π π π π π π π π π π π π π π π π π

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MATEMÁTICA II MECÁNICA
MATEMÁTICA II (MECÁNICA) EXAMEN II
I PARTE: APLICAR EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA A LAS SIGUIENTES
FUNCIONES: Determinar: a.) Intervalos donde la función Crece
b.) Intervalos donde
la función Decrece. c) Máximo y Mínimos Relativos. d.)Gráfica.
1) f ( x) = 2 + 3 ( x − 1) 2
2) f ( x) = ( 3 2 + x )( 3 1 − x 2 )
3) f ( x) = x 2 4 − x
4) f ( x) = 3 x 2 ( 8 − x )
5) f ( x) = x 4 − x 2
6) f ( x) = x 2 x 2 − 4
7) f ( x) = 2 senx − cos(2 x)
[0, 2π ]
9) f ( x) =
x
+ cos x
2
[ 0, 2π ]
[ 0, 2π ]
11) f ( x) = sen 2 x + senx
x
x
+ cos [ 0, 4π ]
2
2
15) f ( x) = Senx + cos x [ 0, 2π ]
13) f ( x) =
17) f ( x) = x − senx
[0, 2π ]
19) f ( x) = 2 x senx [ 0, 2π ]
21) f ( x) = 2 senx + cos(2 x)
23) f ( x) = x ln x
x
[0, 2π ]
⎡ 1⎤
8) f ( x) = cos(π x) ⎢ 0, ⎥
⎣ 6⎦
10) f ( x) = senx cos x
Cos x
[ 0, 2π ]
1 + sen 2 x
x
14) f ( x) = sen( )
[ 0, 4π ]
2
16) f ( x) = 2 senx + sen(2 x) [ 0, 2π ]
12) f ( x) =
⎡ π⎤
18) f ( x) = sec ⎢ x − ⎥
2⎦
⎣
[0, 4π ]
20) f ( x) = cos x − x
[ 0, 4π ]
22) f ( x) = x + senx
[ 0, 2π ]
24) f ( x) = arcsen(1 + x)
e
x
27) f ( x) = xe x
26) f ( x) = x ln 2 x
29) f ( x) = x − arctgx
30) f ( x) = arccos x
31) f ( x) = sen 4 x + cos 4 x
32) f ( x) = arctgx − x
25) f ( x) =
[ 0, 2π ]
28) f ( x) = x 2 e − x
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II PARTE: APLICAR EL CRITERIO DE LA SEGUNDA
DERIVADA A LAS
SIGUIENTES FUNCIONES: Determinar: a) Máximo y Mínimos Relativos b) Puntos de
inflexión c) Intervalos donde la función es cóncava hacia arriba
d.) Intervalos donde
la función es cóncava hacia abajo d.)Gráfica.
x2
x 2 − 3x
1.) f ( x) = 2
2.) f ( x) = 2
3.) f ( x) = x 2 + 1
x +3
x +1
2
x
4.) f ( x) = 2
5.) f ( x) = x 4 − x 2
6.) f ( x) = 3 x + 3 x 4
x +1
cos x
⎡ π 3π ⎤
⎡ π π⎤
7) f ( x) =
; ⎢− , ⎥
8) f ( x) = 2 x − tgx; ⎢ − , ⎥
1 + senx ⎣ 2 2 ⎦
⎣ 2 2⎦
1
1
9) f ( x) = senx − sen3x; [ 0, 2π ] 10) f ( x) = cos( x) − cos 2 x; [ 0, 2π ]
18
2
4x
x
11) f ( x) =
12) f ( x) =
13) y = x 1 − x 2
x2 + 7
x 2 + 15
14 ) f ( x) = 2senx + cos(2 x); [ 0, 2π ]
15) f ( x) = 2 x + ctgx; [ 0, π ]
16) f ( x) = x senx; [ 0, 2π ]
17) f ( x) = x cos x ; [ 0, 2π ]
18) f ( x) = 4 − x 2 sen( x − 2); [ 0, 2π ]
19) f ( x) = x − tg 2 x ; [ 0, 2π ]
20) f ( x) = senx + cos x; [ 0, 2π ]
21) f ( x) = x(1 − cos x); [ 0, 2π ]
22) f ( x) = (arctgx) 2
23) f ( x) = arcsenx − x
24) f ( x) = arcsenx − 2 x
25) f ( x) = arcsen( x − 1)
26) f ( x) = ln x + 3
27) f ( x) = ln( x − 3)
x2
− ln x
30) f ( x) = x − ln x
2
ln x
x
32) f ( x) =
33) f ( x) =
x
ln x
x
−x
35) f ( x) = xe
36) f ( x) = xe
37) f ( x) = x 2 e− x
28) f ( x) = ln( x 2 + 2 x + 3)
31) f ( x) = x ln x
34) f ( x) = x 2 ln x
29) f ( x) =
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38) f ( x) = x2e− x
39) f ( x) = 2cos x + sen(2 x)
2
41) f ( x) = 8 − 3 x 2 − 2 x + 1
40) f ( x) = x 2 3 ( x − 1)
42) y = 3 x3 − 9 x
43) y =
x2
x+7
x −1
44) f ( x) = xe
1
x
45) f ( x) = ( x + 2)e
48) f ( x) = ( x 2 + 2 x)e x
1
x
46) f ( x) = e x
47) f ( x) =
x+4 x
e
x
49) g ( x) = x 2 − Ln( x 2 − 4)
x2
− 4 x + 6Ln( x + 1)
2
50) g ( x) =
2
52) g ( x) = x( Ln( x) − 2) 53) g ( x) =
51) g ( x) =
2x −1
− 2Ln( xx+1 )
x
12
x
+ Ln( xx+1 ) 54) f ( x) = Ln( x−x 2 ) +
x +1
x−2
III PARTE: REALICE UN ESTUDIO GENERAL A LAS FUNCIONES DADAS.
Determinar: a.) Dominio, b.) Asíntotas, c.)Intervalos donde la función Crece
d.) Intervalos donde la función Decrece e.) Máximo y Mínimos Relativos f.) Puntos de
inflexión g.) Intervalos donde la función es cóncava hacia arriba
la función es cóncava hacia abajo
h.) Intervalos donde
I.) Cortes de la función con las asíntotas
(horizontales u oblicua) j.)Gráfica k.) Codominio
1) f ( x) =
5
,
x−4
2) f ( x)
5
,
4− x
3) f ( x) =
8
( 2 x + 5)
3
−4
4) f ( x) =
,
7x + 3
5) f ( x) =
2 x2
7) f ( x) = 2
,
x −x−2
8) f ( x) =
x2
10) f ( x) =
,
x +1
11) f ( x) =
1
x −4
12) f ( x) =
5x
4 − x2
2x2
x2 + 1
14) f ( x) =
3x
x +1
15) f ( x) =
1
x + x2 − 6x
13) f ( x) =
x2 − x
16) f ( x) =
16 − x 2
3x
( x + 8)
2
,
4x
,
x − 4x + 3
2
2
2
x 2 + 3x + 2
17) f ( x) = 2
x + 2x − 3
6) f ( x) =
9) f ( x) =
3x 2
( (2 x − 9)
2
1
x ( x − 3)
2
3
x2 − 5x
18) f ( x) = 2
x − 25
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x+4
19) f ( x) = 2
x −16
x2 − x − 6
22) f ( x) =
x +1
3
x +1
25) f ( x) = 2
x −9
28) f ( x) = 16 − 9x2
31) f ( x) = 3 6x 2 + x3
34) f ( x) =
8
( 2x + 5 )3
x4 − 4
20) f ( x) = 3 ,
x −1
2x2 − x − 3
23) f ( x) =
x−2
1 − x4
26) f ( x) = 3
2 x − 8x
2x
29) f ( x) =
3 2
x −1
x2 − 3
32) f ( x) =
x −3
35) f ( x) =
16 − x2
21) f ( x) =
4− x
8 − x3
24) f ( x) =
2 x2
3
27) f ( x) = x 5 ( x + 2)3
30) f ( x) = x - 3 x3 + 1
33) f ( x) =
x2 +1
x4 − 4
36) f ( x) = 3
x −1
x
x3
37) f ( x) =
2( x + 1)2
3 x2 − 4
cos x
38) f ( x) =
1 + senx
4
40) f ( x) = x + 2
x +1
x
43) f ( x) =
x2 + 7
4( x −1)2
46) f ( x) = 2
x − 4x + 5
x2 − 6 x + 12
41) f ( x) =
x−4
4x
44) f ( x) =
x 2 + 15
3x 4 − 5 x + 3
47) f ( x) =
x4 + 1
x
39) f ( x) =
3
1
−3
x−2
2 x2 − 5x + 5
42) f ( x) =
x−2
x 2 − 3x − 1
45) f ( x) =
x−2
x 2 − 3x − 1
48) f ( x) =
x−2
IV PARTE: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
1.- Un proyectil es disparado con una velocidad vo y un ángulo de elevación Ө desde
la base de un plano inclinado a 45º con respecto a la horizontal, el alcance del
proyectil, medido sobre la pendiente está dado por R (θ ) =
vo
2
2 (cos θ senθ − cos 2 θ )
.
16
¿Qué valor de Ө maximiza a R?
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2.-Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 120
m/s. Su altura sobre el suelo t segundo después está por
S(t) = - 4,9 t2 + 120 t.
Calcular el tiempo en el que el proyectil llegará al suelo de regreso y su velocidad en
ese momento. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil? ¿Cuál es la
aceleración e cualquier instante t?
3.- Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 144
pies/s, su altura sobre el suelo S(t) (en pies) a los t(seg.) está dada por S(t) = 144t 16t2. ¿Cuál es la velocidad y cuál es la aceleración a los t seg? ¿Cuáles son a los 3 s.?
¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuánto llega al suelo?
4.- En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 20 cm. cada uno. Hallar la
longitud de la base para que el área sea máxima.
5.- Un alambre de 36 cm. de largo se va a partir en 2 trozos. Una de las partes se ha
de doblar en forma de triángulo equilátero y la otra en formas de un rectángulo cuya
longitud es el doble de su anchura. ¿Cómo debe partirse el alambre para que a suma
de las áreas del triángulo y el rectángulo sea mínima?
6.- Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero.
Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el área de la ventana es
máxima, si el perímetro de la misma debe ser 12 pies.
7.- La distancia R = OA (en el vacío) que cubre un proyectil, lanzando con velocidad
inicia, V0 desde una pieza de artillería que tiene un ángulo de evaluación φ respecto al
horizonte, se determina según la fórmula: R =
V02 Sen 2 φ
Determinar el ángulo φ con
g
el cual la distancia R es máxima dada la velocidad inicial V0.
8.- Un terreno rectangular se encuentra adyacente a un río y se debe cercar en 3
lados, ya que el lado que da al río no requiere cerca. Si se dispone de 100 m de cerca,
encuentre las dimensiones del terreno con el área máxima.
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9.- Hallar dos números positivos que minimicen la suma del doble del primero más el
segundo, si el producto de los dos números es 288.
10.- Dos postes de 20 y 28 pies de altura respectivamente se encuentran a 30 pies de
distancia. Se han de sujetar con cables fijados en un solo punto, desde el suelo a los
extremos de los puntos. ¿Dónde se han de fijar los cables para que la cantidad de
cable a emplear sea mínima?
11.- Calcular el volumen máximo del cilindro circular recto, que se puede inscribir en el
cono de 12 cm. de altura y 4 cm. en la base, de manera que los ejes del cilindro y del
cono coincidan.
12.- Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo
inscrito en ella.
13.- Un trozo de alambre de 10 m de longitud se va a cortar en dos partes. Una parte
será doblada en forma de circunferencia y la otra en forma de cuadrado. ¿Cómo
deberá cortarse el alambre para que:
a) El área combinada de las dos figuras sean tan pequeñas como sea posible. b) El
área combinada de las dos figuras sean tan grande como sea posible?
14.- Un granjero dispone de 200 m. de valla para cerrar dos corrales rectangulares
adyacentes. ¿Qué dimensiones harán que el área encerrada sea máxima?
15.- Hallar dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por el
cuadrado el otro es máximo.
16.- Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de 12 cm. de lado. Cortando
cuadrados iguales en las esquinas se construye una caja abierta doblando los
laterales. Hallar las dimensiones de los cuadros cortados para que el volumen sea
máximo.
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17.- ¿Cuál será la forma rectangular de un campo de área dada igual a 36 Dm 2 para
que sea cercado por una valla de longitud mínima?
18.- Se quiere cercar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del
lado que está junto al camino cuesta $ 8 el metro y para los lados $ 4 el metro, halla el
área del mayor campo que puede cercarse con $ 1.440.
19.- Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo
inscrito en ella.
20.- Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular. Si el radio de dicho
papel mide 9cm. Calcular la altura del cono que se forma para que el volumen sea
máximo.
21.-De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar el de área máxima.
22.- En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 20 cm. cada uno. Hallar la
longitud de la base para que el área sea máxima.
23.- Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y
semiesferas en los extremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado
de los extremos es el doble de la parte cilíndrica. ¿Qué dimensiones minimizan el
costo si la capacidad deseada es de 10 π . ft?
24.- Determine las dimensiones del rectángulo que se puede inscribir en un
semicírculo de radio “a” de manera que dos de sus vértices estén sobre el diámetro.
25.- Encuentre el punto de la gráfica y = x 2 + 1 más cercano al punto (3, 1).
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26.- Un alambre de 36 cm. de largo se va a partir en 2 trozos. Una de las partes se ha
de doblar en forma de triángulo equilátero y la otra en formas de un rectángulo cuya
longitud es el doble de su anchura. ¿Cómo debe partirse el alambre para que a suma
de las áreas del triángulo y el rectángulo sea mínima?
27.- Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero.
Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el área de la ventana es
máxima, si el perímetro de la misma debe ser 12 pies.
28.- Para que un paquete pueda enviarse por correo es necesario que la suma de su
longitud y el perímetro de su base no exceda de 108 pulgadas. Encuentre las
dimensiones de la caja con base cuadrada de mayor volumen que se puede enviar por
correo.
29.- Un buque militar se encuentra anclado a 9 km. del punto más próximo de la costa.
Se precisa enviar un mensajero a un campamento militar situado a 15 km. del punto
de la costa más próximo al buque, medido a lo largo de la costa; el mensajero
andando a pie hace 5 km./h y remando 4 km./h; ¿En qué punto de la costa debe
desembarcar el mensajero para llegar al campamento en el mínimo tiempo posible?
30.- De un tronco redondo de diámetro d hay que cortar una viga de sección
rectangular ¿Qué ancho (x) y altura (y) deberá tener esta sección para que la viga
tenga resistencia máxima posible. A) A la compresión, B) A la flexión?
31.- Se desea fabricar una caldera compuesta de un cilindro y dos fondos
semiesféricos, con paredes de espesor constante, de modo que con el volumen dado
V tenga una suficiente exterior mínimo.
32.- Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular de cartón de 16 cm. de
ancho y 21 cm. de largo, recortando un cuadrado de cada esquina y doblando los
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lados hacia arriba. Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de
volumen máximo.
33.- Se desea elaborar un pequeño recipiente cilíndrico sin tapa, que tenga un
volumen de 24 π cm3. El material que se usa para la base cuesta tres veces más que
el que se emplea para la parte cilíndrica. Suponiendo que en la construcción no se
desperdicia material, evaluar las dimensiones para las que es mínimo el costo del
material de fabricación.
34.- Dos postes de 20 y 28 pies de altura respectivamente se encuentran a 30 pies de
distancia. Se han de sujetar con cables fijados en un solo punto, desde el suelo a los
extremos de los puntos. ¿Dónde se han de fijar los cables para que la cantidad de
cable a emplear sea mínima?
35.- Se va a construir un calentador para agua en el forma de un cilindro circular recto
con eje vertical, usando para ello una base de cobre y lados de hojalata; si el cobre
cuesta 5 veces lo que la hojalata. Calcule la razón se la altura al radio r, que hará que
el costo sea mínimo cuando el volumen V es constante.
36.- Hallar un número positivo cuya suma con su inverso sea mínima.
37.- Dado un círculo de radio 4 m. inscribe en él un rectángulo de área máxima.
38.- Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola y 2 = 4 x , tales que sus
distancias al punto A (4,0) sean mínimas.
39.- Si una lata cerrada de estaño con un volumen de 16 π p lg 3 debe tener la forma
de un cilindro circular recto, determine la altura y el radio de dicha lata para utilizar la
mínima cantidad de material en su manufactura.
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40.- Un cilindro circular recto va a ser inscrito en una esfera con determinado radio.
Calcular la razón de la altura del radio de la base del cilindro que tenga la mayor área
de superficie lateral.
41.- Hallar dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por el
cuadrado el otro es máximo.
42.- Un arquitecto quiere diseñar una ventana en forma de rectángulo coronado por un
semicírculo. Si el perímetro de la ventana esta limitado a 24m, ¿que dimensiones
debería elegir el arquitecto de manera que la ventana permita entrar la mayor cantidad
de luz?
D. R.
JULIO 2007
Nota: Estos son ejercicios recopilados de varios textos de diferentes autores
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