RESUMEN - Revista Mexicana de Física

Vol. XVI, 4
REVISTA
LA TRANSFORMACION
MEXICANA DE FI$ICA
DE LORENTZ
1967
y EL MDVIMIENTO DE UNA CARGA
EN EL CAMPO ELECTROMAGNETICO
CONSTANTE
E. Piña
Reactor
Centro Nuc lear
Comis ión Nac iona I de Energía
(Recibido:
Nuclear *
7 noviembre'
7)
RESUMEN
Se ob/if'Tlf'
/.urenlz.
hacif'ndo
el1 el espacio
la solución
uso de la leoria
de ,\li11kotl'ski;
)' para f'1 mO!,imielllo
df' la ecuación
f'xplíci/a
de le
115
(1('5
cml aplícacionf's
de una carga
en cualquier
di/erf'TlCial
anlisimilricos
dd
de segundo
para la Iranslormaciól1
campo
grupo de
ordf'n
dt' /.orf'11/z.
,.lec/romagmiric(J
c()1Islan/f'.
A.BSTRACT
Tbe explícíl
df'1Ít'('d
solu/hm
tLSirlg lhe secolld
lur lhe diller('n/ial
(ffd('r skf'w-symmC'lric
DrreCClon postal:
Comrslon Nocional de Energ;o
Insurgentes
Sur 1079. México 18. D. F. México.
233
equaljon
l(,lIsors
Nuclear.
{Jllhe
theury
IJfff'111z gruup
irl.\l;,lkul'skj
•.••
js
spa(('.
This so/ution
is appJi('d ;', th(' Lurf'nt'z
(Jf charg('s fl'ith any corlstant f'/f'ctromagrlf'lic
transformation
and irl th(' motion
fif'ld.
INTROOUCCION
Son bien conocidas
siones
y los cálculos
en relatividad
la elegancia
y simplicidad
cuando se hace uso de la notación tensorial.
Sin embargo, la falta de información sobre las propiedades
analíticas
de las exore.
de los tensores
ha conducido al trotamiento
no-tensorial
algebraicas
y
de numerosoS
problemas relativistas.
Con el desarrollo
.semisecular"
minio cada vez más amplio del algebra
obtener de nuevo los resultados
formación sobre aspectos
de lo relatividad,
tensorial
un do-
10 cual noS permite ahora, no solo
en formo más elegante,
no muy conocidos,
se ho alcanzado
sino también dar nueva in-
de temas que son de dominio común
en la fís ica contemporánea.
Como un ejemplo, en este traba¡o se analizan
de segundo orden y se utilizan
cial del grupo de Lorentz.
sus propiedades
La analogía
los tensores
ontisimétricos
p:lra integrar la ecuación
entre esta ecuación
ción de movImiento de una carga en el campo electromagnético
diferencial
difereny la ecua-
constante,
sugiere
también lo solución a este otro problema.
1. TENSORES ANTISIMETRICOS
DEL ESPACIO DE MINKOWSKI
En este trabajo tomaremoS la métrica
1Ja~
{
si
a
= f3
O
- 1
si
a
= f3
1,2,3
O
si
"1
f3
y Se va a emplear el tensor unitario, completamente
234
(1.1 )
antisimétrico
de Levi-eivita
que definimos
COmo
€ a.I3Jlv --
-1
{
O
si
a,f3,¡.l,v
si
a, f3, ¡.l, v es permutación non de 0,1,2,3
es permutación par de 0,1,2,3
en los otros casos.
(1.2)
Subiremos y bajaremos índices
haciendo
uso del tensor métrico (1.1)¡ en particular
tendremos
(1.3 )
Se conocen
los propiedades
del tensor de Levi-Civito
S"
, S," S"l'
ea.lfY1.' €
K. ).'¡..LV :::
, S~
sy, sy
S~
, S~
l'
sy,
l'
(1.4 )
y
- 2
(1.5)
aonde
~
Sa. es
la delta de Kronecker.
Introduzcamos ahora algún tensor, real, antisimétrico,
F a.j3 -- - F j3a.
235
de segundo orden Fa./3
(1.6)
El tensor dual al tensor
¡:ap, se define
por
(l.7)
El cual tiene la propiedad característica
1
F
2"
~v
El tensor ontisimétrico
€
F*a./3
==
211
cos O
paJ3 = 211
sen
a~
Esto permite la clasificación:
de cero,
e
o(
1/,.0
o diferente
a~
e
(1.9)
< 2n
Fa./3es nulo
O
no-nulo de acuerdo o que 1/ sea igual
respectivamente.
Se observa en las definiciones
F
(1 .8)
p.va¡3
Fn!3 determino en general dos invariantes
Fa.j3 F.:J./3
p*
(que se puede deducir de (1.5)).
(1.9) que
e
no está bien definido cuando
Sea nulo.
En el caso
no-nulo asociaremos
ú'a~ =
1
vil
(
sen
E I tensor Fa13 puede ex presarse
de Su dual como sigue
a f~/3 el tenSor ontisimétrico.
2"(1 l'a~ _ cos _02 1"a~ )
como una combinación
236
(1 10)
•
lineo I de I tensor
(1.10)
y
¡¡¡ (sen!!.2 '" "
+ cos !!.
2 w\)
ap
(J,¡.J
E I tensor wa../3 tiene algunas
E I tensor
fue normalizado
propiedades
interesantes
(1.11)
que se don o continuación.
como
(1.12)
La cuol implico por (1.5) que
w
Otra consecuencia
~/3)' _
al3'-'
w' w*/3'Y
0./3
de lo defínición
_
-
<:y
(1.13)
°a
de wo./3 es
(1.14 )
Lo cual por (1.6) nos da la importante
propiedad
(1.15)
De los ecuaciones
(1.13) y (1.15)
wa./3 que empleoremos
escribimos
en lo siguiente
entero de un tensa antisimétrico
ahora otros propiedodes
sección
arbitrario
paro determinor
no nulo.
Estas
cualquier
propiedades
del tensor
potencio
son
(1.16 )
•
w*/3w ..•.jJ,w*tI
a.
/3
¡.J.
_w*v
a
237
Los ecuoc iones (1.13) Y (1.16) muestran que
res de proyección.
Y se encuentro
ú)ez.
¡3 w/3 )' y -
que corresponden
w;.8 w"B)' son
o uno separación
operado-
del espacio
de Minkowski en el producto directo de un par de 2 - planos de géneros tiempo y
espacio
respectivamente.
Poro el coso nulo se tiene lo propiedad
o
Esto relación
será suficien1e
(1117)
porO obtener cuolquier
potencio entero del tensor
nulo Fez./3 •
Lo clasificación
equivalente
01 análisis
precedente
de tensores
antisimétricos
de Synge1 el cual fue desarrollado
puede mostrarse
en términos de eigen-
vectores
del tensor Fap•
Los conclusiones o los cuales hemos llegado 01 hacer
uso de los propiedades del tensor de Levi-Civito, pueden obtenerse también si se
empleo el formalismo de Synge.
Nuestro método nos. parece contar con lo ventaio
de lo determinación
completo del tensor wa/3.
E inclusive el conocimiento
proporciono uno técnico poro obtener los eigenvectores
de F ,.,.
'i'
2. TRANSFORMACIONES
En esto
secciÓn se hará lo integración
de wa./3
DE LORENTZ
de lo transformación
de Lorentz
infinitesimal
(2.1)
donde ds es una cantidad
infinitesimal
y Fa./3 es cualquier
tensor antisimétrico
constante.
Lo ecuación
diferencial
paro lo transformación
trans formac ión infin ites imaI (2.1 ) está dado pcr
238
de Lorentz, asociado
o lo
•
d
13(s)
_ L
ds
o
Esta ecuación
(2.2)
se integra fácilmente.
Aquí tomaremoS en cuento sólo el grupo
propio de Lorentz, dando lo condición
L 13 (s )
iniciol
(2.3)
(s = O)
a
Se tiene entonces
exp (s F 13)
(2.4)
a
donde la exponencial
El
coso
está definido
nulo para 1~¡3se
por su desarrollo
trivialmente
sumO
en serie de potencias.
debido o lo propiedad (l.l?)
y nos da
8/3 + s F /3
a
1" ~2
2
a
P Y F /3
(2.5)
y
a
En el caso no.nulo podemos Suponer sin perder en generalidad
Descomponemos
entonces
el tenSor ontis ¡métrico
F
(
'0../3 = sen
'2e
wa/3
t
cos
y es fácil ahoro sumar 10 serie (2.4) si
tensor wa/3.
El
resultado
(2.6)
1
11 =
se expresa
e
2'
')
wa.t3
tomamoS
como sigue
239
Paj3
como en (l.11)
(2.7)
en cuenta los propiedades
del
w 'Y w 13 cosh (5 sen ~ )
o
y
2
- w*'Y w* 13
'Y
a
+
w:
8
Esto expresión
coS (s cos ~) + w 13 senh (s
2
sen (s
a
sen -2B)
(2.8)
cos~)
poro lo matriz de Lorentz es similar a lo expresión
tuvo Bozoríski2 con el método de efectuar
que ob-
lo transformaciÓn de Lorentz de uno té.
trodo nula de vectores.
Nuestro expres ión (2.8) corresponde
o lo fórmula de Bazanski en su noto 7,
si se hocen los substituciones
Cfl=s
sen
e
\ji
2"
Apor,te de lo corrección
=
s
cos I:!
(2.9)
2"
de un erra'" de imprenta, nuestro fórmula (2.8) noS
do lo nuevo información de los ecuaciones
(2.9).
hacer la sumo explícita
Este nuevo conocimiento
de lo serie (2.4).
plear en la sección 4 poro deducir
los trayectaios
mueven en un campo electromagnético
Baza~ski2
de pcutículas
de
se va o em-
cargados
que se
constante.
obtuvo también uno expresión
(2.5) poro el coso nulo.
Esto es una consecuencia
Lo cual debe corregirse
similar o lo de nuestro ecuación
añadiendo
un factor.!- como
2
aparece en nuestro ecuación.
Es interesante observar también que lo matriz de Lorentz (2.1$) se factor iza
en dos transformaciones
de Lorentz que conmutan entre sí
(2.10)
240
donde
M Il (s) =w""w
a
/3
a
+w
cosh (s
y
Il
a
.!!)
sen
2
senh (s
sen
.!!)
+
2
Il
+(ó-wYwll)
a
(2.11 )
y
a
y
_ w*""ú)*
N/(s)
+ w*/3
a
sen
3. TRANSFORMACION
(5
/3
cos
y
a
cos
(5
cos
.!!)
+
2
ll
.!!)
+ (ó
2
i1
DE LORENTZ
+ w'
i1
y w' Il)
a.
(2.12)
EN ESPACIOS ESPINORIALES.
La representación de Lorentz en espacios de espinares se asocia ohaa
con la representación precedente.
Esto se obtuvo relacionando
la transformación de Lc:rentz infinitesimal
diferentes espacios e integrando las ecuaciones diferenciales
correspondientes.
En el espacio de espinares asociado a la ecuación de Dirac,
ción de Lorentz infinitesimal
en
lo transforma-
estó determinada por la motriz3
(3.1 )
donde I es la motriz unidad (4x4)
y
son
yJ1.
trices de Diroc que satisfacen
241
uno representación para las cuatro ma-
!... (yay~
• y~ ya)
17)a~
=
(3.2)
2
La integración
de lo expresión
(3.1),
1.(5) = 1 • ~ F
4
en el coso nulo para 1<~/3 noS da simplemente
yay~
(3.3)
a~
Mientras que en el caso no-nulo del tensor Fa.j3' lo transformación
de Lorent2 que corresponde
1.(5 )
!...
2
0(3.1)
y~yV
w
+ 1 cos (~
2
- yS
estó dado por
cos (~
2
~v
• !"'w'
y~yV
2 ~v
senh (~
sen ~)
f)
2
cosh (~
sen~)
2
cosh (~
2
2
cos ~)
sen (-25 cos
cos~)
sen (~
finita
2
cos~)
2
2
2
2
2
•
sen ~)
2
senh (~
2
sen ~)
2
(3.4)
donde yS es como de costumbre
(3.5)
Lo foctorizoción
(2.10) está representada
1.(5) = ,~(5) N(5)
= N(5)
242
,11(5)
ahora por
(3.6)
con los definiciones
.If(s)
I cosh
(c-
sen ~) + ~
2
2
W_o
2
~
yay
e
senh (~
2
sen ~)
2
(3.7)
y
N(s)
1
cos (~cos
2
Otro representación
iuntode
~)
2
+.!2
}
c<):~yay¡3
~
sen (~
cos!!)
2
2
frecuente del grupo de Lorentz es la formada por el con"
matrices complejas de segundo orden Con determinante igual a uno.4
En esta representación,
la transfcrmación
infinitesimal
estó dada por la ma..
triz
I
+
ds ~ (E
2
+
i B) • CT
(3.8)
donde los vectores E y B estón definidos por
(3.9)
E I "vector";;
tiene por componentes las matrices de Pauli
(3.10)
e I es lo matriz unidod (2x2).
243
Lo integración de (3.8) en el coso nulo nos do lo motriz
L(s)
=
(E
I T ~
(3.11 )
B) • cr
T i
2
Mientras que en el coso no&nulo estará determinado
L(s)
U
leos
exp ( - i ~)]
ib).cr
Ti(eT
sen(;-
por
T
(3.12)
eXP(-i~)]
donde
(3.13)
y
b:::
{w
32
, w
13
, w
21
El miembro derecho de (3.12)
}
••• factor iza en las dos motrices conmutoti&
vos
t?)
T (e T i b) • cr senh (~
sen
t?)
sen (~
eos
t?)
2
.u (s )
1 eosh (~
sen
N(s)
leos
eos ~) T i (o T i b) • cr
2
2
2
2
y
(;-
2
(3.14 )
El álgebra de las motrices de Pauli esté en numerosos libros de texto.
Mientras que poro obtener la expresión (3.4)
5
de Cercignoni.
244
utilizamos
un formalismo similarol
4. CARGA EN UN CAMPO ELECTROMAGNETICO
CONSTANTE.
Los ecuaciones de movimiento de uno carga en un campo electromagnético
constante
tienen
lo forma
(4.1)
donde m,
f'
y xa,('r) son la maso, lo cargo y la posición de la partícula.
es función del tiempo propio
medido o partir de cierto
T,
xV(O)
y ta I que
T
V
X
(7)
(7= O)
punto.
(4.2)
crece e n lo d ¡rece Ión de I futuro.
La ecuación
(4.1) sugiere
donde u/3 es el va lar, poro T::
formaciones
=
Esto última
de Lorentz
la solución
O, de dx/3 / dT y donde La. /3 (s) es el tensor de tronS.
(2.5) o (2.8).
Poro el coso nuto se obtendrá
(4.4)
Para el caso no
nula
se obtiene
245
- w",a
w*'Y
'Y
t
(Vil.
/3
/3 senh (r
cos
(T elii
,/ii
sen ~)
2
mc
w",a.
T
f3
Lo ecuación (4.3)
sen (r
cos -28)
me
,/ii
cos ~)
(4.5)
2
mc
se integra inmediatamente con cuatro cosos particulares
o saber.
1) litO
(4.6 )
2)
x.(r)
11" O. cos
= x.(O)
e
2" ' o
+ {me
;;1ií
senh (r
.Iii )w.
me
wY
y
+
f3
(4.7)
246
,
e
sen
3)//tO,
°
2"
COS(7elil)_1]W>d
mc
mc
dlf [
P
+
(4.8)
COS
sen
4) lItO,
{ __
'"(7)=,"(0)+
m_c
1}
"2 t
_
°
senh (T
('¡¡¡
Q)
sen
2
me
~/H sen!!..
ú)Y n +
wa.
Y}-J
2
mc
_____
ev'ff
cos
sen
(7 ~ '-'
!!..
cos
_e)
2
me
c,) *Cl. (,) *'Y n
y
"
+
2
COSh
+
[
mc
e'¡¡¡ e os
COS(T
!!.
[
e/It
(7
sen.£) -
e/Ji
1 ]
2
mc
coS
me
É.)-l ]
2
',J" P +
u13
(4.9)
Ú)*::tj3}
2
poro el caso
nulo (4.6),
ninguno
de los sumandos
de esto
ecuación
ser cero paro todos los componentes a, excepto la posición inicial
247
x::l-(O).
puede
El análisis
geométrico de los soluciones
observamos que estón expresados
a.
/3
/3u
W
a.
,W
yW
/3u
/3
HZ
,W
Lo primero parejo de vectores
/3u
*a.
,W
yÚ)
*Y
(3
/3u
nunca se anulo, pero puede presentarse
coso en que lo segundo parejo seo nulo cuando wa./3 satisfago
a
W
el
lo ecuación
(4.10)
8
Esto situación
en e I coso 3 descrito
En general,
permite uno trayectoria
rectilíneo
con velocidad
constante
por lo ecuac ión (4.8).
los cuatro vectores
no se anulan y son mutuamente ortogonales.
Ademós, paro lo primero parejo de vectores
absoluto
si
en lo base de vectores
(3
y
en el coso no.nulo se facilito
se tiene lo misma magnitud en valor
y uno de ellos es de género espacio
y el otro de género tiempo.
gundo parejo tiene misma magnitud y género espacio.
La se-
En los tres cosos observo-
mos que el movimiento estó compuesto de tres movimientos consistentes
en una
translación,
imagino-
uno rotación con velocidad angular constante
ria con velocidad angular constante.
Se tienen tres posibilidodes
parejas estos movimientos y lo translación
sin combinación,
cuando se sotisfaga
El análisis
constante
de estos
y unO rotación
y rotación imaginario,
de combinar en
pueden existir
10 condición inicial (4.10).
movimientos 01 proyectarse
en un 3-plono de tiempo
puede verse por ejemplo en lo ref. 6.
DISCUSION
Lo expresión
formol obtenido poro la transformación
en tres dimensiont!s o lo motriz ortogonal expresado
ángulo de rotación.
de Lorentz es análogo
en función de lo dirección
Aunque existp como precedente o esto expresión
248
yel
formol un re-
sultodo de BazaMski, agregamos
información que permite lo solución
problema de uno carga en un campo electromagnético
Otros resultados
de los resultados
de una clase
general del
constante.
que no hemos encontrado en la literatll'a son la extensión
a otras representaciones
del grupo de Lorentz, y la factorización
general de transformaciones
de Lorentz, en dos transformaciones
del
mismo grupo y que conmutan entre sí.
BIBllOGRAFIA
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J. L. Synge, Relativity,
2.
S.l.
3.
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the Special
J.Math.Phys.
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