Análisis de potencia en circuitos de corriente alterna

Análisis de potencia en circuitos de corriente alterna
Objetivos
Comprender y familiarizarse con los conceptos y fórmulas de los distintos tipos de potencia, o
conjunto de magnitudes que caracterizan a la transferencia de energía en corriente alterna,
ejemplificando su aplicación mediante la metodología del texto y de este material.
Sumario
a) Potencia instantánea.
b) Potencia activa. Potencia aparente. Potencia reactiva. Factor de potencia.
c) Triángulo de potencia.
d) Potencia aparente compleja. Principio de conservación de las potencias.
e) Máxima transferencia de potencia
f) Mejoramiento del factor de potencia
Bibliografía básica:
Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería”
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición
Capítulo 11. Epígrafes 11.1, 11.2, 11.3, 11.5 y 11.6
Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón
Fandiño y Lic. Raúl Lorenzo Llanes.
Introducción
Un aspecto esencial en todo fenómeno físico es la transferencia de energía, cuya importancia
viene determinada en la práctica por razones técnico-económicas. Así, por ejemplo, el
ingeniero está interesado, al diseñar un dispositivo o sistema en que éste opere con eficiencia
óptima, lo cual determina ahorro de energía eléctrica consumida y a la vez, implicará ahorro
de combustible en las plantas generadoras y por tanto ahorro de dinero.
Para poder realizar un análisis de ese tipo, es necesario conocer aquellas
magnitudes que caracterizan la transferencia de potencia en corriente
alterna, tema que se comienza a estudiar en esta actividad y que forma
parte de los conocimientos esenciales de un ingeniero eléctrico.
Un sistema eléctrico de potencia consiste de las siguientes componentes principales: las
plantas generadoras, las líneas de transmisión y de distribución y los consumidores de la
energía eléctrica. En la ingeniería eléctrica de potencia, los procesos energéticos son
generalmente descritos en términos de potencia
a) Potencia instantánea.
La potencia instantánea en un dipolo o potencia en función del tiempo, es la rapidez de
realización de trabajo en la unidad de tiempo y viene dada por el producto de los valores
instantáneos de la tensión y de la corriente: p = v i = v (t) i (t).
Para un dipolo arbitrario P, sea v(t) = Vm cos (ωt + θ ) (V) e i(t) = Im cos (ωt+ Ф) (A).
Tomando ϕ = θ – Ф, la potencia instantánea será:
p = v(t) i(t) = Vm Im cos (ωt + θ ) cos (ωt+ Ф ) y realizando operaciones algebraicas se tiene:
1 p = {Vm Im / 2}{ cos ϕ + cos (2ωt + θ + Ф )} = Vm/√2 Im/√2 { cos ϕ +cos (2ωt + θ + Ф )} la cual en
función de valores eficaces queda como p = VI cos ϕ + VI cos (2ωt + θ + Ф)
Resumiendo: en un dipolo arbitrario, la potencia instantánea tiene dos términos aditivos: un
término constante, no dependiente del tiempo VI cos ϕ y otro sinusoidal VI cos (2 ωt+ θ + Ф)
con frecuencia doble 2 ω.
b) Potencia activa. Potencia aparente. Potencia reactiva. Factor de potencia.
Potencia activa. La potencia activa se define como el valor medio de la potencia instantánea
(average power).
En un período se calcula mediante la expresión:
t2
P = ∫ p(t )dt
t1
Teniendo en cuenta que el valor promedio de una sinusoide es cero, entonces queda la
integral de una constante y la potencia media resulta: P = V I cos ϕ siendo V e I valores
eficaces modulares. En el SI: Unidad: p = watt (W). Otras usadas son MW (megawatt), mW
(miliwatt), GW (gigawatt). Se mide con wattímetros.
En el caso de: resistor puro: PR = VI = I2 R
Inductor puro ϕ = 900 Æ PL = 0; Capacitor puro ϕ = - 900 Æ PC = 0
En estos casos (inductor puro L y capacitor puro C), como la potencia instantánea son
sinusoides de valor medio cero, estos elementos reactivos, no consumen potencia activa y en
ellos la potencia oscila entre el elemento y el resto del circuito manteniéndose en cero el valor
medio de potencia.
La potencia activa la consume el resistor P=PR, el cual puede representar a una resistencia
eléctrica de un calentador, un filamento de bombillo, un motor, etc. La potencia activa es una
medida de la energía entregada al circuito que se transforma en trabajo mecánico, en calor,
luz, etc.
Potencia aparente. Los instrumentos miden los módulos de los fasores corriente y tensión
eficaces. Para un dipolo el producto de estos valores define la llamada potencia aparente S:
S=VI que es el valor máximo que puede tener la potencia activa para un par de valores dados
de V e I.
Unidad: volt-ampere (VA) y dimensionalmente: 1VA =1W
La potencia aparente permite describir mejor el proceso de generación de energía eléctrica
Potencia reactiva. Para caracterizar adecuadamente a la potencia asociada con el flujo y
reflujo de energía entre los elementos almacenadores (inductores y capacitores) y el resto del
circuito, se introduce la potencia reactiva Q que se expresa matemáticamente por Q = VI senϕ
Unidad: volt-ampere reactivo (var) y dimensionalmente: 1var =1W
Si el dipolo es predominantemente: Inductivo sen ϕ > y Q > 0; Capacitivo sen ϕ < 0 y Q < 0
Si es resistivo puro sen ϕ = 0 y Q = 0, o sea, el resistor no almacena energía y por tanto no
presenta flujo y reflujo de potencia, y su potencia reactiva es nula.
Para el capacitor y el inductor: QL = Ι2 XL y QC = - Ι2 XC
Factor de potencia. El factor de potencia (power factor) es un número que determina la
fracción de la potencia aparente que se utiliza como potencia activa.
Se define: fp = P/S (adimensional) y sustituyendo P y S queda: fp = V I cosϕ / VI = cos ϕ
2 En resumen:fp = cos ϕ y por tanto 0 ≤ fp ≤ 1
INVALIDANTE: fp FUERA DE ESTE RANGO
Para cargas reactivas puras (ϕ = ± 900) el factor de potencia es nulo: fp = 0
Para un dipolo predominantemente inductivo: 00 ≤ ϕ ≤ 900 factor de potencia inductivo o en
atraso (lagging)
Para un dipolo predominantemente capacitivo: -900 ≤ ϕ ≤ 00 factor de potencia capacitivo o en
adelanto (leading)
Para un dipolo resistivo puro: ϕ = 00 factor de potencia unitario: fp =1
El factor de potencia es un indicador de gran importancia práctica. Supongamos que una
carga demanda una potencia activa de 10 kW con una tensión eficaz de 200V.
Si fp = 1
entonces
I = 50A
Si fp = 0,5
entonces
I = 100A
Esto significa que si el consumidor demanda la misma potencia activa con menor fp, entonces
la corriente en los terminales de sus líneas será mayor, lo cual implica mayor gasto
energético, si se mantienen las características de los conductores. Si se aumenta el calibre
de los cables para soportar mejor las mayores corrientes entonces aumenta el peso de los
conductores y gastos de la instalación.
De aquí la necesidad de operar con fp altos.
c) Triángulo de potencia.
A partir de las relaciones trigonométricas podemos obtener:
P = S cos ϕ
Q = S sin ϕ
S2 = P2 + Q2
ϕ = tan-1 (Q/P)
ϕ = cos-1 (P/S)
ϕ = sin-1 (Q/S)
Una manera sencilla de recordar estas fórmulas es mediante el triángulo de
potencia. Se representa un triángulo de potencia para un circuito
predominantemente inductivo ϕ >0 y por tanto Q > 0.
d) Potencia aparente compleja. Principio de conservación de las potencias.
Se define como: S = V I*. Tomando V = V ∠ θ e I = I ∠ Ф (en formas polares), entonces
S = V I* = (V ∠ θ) I ∠ − Ф = VI ∠ θ - Ф = VI ∠ ϕ = S ∠ ϕ (VA) potencia aparente compleja.
De S =S ∠ ϕ en forma polar, su módulo S es la potencia aparente y su
argumento ϕ el ángulo de impedancia.
Pasando de polar a binómica: S=S∠ ϕ= S (cos ϕ + j sin ϕ) = P + j Q, entonces
queda definido el conjunto de magnitudes que caracterizan a la transferencia de
energía en corriente alterna: P, Q, S, S, fp.
Principio de conservación de las potencias
Si tenemos dos cargas que demandan potencia del generador, ¿cómo se distribuye la
potencia en cada una?
En el caso particular de una conexión paralelo de las cargas, la tensión es común y la
corriente cumple LKC: I = I 1 + I 2
3 ST =V I* = V ( I 1 + I 2) * = S 1 + S 2
como S 1 = P1 + j Q1
S 2 = P2 + j Q2
ST = P1 + j Q1 + P2 + j Q2 = P1 + P2 + j (Q1 + Q2 )
ST = PT + j QT
Resumiendo: las potencias activa, reactiva y aparente compleja cumplen el principio de
conservación:
PT = P1 + P2 , QT = Q1 + Q2 y ST = S1 + S2 son aditivas
Estos resultados se pueden generalizar para más cargas y otras conexiones (serie, serie
paralelo etc.), y permiten el trabajo con potencias, que es lo que se hace en la práctica, de
manera más sencilla que fasorialmente.
La potencia aparente, que es el módulo de la potencia aparente compleja, no cumple el
principio de conservación: ST ≠ S1 + S2
Generalizando: ST = ∑ Sk , PT = ∑ Pk , QT = ∑ Qk ,
ST ≠ ∑Sk
Conclusiones
Si V = 100 ∠300, calcule la potencia aparente compleja, la potencia activa, reactiva, aparente,
factor de potencia y dibuje el triángulo de potencia.
Solución:
Calculando el fasor corriente eficaz:
I = 100∠300 / 4 + j3 = 20 ∠−6,870 A
El ángulo de impedancia es: ϕ = 300 − (−6,87) = 36,870
Para la combinación R, L, C, vista como un dipolo desde los terminales de la fuente:
S = V I* = (100 ∠300) (20 ∠+6,870) = 2000∠36,870 VA
De aquí se tiene que S= 2000 VA y fp = cos 36,870
Como en forma binómica S = S cosϕ+ j S sen ϕ = P + j Q
De donde P = 1600 W y Q = 1200 var.
Con estos valores se puede hacer el triángulo de potencia.
Otra forma de calcular los valores de potencias sería:
P = VI cosϕ = 100 ⋅ 20 cos 36,870 = 100 ⋅ 20⋅ 0,8 = 1600W
Puede calcularse también como: P = I2 R = (20)2 4= 1600 W
Para el capacitor y el inductor:
PC = VC IC cos ϕC = Ι2 XC cos (-900)= 0 y PL = VL IL cos ϕL = Ι2 XL cos (+900)= 0
PC = PL = 0 W los elementos reactivos puros no consumen potencia activa
La potencia activa la consume el resistor el cual puede representar a una resistencia eléctrica
de un calentador, filamento de bombillo o un motor, etc. La potencia activa es una medida de
la energía que se entrega a un circuito y se convierte o transforma en energía mecánica o
trabajo mecánico, en calor, luz, etc.
También QL = Ι2 XL = 2400 var, QC = −Ι2 XC = - 1200 var, y se comprueba la Q total.
¿Qué habría que hacer para mejorar el factor de potencia de la carga a 0.96 en atraso, sin
afectar la impedancia de la carga y manteniendo la tensión entre sus terminales invariable?
El mejoramiento del factor de potencia en esta
especialidad se enfoca a partir del triángulo de
potencia. También se le llama compensación del
reactivo.
4 Partiendo de ϕ! = cos-1(0.96) = 16.30o, el valor de la potencia reactiva en el circuito una vez
mejorado el factor de potencia será Q! = S tan (16.3o) = 200.1 var y aplicando el principio de
conservación de las potencias reactivas, se tiene la potencia reactiva que consumirá el banco
de capacitores para mejorar el factor de potencia: QC=(Q! - Q)= 200.1–1200= - 999.9 var.
Nota: En el gráfico en lugar de líneas de puntos debería estar una flecha dirigida hacia abajo
representando el triángulo de potencia de QC.
Orientaciones para el trabajo independiente
Estudiar la bibliografía señalada. Capítulo 11. Epígrafes: 11.1 (leer),
11.2 (puntualice en el concepto de potencia instantánea y no en el ejemplo de la Figura 11.1
que se refiere a una función escalón y en la potencia debida a una función sinusoidal que es
lo que se está estudiando. Todo está bien resumido, las fórmulas obtenidas son válidas para
cualquier dipolo así como las conclusiones a las que arriba).
11.3 (Estudiar lo relativo a la definición de potencia promedio que es una definición conocida
de matemática y de la potencia promedio o activa, en el estado sinusoidal permanente o de
estado estable, la potencia promedio absorbida por un resistor lineal y por los elementos
puramente reactivos. Realiza la deducción del Teorema de la máxima transferencia de
potencia del cual solamente nos interesa conocer el resultado final que aparece en un cuadro
en la página 387, pudiendo observarse que se vincula con el Teorema de Thévenin).
11.5 (potencia aparente y factor de potencia) y
11.6 (potencia compleja que es donde aparece el triángulo de potencia, Figura 11.16, y la
potencia reactiva. El texto no separa componente activa y reactiva de tensión y corriente y es
en este Epígrafe 11.6 “potencia compleja”, que habla del triángulo de corrientes en la Figura
11.17). En la aplicación práctica trata el mejoramiento del factor de potencia. ¿Se hace lo
mismo en Cuba? En lo que llama “Medición de potencia” en la página 400, menciona el
principio de conservación a partir de 2 cargas en paralelo igual que se propone hacer en
clases. Ejemplos: 11.3 (observe que el fasor corriente es amplitud y por tanto se emplea la fórmula
12. Hay que tener mucho cuidado en lo que plantea el texto: estás fórmulas son aplicables
SOLAMENTE SI LA TENSIÓN ES EN LOS TERMINALES DEL RESISTOR),
11,4 (aplica mallas y calcula potencias), 11.5 (máxima transferencia de potencia)
Prácticas: 11.3, 11.4 (similar al ejemplo 11.4), 11.5 (máxima transferencia)
Tarea 12.
Se continuará ejercitando el cálculo de magnitudes en circuitos de corriente alterna,
incluyendo el cálculo de las potencias, mediante el uso del triángulo de potencia y el
mejoramiento del factor de potencia. En la aplicación práctica el texto trata el mejoramiento del
factor de potencia. ¿Se hace lo mismo en Cuba?
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
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