Polinomios 1 Dividir un polinomio por x-a Para dividir un polinomio P (x) por x-a utilizaremos la regla de Ruffini. En ésta se utilizan los coeficientes de P(x) y el valor de "a", disponiéndose en la forma que se muestra en el ejemplo y se obtienen los coeficientes del polinomio cociente, de grado una unidad menor que el de P (x); y el valor del resto, en este caso un número. Teorema del resto El valor numérico de un polinomio P(x), para x=a se obtiene sustituyendo en P(x), las x por a. El resto de dividir un polinomio P(x) por x-a es igual al valor numérico del polinomio para x=a. Sea Q(x) el polinomio cociente de la división y R el resto. COMPRUEBA El valor numérico del polinomio P(x)=x4-x3-7x2+x+6 para x=1 y x=-1 es 0. P(x)=Q(x)·(x-a)+R P(a)=Q(a)·(a-a)+R P(a)=Q(a)·0+R=R Descomposición factorial de un polinomio Un polinomio P(x)=axn+bxn-1+...rx+s con n raíces x1, x2, ..., xn, se puede descomponer en factores de la forma: P(x)=a(x-x1)·(x-x2)·...·(x-xn) Aplicaremos la regla de Ruffini para descomponer en factores un polinomio. Raíz de un polinomio es un nº para el que el valor numérico del polinomio es cero. Si a es una raíz de P(x), el resto de dividir P(x) por x-a es 0, y P(x) es divisible por x-a; x-a es un factor de P(x). EJEMPLO EJERCICIO Sea el polinomio P(x)=x4-x3-7x2+x+6 Descomponer en factores los polinomios: • x4+2x3-7x2-20x-12 • x4-x3-x2-x-2 • x3+2x2-5x-6 1 es una raíz puesto que P(1)=0, dividiendo P(x)=(x-1)·(x3-7x-6) dividimos el cociente para x+1 P(x)=(x-1)·(x+1)·(x2-x-6) y ahora para x+2 P(x)=(x-1)·(x+1)·(x+2)·(x-3) Observa que las raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente. MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS 1º MªJosé García Cebrian, 2006