Derivadas y Aplicaciones

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Tema 7.- Derivadas y sus Aplicaciones
Tasa de Variación Media
T.V.M a, b =
Variación de f(x) f b - f (a)
f a + h - f (a)
=
↔ T.V.M a, a + h =
b-a
h
Variación de x
Es la pendiente de la recta que une los puntos A[a, f(a)] y B[b, f(b)].
Y
Y
B
f (a + h)
B
f (b)
y = f (x)
y = f (x)
f (b) - f (a)
f (a + h) - f (a)
A
f (a)
a
A
f (a)
h
b-a
X
a+h
a
X
b
Y
Y
b-a
f (b) - f (a) < 0
f (b) - f (a) > 0
T.V.M>0→f x es Creciente en a, b
Si
b-a
T.V.M<0→f x es Decreciente en a, b
a
b
X
a
b
X
Tasa de Variación Instantánea ó Derivada
f x - f (a)
f a + h - f (a)
= lim
x→a
h→0
x-a
h
'
T.V.I a = f (a)= lim
Es la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto x = a:
T.V.I > 0  f(x) es creciente en x = a
T.V.I < 0  f(x) es decreciente en x = a
Derivadas Laterales
f'(a- ) = limx→a
f x - f (a)
f a + h - f (a)
= lim h→0
x-a
h
f x - f (a)
f a + h - f (a)
f'(a+ ) = lim+
= lim+
x→a
x-a
h
h→0
'
'
'
'
f a- ≠ f a+ → Punto Anguloso
→
f a- = f a+ → Curva Suave (derivable)
Derivabilidad y Continuidad
Función Continua en un punto  Derivable Sí o No
f x = x
Función Derivable en un punto  Función Continua
Continua en x = 0
No derivable en x = 0
Si f x es derivable en x = a → lim
x→a
f x - f (a)
→ lim f(x) =f(a)
x→a
x-a
Función Derivada
Si una función f(x) es derivable en todos los puntos de un intervalo I, la función f’[x  f’(x)] definida en I, se
llama función derivada de f(x).
á
á
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Matemáticas B _ 2º Bach
Reglas de Derivación
Multiplicación por un número
Suma y resta
Producto
k · f (x) ´ = k · f ´(x)
[f(x) ± g(x)]´ = f ´(x) ± g´(x)
f x ·g x ´= f ´ x · g x + f x · g´(x)
Cociente
Composición (Regla de la Cadena)
'
f (x)
f ´ x · g x - f x · g´(x)
=
g (x)
g2 (x)
Función
Derivada
y=k
y' = 0
y=x
y' = 1
y = xn
y' = n · xn - 1
y=
n
x
y' =
n
´=f ´ g x
· g´ x
Función
y=f
n
Derivada
n-1
y' = n · f (x)
(x)
'
· f (x)
'
1
n·
f g x
y= f (x)
xn - 1
f (x)
y'=
n
n
n -1
n· f
(x)
'
y = ax
y' = ax · ln a
y=a f (x)
y' = af (x) · ln a · f (x)
y = ex
y ' = ex
y= e f (x)
y' = e f (x) · f (x)
y= loga x
y = ln x
y' =
1
x · ln a
y = loga f (x)
1
x
y= ln f (x)
y' =
'
'
y' =
f (x)
f(x)· ln a
'
y'=
f (x)
f (x)
'
y= sen x
y' = cos x
y= sen f (x)
y' = cos f (x) · f (x)
y = cos x
y' = -sen x
y= cos f (x)
y' = -sen f (x) · f (x)
y = tg x
y = arc sen x
y' = 1 + tg2 x =
y' =
y = arc cos x
y' =
y = arc tg x
y' =
1
cos2 x
1
1 - x2
-1
1 - x2
1
1 + x2
y= tg f (x)
'
'
y' =
f x
'
cos2 f x
= 1 + tg2f (x) · f (x)
'
y = arc sen f (x)
y'=
y = arc cos f (x)
y'=
y = arc tg f (x)
y'=
f (x)
2
1 - f (x)
'
-f (x)
2
1 - f (x)
'
f (x)
2
1 + f (x)
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Tema 7.- Derivadas y sus Aplicaciones
Derivada de la Función Inversa o Recíproca de Otra
f f
-1
x
= x  Derivando  f' f
-1
x
· f
-1 '
x =1 
f
-1 '
x =
1
f'
f
-1
x
Derivada de una función Implícita
Hay funciones que vienen dadas mediante expresiones f(x, y) = 0, en las cuales es difícil o imposible despejar la y
y3 – 7x2 + 5y2x + 17 = 0
En ellas, no es posible obtener una expresión del tipo y = f(x). Para calcular la derivada y’ sólo hay que tener en
cuenta que la derivada de x = 1, y la derivada de y = y’.
2
2
y3 – 7x2 + 5y2 x + 17 = 0 → 3y y'– 14x + 5 2yy' x+y2 + 0 = 0 → 3y y' +10yy' x =14x-5y2 → y' =
14x-5y2
2
3y +10yx
Derivación Logarítmica
Función potencial
n
y = f(x) 
Función exponencial
n-1
y = af(x) 
y´= n · f(x)
y´= af(x) · Ln a · f´(x)
Función exponencial-potencial
g(x)
y = f(x)
g(x)
1) Se toman logaritmos: Ln y = Ln f(x)

Ln y = g x · Ln f(x)
y'
y
2) Se derivan los dos miembros de la igualdad:
3) Se despeja y’: y' = y· g' x · Ln f x + g x ·
g(x)
4) Se sustituye la y: y' = f(x)
 Derivación logarítmica
= g' x · Ln f x + g x ·
'
f (x)
f(x)
'
f (x)
f(x)
· g' x · Ln f x + g x ·
'
f (x)
f(x)
'
f x = xx → Ln f x = Ln xx → Ln f x =x · Ln x →
f x
1
'
'
= 1 · Ln x + x ·
→ f x = f x Ln x+1 → f x = xx Ln x+1
f x
x
Recta Tangente a una Curva en uno de sus Puntos
Si f(x) es derivable en x0, la ecuación de la recta tangente a la función y = f(x) en x0 es: y – y0 = f’(x0) (x – x0)
Y
y = f (x)
y (x0)
f’(x0) = tg  = m
x0
X
á
á
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Matemáticas B _ 2º Bach
Información Extraída de la 1ª Derivada
Crecimiento, Máximos y Mínimos
f(x) derivable y creciente en x0  f’(x0)  0
f(x) derivable y decreciente en x0  f’(x0)  0
f’(x) < 0 f’(x) > 0
f’(x) > 0 f’(x) < 0
a
c
b
Creciente
a
Decreciente
c
b
Decreciente
Creciente
Mínimo
Máximo
Condición necesaria de máximo o mínimo relativo en
funciones derivables
F(x) tendrá un máximo o un mínimo en x 0  f’(x0) = 0
Regla para identificar Extremos Relativos
Máximo: f’(x) > 0 a su izquierda f’(x) < 0 a su derecha
Mínimo: f’(x) < 0 a su izquierda f’(x) > 0 a su derecha
f’ (c) = 0
f’ (c) = 0
Información Extraída de la 2ª Derivada
Curvatura y Puntos de Inflexión
f’’(x0) > 0  f es convexa en x0
f’’(x0) < 0  f es cóncava en x0
f’’(x) > 0 f’’(x) < 0 f’’(x) > 0
a
Convexa
d
c
b
Cóncava
Convexa
Punto de Inflexión
f’’(x0) = 0 y f’’’(x0)  0  hay un punto de inflexión en x0
Optimización de Funciones
1º. Calculamos la función a optimizar (normalmente dependerá de dos variables): f(x, y)
2º. Buscamos una relación entre las variables: g(x, y) = 0
3º. Despejamos una incógnita de la ecuación g(x, y) = 0 y la sustituimos en la función f(x, y), con lo cual la
función ya sólo dependerá de una variable f(x).
4º. Optimizamos la función f(x): f’(x) = 0 y comprobamos si son máximos o mínimos.
Regla de L’Hôpital
lim
f(x)
x → a g(x)
=
0
∞
f(x)
f'(x)
ó
→ lim
= lim
x
→
a
x
→
a
0
∞
g(x)
g'(x)
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Tema 7.- Derivadas y sus Aplicaciones
Teoremas de Derivabilidad
Teorema de Rolle
f(x) continua en a, b
f(x) derivable en (a, b)
f a = f(b)
 ∃ c ϵ a, b /f ' c = 0
f’ (c) = 0
Interpretación geométrica: existe algún punto entre a y
b donde la recta tangente en dicho punto es paralela al
eje de abscisas.
c
a
b
c
d
f’ (c) = 0
Teorema del Valor Medio o de Lagrange
f b - f(a)
f(x) continua en a, b
 ∃ c ϵ a, b /f ' c =
(pte)
f(x) derivable en (a, b)
b-a

Interpretación geométrica: Existe algún punto entre
a y b donde la recta tangente en dicho punto es
paralela a la recta que pasa por los puntos A[a, f(a)] y
B[b, f(b)].
f(b) – f(a)

b-a
a
c
b
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