Solución de ec. de 2° orden Archivo

ECUACIÓN DE OSCILACIONES
Tomado del texto de Ecuaciones Diferenciales de los Profesores
Norman Mercado
Luis Ignacio Ordoñéz
Muchos de los sistemas de ingeniería están regidos por una ecuación diferencial lineal de segundo orden con
coeficientes constantes, ecuación que recibe el nombre de ecuación de oscilaciones y presenta la forma general:
La ecuación de oscilaciones se puede escribir en su forma normalizada, así:
El amortiguamiento del sistema es:
y se mide en
La frecuencia natural de oscilación es:
y se mide en las mismas unidades:
Tal como se estudió en el capítulo anterior, la solución general de la ecuación diferencial viene dada por:
Dónde:
es un conjunto fundamental de soluciones de la homogénea y
es una solución particular de la
no homogénea. La ecuación característica de la ecuación diferencial es la siguiente:
Las raíces de la ecuación característica viene dadas por:
Tal como se estudió en el capítulo anterior, a partir de las raíces de la ecuación característica se presentan tres
casos, así:
1. Las raíces son reales y diferentes. En este caso se dice que el sistema es sobreamortiguado y la solución general
viene dada por:
2. Las raíces son reales e iguales, esto es
. En este caso se dice que el sistema es críticamente
amortiguado y la solución general viene dada por:
Las raíces son complejas conjugadas, esto es
subamortiguado y la solución general viene dada por:
. En este caso se dice que el sistema es
recibe el nombre de seudofrecuencia de oscilación del sistema y se mide en
La cantidad:
.
La solución se puede escribir, alternativamente, en la forma:
Donde:
y
Un caso de especial interés es el correspondiente a
, es decir, el sistema no tiene amortiguamiento. En este
caso el sistema es oscilatorio puro y corresponde al conocido movimiento armónico simple. La solución general en
este caso es:
A partir de las condiciones iniciales se determinan las constantes:
ó, si se quiere, las constantes
, con lo
que se obtiene la solución del problema de valor inicial. En la solución del problema de valor inicial aparecen dos
partes perfectamente distinguibles, a saber:
1. La respuesta transitoria del sistema. Es la parte de la solución que depende de las condiciones iniciales del
sistema, es decir, es la solución complementaria después de hallar las constantes de integración.
2. La respuesta forzada del sistema. Es la solución particular de la ecuación diferencial y recibe diferentes nombres,
entre los cuales destacamos los siguientes: respuesta de estado estacionario, respuesta de régimen permanente.
Respuesta al escalón de un sistema de segundo orden.
Cuando la excitación del sistema es constante a partir del instante
, es decir, la excitación es de la forma
, la ecuación diferencial es:
En tal caso, para tiempos positivos, la solución particular viene dada por:
En adelante, la respuesta de estado estable la designaremos como:
Para determinar la solución del problema de valor inicial, se parte de la solución general, así:
Sí las condiciones iniciales son
Resolviendo el sistema, resulta:
, las constantes deben satisfacer el sistema de ecuaciones:
Cuando el sistema está inicialmente en reposo, las constantes son:
Ejemplo 3.5.
Resuelva el problema de valor inicial:
Solución.
Con base en lo estudiado, la solución general es:
El Wronskiano de la ecuación diferencial es:
Las constantes de integración son:
En consecuencia, la solución del problema de valor inicial es:
Las figuras: 3.24 y 3.25 muestran las gráficas de las variables:
y
para
Una gráfica de especial interés es la que relaciona a la variable dependiente:
.
con su primera derivada con
respecto al tiempo
. Si denotamos por , el plano de fase es la gráfica de: p contra y.
Para el sistema que nos ocupa, debemos eliminar la variable tiempo en las expresiones encontradas, así:
En forma matricial, se tiene:
Resolviendo el sistema, resulta:
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en la forma:
Igualando las ecuaciones, se tiene:
La expresión encontrada es bastante complicada de graficar, pero sí se usa un paquete graficador, tal como
Mathcad, se encuentra la gráfica de la figura 3.26.
La interpretación del plano de fase depende del tipo de sistema. Para un sistema mecánico de traslación la
variable:
representa la posición de la partícula en todo instante, mientras que:
representa la velocidad en
todo instante; así pues, el plano de fase representa la velocidad contra la posición.
Ejemplo 3.6.
Resuelva el problema de valor inicial:
Solución.
Con base en lo estudiado, la solución general es:
El Wronskiano de la ecuación diferencial es:
Las constantes de integración son:
La solución del problema de valor inicial es:
En las figuras 3.27 y 3.28 se muestran las gráficas de la función y su primera derivada, mientras que la figura 3.29
ilustra el plano de fase.
Ejemplo 3.7.
Resuelva el problema de valor inicial:
Solución.
Con base en lo estudiado, la solución general es:
El Wronskiano de la ecuación diferencial es:
Las constantes de integración son:
La solución del problema de valor inicial es:
La función:
se puede expresar en la forma:
El ángulo de fase viene dado por:
Puesto que el ángulo está en el tercer cuadrante, se tiene que:
El ángulo debe expresarse en radianes, así:
En consecuencia, la variable se puede expresar como:
Las figuras 3.30 y 3.31 muestran las gráficas de
figura 3.32
y
, mientras que el plano de fase se muestra en la
Al analizar la gráfica de la figura 3.30, se observa que la variable:
tiende a dos en la medida que el tiempo
aumenta. Precisamente, la respuesta de estado estacionario es dos. La parte transitoria de la respuesta alcanza un
valor por encima de la respuesta de estado estacionario, dicho valor se conoce como sobrenivel y sólo se presenta
cuando el sistema es subamortiguado, es decir, cuando el amortiguamiento del sistema es menor que la frecuencia
natural de oscilación.
El sobrenivel se calcula hallando el máximo de la función y restándole el valor de estado estacionario. El
procedimiento, en forma general, es el siguiente:
La ecuación diferencial se puede expresar en la forma:
Se parte de las expresiones para
y
, así:
Cuando el sistema está inicialmente en reposo, las constantes toman los valores:
Dónde, tal como se definió al principio
. Sí definimos el coeficiente de amortiguamiento del sistema
, la seudo frecuencia de oscilación es:
como
En consecuencia, la solución del problema de valor inicial es:
Igualando a cero la primera derivada, se tiene el instante en el que la función alcanza su valor máximo, así:
La posición máxima es:
El sobrenivel, que depende únicamente del coeficiente de amortiguamiento y del nivel de estado estacionario, viene
dado por:
Para el ejemplo 3.7, el coeficiente de amortiguamiento es:
. En consecuencia, el sobrenivel es
y y el nivel de estado estacionario es
. El resultado se pone de presenta en la figura 3.30.
Respuesta al impulso de un sistema de segundo orden.
La respuesta al impulso o respuesta natural de un sistema de segundo orden, inicialmente en reposo, se calcula
mediante la derivada de la respuesta al escalón unitario y la denotaremos por
. De acuerdo con lo estudiado en
la sección anterior, a partir de la respuesta al impulso se puede hallar la respuesta ante cualquier excitación usando
la integral de convolución.
Ejemplo 3.8.
Un sistema lineal invariante está regido por la ecuación diferencial:
a. Encuentre la respuesta al escalón unitario
b. Encuentre la respuesta natural
c. Encuentre la respuesta a la excitación:
Solución.
a. La respuesta al escalón unitario se encuentra resolviendo la ecuación diferencial:
Aplicando el procedimiento, se encuentra que la respuesta al escalón unitario es:
b. Con base en lo anterior, la respuesta al impulso unitario es:
c. La respuesta a la función exponencial se puede determinar de dos formas, así:
1. Aplicando la integral de convolución:
Se observa que la respuesta de estado estacionario o solución particular es:
2. Aplicando el método del operador inverso obtenemos el mismo resultado, así:
Respuesta a la sinusoide de un sistema de segundo orden.
Consideremos la ecuación diferencial:
La respuesta forzada del sistema, usando el método del operador inverso, viene dada por:
Efectuando las operaciones, se tiene:
Un caso interesante es el que se presenta cuando la frecuencia de la excitación coincide con la frecuencia natural
de oscilación, es decir
. El fenómeno se denomina resonancia, y la correspondiente frecuencia forzada es:
Obsérvese que la amplitud de la salida aumenta en la medida que decrece su amortiguamiento. Sí, por ejemplo, la
frecuencia natural de oscilación es de 10 Radianes/segundo y el amortiguamiento es la unidad, la magnitud de la
salida será cinco veces la amplitud de la entrada.
La salida presenta una diferencia de fase de 90 grados con respecto a la señal de entrada.
Ejemplo 3.9.
Un sistema lineal invariante está regido por la ecuación diferencial:
Encuentre la respuesta forzada del sistema ante las siguientes excitaciones:
a.
b.
Solución.
En el primer caso, la respuesta forzada es:
Multiplicando por el conjugado, resulta:
La respuesta se puede expresar en la forma:
La amplitud de la salida, en estado estacionario, es alrededor del 16% de la amplitud de la excitación.
En el segundo caso se presenta el fenómeno de resonancia, así:
La respuesta se puede escribir en la forma:
La amplitud de la salida, en estado estacionario, es alrededor del 32% de la amplitud de la excitación.
El fenómeno de las pulsaciones. Modulación de amplitud.
Consideremos un sistema sin amortiguamiento que tiene una frecuencia natural de oscilación:
una sinusoide de frecuencia
, es decir, el sistema está regido por la ecuación diferencial:
La solución particular, usando el método del operador inverso, es:
y se excita con
La solución general viene dada por:
Cuando el sistema está inicialmente en reposo, después de calcular las constantes, resulta:
La diferencia de cosenos se puede expresar en la forma:
Con base en la identidad anterior, la respuesta del sistema es:
Particularmente, sí
, la respuesta del sistema es:
La expresión anterior corresponde a una sinusoide de frecuencia 7 cuya amplitud es una sinusoide de frecuencia
unitaria. Precisamente, esta señal corresponde a la salida de un modulador de amplitud.
La figura 3.33 muestra la gráfica de la función y sus envolventes.
Resonancia pura.
La resonancia pura se presenta cuando el sistema no presenta amortiguamiento, es decir, la ecuación diferencial
del sistema es de la forma:
En este caso, la respuesta en estado estacionario es:
Efectuando la derivada y teniendo en cuenta que uno de los términos es linealmente independiente con la
complementaria, la solución forzada es:
La gráfica de la respuesta forzada es una sinusoide cuya amplitud aumenta linealmente con el tiempo. El fenómeno
de resonancia pura se puede presentar en sistemas mecánicos, tales como puentes y estructuras y en sistemas
eléctricos tales como el oscilador.
La figura 3.34 muestra la gráfica de la respuesta forzada del sistema del ejemplo 3.9, con
EJERCICIOS 3.3.
1. Un sistema lineal invariante, inicialmente en reposo, está regido por la ecuación diferencial:
a. Encuentre y grafique la respuesta al escalón unitario:
b. Encuentre y grafique la respuesta al impulso unitario:
c. Encuentre y grafique la respuesta a la excitación:
d. Encuentre y grafique la respuesta a la excitación:
e. Encuentre y grafique la respuesta a la excitación:
2. Repita el ejercicio anterior para un sistema que está regido por la ecuación diferencial
3. Repita el ejercicio anterior para un sistema que está regido por la ecuación diferencial
4. Repita el ejercicio anterior para un sistema que está regido por la ecuación diferencial
5. Un sistema lineal invariante, inicialmente en reposo, está regido por la ecuación diferencial:
.
Determine y grafique la respuesta forzada en los siguientes casos:
6. resuelva el problema de valor inicial y represente gráficamente:
y el plano de fase.
7. resuelva el problema de valor inicial y represente gráficamente:
y el plano de fase.
8. resuelva el problema de valor inicial y represente gráficamente:
y el plano de fase.
9. resuelva el problema de valor inicial y represente gráficamente:
y el plano de fase.
10. Un sistema sobreamortiguado parte de la posición de equilibrio con una velocidad inicial
a. Demuestre que el desplazamiento máximo ocurre en el instante:
Dónde:
:
.Es el coeficiente de amortiguamiento del sistema.
b. Demuestre que el desplazamiento máximo está dado por:
Se sugiere escribir la ecuación de oscilaciones en la forma:
.