
Entonces, (g Æ f ) = ((g Æ f )1; : : : ; (g Æ f )r ) es diferenciable en x, siendo
@g
@f
@g
@f
@ (g Æ f )j
(
x) = j (y) 1 (x) + + j (y) q (x);
1 j r; 1 i p:
@xi
@y1
@xi
@yq
@xi
En denitiva, como avanzaramos con anterioridad, J (g Æ f ) = Jg Jf .
2.5.
Jacobiano. Regla de la cadena. Derivaci
on impl
cita
85
Ejemplo 2.5.8 Calcular la derivada a lo largo de la curva que dene la supercie
z = f (x; y ) = 6 x2 y 2 en el punto (1; 2; 1) segun la direccion del vector unitario
1 1
u = ( p ; p ).
2 2
La curva en cuestion queda denida como la composicion de la funcion f (x; y)
con la funcion g : IR ! IR2 dada por g(t) = (1; 2) + tu = (1 + pt2 ; 2 + pt2 ). As, la
derivada de la funcion f Æ g es
(f Æ g)0(t) = fx(1 + pt2 ; 2 + pt2 ) dxdt(t) + fy (1 + pt2 ; 2 + pt2 ) dydt(t) =
= p12 fx(1 + pt2 ; 2 + pt2 ) + p12 fy (1 + pt2 ; 2 + pt2 ):
Notese que el resultado obtenido coincide, por denicion, con la derivada direccional
de f (x; y) segun la direccion u a lo largo de la curva se~nalada.
Ejemplo 2.5.9 El ejemplo anterior no es mas que un caso particular de la primera
propiedad del gradiente de una funcion diferenciable f : IR2 ! IR, de modo que
@f
rf (a; b) u = @u
(a; b).
En efecto, dada una funcion f : IR2 ! IR diferenciable en un punto (a; b) y un
vector horizontal unitario u = (u1; u2), consideremos la funcion g : IR ! IR2 que a t
asocia g(t) = (g1 (t); g2(t)) = (a + tu1; b + tu2); y la composicion h = f Æ g : IR ! IR,
t 7! h(t) = f (a + tu1 ; b + tu2 ). Por denicion, la derivada direccional de f en (a; b)
segun la direccion u consiste en la derivada de la curva h(t) en t = 0.
Segun la regla de la cadena, se tiene que
dh
@f
dg
@f
dg
(0)
=
(
a; b) 1 (0) + (a; b) 2 (0) = rf (a; b) u:
dt
@x
dt
@y
dt
Una ultima aplicacion de la regla de la cadena es la derivacion de funciones denidas de manera implcita.
86
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Supongamos que F (x; y) = 0 dene implcitamente y como funcion de x, en la
forma y = f (x); de modo que F (x; y(x)) = 0.
Consideremos la funcion auxiliar h : IR ! IR, que a t asocia h(t) = F (t; f (t)).
@F @t @F @f (t)
Segun la regla de la cadena, dh
=
+ . Como h(t) = F (t; f (t)) = 0
dt @x @t @y @t
Fx
para todo t, se tiene que dh
=
0,
de
donde
f 0 (t) =
, y hemos encontrado la
dt
Fy
derivada de y respecto de x sin necesidad de conocer una formula explcita para f (x).
De hecho, dada F : IR2 ! IR, se tiene que si Fx y Fy son continuas en (a; b),
F (a; b) = 0 y Fy (a; b) 6= 0; entonces se puede asegurar que F (x; y ) = 0 dene
implcitamente a y como funcion de x en un entorno de (a; b), siendo en este caso,
como acabamos de ver, y0(x) = FFx .
y
Ejemplo 2.5.10 Sea la funcion F (x; y ) = x2 + y 2
4 y el punto (a; b) = (0; 2).
Resulta que F (0; 2) = 0, Fx = 2x y Fy = 2y son continuas en todo IR2 (en
particular en el punto (0; 2)) y Fy (0; 2) = 4 6= 0, de modo que y queda denida como
funcion de x, y = f (x), en un entorno del punto (0; 2); ademas, f 0(x) = FFx = xy .
y
De hecho, nosotros sabemos que en un entorno del punto (0; 2),p la funcion
F (x; y ) = 0 dene a y como funcion de x en la forma y = f (x) = 4 x2 . En
verdad, f 0(x) = p4 x x2 = f (xx) = xy .
Sin embargo, sabemos que F (x; y) = 0 no es una funcion: dene una circunferencia
de centro
y radio
2, cuya graca se corresponde con dos funciones distintas
p el origen
p
y1 = 4 x2 e y2 =
4 x2 . Estas dos funciones tienen dos puntos en comun, a
saber, (2; 0). En un entorno de estos puntos, y no puede denirse como funcion de
x de manera unvoca en la curva F (x; y ) = 0, puesto que a un punto x 2 [ 2; 2] le
corresponderan dos alturas distintas, y = p4 x2 . Son los dos unicos puntos de
la curva F (x; y) = 0 que verican esta propiedad.
El motivo no es otro que Fy (a; b) = 0 si, y solo si, y = 0, y los dos unicos puntos
de la curva F (x; y) = 0 que tienen ordenada nula son precisamente (2; 0).
2.5.
87
Jacobiano. Regla de la cadena. Derivaci
on impl
cita
Ejemplo 2.5.11 Sea la funcion implcita dada por x3 + y 3 = 6xy .
1. Determinar la derivada de y .
2. Hallar la recta tangente a la curva en el punto
(3; 3).
3. Hallar los puntos de la curva en los que la recta tangente es horizontal o vertical.
Figura 2.33:
La ecuacion x3 + y3 = 6xy dene una curva, que no una funcion
3
0.5
2.5
1
1.5
2
2.5
3
2
-1
2
1.5
-2
1.5
1
-3
1
0.5
-4
0.5
0.5
1
1.5
Figura 2.34:
2
2.5
-5
3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
Estas tres ramas s constituyen otras tantas funciones por s mismas
Aunque se conocen formulas explcitas para estas tres funciones, son de una extrema complejidad como para incluirlas en estas lneas. No obstante, es posible
determinar una funcion derivada para y(x), 2procediendo 2de manera implcita con
3x 6y = x 2y .
F
F (x; y ) = x3 + y 3 6xy : y 0 (x) = x =
F
3y2 6x y2 2x
y
De este modo, en el punto (3; 3) se tiene que y0(3) = 1, de donde la recta tangente
a la curva en dicho punto viene dada por y 3 = (x 3) x + y = 6, como se
puede comprobar en la graca adjunta en la Figura 2.35.
Por2 otra parte, las rectas
tangentes horizontales se obtienen para y0 = 0, esto es,
6
p
x
x
y = , de donde x2 + = 3x3 x6 = 16x3 y es x = 0 o x = 2 2, que dan origen
2
p8 p
a los puntos (0; 0) y (2 2; 2 4).
3
3
3
88
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
Figura 2.35:
Tangente a la curva en x = 3
Dado que la funcion dada es simetrica respecto de las variables x e y (esto es,
respecto de la bisectriz del primer cuadrante, x = y), las tangentes verticales se
encuentranpen los
p simetricos respecto de y = x de las tangentes horizontales, a saber,
(0; 0) y (2 4; 2 2). Notese que en el origen hay dos tangentes distintas, dependiendo
de la funcion que se tome.
3
3
Este comportamiento se puede extender para funciones de cualesquiera numero de
variables denidas de manera implcita. Por ejemplo, supongamos que F (x; y; z) = 0
dene z como funcion implcita de x e y, en la forma z = f (x; y). Consideremos la
funcion h(x; y) = F (x; y; f (x; y)), que es constante igual a 0.
Segun la regla de la cadena,
0 = hx = Fx 1 + Fy 0 + Fz @f
@x
@z @f
de modo que @x
= @x =
Fx
Fz
y
@z @f
y @y
= @y =
0 = hy = Fy 0 + Fy 1 + Fz @f
;
@y
Fy
.
Fz
Mas aun, dada F : IR3 ! IR, se tiene que si Fx, Fy y Fz son continuas en (a; b; c),
F (a; b; c) = 0 y Fz (a; b; c) 6= 0; entonces se puede asegurar que F (x; y; z ) = 0 dene
2.6.
89
Derivadas y diferenciales de orden superior
implcitamente a z como funcion de x e y en un entorno de (a; b; c); siendo en este
caso, como acabamos de ver, zx = FFx y zy = FFy .
z
2.6
z
Derivadas y diferenciales de orden superior
Dado que las derivadas parciales de una funcion son en s mismas funciones en las
mismas variables que la funcion primigenia, tiene sentido plantearse a su vez su diferenciabilidad o derivabilidad respecto alguna direccion. As, surgen de manera natural
los conceptos de derivadas y diferenciales de orden superior.
@f
para denotar la derivada parcial (fx)y , esto
Utilizaremos la notacion fxy = @x@y
es, de fx respecto de y. Esta denicion se puede generalizar al caso de derivadas
parciales de mayor orden; por ejemplo, fx y = @x@f2 @y hace referencia a ((fx)x)y ,
derivada parcial respecto de y de la derivada parcial respecto de x de la derivada
parcial de f respecto de x.
2
En general, fx
t1
i1
n
:::xtin
hara referencia a
@f
@xi
1
:
@xi @xi t @xi
t1
n
1
n
n
Hay que tener cuidado con el orden en que se escriben los subndices, puesto que
inuye en el orden en que se toman las derivadas parciales.
8
>
<
Ejemplo 2.6.1 Sea f (x; y ) = >
:
y
x2 arctg
x
0;
x
y 2 arctg ; si xy 6= 0
y
si xy = 0
Esta funcion es claramente continua en todo su domino de denicion, puesto que
cuando x ! 0 o y ! 0 el arcotangente que puede originar discontinuidad aparece
multiplicado por una funci
on que tiende a cero, y arctg t es una funcion acotada, de
recorrido el intervalo 2 ; 2 .
Mas aun, fx =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
2x arctg xy
0;
y;
yx2
x2 + y 2
y3
y 2 + x2
=
y
y + 2x arctg ;
x
si xy 6= 0
si x = 0
si y = 0
90
2.
2
8
>
>
>
>
<
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
3
2y arctg xy + y2xy+ x2 + y2 x+ x2 = x 2y arctg xy ; si xy 6= 0
y fy = 0;
si x = 0
x;
si y = 0
>
>
>
>
:
Ambas son continuas en todo IR2 , de donde f (x; y) es diferenciable de clase 1.
Aqu hemos utilizado que
f (h; y )
f (0; y ) = lim
x
h
!0
h
f (0; y )
= hlim
!0
h2 arctg hy
arctg hy L0 H
y
2
dado que hlim
h arctg = 0 y hlim
y
= hlim
!0
!0
!0
h
h
h
y 2 arctg hy
=
y;
12
2
1+
y
2
1 = y.
y
h
y
Analogamente se prueba que fy (x; 0) = x. Los casos fx(x; 0) = 0 y fy (0; y) = 0
son inmediatos.
Si calculamos ahora las derivadas cruzadas en el origen, se tiene que
f (0; h) fx (0; 0)
f (0; 0) = lim x
= lim h = 1
xy
mientras que
h
!0
fyx (0; 0) = hlim
!0
De modo que fyx(0; 0) 6= fxy (0; 0).
h
h
!0 h
h
fy (h; 0) fy (0; 0)
=
lim
h!0 h
h
= 1:
Luego las derivadas cruzadas no siempre coinciden.
De cualquier modo, en la mayora de los casos el orden en que se tomen las
derivadas parciales es irrelevante, en tanto en cuanto las derivadas cruzadas (derivadas
parciales con el mismo conjunto de subndices, eventualmente ordenados de manera
distinta) coinciden casi siempre. El Teorema de Schwarz da entidad a este \casi
siempre".
Teorema de Schwarz. Sea f : D IR2 ! IR tal que existen fx (a; b), fy (a; b)
y fxy (a; b), siendo fxy continua en (a; b). Entonces, existe fyx(a; b) y coincide con
fxy (a; b).
2.6.
91
Derivadas y diferenciales de orden superior
Lo que ocurra en el Ejemplo 2.6.1 anterior es que ninguna de las derivadas cruzadas fxy y fyx era continua en el origen. De hecho, para xy 6= 0 se tiene que
x2 y 2
fxy (x; y ) = fyx (x; y ) = 2 2 ;
x +y
funcion que efectivamente no es continua en el origen (para trayectorias del tipo
1 m ).
y = mx se tiene que el lmite cuando x ! 0 es 1+
m
2
2
En cualquier caso, la condicion que da Schwarz es suciente, pero no necesaria.
8
>
<
Ejemplo 2.6.2 Considerese la funcion f (x; y ) = >
:
1
xy 2 sen ; si y 6= 0
y
0;
si y = 0
De un lado, para y 6= 0, es fx(x; y) = y2 sen y1 ; mientras que para y = 0, es
fx (x; 0) = 0.
De otro, para y 6= 0, es fy (x; y) = 2xy sen y1 x x cos y1 ; mientras que para y = 0,
es f (x; 0) = lim xh sen 1 = 0.
y
h
!0
h
fx (0; h) fx (0; 0)
1
En estas circunstancias, fxy (0; 0) = hlim
=
lim
h sen = 0.
!0
h
!
0
h
h
fy (h; 0) fy (0; 0)
Mas aun, fyx(0; 0) = hlim
= hlim
0 = 0.
!0
!0
h
Sin embargo, a pesar de que fxy (0; 0) = fyx(0; 0), ninguna de estas derivadas
cruzadas es continua en el origen, dado que para y 6= 0 es
1 cos 1 ;
f (x; y ) = f (x; y ) = 2y sen
xy
yx
y
y
que no tiene lmite cuando (x; y) ! (0; 0): aunque existe el unidimensional cuando
x ! 0, no existe el reiterado cuando y ! 0 del lmite cuando x ! 0, puesto que no
1 (oscila recorriendo todo el intervalo [ 1; 1]).
existe ylim
cos
!0
y
Es evidente que el estudio que aqu hemos concretado para derivadas cruzadas de
segundo orden se puede extender para derivadas cruzadas de cualquier orden n 2.
92
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Una condicion suciente para que estas derivadas cruzadas coincidan es que la funcion
sea de clase n, esto es, que admita todas las derivadas hasta orden n, todas ellas siendo
funciones continuas.
Por ultimo, abordemos la nocion de diferencial de orden superior. La idea es
a~nadir terminos a la diferencial usual de manera que la aproximacion de la funcion
mejore.
La denicion que aqu hemos contemplado de funcion diferenciable era la siguiente:
una funcion f (x; y) era diferenciable en (a; b) cuando
f (a + x; b + y ) f (a; b) fx (a; b) x fy (a; b) y
= 0:
lim
(x;y)!(0;0)
jj(x; y)jj
En este caso, se dice que la diferencial de la funcion f (x; y) en el punto (a; b) es la
funcion df (a; b) : IR2 ! IR que a (dx; dy) le asocia
df (a; b)(dx; dy ) = fx (a; b)dx + fy (a; b)dy:
En general, para funciones f : IRp ! IRq , si la funcion es diferenciable en un
punto a = (a1; : : : ; ap), entonces se dice que la diferencial de f en a es la funcion
df (a) : IRp ! IRq que a (dx1 ; : : : ; dxp) le asocia J (f (a)) (dx1 ; : : : ; dxp )T . Esto no es
mas que el resultado de aglutinar las diferenciales de las q funciones componentes de
f = (f1 ; : : : ; fq ).
Resulta que, como funcion, la diferencial df admite ser derivable o diferenciable,
de modo que se abre un estudio recursivo. Si df es diferenciable, entonces se dice que
f es doblemente diferenciable, y se habla de diferencial segunda d2 f . Analogamente,
diferencial tercera, d3f , o diferencial de orden n, dnf .
Se tiene que las funciones f : IRp ! IRq de clase n en un punto a admiten hasta
diferencial de orden n, siendo dnf (a) : IRp ! IRq la funcion dada por
(dx1 ; : : : ; dxp) 7!
p
X
i1 ;:::;in
=1
fi :::i (a)dxi
1
n
1
dxi :
n
Utilizando la notacion de potencia simbolica, se suele notar
dn f (a)(dx1 ; : : : ; dxn ) = (fx (a)dx1 + + fx (a)dxp )(n) ;
1
p
2.6.
93
Derivadas y diferenciales de orden superior
en particular, para f : IR2 ! IRq , se tiene que
dnf (a)(dx; dy ) =
n
X
=1
0
@
i
n
i
1
A
fx y
i
n
i
(a)dxi dyn
i
:
En la practica, es conveniente desglosar f en sus q funciones componentes fi
de modo que dnf = (dnf1 ; : : : ; dnfq ), y se determinan las diferenciales de funciones
IRp ! IR.
: IR2 ! IR2 dada por
f (x; y ) = (e x+2y ; (x + 2)2 sen y ):
Ejemplo 2.6.3 Sea la funcion f
Es evidente que la funcion admite derivadas parciales continuas de cualquier orden
(se trata de derivar exponenciales, polinomios, senos y cosenos, todas ellas funciones
derivables indenidamente), de modo que es de clase innito (y las derivadas cruzadas
coinciden).
Las derivadas parciales hasta orden 3 son las siguientes (en la lista que sigue,
aparece un representante de cada derivada cruzada, puesto que todas ellas coinciden):
fx(x; y) = ( e
+2y ; 2(x + 2) sen y ),
fy (x; y ) = (2e x+2y ; (x + 2)2 cos y ).
fx (x; y) = (e
x
+2y ; 2 sen y ),
fxy (x; y ) = ( 2e x+2y ; 2(x + 2) cos y ),
fy2 (x; y ) = (4e x+2y ; (x + 2)2 sen y ).
2
x
fx (x; y) = ( e
+2y ; 0),
fx2 y (x; y ) = (2e x+2y ; 2 cos y ),
fxy2 (x; y ) = ( 4e x+2y ; 2(x + 2) sen y ),
fy3 (x; y ) = (8e x+2y ; (x + 2)2 cos y ).
3
x
As, en el origen queda fx(0; 0) = ( 1; 0), fy (0; 0) = (2; 4), fx (0; 0) = (1; 0),
fxy (0; 0) = ( 2; 4), fy (0; 0) = (4; 0), fx (0; 0) = ( 1; 0), fx y (0; 0) = (2; 2),
fxy (0; 0) = ( 4; 0) y fy (0; 0) = (8; 4).
2
2
2
3
2
3
As, las diferenciales primera, segunda y tercera de f en (0; 0) son las siguientes
aplicaciones:
94
2.
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
df (0; 0) : IR2 ! IR2, que a (dx; dy) le asocia df (0; 0)(dx; dy) =
= fx(0; 0)dx + fy (0; 0)dy =
0
dx
0
@
1
A
0
1
0
@
A
@
+ 24dy
=
dy
Equivalentemente, df (0; 0)(dx; dy) = Jf (0; 0) 0
@
dx
dy
1
A
0
7! (fx(0; 0) fy (0; 0))
@
dx
dy
1
A
=
0
@
0
@
dx
dy
1
A
1 0
1 2 0 4
1
A
, esto es,
dx
dy
A @
dx + 2dy
4dy
1
A
=
0
@
1
dx + 2dy
4dy
A
d2f (0; 0) : IR2 ! IR2 , que a (dx; dy) le asocia d2f (0; 0)(dx; dy) =
= fx (0; 0)dx2 + 2fxy (0; 0)dxdy + fy dy2 =
2
4dy2 = dx2 4dxdy + 4dy2
= dx0 + 48dxdy
+
dxdy
0
8dxdy
d3f (0; 0) : IR2 ! IR2 , que a (dx; dy) le asocia d3f (0; 0)(dx; dy) =
2
2
0
1
0
1
0
1
0
1
@
A
@
A
@
A
@
A
= fx (0; 0)dx3 + 3fx y (0; 0)dx2dy + 3fxy (0; 0)dxdy2 + fy dy3 =
3
6dx2dy + 12dxdy2 + 8dy3 =
= dx
+
0
6dx2dy
0
4dy3
3
2 dy 12dxdy 2 + 8dy 2
= dx + 6dx
6dx2dy + 4dy3
3
2
2
3
0
1
0
1
0
1
0
1
@
A
@
A
@
A
@
A
0
1
@
A
Las diferenciales sucesivas dan una manera de mejorar la aproximacion de una
funcion, a~nadiendo al termino lineal (df dx), terminos cuadraticos (d2f dxi dxi ),
terminos cubicos (d3f dxi dxi dxi ) y as sucesivamente, hasta llegar a terminos de
grado n (dnf dxi dxi ). Este resultado se conoce como Teorema de Taylor, y
tiene innumerables aplicaciones.
1
1
1
2
2
3
n
En el captulo que se abre a continuacion, trataremos primero la aproximacion
local de Taylor para funciones de una variable, para despues extender el estudio al
caso de funciones de varias variables.