FUNCIONES ELEMENTALES BÁSICAS Las funciones elementales básicas son: F. potencial: F. exponencial: F. logarítmicas F. trigonométricas y sus inversas La mayor parte de las funciones con las que trabajaremos a lo largo del curso se construyen a partir de estas funciones elementales básicas. Conocer estas funciones y manejarlas con soltura es primordial para seguir con éxito el curso. Función Potencial Una función potencial es una función de la forma: , fijo) en donde el exponente n es un número real fijo. El dominio, las características y la forma de la gráfica de una función potencial dependen mucho de cuál sea el exponente. A continuación se presentan los casos más relevantes: 2 Funciones elementales básicas Función potencial con exponente entero positivo Si y y x x n par n impar f x x2 , x4 , x6 , f x x3 , x5 , x7 , Función potencial con exponente entero negativo Si y y x x n par f x n impar 1 x 2 , 1 x 4 , 1 x 6 , f x 1 x , 1 x 3 , 1 x5 , Funciones elementales básicas Función potencial con exponente fraccionario positivo Raíces de orden par: Si Raíces de orden impar: Si y p q p q y y x x x n 1 2 1 ; f x x2 1 n ; 3 x 1 f x x3 3 p Se supone que la fracción es una fracción irreducible, es decir, q 2 n ; 3 x 2 f x x 3 3 x2 . Las gráficas pueden tener otras formas que aquí no se muestran. Aquí damos las más usadas. Nota: Un error común al trabajar con raíces de cuadradas, y en general con cualquier raíz de orden par, es pensar que la notación engloba tanto a la raíz cuadrada positiva como a la raíz cuadrada negativa del número x, es decir, muchas veces se piensa que falso. Escribir es exactamente lo mismo que escribir , es decir, lo cual es . 3 4 Funciones elementales básicas Función potencial con exponente fraccionario negativo Raíces de orden par: Si Raíces de orden impar: Si p q p q y y y x x x 1 n ; 2 f x x 1 2 1 1 n ; 3 x f x x 1 3 x p Se supone que la fracción es una fracción irreducible, es decir, q 2 n ; 3 1 3 f x x 2 3 1 3 x2 . Las gráficas pueden tener otras formas que aquí no se muestran. Sólo mostramos las más usuales. Propiedades de exponentes y radicales Si , entonces: Insistimos en que estas propiedades son ciertas siempre y cuando . En este caso, no hay ningún problema al aplicarlas. Sin embargo, muchas de ellas se pueden emplear cuando alguno de los valores es negativo y es aquí, sobre todo en la propiedades relacionadas con los radicales, cuando surgen los problemas y hay que tener mucha precaución a la hora de usarlas. Veamos algún ejemplo: Funciones elementales básicas 5 Ejemplo 1: Si n es impar la propiedad se puede aplicar cualquier valor de x y de y. Es decir, si n es impar Por ejemplo, . Sin embargo, cuando la raíz es de orden par, el escribir la raíz de un producto como el producto de las raíces puede acarrear serios problemas si ambos factores no son positivos. Si tomamos , ¿se cumple que ? Todo lo comentado aquí también es válido para la propiedad x n y n x n y . Ejemplo 2: Otra propiedad con la que hay que tener mucho cuidado al aplicarla sobre valores negativos es . De nuevo, si n es impar (el valor de m es indiferente) la propiedad tiene carácter general para cualquier valor real de x. El problema vuelve a surgir cuando el valor de n es par. Siempre que aparece la expresión solemos simplificarla empleando la propiedad anterior ( , sea cuál sea el valor de x. Si x es positivo, la propiedad está correctamente aplicada. Pensemos un poco: ¿Tiene sentido la expresión ) y concluimos que cuando x es un número negativo? Si sustituimos, por ejemplo, x por (7) la expresión quedaría como expresión que no tiene sentido porque un número positivo, convenido que , (recordemos que hemos ), nunca puede ser igual a un número negativo1. Para no tener problemas, conviene acostumbrarse desde el principio a usar la propiedad correcta que dice: 1 No hay que confundir lo aquí explicado con el hecho de que las soluciones de la ecuación . 6 Funciones elementales básicas Las funciones potenciales aparecen con frecuencia en biología. Muchas veces, al estudiar dos variables conjuntamente se deduce que una de ellas es proporcional a una potencia de la otra, es decir, si x e y representan dichas variables: o, alternativamente: donde k es una constante de proporcionalidad. En particular, la alometría trata de cuantificar relaciones entre distintas medidas de un organismo, fundamentalmente con la masa de éste, basándose en ecuaciones del tipo anterior. Por ejemplo, para mamíferos uterinos se han desarrollado modelos que permiten relacionar variables como la tasa de consumo de oxígeno TCO (en mililitros por minuto), la frecuencia respiratoria FR (en ciclos por minuto) y el peso de los pulmones Ppulm (en gramos) con la masa M (en kilogramos) del animal. En la siguiente tabla se muestran dichas ecuaciones2: Variable dependiente Variable independiente Tasa de consumo de oxígeno Masa Peso de los pulmones Masa Frecuencia respiratoria Masa Ecuación Reflexiona: ¿Qué significado tiene el hecho de que el exponente de la función potencial sea mayor que 1, igual a 1, comprendido entre 0 y 1 ó menor que 0? 2 Éstas y muchas más ecuaciones alométricas se pueden encontrar en la página http://www.um.es/fisfar/efalom.pdf Funciones elementales básicas Función Exponencial Para cualquier constante , se define la función exponencial de base b como la función: La función exponencial por excelencia es aquella que tiene como base al número e de Euler o constante de Neper ( ), es decir, . A dicha función la denominaremos función exponencial natural o simplemente función exponencial. Cuando el exponente de la función exponencial es complicado suele ser cómodo emplear la notación Por ejemplo, en vez de escribir se puede escribir, con mayor claridad es decir: Nótese que en una función exponencial la base b es fija y es el exponente quien es variable. El dominio de cualquier función exponencial es y, salvo para , que es una función constante, la forma de su gráfica depende de que el valor de b sea mayor o menor que 1. A continuación se muestran ambas posibilidades: 7 8 Funciones elementales básicas Función exponencial y y 1 1 x x Función estrictamente decreciente Función estrictamente creciente En la siguiente figura se observa que, si la base , el crecimiento de la función exponencial es más rápido al aumentar el valor de b. y y 6x y 4x y ex Funciones exponenciales para distintos valores de b ( ) La función exponencial permite modelar matemáticamente diferentes comportamientos poblacionales, magnitudes físicas, fenómenos medioambientales,... Veamos un ejemplo: Ejemplo: Algunas bacterias se reproducen muy rápidamente. Supongamos una población inicial de 100 bacterias que se duplica cada hora. Sea el número de bacterias en la población en la hora t. Puesto que la población se duplica cada hora, es fácil ver que: Funciones elementales básicas Cada hora que pasa la población se duplica ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ Siguiendo la misma pauta, podemos calcular el número de individuos en la población transcurrido cualquier número de horas. El número de bacterias en función del tiempo admite como modelo la función: (bacterias en la hora t) Ahora podemos calcular el número de bacterias en la población transcurrido cualquier periodo de tiempo: media hora, tres cuartos de hora, o en el instante 3,1 horas: Hemos obtenido una función que permite calcular el número de bacterias en la población en cualquier instante . Advertencia: No debe confundirse la función exponencial con la función potencial. Función potencial Función exponencial : base variable, exponente fijo. : base fija, exponente variable. Aunque las reglas de los exponentes se apliquen a ambas son funciones con propiedades diferentes. Un error bastante frecuente es derivar una función exponencial como si de una función potencial se tratara. Función Potencial Exponencial Derivada Correcto Incorrecto 9 10 Funciones elementales básicas En el siguiente gráfico se compara la gráfica de una función potencial con una exponencial. Para valores de x lo suficientemente grandes las funciones exponenciales (con más rápidamente que las potenciales (con ) crecen mucho ). y y bx y xn x En el intervalo , las funciones exponenciales ( mucho más rápidamente que las funciones potenciales ( ) crecen ) Función Logarítmica Sea . Para cualquier valor positivo x se define el logaritmo en base b de x como el exponente al que debe elevarse b para obtener el número x. Al logaritmo en base b de x lo denotaremos como logb x . Por lo tanto: Por ejemplo: ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ Se denomina función logarítmica de base b a la función que a cada valor positivo de x le hace corresponder el valor de Por lo tanto, , es decir tal que: . Funciones elementales básicas Reflexiona: ¿Por qué el dominio de un logaritmo ha de ser ? ¿Por qué no se pueden calcular logaritmos con base negativa? Al igual que con la función exponencial, el logaritmo más empleado es el de base e. A éste se le denomina logaritmo natural o neperiano y se le denota usualmente por ln (x), es decir Cuando la base del logaritmo es 10, hablamos de logaritmos decimales y nos referiremos a .3 ellos como Basándonos en la definición es fácil ver que: Por lo tanto, como observamos en los siguientes diagramas, las funciones exponencial y logarítmica de base b son funciones inversas, puesto que al componerlas en cualquier orden se obtiene la función identidad. g ( x) b x f ( x) logb ( x) x blogb x x logb ( x) g f ( x) x g ( x) b x x f ( x) logb ( x) bx logb (b x ) x g f ( x) x 3 Existe algo de confusión en cuanto a la notación empleada para los logaritmos. En algunos manuales la notación (sin especificar la base) se reserva para los logaritmos neperianos aunque lo habitual es reservar esta notación para los logaritmos decimales. 11 12 Funciones elementales básicas Podemos repetir lo mismo para exponenciales naturales y logaritmos neperianos: y de nuevo obtenemos que la función exponencial y el logaritmo neperiano son funciones inversas. g ( x) e x f ( x) ln( x) eln( x ) x ln( x) x g f ( x) x g ( x) e x f ( x) ln( x) x ln(e x ) x ex g f ( x) x Por lo tanto, al ser las funciones exponencial y logarítmica de base b funciones inversas, sus gráficas son simétricas respecto de la recta y x : y y bx y log b x b 1 1 b x Gráficas de las funciones exponencial y logarítmica de base b con b 1 Funciones elementales básicas Reflexiona: Si , ¿cómo son los valores de si ? ¿Y si gráfica de una función logarítmica de base b en donde ? ¿Cómo será la ?? Propiedades de los logaritmos Si y r es cualquier número real: Reflexiona: ¿Son ciertas las propiedades anteriores para cualquier par de números reales x e y? Originariamente los logaritmos se empleaban para trabajar con grandes números teniendo la ventaja de transformar productos y cocientes en sumas y restas, respectivamente. Actualmente los logaritmos se usan en ingeniería y en ciencias para manejar cantidades cuyos valores varían en un rango excesivamente grande. Los logaritmos intervienen en la definición de pH. El pH indica la concentración de iones hidronio [H3O+] presentes en un medio material (mezclas, disoluciones, etc.). Esta concentración es muy variable, pudiendo tomar valores comprendidos entre 101 y 1014 M, aproximadamente, cuando nos referimos a disoluciones en agua. Así, en vez de trabajar directamente con la concentración de iones hidronio es más cómodo usar su logaritmo decimal. Entonces, el pH se define como: En la siguiente tabla se muestran los valores de la concentración y el correspondiente valor del pH: 13 14 Funciones elementales básicas 101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 1014 0,1 0,01 0,001 0,000 1 0,000 01 0,000 001 0,000 000 1 0,000 000 01 0,000 000 001 0,000 000 000 1 0,000 000 000 01 0,000 000 000 001 0,000 000 000 000 1 0,000 000 000 000 01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Concentración de iones hidronio y su correspondiente pH. Veamos algunos ejemplos de trabajo con logaritmos: Ejemplo 1: Sabiendo que y Solución: Ejemplo 2: Solución: Resuelve la ecuación calcula, sin usar la calculadora, . , Funciones elementales básicas Conclusión: La única solución de la ecuación es está definido ni en Ejemplo 3: ni en 15 ya que el logaritmo neperiano no . Resolver la ecuación Solución: Puesto que hemos obtenido una ecuación que sólo depende de la ecuación anterior se transforma en la ecuación de 2º grado: Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son . Como no nos interesa el valor de y sino el valor de la incógnita x hemos de deshacer el cambio de variable: Si Si Conclusión: La única solución de la ecuación es (no hay solución) . Cambio de base: Aunque revisando textos matemáticos anteriores a 1950 se pueden encontrar tablas de logaritmos en base 2, en la actualidad sólo se trabaja, fundamentalmente, con logaritmos decimales y neperianos. De todas formas, para encontrar el valor numérico de un logaritmo en base distinta a 10 o distinta al número e se puede recurrir a las fórmulas: 16 Funciones elementales básicas Errores muy graves y frecuentes: (Corrígelo tú mismo). Funciones Trigonométricas La palabra trigonometría deriva de los vocablos griegos trigonon (triángulo) y metria (medición). En este apartado presentamos un breve repaso de las funciones trigonométricas y sus representaciones gráficas. Definiciones: Radián y grado sexagesimal: Un radián (rd) es la medida del ángulo central de una circunferencia que corresponde a un arco cuya longitud igual al radio de la circunferencia. Un grado sexagesimal (1o) es la medida del ángulo central que corresponde a un arco cuya 1 longitud es de la longitud de la circunferencia. 360 Por tanto: radianes radianes radianes Para hacer la conversión de grados a radianes basta aplicar una regla de tres o la relación anterior para deducir que: radianes ao 180o radianes Análogamente para convertir radianes a grados se utiliza la fórmula: Funciones elementales básicas ao radianes radianes 180o Definición de las funciones trigonométricas Se considera la circunferencia de centro el origen O y radio 1 y sobre ella un punto cualquiera P de coordenadas . Sea el ángulo que forma la dirección positiva del eje de abscisas con el segmento OP . Las funciones trigonométricas se definen como: Construcción de las funciones trigonométricas y 1 sen ( ) y y tan( ) x P (x , y ) 1 y -1 O x 1 x csc ( ) cos( ) x cot( ) 1 sec( ) sen( ) 1 tan( ) 1 cos( ) -1 Algunas fórmulas importantes a) Se dice que un ángulo es complementario del ángulo si 2 radianes. Es fácil deducir entonces que si y son ángulos complementarios se cumple que sen( ) cos( ) cos( ) sen( ) tan( ) cot( ) b) Identidad fundamental sen 2 ( x) cos2 ( x) 1 Se deduce por tanto que sen( x) 1 cos2 ( x) cos( x) 1 sen 2 ( x) El signo quedará completamente determinado una vez se conozca el cuadrante en el que se sitúa el ángulo x. A partir de la anterior fórmula es fácil ver que también se cumple que: 17 18 Funciones elementales básicas tan 2 ( x) 1 sec2 ( x) c) Identidades para la suma y la resta sen( x y ) sen( x) cos( y ) cos( x) sen( y ) cos( x y ) cos( x) cos( y ) sen( x) sen( y ) tan( x y ) tan( x) tan( y ) 1 tan( x) tan( y ) Es fácil deducir entonces las relaciones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad: sen(2 x) 2 sen( x) cos( x) sen( x / 2) cos(2 x) cos 2 ( x) sen 2 ( x) cos( x / 2) tan(2 x) 2 tan( x) tan( x / 2) 1 tan 2 ( x) 1 cos( x) 2 1 cos( x) 2 1 cos( x) 1 cos( x) d) Algunos valores importantes Ejercicio 1: x sen (x) cos (x) tan (x) 0 6 0 1 2 1 0 3 2 3 3 4 2 2 2 2 1 3 2 3 2 1 2 3 1 0 No definida 0 1 0 3 2 1 0 No definida 2 0 1 0 Dado un ángulo deduce las razones trigonométricas de los ángulos , , y . Funciones elementales básicas 19 Representación gráfica de las funciones trigonométricas y 2,5 p 2p 1,5 p p y 1 1 0,5 0,5 0,5 p 0 0,5 p p 1,5 p 2p 2,5 p x 2,5 p 2p 1,5 p p 0,5 p 0 0,5 0,5 1 1 y sen( x) 0,5 p p 1,5 p 2p 2,5 p x2,5 p 2p 1,5 p 0,5 p 0 0,5 p p 1,5 p 2p 2,5 p y tan( x) y cos( x) y p y y 1 2,5 p 2p 1,5 p p 0,5 p 0,5 p p 1,5 p 2p 2,5 p x 2,5 p 2p 1,5 p p 0,5 p 0,5 p p 1,5 p 2p 2,5 p x 2,5 p 2p 1,5 p p 0,5 p 0,5 p p 1,5 p 2p 2,5 p -1 y csc( x) y sec( x) y cot( x) En todas las gráficas el ángulo x está dado en radianes. Funciones elementales A las funciones exponenciales y logarítmicas junto con las trigonométricas y sus inversas se les denomina funciones trascendentes. Estas funciones junto con las potenciales se conocen como funciones elementales básicas. Las funciones elementales básicas se pueden combinar usando las operaciones aritméticas de suma (), resta (), multiplicación (×) y división (÷) y la composición de funciones. A las funciones obtenidas de tal manera las denominamos funciones elementales. x 20 Funciones elementales básicas Funciones elementales básicas F. potenciales F. exponenciales F. logarítmicas F. trigonométricas FUNCIONES ELEMENTALES El nombre de elemental no implica sencillez. Las funciones elementales pueden tener un aspecto tan complicado como: 3 7 x 5 e f ( x ) arctg ln(sen 2( x 8)) cos( x 5 8 ) x 4 3 Sin embargo, hay funciones que no son elementales y son tan sencillas como: 1 si x 0 g( x ) 1 si x 0 La función anterior no es elemental al intervenir en su definición una operación lógica (el "si" condicional). Estas operaciones no están permitidas en la definición de funciones elementales. Transformaciones de funciones Muchas veces la gráfica de una función se puede obtener mediante transformaciones sencillas de funciones conocidas. Por ejemplo, es fácil dibujar la gráfica de la función g ( x) ( x 2)3 o de h( x) ( x 5)3 si conocemos la gráfica de f ( x) x3 . Funciones elementales básicas Gráficas de f ( x ) x 3 , de g( x ) ( x 2)3 y de h( x ) ( x 5)3 Las tres gráficas tienen exactamente la misma forma. Las gráficas de g ( x) ( x 2)3 y de h( x) ( x 5)3 se obtienen mediante traslación horizontal de la gráfica de f ( x) x3 Las transformaciones más sencillas son: Traslaciones Reflexiones Contracciones y expansiones TRASLACIONES VERTICALES Si Si La gráfica de La gráfica de “a” unidades hacia arriba. “a” unidades hacia abajo. 21 22 Funciones elementales básicas TRASLACIONES HORIZONTALES Si Si La gráfica de La gráfica de “a” unidades hacia la derecha. “a” unidades hacia la izquierda. En definitiva, si esquema: quedan resumidas en el siguiente Traslaciones de Ejercicio 2: Partiendo de la gráfica de la función dibuja la gráfica de las siguientes funciones: (a) (b) (c) (d) Funciones elementales básicas Ejercicio 3: Partiendo de la gráfica de la función 23 dibuja la gráfica de las funciones: (a) (b) (c) (d) REFLEXIONES Reflexión respecto al eje OX La gráfica respecto al eje de abscisas OX. Ejercicio 4: Reflexión respecto al eje OY de La gráfica respecto al eje de ordenadas OY. Partiendo de la gráfica de la función dibuja la gráfica de las funciones: (a) Ejercicio 5: (b) Partiendo de la gráfica de la función dibuja la gráfica de las funciones: (a) (b) de 24 Funciones elementales básicas Ejercicio 6: Partiendo de la gráfica de la función dibuja la gráfica de las funciones (a) (b) EXPANSIONES Y CONTRACCIONES VERTICALES Expansión vertical Contracción vertical EXPANSIONES Y CONTRACCIONES HORIZONTALES Expansión horizontal Contracción horizontal Funciones elementales básicas Ejercicio 7: Partiendo de la gráfica de la función 25 obtén la ecuación y dibuja la gráfica de las funciones: (a) (b) (c) (d) Cualquier parábola es una transformación de la función Ejercicio 8: Reescribe la ecuación de las siguientes parábolas en la forma: y utiliza dicha escritura para dibujar su gráfica partiendo de la gráfica de la función . (a) (b) (c) (d) Indicación: La ecuación de cualquier parábola (vertical), , se puede reescribir en la forma: Para ello, basta con igualar los dos términos de la derecha, identificar coeficientes y resolver el sistema obtenido. Por ejemplo, consideremos la parábola de ecuación escribir esta parábola como ecuaciones. Así: Desarrollando el término de la derecha Identifiquemos coeficientes: Grado [2] Si deseamos tendremos que igualar ambas 26 Funciones elementales básicas Grado [1] Grado [0] Grado [2]: Si Grado[1]: . Por comodidad 4 elegimos . ⟹ Grado[0]: . Puesto que Luego, la ecuación se tiene que , es decir, ha quedado reescrita como Podemos utilizar esta reescritura para dibujar la gráfica de la parábola a partir de transformaciones sobre la gráfica de la función . Problemas propuestos 1. Halla todos los números reales x que verifican las siguientes desigualdades: (a) 3x 5x (b) 5(x 1) 3 1 1 (e) 2 x 1 2 (d) x3 2x2 5x 6 2. Dadas las funciones ( x ) (c) x3 3x 2 x 1 y ( x) x 2 4 , calcula (1/x), 1/(x), (2x), 3x 5 (0) y (2x). 3. 4 1 x a b Sea f ( x) log . . Comprueba que f (a ) f (b) f 1 ab 1 x Ta bié s u i aaα va ativ si qu s s a h t st s á u s Funciones elementales básicas 4. Sean f(x) log ( x) y g(x) x3. Calcular f(g(a)) y g(f(a)). ¿Es conmutativa, en general, la composición de funciones? 5. x 1 2 x 3 Resuelve la ecuación 27 9 . 6. Despeja x en las siguientes ecuaciones: y 7. e x e x y 2 e x e x e x e x Despeja u en las ecuaciones: s log u 1 ln u 1 8. s 105u Los sismólogos utilizan la escala de Richter para medir y reportar la magnitud de los terremotos. La magnitud o número de Richter de un terremoto depende del cociente de la intensidad, I, de un terremoto entre la intensidad de referencia, I 0 , que es el movimiento más pequeño de la tierra que puede registrarse en un sismógrafo. Los números de Richter a menudo se redondean a la cifra de las décimas o las centésimas y está dado por la fórmula I R log10 I 0 Si se determina que la intensidad de un terremoto es 50000 veces la intensidad de referencia, ¿cuál es su lectura en la escala Richter? Resuelve sin calculadora. Indicación: log10 5 0,69 9. El volumen, L, de un sonido, en decibeles (dB), que percibe el oído humano depende del cociente de la intensidad, I, de dicho sonido entre el umbral, I 0 , de escucha del oído humano promedio, según la fórmula I L 10 log10 I 0 dB Encuentra el volumen de un sonido que posee una intensidad 10000 veces el umbral de escucha del oído humano promedio. Resuelve sin calculadora. 10. El gas de invernadero más abundante es el dióxido de carbono. Según el pronóstico de las Naciones Unidas, en el peor escenario posible, la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera se puede aproximar con C (t ) 277e0.00353 t con 0 t 350 27 28 Funciones elementales básicas donde t es el tiempo en años a partir de 1750 y C (t ) viene medido en ppm (partes por millón). a) Aplica el modelo para estimar la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera en 1950, 2000, 2050 y 2100. b) Según el modelo, ¿cuándo, aproximando a la década más cercana, esa cantidad rebasará las 700 ppm? 11. El carbono 14 es un isótopo inestable que se desintegra de forma continua transformándose en nitrógeno. La cantidad de carbono 14 que queda en una muestra que contenía al principio A gramos de carbono 14 está dada por C (t ) A 0,999879t donde t es el tiempo en años. En la actualidad, un fósil contiene 4,06 g de carbono 14. Se estima que originalmente el fósil contenía 46 g. Calcula, aproximadamente, la edad del fósil. 12. Una epidemia se propaga en una comunidad de manera que t semanas después de su brote el número de personas infectadas está dado por f (t ) 10000 1 C e kt Si 2 000 personas estaban infectadas al principio y 5 000 habían sido infectadas al final de la cuarta semana, ¿cuántas personas estarán infectadas al final de la octava semana? Resolver sin calculadora. 13. La concentración de alcohol en sangre de una persona es 0, 2 mg/dl tras ingerir una bebida alcohólica. Si la cantidad de alcohol en la sangre decrece de forma exponencial y se elimina la cuarta parte cada hora, encuentra la función f (t ) A e t con A, que mide la concentración de alcohol en sangre, transcurridas t horas desde la ingestión. 14. Las ventas de ordenadores están sujetas a fluctuaciones estacionales. Los ingresos trimestrales de la empresa Computer Phaseos en 1995 y 1996 se pueden aproximar con la función f (t ) 0,11 sen(1,39 t ) 0,5 con 1 t 8 donde t representa el tiempo en trimestres (t =1 el final del primer trimestre de 1995) y f (t ) viene medido en miles de millones de euros. ¿Cuáles fueron los ingresos máximos y Funciones elementales básicas mínimos de la empresa? 15. En un cultivo están desarrollándose bacterias. El tiempo t (en horas) para que el cultivo se duplique (denominado tiempo de generación) es función de la temperatura T (en oC) del cultivo. Si el tiempo de generación viene dado por: 11 1 si 30 T 36 T 24 24 t f T 4 T 175 si 36 T 39 3 4 Determina el dominio de f, calcula f 33 , f 36 y f 38 y dibuja su gráfica. 16. La gráfica de la función es conocida. Describe cómo obtendrías la gráfica de cada una de las siguientes funciones partiendo de la gráfica de f. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) 17. Explica cómo puedes obtener la gráfica de (a) (b) (c) (d) (e) (f) : 29 30 Funciones elementales básicas (g) (h) 18. Esboza cada una de las siguientes gráficas partiendo de la gráfica de una función elemental básica: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) 19. Calcula el dominio natural de definición de las siguientes funciones: (a) (d) (g) (j) 1 x (b) ax (d) ax x (h) x2 x3 x 1 (m) ln( x) (k) (i) x2 6 x3 (l) x 1 arcsen( x) 1 2 9 x2 x3 6 x 2 11x 6 ln x 2 25 ln 1 e1/ x (q) 1 x 2 1 ln 2 x2 (r) x2 4 ln x( x 6) (s) 1/( x 2) 1 x a 3 x b (ñ) (p) x 5 10 3cos( x) (f) 3 ln( x) ln 5 4x x 2 (x) 1 (c) (n) (o) (u) ln [tan ( x)] 3 x 4 7 x (v) 1 ln 36 x 2 4 x ln 2 2 x 2 (y) 1 2 x 3x (t) (w) 1 ln cos( x) x 2 3x 4 ln 3 x 1 x 1 x2 4 (z) 7x Funciones elementales básicas Bibliografía AITKEN, MICHAEL R. F.: Mathematics for biological scientists / Mike Aitken, Bill Broadhurst, Steve Hladky New York : Garland Science, cop. 2009. ANTON, HOWARD: Cálculo: trascendentes tempranas / Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis. México: Limusa Wiley, cop. 2009 (2ª. ed). CRAUDER, BRUCE: Functions and change: a modeling approach to college algebra / Bruce Crauder, Benny Evans, Alan Noell. Belmont: Brooks Cole, cop. 2010. FERNÁNDEZ, M.J.; MULAS, R.; RAMOS, M.T.: Para empezar a entendernos LARSON, RON: Precálculo / Ron Larson, Robert Hostetler. Barcelona: Reverté, 2008. NEUHAUSER, CLAUDIA: Matemáticas para ciencias / Claudia Neuhauser; traducción, Ana Torres Suárez. Madrid [etc.] : Pearson, 2004 (2ª ed.) RIVERA FIGUEROA, ANTONIO: Cálculo y sus fundamentos para ingeniería y ciencias / Antonio Rivera Figueroa. México DF: Grupo Editorial Patria, 2007 STEWART, JAMES: Precálculo: matemáticas para el cálculo / James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson. México: Thomson, 2007 (5ª ed.) http://www.slideshare.net/mfatela/transformacin-de-funciones-1767212 31