Unidad_06b_sol4¼B_ESO

61
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 1
Página 146
PRACTICA
Semejanza de figuras
1 ¿Cuáles de estas figuras son semejantes? ¿Cuál es su razón de semejanza?
La primera y la cuarta son semejantes, porque todos los lados de la primera figura miden el doble de los de la segunda figura.
2 Copia en una hoja de papel cuadriculado estas dos figuras. Modifica la de la
derecha para que sean semejantes.
3 En un mapa cuya escala es 1:1 500 000, la distancia entre dos ciudades es
2,5 cm.
a) ¿Cuál es la distancia real entre ellas?
b) ¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia
real es 360 km?
a) Como la escala es 1:1 500 000, cada centímetro en el mapa corresponde a
1 500 000 cm en la realidad, que equivalen a 15 km.
2,5 cm en el mapa serán: 2,5 · 15 = 37,5 km en la realidad.
b) 36 000 000 = 24 cm
1 500 000
4 Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco de
2,5 cm de ancho. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? Responde razonadamente.
Unidad 6. Semejanza
61
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
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Pág. 2
El rectángulo exterior es de 14 cm de ancho
y 11 cm de alto.
Para que los rectángulos sean semejantes, los
lados correspondientes han de ser proporcionales: 6 ≠ 9 .
11 14
Ambos rectángulos no son proporcionales.
2,5 cm
2,5 cm
6 cm
9 cm
5 Hemos dividido en cuatro partes iguales el lado mayor del rectángulo
ABCD y en tres partes iguales el lado menor.
A
B
D
C
a) ¿Es semejante cada uno de los doce rectángulos obtenidos con el inicial?
b) Si dividimos los dos lados en tres partes iguales, ¿obtendríamos rectángulos semejantes?
a) No, porque los lados mayores están en la relación 1/4, y los menores, en 1/3.
b) En este caso sí. La razón de semejanza es 1/3.
6
a) Copia en tu cuaderno esta figura y redúcela a 1/3 de su tamaño tomando A
como punto de proyección.
C
B
D
b) Amplíala al doble tomando O como
punto de proyección.
O
A
a)
b)
C
B
D
O
C'
B'
C''
C
B''
D'
D''
B
D
O
A
A
A''
Unidad 6. Semejanza
61
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Pág. 3
7 En una oficina de venta de pisos han hecho este plano a escala 1/50.
B
A
SALÓN
COMEDOR
a) Calcula las dimensiones reales del salón y su área.
b) Halla las dimensiones de la mesa B y del sillón A. ¿Te parecen razonables? ¿Es posible que los vendedores hayan dibujado los muebles para dar
la sensación de que la habitación es más grande de lo que realmente es?
a) Cada centímetro del plano equivale a 0,5 m en la realidad.
Dimensiones del salón: (6 · 0,5 m) × (4 · 0,5 m) = 3 m × 2 m
Área del salón: 6 m 2
b) Mesa: (0,75 · 0,5 m) × (1,55 · 0,5 m) = 0,375 m × 0,775 m
Podemos considerar (por errores de medición) que la mesa mide:
0,4 m × 0,8 m, es decir, 40 cm × 80 cm.
Sillón A: (0,7 · 0,5 m) × (0,65 · 0,5 m) = 0,35 m × 0,325 m =
= 35 cm × 32,5 cm
Las medidas no son razonables en absoluto: un salón de 6 m 2 es una estancia
algo pequeña.
En una mesa de 40 cm × 80 cm no caben, se apoyen como se apoyen, seis
comensales y, para finalizar, en un sillón de estas medidas no hay quien se
siente.
Conclusión: el plano está hecho hábilmente para engañar al comprador.
Semejanza de triángulos
8 Dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes y su razón de semejanza es
2 /3. Calcula los lados del triángulo A'B'C' si sabemos que
AB = 12 m, BC = 9 m y AC = 7,5 m
Si son semejantes se cumple que:
—
—
A'B' = 2
B'C' = 2
—
—
3
3
AB
BC
Unidad 6. Semejanza
—
A'C' = 2
—
3
AC
61
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Pág. 4
—
A'B' = 2 → —
A'B' = 12 · 2 = 8 m
3
3
12
—
B'C' = 2 → —
B'C' = 9 · 2 = 6 m
3
3
9
—
A'C' = 2 → —
A'C' = 7,5 · 2 = 5 m
3
3
7,5
Página 147
9 En la figura adjunta, MN es paralelo a BC. Calcula AM y MN .
12 cm
N
6 cm
B
M
8,4
cm
A
4,8
cm
C
Los triángulos ANM y ABC están en posición de Tales.
—
—
—
CB = AB = AC
Tenemos, pues, las siguientes igualdades: —
—
—
MN
AN
AM
—
—
— 8,4 · 12
—
CB = AB → 8,4 = 12 + 6 → MN
=
= 5,6 → MN = 5,6 cm
—
—
—
12
18
MN
AN
MN
—
Llamamos x = AM:
— —
CB = MN →
8,4 = 5,6 → 8,4x = 5,6(4,8 + x) →
—
—
4,8
+x
x
AC AM
→ 8,4x – 5,6x = 26,88 → x = 26,88 = 9,6
2,8
—
Luego AM = 9,6 cm.
10 a) ¿Por qué son semejantes los triángulos APQ y ACB?
b) Calcula x = BQ .
A
5 cm
^
a) El ángulo A es común a los dos triángulos y los án^
^
^
^
gulos P y C son rectos, luego los ángulos Q y B
son iguales. Por lo tanto, ambos triángulos son semejantes.
—
—
AB
b) Por ser triángulos semejantes: AC
=
—
—
AQ
AP
Unidad 6. Semejanza
P 3 cm Q
7 cm
C
x
B
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Pág. 5
—
Calculamos AP aplicando el teorema de Pitágoras:
—
AP = √5 2 – 3 2 = √16 = 4 cm
— — —
—
AC = AP + PC = 4 + 7 → AC = 11 cm
—
—
AC = AB → 11 = 5 + x → 55 = 20 + 4x → x = 35 = 8,75
—
—
4
5
4
AQ
AP
x = 8,75 cm
11 Sabemos que: PA = 7 cm, PB = 13 cm, PC = 24 cm y PA' = 12 cm.
P
C
B
A
A'
Traza paralelas a AA' desde B y desde C y calcula A'B' y B'C' .
7 cm
P
12 cm
C
11 cm
B
A 6 cm
A'
B'
C'
—
—
PA = PA'
—
—
AB A'B'
—
—
AB = A'B'
— —
BC B'C'
—
—
→ A'B' = 6 · 12 = 10,28 → A'B' = 10,28 cm
7
12
→ 7 = —
6 A'B'
—
—
→ B'C' = 10,28 · 11 = 10,85 → B'C' = 18,85 cm
6
12 Observa esta figura, en la que el segmento AB es paralelo a CD.
a) Di por qué son semejantes los triángulos OAB y ODC.
b) Calcula x e y.
7,2
O
cm
m
5c
^
^
y
C
x
D
8,
B
^
m
6c
10,6 cm
A
^
^
^
^
a) Como AB//CD: A = D, B = C , O es común (O' = O'' ).
Los ángulos de ambos triángulos son iguales, luego los dos triángulos son semejantes.
Unidad 6. Semejanza
61
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
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Pág. 6
b) Ponemos los triángulos en posición de Tales:
—
—
AB = DC → 7,2 = x →
—
—
8,5 6
OB OC
O
y
D
→ x = 7,2 · 6 = 5,08 cm
8,5
—
—
AB = DC
—
—
OA OD
→
7,2 = 5,08 →
10,6
y
C
x
A
B
→ y = 5,08 · 10,6 = 7,48 cm
7,2
13 Estos dos triángulos tienen sus lados paralelos. ¿Cuánto miden los lados a y b?
b
3m
7m
18 m
9m
a
Como los lados respectivos son paralelos:
^
^
^
^
^
^
A = A ', B = B ', C = C '
y los triángulos son semejantes.
— —
BC = B'C' → a = 9 → a = 9 · 7 = 21 m → a = 21 m
—
—
7 3
3
AB A'B'
— —
BC = B'C' → 21 = 9 → b = 18 · 9 = 7,71 m → b = 7,71 m
—
—
18 b
21
AC A'C'
14 En un triángulo ABC, la base AB mide 5,7 m y la altura relativa a esa base
mide 9,5 m. ¿Cuánto mide el área de otro triángulo semejante a ABC en el
que A'B' = 4,14 m?
—
AB
Como son semejantes: — = h → 5,7 = 9,5 → h' = 9,5 · 4,14 = 6,9 m
4,14
h'
5,7
A'B' h'
La altura mide 6,9 m.
Por tanto, el área pedida es: A = 6,9 · 4,14 = 14,283 m 2
2
15 Si BD es paralelo a AE, y AC = 15 cm, CE = 11 cm,
A
BD = 6,4 cm:
37°
a) Calcula CD .
B
b) ¿Podemos saber cuánto vale AE sin medirlo directamente?
∧
∧
∧ ∧
∧
c) Si A = 37° y C = 80°, calcula E, B y D.
Unidad 6. Semejanza
E
80°
D
C
61
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
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Pág. 7
Los triángulos ACE y BCD son semejantes, luego:
—
—
—
— 11 · 6,4
CD
11 BD → CD
a) CE
=
= 4,7 cm
— = — → 15 =
15
AC
BC
6,4
b) No se puede.
^
^
c) A = 37°, C = 80°
^
E = 180° – 37° – 80° = 63°
^
^
^
^
B = A = 37°
D = E = 63°
16 Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 13,6 cm, respectivamente. Si el área del primero es 26 cm2. ¿Cuál es el área del segundo?
Si la razón de semejanza entre dos triángulos es k, la razón entre sus áreas es k 2.
( )
Razón entre áreas = 13,6
8
2
= (1,7) 2 = 2,89
Aprimero = 26 cm 2 → A' = 2,89 → A' = 2,89 · 26 = 75,14 cm 2
26
El área del segundo triángulo mide 75,14 cm 2.
17 Di cuál es la relación entre los radios de dos círculos si la razón entre sus áreas es 16/9.
A = 16 → R =
A'
9
r
√
16 4
=
3
9
Te o r e m a d e l c a t e t o y d e l a a l t u r a
En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos se ha trazado la altura
BH sobre la hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos x e y.
18 Por el teorema del cateto:
— —
y 2 = AC · HC → y 2 = (2,1 + 7,8) · 7,8 =
= 77,22 → y = √77,22 ≈ 8,79
— —
x 2 = AC · AH → x 2 = (2,1 + 7,8) · 2,1 =
= 20,79 → x = √20,79 ≈ 4,56
B
y
x
A
2,1
H
7,8
C
19 Por el teorema del cateto:
B
2
= 4,8 · x → x = 3,2 = 2,13 → x ≈ 2,13
4,8
z = 4,8 – 2,13 = 2,67
3,2 2
Por el teorema de la altura:
y 2 = x · z → y = √2,13 · 2,67 ≈ √5,68 → y ≈ 2,38
Unidad 6. Semejanza
3,2
A
x
y
H
z
4,8
C
61
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 8
Página 148
20 Por el teorema de la altura:
B
12 2 = x · 9 → x = 144 = 16 → x = 16
9
y
Por el teorema del cateto:
A
12
x
H
9
C
y 2 = (x + 9) · x = x 2 + 9x = 256 + 144 = 400 → y = 20
P I E N S A Y R E S U E LV E
21 Dibuja en tu cuaderno dos semirrectas r y s con el mismo origen P. Señala
en r tres puntos A, B y C tales que PA = 4 cm, PB = 7 cm y PC = 14 cm.
Señala en s un punto A' tal que PA' = 5 cm. Traza la recta AA' y las paralelas a ella desde B y desde C. (Cortan a s en B' y C' , respectivamente).
Calcula A'B' y B'C' .
4 cm
P
5 cm
A 3 cm
7 cm
B
C
A'
B'
C'
—
—
PA
AB
— = —
PA' A'B'
—
—
PA = BC
—
—
P'A' B'C'
3
→ 4 = —
5 A'B'
—
→ A'B' = 3,75 cm
7
→ 4 =—
5 B'C'
—
→ B'C' = 8,75 cm
22 En dos paralelogramos ABCD y EFGH conocemos AB = 12 cm, BC = 9 cm,
EF = 24 cm y FG = 18 cm. Estudia si son semejantes.
— —
— —
12 cm
A
AB = CD y AD = BC
— —
— —
EF = HG y FG = EH
por ser paralelogramos los lados están en la proporción 1/2:
—
—
AB = BC = 1
—
—
2
EF
FG
Pero no podemos asegurar que los ángulos correspondientes sean iguales.
No tienen por qué ser semejantes.
Unidad 6. Semejanza
D
B
9 cm
C
E
24 cm
F
18 cm
H
G
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
61
Pág. 9
23 El perímetro de un triángulo isósceles es 64 m y el lado desigual mide 14 m.
Calcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m.
P = a + 2b = 64 → 14 + 2b = 64 → b = 25 m
Como los triángulos son semejantes: a' = 14 → a' = 14b'
b' 25
25
P' = a' + 2b' = 96; P' = 14b' + 2b' = 96
25
b
14b' + 50b' = 2 400 → b' = 37,5 m → a' = 21 m
h' = √37,5 2 – (21/2) 2 = 36 m
b
b'
b'
a = 14 m
Área = 21 · 36 = 378 m 2
2
a'
24 Dos triángulos ABC y PQR son semejantes. Los lados del primero miden
24 m, 28 m y 34 m. Calcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 129 m.
P = 24 + 28 + 34 = 86 m; P' = 129 m
86 = 24 = 28 = 34
129 a'
b'
c'
a' = 36 m, b' = 42 m, c' = 51 m
25 Las áreas de dos triángulos isósceles semejantes son 48 m2 y 108 m2. Si el lado desigual del primer triángulo es 12 m, ¿cuál es el perímetro del segundo?
Si la razón de semejanza entre los lados de un triángulo es k, la razón entre sus
áreas es k 2.
k 2 = 108 = 2,25 → k = 1,5
48
b' = 12 · 1,5 = 18 m
a
h
c
b = 12 m
b · h = 12 · 2 · h = 48 → h = 8 m
2
2
a'
c'
h'
h' = 1,5 · 8 = 12 m
a' =
√
()
b'
(h') 2 + —
2
2
b'
= √144 + 81 = 15 m = c'
P' = a' + b' + c' = 30 m + 18 m = 48 m
26
( E S T Á R E S U E LTO E N E L L I B RO ) .
Unidad 6. Semejanza
61
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 10
27 En el triángulo ABC, rectángulo en A, co-
A
P
nocemos AH = 18 cm y HB = 32 cm.
a) Calcula CH en el triángulo ABC. Obtén después CB .
B
H
C
b) Con el teorema de Pitágoras, obtén AC en el triángulo AHC y AB en
el triágulo AHB.
c) Aplica el teorema del cateto en el triángulo rectángulo AHB para obtener
AP .
d) Halla el área y el perímetro del trapecio rectángulo APHC.
a) Por el teorema de la altura:
— —
—
—
—
AH 2 = CH · HB → 18 2 = CH · 32 → CH = 10,125 cm
— — —
—
CB = CH + HB = 32 + 10,125 → CB = 42,125 cm
—
—
—
b)AC 2 = AH 2 + CH 2 →
—
→ AC = √18 2 + 10,125 2 →
—
→ AC ≈ 20,65 cm
—
—
AB = √18 2 + 322 → AB ≈ 36,71 cm
A
P
18 cm
H
— —
— —2
—
18 2
c) AH 2 = AB · AP → AP = AH
— = 36,71 ≈ 8,83 cm
AB
—
—
— —
d) HP = √HA 2 – PA 2 = √18 2 – 8,832 → HP ≈ 15,69 cm
— — — —
Perímetro (APHC) = CH + HP + PA + AC = 55,295 cm
— — —
C
Área (APHC) = PH + AC · AP =
2
= 15,69 + 20,65 · 8,83 ≈ 160,44 cm 2
2
B
32 cm
H
A
P
28 ¿Cuál es la altura de una casa que proyecta una sombra de 68 m, al mismo
tiempo que una persona de 1,65 m de altura proyecta una sombra de 2 m?
68 = 2
h
1,65
h
1,65 m
2m
68 m
Unidad 6. Semejanza
→ h = 56,1 m
La casa tiene una altura de 56,1 m.
61
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 11
29 Para calcular la altura de un
árbol, Eduardo ve la copa reflejada en un charco y toma
las medidas que indica el dibujo. ¿Cuál es la altura del
árbol?
D
Ambos triángulos son semejantes:
—
— 4 · 1,62
CD = 4 → CD
=
= 5,4
—
1,2
1,2
AB
B
1,2 m
1,62 m
La altura del árbol es de 5,4 m.
A
O
C
4m
Página 149
←→
30 Para medir la altura de la casa,
Álvaro, de 165 cm de altura, se
situó a 1,5 m de la verja y tomó
las medidas indicadas. ¿Cuánto
mide la casa?
a = 3,5 – 1,65 = 1,85 m
←→
h
a
25,5 + 1,5 = h
→
1,5
1,85
→ h = 27 · 1,85 = 33,3 m
1,5
La altura de la casa es: 33,3 + 1,65 = 34,95 m
31 Dibuja un triángulo y, desde cada vértice, traza una recta paralela al lado
opuesto. Así obtendrás un nuevo triángulo más grande.
a) Justifica por qué es semejante al inicial.
b) ¿Cuál es la razón entre las áreas?
a) Como a//a' y b//b', entonces α = α'.
Como b//b' y c//c', entonces β = β'.
b'
γ'
c
Por tanto, γ = γ'.
Los tres ángulos del triángulo grande
son iguales a los respectivos del triángulo pequeño. Ambos triángulos son
semejantes.
α
β
a'
a
γ
b
α'
b) Si la razón entre los lados es k, la razón entre las áreas es k 2.
Unidad 6. Semejanza
β'
c'
61
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 12
32 ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,5 m y alejándote 0,5
m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?
1,7 m
1,5 m C
←
→
←→
→ h = 1,7 · 1,5 = 5,1 m
0,5
←→
E
Los triángulos ABC y CDE son semejantes.
—
—
AB = CD → 1,5 = 0,5 →
—
—
h
1,7
BC
DE
D
0,5 m
h
La profundidad del pozo es 5,1 m
A
B
33 Si una plancha cuadrada de plástico de 3 m de lado pesa 12 kg, ¿cuánto pesará
otra plancha, de igual material y grosor, de 2 m de lado?
Razón de semejanza: 2
3
2m
3m
2m
→ Razón entre áreas: 4
9
4 · 12 kg ≈ 5,3 kg pesa la plancha de 2 m de lado.
9
3m
34 Las diagonales de un rombo miden 12 cm y 16 cm. Halla el área de otro
rombo semejante al primero, cuyo perímetro sea igual a 1 m.
a = √6 2 + 8 2 = √100 = 10 cm
P = 40 cm 
40 = 0,4
 Razón =
P' = 100 cm 
100
6
A = D · d = 192 = 96 cm 2
2
2
Razón entre áreas = (0,4) 2 = 0,16
96 = 0,16 → A' = 96 = 600 cm 2
A'
0,16
35 Esta figura representa, a escala 1:3 500, una parcela de terreno. Calcula su perímetro y su área, tomando las medidas necesarias.
Unidad 6. Semejanza
a
8
12 cm
16 cm
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
61
Pág. 13
Tomamos las medidas sobre el plano de la parcela:
—
AB
—
BC
—
MEDIDA EN EL PLANO
MEDIDA REAL
3,9 cm
3,4 cm
3,1 cm
2,6 cm
136,5 m
119 m
108,5 m
91 m
AC
h
B
3,9 cm
c
2,6
A
m
Perímetro = 364 m
—
Área = AB · h = 6 210,75 m 2
2
3,4 cm
3,1 cm
C
PROFUNDIZA
36 Las diagonales de un rombo miden: AC = 32 cm y BD = 24 cm. Por un
punto P de la diagonal menor, tal que PD = 6 cm, se traza una paralela a la
diagonal AC que corta en M y N a los lados AD y CD. Calcula el área y
el perímetro del pentágono MABCN.
Calculamos el área del triángulo MND:
—
AD = √16 2 + 12 2 = 20 cm
—
—
— 16 · 6
OD = PD → 12 = 6 → PM
=
=8
—
—
—
16 PM
12
OA PM
A
M
B
O
El área del triángulo MND es el doble del triángulo PMD:
P 6 D 32 cm
N
C
24 cm
A = 2 · 6 · 8 = 48 cm 2
2
— —
El área del rombo es: AR = BD · AC = 24 · 32 = 384 cm 2
2
2
El área del pentágono MABCN es: AP = AR – A = 384 – 48 = 336 cm 2
— —
—
Calculamos AM: MD = √6 2 + 8 2 = 10 → AM = 20 – 10 = 10 cm
El perímetro es: P = 20 + 20 + 10 + 10 + 8 + 8 = 76 cm
37 En un trapecio rectángulo la diagonal menor es perpendicular al lado oblicuo, la altura mide 12 cm y la diferencia entre las bases es de 9 cm. Calcula el
perímetro y el área del trapecio.
x
Calculamos x por el teorema de la altura:
12 2
= x · 9 → x = 144 = 16 cm
9
Unidad 6. Semejanza
12
a
12 cm
x
9
61
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 14
Calculamos a por el teorema del cateto:
a 2 = (16 + 9) · 9 = 25 · 9 → a = √225 = 15 cm
El perímetro es: P = 12 + 25 + 15 + 16 = 68 cm
El área es: A = 25 + 16 · 12 = 246 cm 2
2
38 Los lados del triángulo ABC miden AC = AB = 35 cm, CB = 42 cm. Desde
un punto M de AB se traza una paralela a AC, que corta al lado BC en un
punto N. ¿Cuál debe ser la longitud de BM para que el área del triángulo
MBN sea 1/4 de la del triángulo ABC ?
A
Para que la razón entre las áreas sea 1 ,
4
la razón entre los lados debe ser 1 .
2
—
—
AB = 35 cm → BM = 35 = 17,5 cm
2
35 cm
35 cm
M
N
42 cm
C
B
39 Queremos calcular la distancia que hay desde un
punto A de la playa a una piedra P que se ve a
lo lejos. Para ello, trazamos una recta r que pase por
A y una paralela a ella, s. Desde A observamos P
en una línea que corta en B a s. Desde otro punto
C de r, hacemos lo mismo y obtenemos D. Medimos: AB = 7,5 m, AC = 59 m, BD = 57,5 m.
P
P
D
C
s
r
B
A
¿Cuál es la distancia de A a P?
s
r
C
D
57,5 m 59 m
P
x – 7,5
x
Tenemos dos triángulos en posición de Tales:
—
—
AC = AP → 59 = x
→ 59x – 442,5 = 57,5x →
—
—
57,5 x – 7,5
BD
BP
→ 1,5x = 442,5 → x = 442,5 = 295 m
1,5
La distancia de A a P es 295 m.
Unidad 6. Semejanza
B 7,5 m
A
61
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 15
40 Si DF = 4 cm, ¿cuál es el área y el perímetro del trapecio EFAC?
E
C
24 cm
B
4 cm
10 cm
D
F
A
Por semejanza de triángulos:
—
—
BC = DF → 10 = 4
—
—
—
24 DE
AB
DE
—
→ DE = 24 · 4 = 9,6 cm
10
— —
El área del triángulo ABC es: A1 = AB · BC = 24 · 10 = 120 cm 2
2
2
— —
FD
· DE = 4 · 9,6 = 19,2 cm 2
El área del triángulo FDE es: A2 =
2
2
— —
El área del rectángulo es: AR = AB · BC = 240 cm 2
El área del trapecio es: A = AR – A1 – A2 = 240 – 120 – 19,2 = 100,8 cm 2
Calculamos la longitud de los lados del trapecio:
—
— —
FE = √FD 2 + DE 2 = √4 2 + 9,6 2 = 10,4 cm
—
AC = √24 2 + 10 2 = 26 cm
—
FA = 10 – 4 = 6 cm
—
EC = 24 – 9,6 = 14,4 cm
El perímetro del trapecio es P = 10,4 + 26 + 6 + 14,4 = 56,8 cm.
41 a) ¿Son semejantes dos ortoedros de dimensiones 25 × 15 × 35 y 35 × 21 × 49?
b) Halla la razón de semejanza entre sus aristas.
c) ¿Cuál es la razón entre sus volúmenes? ¿Qué relación tiene con la razón de
las aristas?
a) Para que sean semejantes, los lados respectivos han de ser proporcionales:
—
B'C' = 25 = 5
—
35 7
BC
—
C'D' = 15 = 5
—
21 7
CD
—
E'D' = 35 = 5
—
49 7
ED
Unidad 6. Semejanza




 La relación de proporcionalidad es la misma en los

 tres cocientes. Los dos ortoedros son semejantes.






61
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 16
A
E
B
A
49 cm
E'
35 cm
A'
D
D'
B'
21 cm
15 cm
25 cm
B
C'
35 cm
b) r = 5
7
c) El volumen del ortoedro A es:
VA = 25 · 15 · 35 = 13 125 cm 3
El volumen del ortoedro B es:
VB = 35 · 21 · 49 = 36 015 cm 3
La razón entre los volúmenes es:
V
rV = A = 13 125 = 125
VB
36 015 343
()
Tenemos que r = 5 y rV = 125 = 5
7
343
7
Luego: rV = r 3
Unidad 6. Semejanza
3
C