Presentación I

Filtros Analógicos I
Bioing. Juan Manuel Reta
Sistemas de Adquisición y Procesamiento
Outline
Consideraciones Generales
Consideremos la siguiente situación:
Consideraciones Generales
Consideremos la siguiente situación:
¿Cómo definimos G (s)?
Aproximación
El problema/solución de la aproximación...
Sistema sin Distorsión
h (t) ∗ x (t) = kx (t − τ )
Aplicando TF a ambos
miembros:
H (jω) X (jω) = KX (jω) e −jωτ
H (jω) = Ke −jωτ
Filtro ideal Pasabajos
El filtro ideal pasabajos se comporta como un sistema sin
distorsión para las frecuencias de banda de paso y un
atenuador absoluto para el resto de las frecuencias.
H (jω) = e −jω
=0
∨ 0 ≤ |ω| ≤ 1
∨ |ω| > 1
Butterworth
La aproximación de Butterworth aproxima la caracterı́stica
de magnitud del filtro ideal pasabajos.
|H (jω)|2 =
1
1 + ω 2n
Butterworth
La aproximación de Butterworth aproxima la caracterı́stica
de magnitud del filtro ideal pasabajos.
|H (jω)|2 =
1
1 + ω 2n
Butterworth
Propiedades:
1. Para todo n |H (j0)|2 = 1; |H (j1)|2 =
|H (j∞0)|2 = 0
1
2
y
Butterworth
Propiedades:
1. Para todo n |H (j0)|2 = 1; |H (j1)|2 =
|H (j∞0)|2 = 0
1
2
y
2. La función magnitud de Butterworth es
monotónicamente decreciente para ω ≥ 0
Butterworth
Propiedades:
1. Para todo n |H (j0)|2 = 1; |H (j1)|2 =
|H (j∞0)|2 = 0
1
2
y
2. La función magnitud de Butterworth es
monotónicamente decreciente para ω ≥ 0
3. Las primeras (2n − 1) derivadas de un filtro pasabajos
de Butterworth de orden n son cero en ω = 0. Por este
motivo se los llama de magnitud maximamente plana.
Butterworth
Propiedades:
1. Para todo n |H (j0)|2 = 1; |H (j1)|2 =
|H (j∞0)|2 = 0
1
2
y
2. La función magnitud de Butterworth es
monotónicamente decreciente para ω ≥ 0
3. Las primeras (2n − 1) derivadas de un filtro pasabajos
de Butterworth de orden n son cero en ω = 0. Por este
motivo se los llama de magnitud maximamente plana.
4. A alta frecuencia la pendiente de caida de un filtro de
Butterworth de orden n es 20n dB/década.
Butterworth
Butterworth
Para obtener la función de transferencia aplicamos un
procedimiento de sintesis de funciones de fase mı́nima
basado en la Transformada de Hilbert. LAM - Cap 3- pag 68.
1.
h (s) = H (s) H (−s) = |H (jω)|2ω=s/j
h (s) =
1
1
=
1 + ω 2n ω=s/j
1 + (−1)n s 2n
Butterworth
Para obtener la función de transferencia aplicamos un
procedimiento de sintesis de funciones de fase mı́nima
basado en la Transformada de Hilbert. LAM - Cap 3- pag 68.
1.
h (s) = H (s) H (−s) = |H (jω)|2ω=s/j
h (s) =
1
1
=
1 + ω 2n ω=s/j
1 + (−1)n s 2n
2. Factorizar h (s) en polinomios de 1er y 2do orden.
Butterworth
Para obtener la función de transferencia aplicamos un
procedimiento de sintesis de funciones de fase mı́nima
basado en la Transformada de Hilbert. LAM - Cap 3- pag 68.
1.
h (s) = H (s) H (−s) = |H (jω)|2ω=s/j
h (s) =
1
1
=
1 + ω 2n ω=s/j
1 + (−1)n s 2n
2. Factorizar h (s) en polinomios de 1er y 2do orden.
3. Asociar los factores de h (s) cuyos polos se encuentran
en el semiplano izquierdo de S a H (s).
Butterworth
Se puede observar que los polos de h (s) se obtendrán a
partir de la solución de la ecuación:
1 + (−1)n s 2n = 0
Butterworth
¿Se puede implementar con un circuito pasivo?
Butterworth
¿Se puede implementar con un circuito pasivo?
Butterworth
¿Se puede implementar con un circuito pasivo?
Butterworth
Aproximación de Chebyshev
Chebyshev
La aproximación de Chebyshev aproxima la caracterı́stica de
magnitud del filtro ideal pasabajos.
La aproximación se contruye a partir de los polinomios de
Chebyshev.
Tn (ω) , cos n · cos−1 ω
Chebyshev
La aproximación de Chebyshev aproxima la caracterı́stica de
magnitud del filtro ideal pasabajos.
La aproximación se contruye a partir de los polinomios de
Chebyshev.
Tn (ω) , cos n · cos−1 ω
Considerando:
x , cos−1 ω
Chebyshev
La aproximación de Chebyshev aproxima la caracterı́stica de
magnitud del filtro ideal pasabajos.
La aproximación se contruye a partir de los polinomios de
Chebyshev.
Tn (ω) , cos n · cos−1 ω
Considerando:
x , cos−1 ω
Entonces:
Tn (ω) = cos (n · x)
Chebyshev
T0 (ω) = cos 0 = 1
T1 (ω) = cos x = cos cos−1 ω = ω
T2 (ω) = cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 2ω 2 − 1
T3 (ω) = cos 3x = −3 cos x + 4 cos3 x = −3ω + 4ω 3
T4 (ω) = 1 − 8 cos2 x + 8 cos4 x = 1 − 8ω 2 + 8ω 4
Chebyshev
T0 (ω) = cos 0 = 1
T1 (ω) = cos x = cos cos−1 ω = ω
T2 (ω) = cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 2ω 2 − 1
T3 (ω) = cos 3x = −3 cos x + 4 cos3 x = −3ω + 4ω 3
T4 (ω) = 1 − 8 cos2 x + 8 cos4 x = 1 − 8ω 2 + 8ω 4
Chebyshev
|H (jω)|2 =
1
1 + 2 · Tn2 (ω)
Chebyshev
|H (jω)|2 =
1
1 + 2 · Tn2 (ω)
Chebyshev
Propiedades:
1
1. Para todo |ω| ≤ 1, |H (jω)|2 oscila entre 1+
2 y 1.
Hay n puntos crı́ticos para el intervalo de ω entre 0 y 1.
Chebyshev
Propiedades:
1
1. Para todo |ω| ≤ 1, |H (jω)|2 oscila entre 1+
2 y 1.
Hay n puntos crı́ticos para el intervalo de ω entre 0 y 1.
2. Para ω ≥ 1; |H (jω)|2 decrece monotónicamente a 0 a
razón de 20 · ndB/decada;
Chebyshev
Propiedades:
1
1. Para todo |ω| ≤ 1, |H (jω)|2 oscila entre 1+
2 y 1.
Hay n puntos crı́ticos para el intervalo de ω entre 0 y 1.
2. Para ω ≥ 1; |H (jω)|2 decrece monotónicamente a 0 a
razón de 20 · ndB/decada;
3. Para todo n:
I
I
I
2
1
|H (j1)| = 1+
2
2
|H (j0)| = 1; Para n impar
2
1
|H (j0)| = 1+
2 ; Para n par
Chebyshev
Propiedades:
1
1. Para todo |ω| ≤ 1, |H (jω)|2 oscila entre 1+
2 y 1.
Hay n puntos crı́ticos para el intervalo de ω entre 0 y 1.
2. Para ω ≥ 1; |H (jω)|2 decrece monotónicamente a 0 a
razón de 20 · ndB/decada;
3. Para todo n:
I
I
I
2
1
|H (j1)| = 1+
2
2
|H (j0)| = 1; Para n impar
2
1
|H (j0)| = 1+
2 ; Para n par
1
4. AMAX dB , −10 log 1+
2
AMAX dB = 10 log 1 + 2
Chebyshev
Para obtener la función de transferencia aplicamos un
procedimiento de sintesis de funciones de fase mı́nima
basado en la Transformada de Hilbert. LAM - Cap 3- pag 68.
Chebyshev
¿Se puede implementar con un circuito pasivo?
Chebyshev
¿Se puede implementar con un circuito pasivo?
Chebyshev
¿Se puede implementar con un circuito pasivo?
Chebyshev
Respuesta en Frecuencia
Respuesta en Frecuencia
Bessel
Bessel
La aproximación de Bessel aproxima la caracterı́stica de Fase
del filtro ideal pasabajos.
H (s) =
k
Bn (s)
Bessel
La aproximación de Bessel aproxima la caracterı́stica de Fase
del filtro ideal pasabajos.
H (s) =
k
Bn (s)
B1 (s) = s + 1
B2 (s) = s 2 + 3s + 1
Bn (s) = (2n − 1) Bn−1 (s) + s 2 Bn−2 (s)
Bessel
Bessel
Ubicación de los polos:
Bessel
¿Cómo obtenemos un circuito pasivo que implemente un
filtro de Bessel?
Bessel
¿Cómo obtenemos un circuito pasivo que implemente un
filtro de Bessel?
Bessel
¿Cómo obtenemos un circuito pasivo que implemente un
filtro de Bessel?
Ejercicio Propuesto
Se desea procesar una señal cuyo espectro de magnitud es el
que se presenta en la figura.
Ejercicio Propuesto
figure
Se desea realizar un filtrado sobre esta señal de modo de
rescatar las componentes de 40Hz tal que las relaciones de
Mag40Hz
40Hz
magnitud de voltajes, Mag
Mag10Hz y Mag80Hz sean al menos 100.
Se pide :
a) Proponga una función de transferencia que cumpla con
los requisitos.
b) Proponga un circuito realice la función de transferencia
propuesta en a).
Consideraciones Generales
¿Como obtengo un sistema desnormalizado?
Procedimineto de diseño: Filtros Analógicos
1. Requerimientos de filtrado
Procedimineto de diseño: Filtros Analógicos
1. Requerimientos de filtrado
2. Normalización de Requerimientos
Procedimineto de diseño: Filtros Analógicos
1. Requerimientos de filtrado
2. Normalización de Requerimientos
3. Obtención de la H (s)N normalizada
Procedimineto de diseño: Filtros Analógicos
1. Requerimientos de filtrado
2. Normalización de Requerimientos
3. Obtención de la H (s)N normalizada
4. Transformar la H (s)N en H (s)DN
Procedimineto de diseño: Filtros Analógicos
1. Requerimientos de filtrado
2. Normalización de Requerimientos
3. Obtención de la H (s)N normalizada
4. Transformar la H (s)N en H (s)DN
5. Sı́ntesis del circuito que implemente H (s)DN
Transformaciones de Frecuencia
1. Pasa Bajos - Pasa Altos
Transformaciones de Frecuencia
1. Pasa Bajos - Pasa Altos
2. Pasa Bajos - Pasa Banda
Transformaciones de Frecuencia
1. Pasa Bajos - Pasa Altos
2. Pasa Bajos - Pasa Banda
3. Pasa Bajos - Rechaza Banda
Bilbliografı́a