Unidad 3: Teoría de números

Estructuras Discretas
Unidad 3
Teoría de números
1. Divisibilidad,
Contenido
• Números primos
• Teorema fundamental de la aritmética.
2. Algoritmo de la división
•
•
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo,
Algoritmo de Euclides.
3. Congruencias.
4. Aplicaciones: criptografía (Diffie-Hellman,
RSA), generación de números pseudoaleatorios.
Introducción
• La teoría de números es una rama de las
matemáticas que se ocupa de los números enteros.
• Nace con los problemas de la divisibilidad de
números naturales, siendo los griegos los primeros
que llegan a obtener proposiciones generales de la
misma, especialmente en los libros VII y IX de
Euclides.
• Gauss se le considera como el creador de esta.
Divisibilidad
• Definición:
• Si a ≠ 0, b son enteros, se dice que a divide a b si
existe un entero c tal que ac=b (o a|b , o
diremos que b es múltiplo de a).
a|b
c Z tal que a c b
• a es divisor de b, a divide a b, a es factor de b.
• Si a no divide a b, se escribe: a | b
• Ejemplo:
.
• 20 = 4 5 , es decir, 4 | 20. También, -4|20 así 20=(4)(-5).
• La relación de divisibilidad es reflexiva y
transitiva, pero no es simétrica ni
antisimétrica.
Teorema
1. a | b
a | kb, k Z
2. a | b b | a
3. a | b b | c
a
b
a|c
4. c | a c | b
c | (am nb), a, b, c, m, n Z
5. k Z {0}, a | b
6. a | b
b 0
ka | kb.
1 | a| |b|
Demostración
1. Existe u Z tal que au=b. Entonces,
a(uk)=bk y así a|bk.
2. Observe que por definición, ni a≠0 ni
b≠0 si a|b y b|a. Existen enteros, u, u’
con au=b y bu’=a. Así auu’=bu’=a, y
asi uu’=1. De esto, u, u’ son enteros,
entonces u= 1, u’=  1. Por lo tanto,
a= b.
3. Existen enteros u, v con au=b, bv=c. Por lo tanto
auv=c, y así a|c.
4. Existen enteros s, t con sc=a, tc=b. Entonces
am+nb=c(sm+tn), dando c|(am+bn).
5. Existe un entero u con au=b. Entonces (ak)u=kb, y
así a|b entonces ka|kb. Ya que k≠ 0 anulamos las
k’s y por lo tanto (ak)u=kb entonces au=b entonces
a|b, probando lo contrario.
6. Ya que b≠0 existe un entero u≠0 con au=b. Así
|u|≥ 1 y entonces |a|.1 ≤|a|.|u|=|au|=|b|.|a|≥1
Números primos
• Definición
• Un número entero p Z se dice que es
primo si y sólo si p ≠0, 1 y sus únicos
divisores son el 1 y p.
• Un número entero es compuesto si no es
primo.
• Si p es primo entonces –p es primo.
•
Para determinar si un entero positivo n es compuesto, es suficiente con
probar si alguno de los enteros
• 2,3,…, n-1
•
•
Dividen a n. Si algún entero en esta lista divide a n, entonces n es
compuesto; de lo contrario es primo.
Ejemplo: Por inspección, se encuentra que ningún elemento de la lista
2,3,4,5,…, 41, 42
•
•
Divide a 43; entonces 43 es primo. Para 451, se encuentra que 11
divide a 451 (451=11*41), así 451 es compuesto.
Para determinar si un entero n >1 es primo, se verifican los divisores
potenciales:
2,3,…, n-1
•
En realidad es suficiente con verificar:
2,3,…, (n-1)1/2
Teorema fundamental de la
aritmética
• Supongamos que existe un algoritmo que obtiene los
factores primos de un numero compuesto:
• Ejemplo: 1274
1274= 2*637
637=7*91
91=7*13
• Entonces 1274 = 2*7*7*13= 2*72*13
• De hecho, los factores primos son únicos. Este
resultado se conoce como teorema fundamental
de la aritmética o teorema de factorización
única.
Teorema fundamental de la
aritmética
• Todo número entero distinto de +1,-1 y
0 admite una descomposición única
como producto de números primos
positivos, es decir:
Ejercicio
• Encuentre la descomposición prima de:
• 9, 47, 209, 637
• 30, 105, 82320
• 950796, 2311, 1007
• ¿Cuales son primos?
Máximo común divisor
• El máximo común divisor de dos
enteros m y n (≠ 0) es el entero
positivo más grande que divide a los
dos: m y n.
• Ejemplo:
• Máximo común divisor de: 4 y 6 es 2.
• Máximo común divisor de: 3 y 8 es 1.
Máximo común divisor
Definición
• Sean m y n enteros distintos de cero. Un divisor común de m y
n es un entero que divide tanto a m como a n. El máximo
común divisor, escrito mcd(m,n)
• Es el divisor común de m y n más grande.
• Ejemplo:
•
•
•
•
Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Divisores de 105: 1, 3, 5, 7,15, 21, 35, 105
Divisores comunes de 30 y 105: 1, 3, 5, 15
Entonces mcd(30, 105)=15
• Ejemplo:
• Utilizando sus factorizaciones primas:
• 30= 2*3*5
• 105=3*5*7
• De esto observamos que 3 es un divisor
común y 5 también es un divisor común y
además 3*5=15 es un divisor común. Entonces
15 es el máximo común divisor de 30 y 105.
Teorema 8
• Sean m y n enteros, m >1, n>1, con factorizaciones
primas:
a
a
a
m
• y
n
p1 1 p2 2 ... pn n
p1b1 p2b2 ... pnbn
• Si el primo pi no es un factor de m o de n, ai=0 o
bi=0 respectivamente. Entonces
•
mcd (m, n) p mín( a1 ,b1 ) p mín( a2 ,b2 ) ... p mín( an ,bn )
1
2
n
• Ejemplo:
• 82320=24*31*51*73*110
• 950796=22*32*50*74*111
Entonces
• mcd(82320,950796)=2min(4,2)*3min(1,2)*5min(
1,0)*7min(3,4)*11min(0,1)
• mcd(82320,950796)=22*31*50*73*110
=4116
Ejercicio
• Encuentre:
•
•
•
•
mcd(0,17)
mcd(110,273)
mcd(20, 40)
Mcd(331,993)
Algoritmo de Euclides
• Si dividimos el entero no negativo a
entre el entero positivo b, obtenemos
un cociente q y un residuo r que
satisface:
a=bq+r, 0 ≤ r< b, q ≥ 0
• Ejemplo:
• a=22, b=7, q=3, r=1; 22=7*3+1
• a=24, b=8, q=3, r=0; 24=8*3+0
Teorema 9
• Si a es un entero no negativo, b es un entero positivo
y
a=bq+r, 0 ≤ r< b,
Entonces
mcd(a,b)=mcd(b,r)
• Dem: Sea c un divisor común de a y b. Entonces
c|bq. Como c|a y c|bq, entonces c|a-bq(=r). Así, c
es un divisor común de b y r.
• Recíprocamente: si c es un divisor común de b y r,
entonces c | bq y c|bq+r(=a) y c es un divisor común
de a y b. Esto implica que
mcd(a,b)=mcd(b,r)
• Ejemplo: Si dividimos 105 entre 30, obtenemos:
• 105=30*3+15
• Por el teorema 9:
• mcd(105,30)=mcd(30,15)
• Si dividimos 30 entre 15, obtenemos
• 30= 15*2+0
• El residuo es 0. Por el teorema anterior:
Mcd(30,15)=mcd(15,0)
• Por inspección, mcd(15,0)=15. Por tanto,
• mcd(105,30)=mcd(30,15)=mcd(15,0)=15
• Este cálculo lo ilustra el algoritmo de Euclides
Ejercicios
• Determine enteros q y r tales que
a=bq+r, con 0≤r<b
•
•
•
•
a=45, b=6
a=106, b=12
a=66, b=11
a=106, b=12
Algoritmo de Euclides
• Algoritmo que determina el mcd de los enteros no negativos a y
b, no nulos.
• Entrada: a ≠0 y b ≠0
• Salida: mcd(a,b)
Ejercicio
• Utilice el algoritmo de Euclides para
determinar el mcd de cada par de
números
•
•
•
•
60, 90
220, 1400
2091, 4807
110, 273
Mínimo común múltiplo
• Definición
• Sean m y n enteros positivos. Un multiplo común de m y n
es un entero que es divisible tanto entre m como entre n,
mcm(m,n)
• es el múltiplo común positivo más pequeño de m y n.
• Ejemplo:
• Mcm(30,105)=210
• Porque 210 es divisible entre los dos (30 y 105) y ningún
entero positivo menor que 210 es divisible por ambos, 30 y
105.
Mínimo común múltiplo
Utilizando factorizaciones primas
• Ejemplo:
•
•
30=2*3*5
105=3*5*7
• La factorización prima de mcm(30,105) debe contener a 2, 3 y 5
como factores (para que 30 divida a mcm(30,105)). También
debe contener a 3, 5 y 7 (para que 105 divida a mcm(30,105)).
• El número más pequeño con esta propiedad es:
2*3*5*7=210
• Por lo que, mcm(30,105)=210
Mínimo común múltiplo
Teorema 10
• Sean m y n enteros, m >1, n>1, con
factorizaciones primas
m
p1a1 p2a2 ... pnan
n p p ... p
•Y
• (Si el primo pi no es un factor de m, se
deja ai=0. Igual para n). Entonces
b1
1
mcm(m, n)
máx ( a1 ,b1 )
1
p
bn
n
b2
2
máx ( a2 ,b2 )
2
p
máx ( an ,bn )
n
... p
Mínimo común múltiplo
• Ejemplo
• 82320=24*31*51*73*110
• 950796=22*32*50*74*111
Entonces
• mcm(82320,950796)=2máx(4,2)*3máx(1,2)*5má
x(1,0)*7máx(3,4)*11máx(0,1)
• mcm(82320,950796)=24*32*51*74*111
=19015920
Mínimo común múltiplo
• Ejemplo:
• mcd(30,105)=15
• mcm(30,105)=210
• mcd(30,105)*mcm(30,105)=15*210=3150
=30*105
Teorema 11
• Para cualesquiera enteros positivos m y n,
mcd(m,n)*mcm(m,n)=mn
• Dem:
• Si m=1, entonces mcd(m,n)=1 y mcm(m,n)=n, así:
• mcd(m,n)*mcm(m,n)=1*n=mn
• Si n=1, entonces mcd(m,n)=1 y mcm(m,n)=m, así:
• mcd(m,n)*mcm(m,n)=1*m=mn
• Si m > 1 y n >1
• Combinando los teoremas anteriores de mcd y mcm, con el hecho de
que:
• mín(x,y) + máx(x,y)=x + y para toda x y y.
• Esto es verdadero porque uno de {mín(x,y), máx(x,y)} es igual a x y el
otro a y.
•
Se escriben las factorizaciones primas de m y n como
an
b1 b2
a1 a2
1
2
1
2
n
m
•
p p ... p
•
p p ... pnbn
(si el primo pi no es un factor de mi, se hace ai=0. Si el primo pi no es un factor
de n, se hace bi=0). Por el teorema 9
mcd (m, n)
•
n
p1mín( a1 ,b1 ) p2mín( a2 ,b2 ) ... pnmín( an ,bn )
Y por el teorema 10
mcm(m, n)
Por lo tanto,
p1máx ( a1 ,b1 ) p2máx ( a2 ,b2 ) ... pnmáx ( an ,bn )
mcd(m, n) * mcm(m, n) [ p1mín ( a1 ,b1 ) p2mín ( a2 ,b2 ) ... pnmín ( an ,bn ) ]
[ p1máx ( a1 ,b1 ) p2máx ( a2 ,b2 ) ... pnmáx ( an ,bn ) ]
p1mín ( a1 ,b1 )
máx ( a1 ,b1 )
p1a1 b1 ... pnan
... pnmín ( an ,bn )
bn
[ p1a1 ... pnan ][ p1b1 ... pnbn ] mn
máx ( an ,bn )
Ejercicios
• Determinar el mcm de cada par de
números
•
•
•
•
60, 90
220, 1400
2091, 4807
110, 273
• Para cada ejercicio verifique que
mcd(m,n)*mcm(m,n)=mn
Teorema 12: El algoritmo de
la división
• Teorema:
• Si a, b son enteros con b>0 entonces
existen q, r enteros únicos, con a=qb+r,
0≤r<b
• Donde q es el cociente y r el residuo
Congruencia
• Definición
• Sea n un entero positivo, n>1. Para a,b
enteros, se dice que a es congruente con b
módulo n y se escribe a b(mod n), si
• n|(a-b) o a=b+kn, k un entero.
• Ejemplo:
• 17 2(mod 5), 5|(17-2), 17=2+3*5, k=3
• -7 -49(mod 6), 6|(-7+49)
• A es congruente con b módulo m,
(a m b), si m|a-b
• Ejemplo:
• 25 7 32,
• 32=4+7*4
• 25=4+7*3
• 32-25=7*(4-3)
• Ejemplo
• 17
3
-28
• -28=2+3*(-10)
• 17=2+3*5
• -28-17=3*(-10-5)
• Obtenemos que 32-25 es múltiplo de 7 y
-28-17 es múltiplo de 3, al coincidir los
valores de los restos, 4 y 2
respectivamente
• Teorema
• Sean a,b enteros, m>0: a
a mod m = b mod m.
• Demostración
m
b
• Demostración
• Dados a, b, m enteros m>0 existen c,r,c’,r’
únicos tales que
a=cm+r, 0≤r<m
(1)
b=c’m+r’, 0≤r’<m
• Demostramos
•a b
m|(a-b)
m|(r-r’) [a-b=(c-c’)m+(r-r’)]
m
r-r’=0
[0 ≤ |r-r’|<m por (1)]
r=r’
a mod m = b mod m
• a mod m = b mod m
a mb
r=r’ a-b=m(c-c’)
• Dado un número entero n, sumándole y restándole
reiteradamente m obtenemos las sucesiones de los
números congruentes con n módulo m.
• Ejemplo
• Sucesiones de los números congruentes
con 7 módulo 5:
7, 12, 17, 22, 27, 32,…
2, -3, -8, -13, -18
• Sucesiones de números congruentes con
10 módulo 3:
10, 13, 16, 19, 22, …
7, 4, 1, -2, -5, -8 …
• Teorema
• Dado un entero m>0: a m b
existe un entero k tal que a = b+km
• Demostración
• a mb
m|a-b
existe un entero k tal
que a-b=km
a=b+km
• Existe un entero k tal que a=b+km
km=a-b m|a-b a m b.
• Por el teorema anterior, dado un
número entero m>0, Z queda dividido
en m clases de congruencia de Z
modulo m, que representamos por
0,1,... , m 1 y se definen:
• Clase de los números congruentes con
0=0 es {…, -2m, -m, 0, m, 2m,…}
• Clase de los números congruentes con 1=1 es
{…, -2m+1, -m+1, 1, m+1, 2m+1,…}
• Clase de los números congruentes con 2=2 es
{…, -2m+2, -m+2, 2, m+2, 2m+2,…}
• Clase de los números congruentes con m-1=m-1 es
{…, -2m+(m-1), -m+(m-1), m-1, m+(m-1), 2m+(m-1),…}
• Fijando un m, todo núm entero pertenece a una y sólo una
clase de congruencia módulo m.
i={…, -2m+i, -m+i, i, m+i, 2m+i,…}
• Dado un m>0, al conjunto de clases de congruencia de Z
módulo m lo designamos Z(m)={0,1,... , m 1 }
Ejemplo