3. Operaciones con funciones.

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Funciones y derivada.
3. Operaciones con funciones.
En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente estamos interesados en la composición de funciones y en la inversa de una función dada.
Como los números, las funciones se pueden sumar, multiplicar y dividir. Dadas dos funciones f y
f
g , se definen las funciones suma f + g , producto f ⋅ g y cociente
mediante las igualdades
g
( f + g ) ( x) := f ( x) + g ( x),
( f ⋅ g ) ( x) := f ( x) ⋅ g ( x),
⎛ f ⎞
f ( x)
, siempre que g ( x) ≠ 0.
⎜ ⎟ ( x) :=
g ( x)
⎝g⎠
Recuerda que si las funciones f y g son derivables, entonces la suma, el producto y el cociente
(salvo que se anule el denominador) son también funciones derivables y se verifica que
(f
+ g )′ ( x) = f ′( x) + g ′( x),
( f ⋅ g )′ ( x) =
f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x),
⎛ f ⎞′
f ′( x) g ( x) − f ( x) g ′( x)
, siempre que g ( x) ≠ 0.
⎜ ⎟ ( x) =
g ( x)2
⎝g⎠
Composición de funciones. La composición es otra forma de combinar funciones para obtener
otras nuevas.
DEFINICIÓN. Si f y g son dos funciones, la función composición f D g ( f compuesta con g ) está
definida por f D g ( x) := f ( g ( x) ) . El domino de f D g consiste en los puntos x del dominio de la
función g de forma que g ( x) pertenece al domino de la función f .
Observa el siguiente gráfico.
1
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Lección 1. Funciones y derivada.
EJEMPLO. Consideremos las funciones f ( x) = x y g ( x) = x + 1. Entonces
1.
f D g ( x) = f ( g ( x) ) = g ( x) = x + 1, cuyo dominio es el intervalo [ −1, ∞ ) .
2. g D f ( x) = g ( f ( x) ) = f ( x) + 1 = x + 1, cuyo dominio es el intervalo [ 0, ∞ ) .
3.
f D f ( x) = f ( f ( x) ) =
f ( x) =
1
x = x 4 , cuyo dominio es el intervalo [ 0, ∞ ) .
4. g D g ( x) = g ( g ( x) ) = g ( x) + 1 = x + 2, cuyo dominio es el intervalo ( −∞, ∞ ) .
La fórmula que permite calcular la derivada de la composición de dos funciones derivables f y g
se llama regla de la cadena y afirma que la derivada de la composición f D g se obtiene multiplicando las derivadas f ′ y g ′ de las funciones f y g evaluadas en puntos adecuados. De forma
más precisa tenemos
TEOREMA (REGLA DE LA CADENA). Sean f y g dos funciones y sea x en el domino de la composición f D g. Si la función g es derivable en el punto x y la función f es derivable en el punto
u := g ( x), entonces la función composición f D g es derivable en el punto x y se verifica que
( f D g )′ ( x) =
f ′(u ) ⋅ g ′( x) = f ′ ( g ( x) ) ⋅ g ′( x).
Función inversa. La función inversa de una función dada f es aquella que invierte el efecto de la
función f . Por ejemplo, para la función h( x) = x sabemos que h(4) = 2. La función inversa sería
aquella función h −1 de forma que h −1 (2) = 4. Como sabes, esta función es h −1 ( x) = x 2 . Sin embargo, existen funciones, como f ( x) = x 2 o g ( x) = sen x, que asignan el mismo valor a diferentes
puntos de su dominio. Para estas funciones, a priori, no es posible asignarle una función inversa.
Debemos precisar algo más.
DEFINICIÓN. Una función f se dice que es inyectiva en un intervalo I si f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) siempre
que x1 ≠ x2 son puntos de I .
Para una función inyectiva es posible definir la función inversa.
DEFINICIÓN. Supongamos que f es una función inyectiva definida en un intervalo I cuya imagen
es el conjunto J . Se define la función inversa f −1 para cada punto y ∈ J mediante f −1 ( y ) := x ∈ I
si y sólo si f ( x) = y.
OBSERVACIÓN. Las imágenes y los dominios de f y f −1 se intercambian. Además tenemos las
siguientes igualdades
( f D f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) = x,
( f D f ) ( y ) = f ( f ( y ) ) = y,
−1
−1
−1
−1
x∈ I,
y ∈ J.
2
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Lección 1. Funciones y derivada.
Una función creciente en un intervalo es inyectiva y, por tanto, tiene función inversa. Las funciones
decrecientes también tienen función inversa. Recuerda que las funciones derivables con derivada
positiva son funciones crecientes y las funciones derivables con derivada negativa son decrecientes.
Por tanto, estas funciones tienen función inversa.
OBSERVACIÓN. A veces es fácil obtener un expresión explícita de la función inversa de una función
dada f . Se trata de resolver la ecuación y = f ( x) para la variable x para obtener la fórmula
x = f −1 ( y ). Usualmente, después se vuelve a cambiar el nombre de la variable independiente y se
suele escribir la expresión de la inversa como y = f −1 ( x). Si representamos ambas funciones en los
mismos ejes coordenados obtenemos dos curvas simétricas respecto de la recta y = x. Observa el
siguiente gráfico.
x
+ 1, que es inyectiva (es creciente) y está definida en
2
x
toda la recta real. Si resolvemos la ecuación y = + 1 obtenemos que x = 2 y − 2. Por tanto su fun2
−1
ción inversa es f ( x) = 2 x − 2. Observa sus gráficas.
EJEMPLO. Consideremos la función f ( x) :=
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Lección 1. Funciones y derivada.
En otros casos no es posible obtener una expresión de la función inversa y simplemente, a la función inversa le damos otro nombre. Este es el caso, por ejemplo, de la función exponencial
f ( x) = e x que es creciente y está definida en toda la recta real. Su rango es el intervalo ( 0, ∞ ) . Su
función inversa es la función logaritmo, es decir, f −1 ( x) = log x, que está definida en el intervalo
( 0, ∞ ) .
Recuerda que log ( e x ) = x para todo x ∈ \ y, por otra parte, elog x = x para todo x ∈ ( 0, ∞ ) .
Algo similar le ocurre a las funciones trigonométricas. Recuerda que la función seno no es inyecti⎡ π π⎤
va, sin embargo es creciente en el intervalo ⎢ − , ⎥ . Por tanto, aquí es posible definir la función
⎣ 2 2⎦
⎡ π π⎤
inversa, que se llama arcoseno. De hecho, y = arcsen x es el número del intervalo ⎢ − , ⎥ tal que
⎣ 2 2⎦
sen y = x. Observa las gráficas de estas funciones.
De la misma forma, la función coseno no es inyectiva, sin embargo es decreciente en el intervalo
[0, π ]. Por tanto, aquí es posible definir la función inversa, que se llama arcocoseno. De hecho,
y = arcos x es el número del intervalo [ 0, π ] tal que cos y = x. Observa las gráficas de estas funciones.
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Lección 1. Funciones y derivada.
⎛ π π⎞
La función tangente tampoco es inyectiva, pero es creciente en el intervalo ⎜ − , ⎟ . Su función
⎝ 2 2⎠
inversa se llama arcotangente y se define de la siguiente forma: y = arctan x es el número del inter⎛ π π⎞
valo ⎜ − , ⎟ tal que tan x = y. La gráfica de la función arcotangente es la siguiente
⎝ 2 2⎠
Ahora estudiaremos la relación entre la derivada de una función y la de su función inversa. El resultado es el siguiente y groso modo asegura que existe un relación recíproca entre las dos derivadas.
TEOREMA (DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA). Sea f : x ∈ I ⊆ \ → f ( x) ∈ \ una función derivable tal que f ′( x) ≠ 0 para todo x ∈ I . Entonces la función inversa f −1 existe y es derivable en cada
punto de su dominio. Además, si y es un punto del domino de f −1 , entonces
( f )′ ( y) =
−1
1
f ′ ( f −1 ( y ) )
.
5
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Lección 1. Funciones y derivada.
OBSERVACIÓN. Recuerda que se verifica que
( f D f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) = x,
( f D f ) ( y ) = f ( f ( y ) ) = y,
−1
−1
−1
−1
x∈ I,
y ∈ J.
Si derivamos en la segunda igualdad (respecto de la variable y ) usando la regla de la cadena obtenemos que f ′ ( f −1 ( y ) ) ⋅ ( f −1 )′ ( y ) = 1 para cada y ∈ J . Entonces, despejando obtenemos la igualdad
del enunciado.
EJEMPLOS. Derivada de la función arcoseno. Sabemos que x = arcsen y es el número del intervalo
⎡ π π⎤
−1
⎢⎣ − 2 , 2 ⎥⎦ tal que sen x = y. Con la notación anterior tenemos que f ( x) = sen x y f ( y ) = arcsen y.
⎛ π π⎞
Entonces, puesto que f ′( x) = cos x ≠ 0 para todo x ∈ ⎜ − , ⎟ , obtenemos
⎝ 2 2⎠
( f )′ ( y) = cos
−1
1
1
1
1
1
.
=
=
=
=
( f −1 ( y) ) cos ( arcesen y ) cos x 1 − sen 2 x 1 − y 2
1
Por tanto, si g ( x) = arcsen x, entonces g ′( x) =
1 − x2
para todo x ∈ ( −1,1) .
Derivada de la función arcocoseno. Sabemos que x = arcos y es el número del intervalo [ 0, π ] tal
que cos x = y. Con la notación anterior tenemos que f ( x) = cos x y f −1 ( y ) = arcos y. Entonces,
puesto que f ′( x) = sen x ≠ 0 para todo x ∈ ( 0, π ) , obtenemos
( f )′ ( y) = −sen
−1
1
1
1
1
1
.
=
=
=−
=−
−1
( f ( y) ) −sen ( arcos y ) −sen x
1 − cos 2 x
1− y2
Por tanto, si g ( x) = arcos x, entonces g ′( x) = −
1
1 − x2
para todo x ∈ ( −1,1) .
Derivada de la función arcotangente. Sabemos que x = arctan y es el único número del intervalo
⎛ π π⎞
⎜ − , ⎟ tal que tan x = y. Entonces, con la notación anterior, tenemos que f ( x ) = tan x y
⎝ 2 2⎠
f −1 ( y ) = arctan y. Entonces
( f )′ ( y) = 1 + tan
1
−1
2
(f
−1
( y) )
=
Por tanto, si g ( x) = arctan x, entonces g ′( x) =
1
1
1
.
=
=
2
1 + tan ( arctan y ) 1 + tan x 1 + y 2
2
1
para todo x ∈ ( −∞, ∞ ) .
1 + x2
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Lección 1. Funciones y derivada.
Las funciones hiperbólicas. Las funciones hiperbólicas se forman combinando las funciones exponenciales e x y e− x y constituyen un nexo común entre la función exponencial, la función logaritmo y las funciones trigonométricas.
Consideremos las funciones f y g definidas en toda la recta real mediante las fórmulas
1 x −x
( e − e ) seno hiperbólico,
2
1
g ( x) = cosh x = ( e x + e − x ) coseno hiperbólico.
2
f ( x) = senh x =
1
1
Es fácil comprobar que cosh x + senh x = (e x + e− x ) + (e x − e− x ) = e x , para todo x ∈ \. A conti2
2
nuación mostramos algunas propiedades de estas funciones. Las gráficas de las funciones f y g
son las siguientes.
Observa que f es una función impar, mientras que g es una función par. Para las derivadas, es
fácil comprobar que se verifica f ′( x ) = g ( x ) y también g ′( x) = f ( x), para todo x ∈ \. Las funciones hiperbólicas verifican relaciones algebraicas similares a las que verifican las funciones trigonométricas sen x y cos x. A continuación estableceremos algunas de ellas. Por ejemplo, se verifica
2
2
1
1
que cosh 2 x − senh 2 x = ( e x + e − x ) − ( e x − e − x ) = 1, para todo x ∈ \. De la misma forma, aun4
4
que es un poco más largo, se establece que
cosh (x + y ) = cosh x cosh y + senh x senh y, x, y ∈ \.
En particular, si ponemos x = y, obtenemos que cosh (2x) = cosh 2 x + senh 2 x. De la primera y de
1
esta última igualdad obtenemos ahora que cosh 2 x = (1 + cosh (2x)). De forma parecida, también
2
se puede establecer que
senh (x + y ) = senh x cosh y + cosh x senh y, x, y ∈ \.
y de esta última, poniendo x = y, deducir la igualdad senh (2x) = 2senh x cosh x.
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Lección 1. Funciones y derivada.
También es interesante considerar la función tangente hiperbólica, definida por el cociente de las
senh x
funciones seno y coseno hiperbólicos, esto es, tanh x :=
, para todo x ∈ \.
cosh x
Finalmente vamos a obtener las expresiones de las inversas de estas funciones. Comenzamos con la
inversa del seno hiperbólico: y = senh x. Sabemos que esta función está definida en toda la recta
real y, puesto que su derivada es positiva, es creciente y tiene función inversa que también estará
definida en toda la recta real ya que lim senh x = −∞ y lim senh x = ∞. Tenemos entonces la ecuax →−∞
ción y =
x →∞
−x
e −e
1
. Llamamos t := e x > 0, entonces 2 y = t − , así que t 2 − 2 yt − 1 = 0. Despejando
t
2
x
t obtenemos t =
2 y ± 4 y2 + 4
= y ± y 2 + 1. Puesto que t > 0 obtenemos que t = y + y 2 + 1 y, en
2
(
)
consecuencia, x = log y + y 2 + 1 . Por tanto, la función inversa del seno hiperbólico es
(
)
senh −1 x = log x + x 2 + 1 , x ∈ \.
Su gráfica es la siguiente.
Continuamos con la inversa del coseno hiperbólico: y = cosh x. Sabemos que esta función está definida en toda la recta real, pero no es inyectiva. Por ejemplo, es inyectiva en el intervalo [ 0, ∞ ) y
aquí es posible definir la función inversa. Puesto que cosh 0 = 1 y lim cosh x = ∞, su función inverx →∞
e x + e− x
,
sa estará definida en el intervalo [1, ∞ ) . Tenemos que resolver entonces la ecuación y =
2
1
sabiendo que y ≥ 1 y queremos una solución x ≥ 0. Llamamos t := e x > 0, entonces 2 y = t + , así
t
que t 2 − 2 yt + 1 = 0. Despejando t en la ecuación, obtenemos t =
2 y ± 4 y2 − 4
= y ± y 2 − 1. Ob2
serva que t = y + y 2 − 1 ≥ 1 para todo y ≥ 1, mientras que t = y − y 2 − 1 ≤ 1 para todo y ≥ 1. Aho-
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Lección 1. Funciones y derivada.
ra debemos tomar logaritmo y obtener x ≥ 0, así queda descartada la segunda posibilidad y debe-
(
)
mos elegir t = y + y 2 − 1 y, en consecuencia, x = log y + y 2 − 1 . Por tanto, la función inversa
del coseno hiperbólico es
(
)
cosh −1 x = log x + x 2 − 1 , x ∈ [1, ∞ ) .
Su gráfica es la siguiente.
Finalizamos con la inversa de la tangente hiperbólica: y = tanh x. Sabemos que esta función está
definida en toda la recta real, es creciente porque su derivada es positiva y su rango es el intervalo
( −1,1) ya que lim tanh x = −1 y lim tanh x = 1. Por tanto, su función inversa estará definida en el
x →−∞
x →∞
e x − e− x
, sabiendo que y ∈ ( −1,1) . Llamae x + e− x
t 2 −1
1+ y
x
mos t := e > 0, entonces y = 2 , así que t 2 y + y = t 2 − 1. Despejando t obtenemos t = ±
.
t +1
1− y
intervalo ( −1,1) . Tenemos que resolver la ecuación y =
Como t > 0, debemos tomar t =
1+ y
1
1+ y
y, en consecuencia, x = log
. Por tanto, la función
1− y
2
1− y
inversa del coseno hiperbólico es
1
1+ x
tanh −1 x = log
, x ∈ ( −1,1) .
2
1− x
Su gráfica es la siguiente.
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Lección 1. Funciones y derivada.
1
EJERCICIO 1. Si f ( x) := x , g ( x) := cos(2 x) y h( x) := log , encuentra las siguientes composiciox
nes y sus derivadas, donde estas existan: h ( g ( f ( x) ) ) , g ( h ( f ( x) ) ) f ( g ( h( x) ) ) y h ( f ( g ( x) ) ) .
Escribe las composiciones que faltan en la lista anterior y calcula sus derivadas.
EJERCICIO 2. Considera las funciones cuadrado f ( x) := x 2 y valor absoluto g ( x) := x .
(1) Dibuja las gráficas de estas dos funciones y comprueba que f es derivable en x = 0, pero la
función g no es derivable en x = 0.
(2) Comprueba que las composiciones f D g y g D f coinciden y es una función derivable en x = 0.
(3) Explica si esto contradice la regla de la cadena.
EJERCICIO 3. ¿Cuáles de las siguientes funciones son inyectivas y cuáles no? Justifica tu respuesta.
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Lección 1. Funciones y derivada.
EJERCICIO 4. Calcula las coordenadas del punto simétrico, respecto de la recta y = x, del punto de
coordenadas ( a, b ) . Usa esto para justificar la siguiente afirmación: las gráficas de las funciones
y = f ( x) e y = f −1 ( x) son simétricas respecto de la recta y = x.
EJERCICIO 5. 1) Calcula la inversa de la función f ( x) = mx, con m ≠ 0. ¿Qué se puede concluir de
la inversa de una función cuya gráfica es una línea recta que pasa por el origen con pendiente no
nula?
2) Comprueba que la gráfica de la inversa de la función f ( x) = mx + b, con m ≠ 0, es una recta con
b⎞
1
⎛
que corta al eje OY en el punto ⎜ 0, − ⎟ .
pendiente
m
m⎠
⎝
3) Calcula la inversa de la función f ( x) = x + 1 y dibuja su gráfica junto con la gráfica de la función
f y la recta y = x.
4) Calcula la inversa de la función f ( x) = x + b. Describe la relación entre las gráficas de f y f −1.
¿Qué se puede concluir de la inversa de una función cuya gráfica es una línea recta paralela a y = x ?
5) Calcula la inversa de la función f ( x) = − x + 1 y dibuja su gráfica junto con la gráfica de la función f y la recta y = x. ¿Cuál es el ángulo de corte?
6) Calcula la inversa de la función f ( x) = − x + b. Describe la relación entre las gráficas de f y
f −1. ¿Qué se puede concluir de la inversa de una función cuya gráfica es una línea recta perpendicular a y = x ?
EJERCICIO 6. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: arcos ( x 2 ) + arcsen 2 x ,
1
1
arcos + arcsen 2 x ,
x
e
log ( arctan x ) + arctan ( log x )
y
x
1
x arctan + 1 − x 2 arctan .
x
2
EJERCICIO 7. Deduce las siguientes igualdades
cosh (x + y ) = cosh x cosh y + senh x senh y, x, y ∈ \.
senh (x + y ) = senh x cosh y + cosh x senh y, x, y ∈ \.
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Lección 1. Funciones y derivada.
EJERCICIO 8. Para cada una de las siguientes funciones debes encontrar una expresión de su inversa
y realizar una representación gráfica de ambas, la función y su inversa:
1
1
a) f ( x) = 2 , x ≥ 0
b) f ( x) = 1 − , x > 0
x +1
x
1
d) f ( x) = 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1
c) f ( x) = , x > 0
x
EJERCICIO 9. Sea y = f ( x) una función dos veces derivable y sea z = g (t ), donde g (t ) := f ( x(t ) )
dz
dy
, y la que existe
y
y x(t ) = et . Determina la relación que existe entre las derivadas primeras
dt
dx
d 2 y d 2z
y 2.
entre las derivadas segundas
dx 2
dt
12