Unidad3- Trigonom2-UTN

FRT - UTN
MATEMATICA - Trigonometría
APLICACIÓN DE TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Otro de los conceptos que aplicamos para dar solución a las situaciones planteadas
es el de ÁNGULO DE ELEVACIÓN Y ÁNGULO DE DEPRESIÓN
Línea Visual
α
Línea Horizontal
Ángulo de Elevación
Es el ángulo α que forma la línea visual, que “sale” del ojo de un observador, que
mira hacia arriba, y la línea horizontal correspondiente.
Línea Horizontal
β
Línea Visual
Ángulo de Depresión
Es el ángulo β que forma la línea visual, que sale del ojo de un observador que
mira hacia abajo, y la línea horizontal.
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MATEMATICA - Trigonometría
Resolución de Triángulos Rectángulos
Situación Problemática
Un hombre de 1,80m de altura, ubicado a 15 m de un árbol quiere conocer su
altura. El ángulo de elevación al extremo superior del árbol es 20º. Determine la
altura del árbol.
Conocemos (datos)
-
el ángulo de elevación α= 20º
-
la distancia desde el hombre al árbol D = 15m
-
la altura de la persona A=1,8m
Se pide (incógnitas)
- la altura del árbol (H)
DESARROLLO
1º construimos una figura de análisis:
N
x
α
M
P
H
1,8 m
d
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MATEMATICA - Trigonometría
Planteamos la expresión que permitirá determinar lo desconocido (H):
H = x + 1,80
(1)
En (1) desconocemos “x” que es el cateto opuesto al ángulo α (dato) del triángulo
rectángulo MNP. Por otra parte conocemos D que es el cateto adyacente del
triángulo.
La razón trigonométrica del ángulo α que relaciona ambos catetos es:
tg 20º =
x
→ x = 15 . tg 20º = 15. 0,36
15
x = 5,40m
Reemplazando (2) en (1):
(2)
H= 5,40m + 1,80 m = 7,20m
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MATEMATICA - Trigonometría
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA
Considerando un sistema de ejes cartesianos, es posible representar cada una de las
razones trigonométricas por medio de segmentos. Para ello se considera una
circunferencia de radio unidad centrado en el origen de coordenadas, llamada
“circunferencia trigonométrica”. En ella podremos analizar que sucede con los
valores de las razones trigonométricas cuando el valor del ángulo esta comprendido
entre 0º y 360º( 0 a 2 π rad)
De este modo podremos resolver situaciones problemáticas que son modelizadas por
triángulos oblicuos
Considere un ángulo, θ , con vértice en el origen de coordenadas, el lado fijo sobre
el eje de las abscisas y el lado móvil en el primer cuadrante.
Sea P(x,y) un punto sobre la circunferencia
determinado por la intersección del lado móvil
del ángulo con la circunferencia.
P(x,y)
La proyección del punto P sobre el eje x,
1
determina el punto Q. El triángulo POQ es un
θ
0
y
x
Q(x,0)
triángulo rectángulo con catetos de longitudes
x e y.
Por la definición se tiene que:
sen θ =
cateto opuesto
hipotenusa
=
PQ
OP
y
=y
1
=
⇒
y = sen θ
El valor de senθ está representado por la ordenada del punto P
cos θ =
cateto adyacente
hipotenusa
=
OQ
OP
=
x
= x → x = cos θ
1
El valor de cos θ está representado por la abscisa del punto P
tg θ =
cateto opuesto
cateto adyacente
=
PQ
OQ
=
y
x
→ tg θ =
y
x
con x ≠ 0
El valor de tgθ es el cociente entre la ordenada y la abscisa de P
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•
MATEMATICA - Trigonometría
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Los signos de las razones trigonométricas tienen que ver con las abscisas y ordenadas
del punto P, y estas coordenadas tendrán distintos signos según en que cuadrante
esté ubicado P.
Cuadrante
“x” “y”
P
y
Seno y
cosec.
Coseno y
sec.
Tangente/cotg.
x⟩0 ; y⟩0
+
+
+
x⟨0 ; y⟩0
+
-
-
-
-
+
-
+
-
x
a
P
y
x
x⟨0 ; y⟨0
x
y
P
x⟩0 ; y⟨0
x
y
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MATEMATICA - Trigonometría
Ejemplo
Determine el cuadrante en que se encuentra el ángulo α en cada uno de los
siguientes casos:
a)
sen α < 0
y
cos α > 0
b)
tg α < 0
y
cos α < 0
c)
sec α < 0
y
cosec < 0
Respuestas:
a) α ∈ 4º cuadrante
•
b) α ∈ 2º cuadrante
c) α ∈ 3º cuadrante
VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES.
0
π
6
π
π
π
π
2π
0
3π
2
-1
4
3
2
1
sen α
0
1
= 0,5
2
2
= 0,7
2
3
= 0,86
2
cos α
1
3
= 0,86
2
2
= 0,7
2
1
= 0,5
2
0
-1
0
1
tg α
0
3
= 0,57
3
1
3 = 1,73
∃/
0
∃/
0
cosec α
∃/
2. 3
= 1,15
3
1
∃/
-1
∃/
sec α
1
2. 3
= 1,15
3
∃/
-1
∃/
1
cotg α
∃/
3 = 1,73
0
∃/
0
∃/
2
2 = 1,41
2 = 1,41
1
2
3
= 0,57
3
0
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MATEMATICA - Trigonometría
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
A partir de los resultados anteriores y aplicando el Teorema de Pitagóras en el
triángulo POQ se tiene que:
2
2
PQ + OQ = OP
2
de lo que se deduce que:
sen 2 α + cos 2 α = 1
(1)
Llamada RELACION FUNDAMENTAL O RELACION PITAGÓRICA
Y como tgα =
PQ
se tiene que
OQ
tgα =
sen α
cos α
Además a partir de la relación (1) podemos deducir otras relaciones.
senα = ± 1 cos 2 α
cos α = ± 1 sen 2 α
Si en la expresión (1) dividimos ambos miembros por sen2 α se tendrá que:
sen 2 α + cos 2 α
1
=
2
sen α
sen 2 α
por lo que 1 + cot g 2 α = cos ec 2 α
Si en la expresión (1) dividimos ambos miembros por cos2 α :
sen 2 α + cos 2 α
1
=
2
cos α
cos 2 α
por lo que
tg 2 α + 1 = sec 2 α
Entonces se tienen las siguientes relaciones
1 + cot g 2 α = cos ec 2 α
tg 2 α + 1 = sec 2 α
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MATEMATICA - Trigonometría
APLICACIÓN DE RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Identidades Trigonométricas
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran relaciones
trigonométricas, verificables para cualquier valor permitido de la variable o
variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los
ángulos sobre los que se aplican las relaciones).
Estas identidades son útiles para:
-
simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas
-
en el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas.
Ejemplo
Demostrar la siguiente identidad trigonométrica.
Respuesta:
sec 2 x.(cos ec 2 x − 1) = cos ec 2 x
sec 2 x.(cos ec 2 x − 1) = cos ec 2 x
2
2

 1   1 
2

 .
 − 1 = cos ec x
 cos x   senx 

1  1 − sen 2 x 
 = cos ec 2 x
.
2
2
cos x  sen x 
1
cos 2 x
.
= cos ec 2 x
2
2
cos x sen x
1
= cos ec 2 x
sen 2 x
cos ec 2 x = cos ec 2 x
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MATEMATICA - Trigonometría
TRABAJANDO CON LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Problema Directo y Problema Inverso
Problema Directo: A partir de un determinado ángulo α, determinar el valor de
las razones trigonométricas.
Ejemplo:
Si
determine el valor del
La calculadora debe estar preparada para trabajar en sistema sexagesimal (DEG)
Problema Inverso: Conocido el valor de una razón
trigonométrica, queremos
calcular el valor del ángulo.
Con frecuencia se nos presenta el problema de determinar los ángulos de un
triángulo conocidos los lados del mismo, tal como se plantea en la siguiente
situación.
EJEMPLO
Uno de los extremos de una escalera de 6 m de longitud se apoya sobre un
edificio mientras que el otro extremo lo hace sobre un muro distante 3m de la base
del edificio. ¿Cuál es el ángulo de elevación de la escalera?
6m
α
3m 1
Se tiene entonces que cos α =
=
6m 2
3m
Por lo tanto , según los valores de la tabla de la pag. 108,
α=
π
3
rad
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MATEMATICA - Trigonometría
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
El estudio que sigue se basa en la simetría de los puntos de los distintos cuadrantes,
respecto a los ejes de coordenadas y al centro.
• El ángulo se encuentra en el segundo cuadrante
sen(180-x) = sen x
cos(180º-x)= - cos x
tg(180º-x)= - tgx
cosec(180º-x)= cosec x
sec (180º-x)= - sec x
cotg(180º-x)= - cotg x
Ejemplos
a) Determinar
cos 150º
Como
entonces
b) Encontrar los ángulos menores de un giro tal que sen x = 0,342
Despejando x se tiene x = arc sen 0,342 = 20º (valor obtenido usando la calculadora)
Pero como sen(180º-x) = sen x , entonces el otro ángulo que tiene el mismo seno que
20º es 160º
Las soluciones son x1 = 20º
y x2 = 160º
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MATEMATICA - Trigonometría
El ángulo se encuentra en el tercer cuadrante
sen(x-180º) = - sen x
cos( x-180º)= - cos x
tg( x-180º)= tg x
cosec(x-180º)= - cosec x
sec (x-180º)= - sec x
cotg(x-180º)= cotg x
Ejemplos
a) Determinar
tg 235º
b) Encontrar los ángulos menores a un giro tal que tg x = 11,43
Despejando x se tiene que x = arctg 11,43 = 85º (valor obtenido usando la
calculadora)
Pero como tg(x+180º)= tg x se tiene que el otro ángulo que tiene la misma tangente
es 85º + 180º = 265º
Las soluciones son x1 = 85º
y x2 = 265º
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MATEMATICA - Trigonometría
• El ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante
sen(360º -x )= - sen x
cos(360º -x )= cos x
tg(360º -x )=
- tg x
cosec(360º -x )= - cosec x
sec (360º -x )= sec x
cotg(360º -x )= - cotg x
Ejemplos
a)Determinar
sen 300º
b) Encontrar los ángulos menores a un giro tal que cos x = 0,656
Despejando x se tiene x = arccos0,656 = 49º
Pero hay otro angulo con el mismo coseno, cos(360º -x )= cos x, entonces 360º – 49º = 311º
Las soluciones son
x1 = 49º
y x2 = 311º
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MATEMATICA - Trigonometría
TRIÁNGULOS OBLÍCUOS (oblicuángulo ó no rectángulos)1
Para la resolución de estos triángulos se emplean los siguientes teoremas:
Teorema del Seno
En cualquier triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de
los ángulos opuestos correspondientes.
B
a
∧
sen A
=
b
∧
sen B
=
c
∧
sen C
a
c
A
b
C
Se emplea cuando se conocen un lado y dos ángulos ó dos lados y el ángulo opuesto a uno de esos
lados.
EJEMPLO
Calcula a qué altura está la estrella.
d
H
70º
H
sen70º =
;
d
55º
500 km
H = d.sen 70º = 451,9. sen 70º ≅ 424,7mm
∧ ∧
∧
D + 70º + 55º = 180º ;
500
d
=
sen 65º
sen 55º
.
1
∧
D = 180º - 70º - 55º ;
; d=
∧
D = 65º
500.sen55º
→ d ≅ 451,9m
sen65º
TRIÁNGULOS OBLÍCUOS son los triángulos que no tienen ningún ángulo recto
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MATEMATICA - Trigonometría
Teorema del Coseno
En cualquier triángulo ABC se tiene:
B
∧
a 2 = b 2 + c 2 - 2. b . c. cos A
∧
b 2 = a 2 + c 2 - 2. a . c. cos B
∧
c 2 = a 2 + b 2 - 2. a . b. cos C
a
c
A
C
b
En forma directa se emplea cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido pero también
puede usarse en el caso indirecto cuando se conocen los tres lados y se desean calcular los ángulos
del triángulo.
EJEMPLO
Se desea construir un túnel a
través de una montaña.
Un topógrafo realizó las
mediciones que se muestran en
el dibujo. Determine la longitud
del túnel.
136 m
78,5º
84 m
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MATEMATICA - Trigonometría
Una aplicación del Teorema del Coseno es la fórmula de Herón
Fórmula de Herón2
El área de un triángulo ABC está dad por:
S=
con:
p .(p − a) . (p − b) . (p − c)
p=
B
a
c
a+b+c
2
A
C
b
Se aplica cuando se conocen los tres lados del triángulo.
EJEMPLO
Los vecinos de un barrio cerrado de Yerba Buena
proponen la construcción de un Parque Familiar
Recreativo en sus adyacencias. El terreno sugerido
para tal fin es de forma triangular y los frentes del
mismo en las tres calles adyacentes son de 125m,
104m y 156m. Determine el área del lote.
Desarrollo
determine p:
aplique la fórmula de Herón, el área del parque es:
2
Herón (o Hero) de Alejandría (aproximadamente año 10 dC. - alrededor de los años 70) fue un
ingeniero griego, que se destacó en Alejandría (provincia romana de Egipto).
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MATEMATICA - Trigonometría
TRABAJO PRÁCTICO
TRABAJANDO CON ÁNGULOS Y ARCOS
1- Une con una flecha la 1º y 2º columna según corresponda. Considera π = 3,14
Sistema Sexagesimal
42º 29’ 36’’
150º
Sistema Circular
2,54 rad
36º 18’
5
π
9
270º
0,63 rad
146º 36’
100º
2)
5
π
6
2,61 rad =
4,71 rad=
3
π
2
0,74 rad
Se desea construir un cantero rectangular coronado
en un extremo por un arco de circunferencia con centro en A ,
tal como se muestra en la figura. Determine la longitud del arco si
α
A
∧
α =120º.
2m
3) En la figura, la medida del segmento AB es:
a)
b)
c)
d)
2+ 3
2− 3
2
1
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MATEMATICA - Trigonometría
TRABAJANDO CON TRIÁNGULOS
6) En la figura siguiente, la medida del lado x puede hallarse aplicando………………….
a) Teorema de Pitágoras
b) Definición de seno
c) Teorema del coseno
d) Teorema del seno
Justifica tu respuesta
7) En el triángulo de la figura siguiente, el valor de h es…………………..
a)
15. 3
3
b)
15. 3
2
c) 15 . 3
d)
15. 2
3
Justifica tu respuesta.
8) Para hallar el valor del ángulo α de la figura siguiente, debemos aplicar……………
a) definición de tangente
b) teorema del coseno
c) definición de secante
d) definición de seno
Justifica tu respuesta
9) La altura de una torre es de 35m. Calcule la distancia entre las dos posiciones
sucesivas de un observador, de 1,80 m de altura si : α = 50°
a)
y β = 32°.
b)
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MATEMATICA - Trigonometría
10) Desde un punto situado en una línea horizontal a 452m de la base de un edificio
se encuentra que el ángulo de elevación de la terraza del mismo es de 32º10'.
Calcule la altura del edificio.
11) La distancia entre dos edificios A y B es de 120 mts. Si el edificio A mide 98 mts
de altura y el ángulo de elevación desde el punto más alto del edificio A al punto
más alto del edificio B es de 31º, halle la altura del edificio B.
12) Un helicóptero viaja de una ciudad hacia otra, distantes entre si 40 km. En un
determinado momento, los ángulos que forman las visuales, desde el helicóptero
hacia las ciudades, con la horizontal son de 14º y 26º respectivamente.
a) A que altura esta el helicóptero
b) Qué distancia hay entre el helicóptero y cada una de las ciudades?
13) Desde el extremo más lejano del patio de una escuela, los ángulos de elevación
para observar el pie y el extremo de un mástil, colocado sobre el edificio son de
60º y 65º respectivamente. Calcular la altura del edificio sabiendo que la longitud
del mástil es de 3 metros.
14) Resuelva los siguientes triángulos oblicuángulos y calcular sus áreas
Sugerencia: Considere para la resolución, que los ángulos
α ,β , γ
son opuestos a los lados a, b, c,
respectivamente.
a)
15)
b)
c)
Calcule CM
B
;
;
M
γ
α
C
A
C
16) Para construir un túnel en una montaña que una las localidades P y T
se
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desea determinar su longitud.
MATEMATICA - Trigonometría
Para ello se elige un punto C
verse ambas localidades , midiéndose :
TC = 370m ,
desde donde pueden
PC = 442 m y el ángulo
TCP = 108° Calcule la longitud del túnel.
17) Se desea calcular la altura de la torre, para ello
se miden los ángulos de elevación desde los puntos
A y B. Con los datos de la figura tenemos que:
18)
Al instalar una antena sobre un
terreno inclinado, como muestra la figura
siguiente, los cables que la sostienen
forman un ángulo de 40º con el mástil.
Halle las longitudes x y y de los cables,
teniendo en cuenta que la antena es
vertical
19) Tres pueblos A,B y C, están unidos por carreteras rectas. La distancia entre A y C
es de 10 Km; a los pueblos B y C los separa 9 Km. El ángulo que forman las
carreteras que unen A con B y B con C es de 120°. Calcula la distancia entre A y B.
20) En una plazoleta de forma triangular, los lados miden 70 m, 85 m y 40 m.
Determina la amplitud de los ángulos que determinan las esquinas de la misma.
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MATEMATICA - Trigonometría
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
a la INGENIERÍA y ARQUITECTURA
21) Determine el valor de las componentes horizontal y vertical de cada fuerza:
F1
F2
60º
50º
F3
F4
F1 = 60 kg
F2 = 40 kg
F3 = 80 kg
F4 = 50 kg
22) Halle la magnitud de la fuerza mínima F
F
necesaria para subir por un plano inclinado 20º
respecto a la horizontal, un cajón con herramientas
que tiene un peso P= 300 Kg. No considere rozamiento
20º
P
entre el cuerpo y el plano.
Como ayuda te damos la figura de análisis y el siguiente dato:
F = - FH
F
FH
α= 20º
P
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MATEMATICA - Trigonometría
23) Se desea construir un puente sobre
un río, que mide 10 m de ancho, de
manera que quede a una altura de 2 m
sobre el agua y que las rampas de acceso
tengan una inclinación de 20º. ¿Cuál debe
ser la longitud de la baranda?, ¿a qué
distancia
del
cauce
se
situará
el
comienzo de la rampa?
24) La siguiente figura muestra el detalle de una unión de vigas de la cubierta de un
techo de dos aguas. Se considera que la misma recibe, en el nudo, un peso P= 80 kg
el que deberá ser soportado por los tirantes A y B que forman ángulos de 50º con la
vertical. Determine la fuerza que soportan ambos tirantes.
A
B
25) En el contrafrente de una vivienda, a 40m de la línea municipal, se proyecta la
construcción de un departamento. Determine cuánto habrá que levantar el terreno
en esa zona para tener una adecuada evacuación de las aguas pluviales y cloacales.
Considere un ancho de vereda de 3m y recuerde que la pendiente aconsejada de los
desagues es del 2%.
3m
40m
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FRT - UTN
26)
MATEMATICA - Trigonometría
Termas de Río Hondo tiene una población de 27838 habitantes. Allí se
proyecta la construcción de un parque en un predio de forma triangular de
1590m, 1680m y 1770m.
Según códigos urbanísticos, cada 100 habitantes debe haber 0,405 hectáreas3 de
espacio libre.¿ Es suficiente este parque para la población de Termas?
27) En el parque construido en Termas,
se van a colocar juegos infantiles. El
encargado de hacerlos necesita conocer la
longitud que van a tener las escaleras de
los toboganes si sabe que los mismos
tendrán 5 m de bajada y que formarán un
ángulo de 20º con la horizontal. ¿Lo
ayudas?
28)En un estudio de arquitectura está realizando
la remodelación del salón auditorio de un Centro
Cultural. Una persona ubicada en la butaca central
de la primera fila está a 11 m de la pantalla de 16m
de largo y la ve bajo un ángulo α.
d
11m
Determina a que distancia “d” deberán ubicar la primera fila para mejorar la
visibilidad si se sabe que para ello el ángulo debe ser el doble que el anterior.
3
Recuerda que 1 ha = 10.000 m2. ¡Repasar Sistemas de Medición!
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29)
MATEMATICA - Trigonometría
Para iluminar la pista de tenis de un club, se va a colocar una fila de tubos
fluorescentes (en la figura comienza en O) protegidos por un portalámparas
longitudinal.
¿Con qué ángulo deberá colocarse el portalámparas para que los rayos de luz
iluminen exactamente la pista.
0
7m
α
A
3m
B
10m
C
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FRT - UTN
MATEMATICA - Trigonometría
APÉNDICE
Para resolver la situación planteada al iniciar el capítulo,
como tantas otras que se presentan en la vida diaria,
vamos a repasar algunos conceptos:
ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO
“La suma de los ángulos interiores de un polígono se calcula así:
Suma áng.int = 180º.(n - 2)
α
β
n = número de lados del polígono
δ
θ
ω
En este caso:
α + β + δ + θ + ω = 180º.(5 − 2) = 180º.3 = 540º
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º
EJEMPLO
Determine la medida de los ángulos α y β del triángulo que se indica.
α + β + 50º = 180º
50º
α=2x - 68º
β=3x+13º
(2x − 68º ) + (3x + 13) + 50º = 180º
5x − 5º = 180º
5x = 185º → x = 37º
Entonces,
α = 2x - 68º = 2. 37º - 68º = 6º
;
β = 3x + 13º = 3. 37º + 13º = 124º
Página 125
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MATEMATICA - Trigonometría
TEOREMA DE PITÁGORAS
Pitágoras de Samos fue un filósofo griego que vivió alrededor del año 530 a.C.,
residiendo la mayor parte de su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de
Italia. De acuerdo con la tradición fue el primero en probar la afirmación
(teorema) que hoy lleva su nombre.
“ En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos”
B
2
2
2
BC = AB + AC
2
2
→ BC = AB + AC
de lo que se deduce :
A
C
 2
2
2
2
2
 AB = AC + BC → AB = AC + BC


2
2
2
2
2
 AC = AB + BC → AC = AB + BC
EJEMPLO
El viento ha quebrado un árbol como se indica en
la figura. Si la longitud del tronco (AB) es 2m y
la longitud de la parte con ramas (BC) es 4 m,
determine a que distancia de la base toca la
punta del árbol el suelo. Los tramos AB y BC forma un ángulo de 90º.
AC
2
2
2
2
2
= AB + BC → AC = AB + BC = 22 + 42
AC = 20 → AC ≅ 4,47m
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FRT - UTN
MATEMATICA - Trigonometría
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
1) Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son congruentes
2) Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales
c´
a´
b´
3) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos congruente.
b
b´
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FRT - UTN
MATEMATICA - Trigonometría
TEOREMA DE TALES
Tales de Mileto (h. 639 ó 624 a.C - h. 547/6 a.C) fue el
iniciador de la indagación racional sobre el universo, por lo
cual se le considera el primer filósofo de la historia. Fue el
primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio
astrónomo) y tuvo como discípulo y protegido a Pitágoras
TEOREMA DE TALES.
Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las
medidas de dos segmentos cualesquiera cortados por una transversal será igual
a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es
decir, son proporcionales.
P
U
Q
V
R
W
Aplicación:
Si consideramos las siguientes medidas de los segmentos:
PQ=2.5cm
;
UV=3.75cm ;
QR=3cm
V W=4.5cm
Al establecer proporciones con las medidas, se observa que:
;
es decir
es decir que las medidas de los segmentos correspondientes, son proporcionales.
Como consecuencia del teorema de Tales, se puede enunciar el teorema
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FRT - UTN
MATEMATICA - Trigonometría
fundamental de SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
Toda paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos en
segmentos proporcionales, por lo que forman un triángulo semejante al primero.
P
S
R
T
Q
En los triángulos PQR y SQT, los ángulos correspondientes son congruentes y sus
lados homólogos proporcionales, por lo tanto los triángulos mencionados son
semejantes.
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