Ejemplo de un dise˜no factorial

Ejemplo de un diseño factorial
La velocidad de filtración de cierto producto depende de cuatro factores:
temperatura (A), presión (B), concentración de cierto quı́mico y velocidad de
agitado (D). El interés es maximizar la velocidad de filtración de este producto
que usando el proceso presente es de 75 gal/h. Este proceso usa un nivel alto de
C. Al ingeniero le gustarı́a reducir el nivel de C lo máximo posible. Para esto
se hicieron 16 experimentos cuyos resultados aparecen en la Tabla 1.
Experimento
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A
+
+
+
+
+
+
+
+
Factor
B C
+ + - +
- +
+ +
+ +
+ + - +
- +
+ +
+ +
D
+
+
+
+
+
+
+
+
etiqueta
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
d
ad
bd
abd
cd
acd
bcd
abcd
Velocidad filtrado
(gal/h)
45
71
48
65
68
60
80
65
43
100
45
104
75
86
70
96
Table 1: Datos de los 16 experimentos
La matriz de diseño de este modelo aparece en la Tabla 2. Ası́ el efecto
medio de A es:
A = (−45 + 71 − 48 + 65 − 68 + 60 − 80 + 65 − 43 + 100 − 45 + 104 − 75 +
86 − 70 + 96)/(23 n) = 21.625
y la suma de cuadrados del factor A es:
SCA =
((23 n)A)2
= 1870.56
(24 n)
La suma de cuadrados total es:
SCT =
X
2
yijlh
−
i,j,l,h
2
y....
= 5730.94
24 n
y por tanto: SCE = 179.52. El procentaje de contribución de este efecto
es SCA/SCT= 32.6397. Una tabla con la estimación de los efectos de cada
1
tratamiento y la suma de cuadrados se encuentra en Tabla 3.
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
d
ad
bd
abd
cd
acd
bcd
abcd
A
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
B
–
–
+
+
–
–
+
+
–
–
+
+
–
–
+
+
AB
+
–
–
+
+
–
–
+
+
–
–
+
+
–
–
+
C
–
–
–
–
+
+
+
+
–
–
–
–
+
+
+
+
AC
+
–
+
–
–
+
–
+
+
–
+
–
–
+
–
+
BC
+
+
–
–
–
–
+
+
+
+
–
–
–
–
+
+
ABC
–
+
+
–
+
–
–
+
–
+
+
–
+
–
–
+
D
–
–
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
+
+
AD
+
–
+
–
+
–
+
–
–
+
–
+
–
+
–
+
BD
+
+
–
–
+
+
–
–
–
–
+
+
–
–
+
+
ABD
–
+
+
–
–
+
+
–
+
–
–
+
+
–
–
+
CD
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
ACD
–
+
–
+
+
–
+
–
+
–
+
–
–
+
–
+
Table 2: matriz de diseño de un experimento 24
Tratamiento
A
B
C
D
AB
AC
AD
BC
BD
CD
ABC
ABD
ACD
BCD
ABCD
Efecto estimado
21.625
3.125
9.875
14.625
0.125
-18.125
16.625
2.375
-0.375
-1.125
1.875
4.125
-1.625
-2.625
1.375
Suma de cuadrados
1870.56
39.0625
390.062
855.563
0.0625
1314.06
1105.56
22.5625
0.5625
5.0625
14.0625
68.0625
10.5625
27.5625
7.5625
Porcentaje contribución
32.6397
0.6816
6.8063
14.9288
0.0011
22.9293
19.2911
0.3937
0.0098
0.0883
0.2454
1.1876
0.18431
0.4809
0.1319
Table 3: Estimadores de los efectos de cada tratamiento, suma de cuadrados y
porcentaje de contribución
De la Tabla 3 se concluye que el factor B no afecta a la velocidad de filtrado de nuestro producto. Como estamos interesados en como afecta el factor
de la concentración de cierto quı́mico (C), entonces hacemos la siguiente tabla
ANOVA (Tabla 4). Encontramos que los tratamientos A, C, D y las interacciones AC y AD son importantes.
Ahora vamos a ver que pasa si hacemos solo la mitad de este diseño 24 .
2
BCD
–
–
+
+
+
+
–
–
+
+
–
–
–
–
+
+
ABCD
+
–
–
+
–
+
+
–
–
+
+
–
+
–
–
+
Tratamiento
A
C
D
AC
AD
CD
ACD
Error
Total
SC
1870.56
390.062
855.563
1314.06
1105.56
5.0625
10.5625
179.52
5730.94
g.l.
1
1
1
1
1
1
1
8
15
MC
1870.56
390.062
855.563
1314.06
1105.56
5.0625
10.5625
22.44
F
83.36
17.38
38.13
58.56
49.27
<1
<1
p-value
< 0.0001
< 0.0001
< 0.0001
< 0.0001
< 0.0001
Table 4: ANOVA
Entonces haremos un diseño 23 con I = ABCD, por lo tanto el factor D se
combierte en D=ID=ABC. Para empezar escribimos los datos del problema, de
la Tabla 2, elegimos los tratamientos que tienen un + en ABCD: (1), ad, bd,
ab, cd, ac, bc y abcd como aparece en la Tabla 5.
Experimento
1
2
3
4
5
6
7
8
A
+
+
+
+
B
+
+
+
+
Factor
C D=ABC
+
+
+
+
+
+
+
+
etiqueta
(1)
ad
bd
ab
cd
ac
bc
abcd
Velocidad filtrado
(gal/h)
45
100
45
65
75
60
80
96
Table 5: Datos para el 1/2 del factorial 24
Ahora vemos los aliases de cada uno de los tratamientos del diseño 24 : A=
BCD, B= ACD, C=ABD, D= ABC, AB= CD, AC = BD, AD= BC. Los grados
de libertad vienen dados en la Tabla 6.
Tratamientos
A, B, C, D
(interacciones de segundo orden)
Interacciones segundo orden
Total
g.l.
1 cada uno (4)
1 cada uno (3)
7
Table 6: Grados de libertad de los tratamientos
Usando las Tablas 2 y 5 podemos hallar el efecto de los tratamientos de este
diseño. Por ejemplo para el factor A y del factor BCD:
A = (−45 + 100 − 45 + 65 − 75 + 60 − 80 + 96)/(22 ) = 19
3
Igualmente el SCA serı́a:
SCA = (−45 + 100 − 45 + 65 − 75 + 60 − 80 + 96)2 /(23 ) = 722
SCT = 3071.5
La Tabla 7 muestra los efectos estimados y la suma de cuadrados de este
experimento. Como vimos anteriormente en el estudio del diseño factorial 24 el
efecto de A, C y D es importante en la velocidad de filtración. Igualmente, las
interacciones AC y AD son muy significativas. Mirando los valores de la Tabla
5 vemos que cuando la temperatura A tiene un nivel bajo entonces la concentración C tiene un gran efecto, esto explica la interacción AC. Si la temperatura
es baja entonces el efecto de D es casi cero. Sin embargo si la temperatura es
alta entonces D tiene un gran efecto positivo.
Basado en este análisis tomarı́amos el modelo:
c ij + (αγ)
ŷ = µ̂ + α̂i + β̂j + γ̂k + (αβ)
c ik
donde αi es el efecto de A, βj es el efecto de B y γk es el efecto de D.
AB no afecta en gran medida a la velocidad de filtración y por lo tanto
pondremos este tratamiento en el error, al igual que B. Por lo tanto la tabla
ANOVA aparece como en Tabla 8.
Tratamiento
A
B
C
D
AB
AC
AD
Efecto
19
1.50
14
15.60
-1
-18.50
19
Suma de cuadrados
722
4.5
392
544.5
2
684.5
722
Porcentaje efecto
23.5064
0.1465
12.7625
17.7275
0.06511
22.2855
23.5064
Table 7: Efecto de los tratamientos y suma de cuadrados
4
Alias
BCD
ACD
ABD
ABC
CD
BD
BC
Tratamiento
A
C
D
AC
AD
Error 6.5
Total
SC
722
392
544.5
684.5
722
2
3071.5
gl
1
1
1
1
1
3.25
7
MC
722
392
544.5
684.5
722
Table 8: ANOVA
5
F
222.1538
120.7692
167.5385
210.6154
222.1538
p-value
0.0044
0.0082
0.0059
0.0047
0.0044