teorema de pitágoras

TEOREMA DE PITÁGORAS
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Comprende y explica qué es el Teorema de Pitágoras.
En “Presentación de Contenidos” se repasan las características de los triángulos rectángulos y sus partes (hipotenusa y catetos) para
explicar qué es el Teorema de Pitágoras. En “Ejercicios” resuelven problemas mediante el Teorema de Pitágoras. En “Aplico” utilizan
el modelo para comprender y explicar este Teorema.
TEORÍA DE PITÁGORAS.
Debemos recordar que…
1. De acuerdo a la medida de sus ángulos los triángulos se clasifican en:
a)
Triángulo acutángulo: Sus tres ángulos interiores son agudos (que miden menos de 90°).
b) Triángulo rectángulo: Alguno de sus ángulos internos mide 90°. Por tanto el resto de los ángulos internos son
agudos porque la suma de los ángulos internos del triángulo siempre mide 180°.
c)
Triángulo obtusángulo: Alguno de sus ángulos internos mide más de 90°. Por tanto los otros dos ángulos
internos son agudos porque la suma de los ángulos internos del triángulo siempre mide 180°.
¿Qué es un teorema y quién es Pitágoras?
Un teorema es una afirmación que requiere de un proceso lógico o de la demostración para comprobar su
veracidad.
Pitágoras de Samos (580 A. C. – 495 a. C.) fue un filósofo y matemático griego considerado el primer
matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática, la geometría y la
aritmética aplicándose por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la
astronomía. Fue el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad de naturaleza predominantemente
religiosa que se interesó en la medicina, la cosmología, la filosofía, la ética y la política entre otras
disciplinas.
El Teorema de Pitágoras fue utilizado en tiempos de los antiguos egipcios cuando las crecientes del Río Nilo arrasaba con las marcas
de los terrenos y se tenían que volver a hacer mediciones para repartir las tierras. Años después, el famoso Galileo Galilei utilizó el
teorema de Pitágoras para determinar la medida de algunas montañas lunares.
Hoy es una herramienta fundamental para el cálculo geométrico, entre otras cosas se usa para calcular distancias, áreas y
volúmenes de figuras (muchas veces poco accesibles), por ejemplo, con el Teorema de Pitágoras un constructor puede calcular el
largo de la escalera que quiere construir con sólo saber las dimensiones del lugar.
Su máxima aplicación se da en la Trigonometría ya que por medio de él podemos determinar el seno, el coseno y la tangente de
cualquier triángulo rectángulo.
Un triángulo rectángulo tiene como característica fundamental que posee un ángulo recto (que mide 90º), como la suma de los
ángulos internos de los triángulos es igual a 180°, como consecuencia sus otros dos ángulos son agudos, es decir, que miden menos
de 90º y por lo tanto son complementarios (que sumados dan 90º).
Los lados que forman al triángulo rectángulo tienen nombres específicos:


El lado mayor que se opone al ángulo recto se llama “Hipotenusa” y
Los otros dos lados se llaman “Catetos”.
Para identificar la hipotenusa en cualquier triángulo rectángulo basta con señalar el lado más largo del triángulo, o el lado que se
opone al ángulo recto. Por consecuencia los catetos podemos identificarlos porque son los lados perpendiculares, es decir, los que
forman el ángulo recto.
Pitágoras descubrió una propiedad fascinante que se cumple en cualquier triángulo rectángulo: que al trazar un cuadrado tomando
como base la longitud de la hipotenusa, la superficie obtenida equivale a la suma de las superficies de los cuadrados trazados sobre
los catetos.
El enunciado del teorema es el siguiente: “En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos”; esto se representa así:
Demostremos esto:
a) Tracemos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 4 unidades y la hipotenusa 5 unidades.
b) Sobre la longitud del cateto más pequeño trazamos un cuadrado, observemos que este cuadrado será de 3x3, es decir
9 unidades cuadradas.
c)
Sobre la longitud del cateto mayor trazamos un cuadrado y entonces este cuadrado será de 4x4, es decir de 16
unidades cuadradas.
d) Por último, en la hipotenusa también marcamos un cuadrado que medirá 5 X 5, es decir de 25 unidades cuadradas.
Observemos que la superficie del cuadrado que se trazó en la hipotenusa es exactamente la suma de las superficies de los cuadrados
trazados sobre los catetos:
Esta propiedad que se cumple para cualquier triángulo rectángulo la generalizamos colocando letras en lugar de números:
Entonces, cuando conocemos dos de los 3 lados de un triángulo rectángulo, por medio de esta fórmula, podemos conocer el lado
restante solamente despejándola.
Así que:
o
La hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de los catetos.
o
El cateto de un triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado menos el otro cateto al
cuadrado.
Veamos un ejemplo donde se aplica este teorema a nuestra vida...
Si Miguel debe subir a la cima del muro y la altura del muro es de 7m y el pie de la escalera debe estar a 1.80m separada del muro,
¿Cuánto es lo que debe medir la escalera para alcanzar la cima del muro?
Analicemos este caso:
Entre la pared y el piso se forma un ángulo recto, con la escalera se cierra un triángulo rectángulo, así que la escalera está en el lugar
de la hipotenusa ya que es el lado opuesto al ángulo recto y por consecuencia es el lado más largo.



La pared mide 7m (es uno de los catetos),
La distancia en el piso es de 1.80m (es el otro cateto),
La longitud de la escalera es la incógnita (es la hipotenusa).
Sustituimos los valores en la fórmula y resolvemos:
“Así que la escalera que ha de colocarse para que Miguel suba a la cima del muro debe medir 7.2 m”.
1)
Calcula el lado faltante.
a)
RESPUESTA
b)
RESPUESTA
c)
RESPUESTA
2)
Lee con atención el siguiente problema y escribe las medidas en la imagen según correspondan y por último responde.
“La empresa encargada del mantenimiento de los postes de luz ha recibido una queja: en la Av.
Independencia hay un poste de luz que tiene mucho movimiento con el viento. La empresa envía
una cuadrilla de mantenimiento; después de analizar el problema encuentran como solución tirar
dos cables de acero. Uno hacia la derecha y otro hacia la izquierda. El de la derecha debe estar
fijado al poste a 6m de altura y anclado al piso con una separación de 6m. El de la izquierda debe
estar fijado al poste a una altura de 4m y el otro extremo anclado a 2m del poste”.
RESPUESTA
d) ¿Cuántos metros de cable de acero se necesitan para evitar el movimiento del poste?
RESPUESTA
o
Individual.
Con el modelo comprenden y explican el Teorema de Pitágoras.
o
5 minutos para el armado.
Modelo Terminado
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han corregido.
Individual
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X2
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X2
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aquí van las fotos que se
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X4
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aquí va la foto de modelo terminado que corregimos.
Con el modelo explicaremos el “Teorema de Pitágoras”.
Observa que el modelo se compone de:
o 1 triángulo rectángulo con 3 ejes blancos.
o 1 base amarilla con 2 ejes blancos.
o 2 bases azules con 2 ejes blancos en cada una.
o 4 Triángulos rectángulos.
DSC_0010
aquí va la foto que vamos a corregir de
modelo terminado
Observa que los 4 triángulos que tenemos son triángulos rectángulos porque uno de sus ángulos internos mide 90°.
El Teorema de Pitágoras dice:
“En todo triángulo rectángulo:
1. “El cuadrado
2. de la hipotenusa
3. es igual a la suma
4. de los cuadrados
5. de los catetos”
Expliquemos esto con nuestro modelo siguiendo estos pasos:
Parte del Modelo
Que representa...
El “Teorema de Pitágoras” dice...
1
Toma el triángulo con 3 ejes blancos.
Un triángulo rectángulo.
“En todo triángulo rectángulo...
2
Toma la base amarilla con 2 ejes
blancos y conéctala a la hipotenusa
del triángulo del paso 1.
El cuadrado de la hipotenusa.
el cuadrado de la hipotenusa...
es igual a la suma del...
3
Toma 1 base azul y conéctala a
cualquier cateto.
El cuadrado de un cateto.
el cuadrado de un cateto...
4
Toma 1 base azul y conéctala a
cualquier cateto.
El cuadrado de un cateto.
el cuadrado de otro cateto”
Otra forma de explicar con nuestro modelo el Teorema de Pitágoras es de la siguiente forma:
Si has seguido los pasos anteriores tu modelo ha quedado así:
1)
Ahora toma 1 de los 4 triángulos que tienes y colócalo por encima del triángulo que se encuentra en el modelo. Observa
que la hipotenusa y los catetos del triángulo que acabas de colocar tiene las mismas medidas que el triángulo que se
encuentra en tu modelo.
2)
Saca el triángulo que acabas de poner.
3)
Utilizando los 4 triángulos explica sobre el modelo que: “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados
de los catetos”.