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UAH. GRADO DE ECONOMÍA. ANÁLISIS MATEMÁTICO.
Ejercicios de matrices
HOJA 2
1. Sean A, B matrices cuadradas de orden n. Estudiar si son ciertas las siguientes proposiciones:
a) AB = BA
b) (A + B)(A – B) = A2 – B2
2
2
2
c) (A + B) = A + 2AB + B
d) AnAm = An+m = AmAn
2. Resolver las siguientes ecuaciones o sistemas matriciales:
 X + 2Y = A
1 1
2 −1
 y B = 

a) AX = B
b) XA = B
c) 
;
siendo A = 
2 X − Y = B
3 6
0 − 4
 1 1
 .
3. Hallar A 2 , A3 , A 4 y A5 , siendo A la matriz A = 
 0 1
¿Se percibe algún patrón que permita adivinar cuál es A50 y, en general, A n ?
1 2
 2 0
 ; B = 

4. Halla la potencia n−ésima de las matrices: A = 
 0 3
 0 5
1 1 1


b 1

5. Calcular la potencia n-ésima de las matrices: A = 1 1 1 ; B = 
0 b
1 1 1


6. Simplificar las siguientes expresiones:
a) (A + B)2 – A(A + B) – (B + A)B
b) −AtB – (BtA)t + [BtA + (AtB)t]t
t
t
t t
c) (BA) + 2A B – (BA ) – AB, siendo A simétrica (A = At )
 1 − 1


 − 2 − 1 1
 y B =  2
0 .
7. Sean las matrices A = 
 − 1 0 1
− 2 1 


a) Calcular la matriz C = B · A − At · Bt.
 4
b) Hallar la matriz X que verifique A·B· X =   .
 2
1 2
 en el
8. (Sydsaeter, prob. 3 de pág. 327). Hallar todas las matrices B que conmutan con A = 
 2 3
sentido de que AB = BA.
1 2
a b
 tales que AP = PA.
 , encuentra todas las matrices P = 
9. Dada la matriz A = 
c d 
0 1
10. (Sydsaeter, prob. 7 de pág. 332). Una matriz cuadrada A se llama idempotente sii A · A = A.
 2 − 2 − 4


4 
a) Demostrar que la siguiente matriz es idempotente: A =  − 1 3
 1 − 2 − 3


b) Demostrar que si A es idempotente, entonces An = A para todo entero positivo n.
c) Demostrar que si AB = A y BA = B, entonces A y B son idempotentes.
11. (Sydsaeter, prob. 7 de pág. 334) Una matriz cuadrada P se llama ortogonal sii Pt · P = I.
r 0 r 


a) Demostrar que si r = 1 / 2 , la siguiente matriz es ortogonal: P =  r 0 − r 
0 1 0 


 p − q
 es ortogonal sii p2 + q2 = 1.
b) Demostrar que la matriz Q = 
q p 
c) Demostrar que el producto de dos matrices ortogonales del mismo orden es ortogonal.
12. Se dice que dos matrices cuadradas, A y B, de orden n × n, son semejantes si existe una matriz
invertible, P, tal que B = P–1AP, donde P–1 denota la matriz inversa de P. Determinar si son
1 2
1 0 
 y B = 

semejantes las matrices A = 
0 1
 0 − 1
13. (Sydsaeter, prob. 3 de pág. 375)
Dar un ejemplo de dos matrices 2 × 2, A y B, tales que rango(AB) ≠ rango(BA).
 2 1


1 2
 y B =  3 1  , comprobar que (B × A)t = At × Bt.
14. Dadas las matrices A = 
5 3
 0 6


1 2


1 2 2

15. Dadas las matrices A =  2 1  y B = 
 2 1 2
 2 2


a) Calcular C = A · B y D = B · A.
 x   0
   
b) Resolver el sistema de ecuaciones C · y  =  0 
 z   0
   
 5 2 0
 a b 0




16. Dadas las matrices A =  2 5 0  y B =  c c 0  , encontrar las condiciones que deben
0 0 1
 0 0 1




cumplir a, b, c para que se verifique AB = BA.
 4 20 
2 1 

 y B = 
17. Se consideran las matrices A = 
 3 − 1
16 5 
a) Calcular A2 y (A2)-1
b) Despejar X de la ecuación matricial A2 X = B
c) Calcular X.
1 
 0 1
x
 .
 y B = 
18. Sean las matrices A = 
 1 1
 1 x + 1
a) Encuentra el valor o valores de x de forma que B 2 = A .
b) Igualmente para que A − I 2 = B −1 .
c) Determina x para que A·B = I 2 .
Soluciones e indicaciones
1 1
1 0 
 y B = 

1. (a) es falsa, por ejemplo no se verifica para A = 
 2 2
1 0 
(b) y (c) son falsos por la misma razón.
(d) es verdadera.
−1 
− 1/ 5 
3/5 
 4 − 2 / 3
5
 1
 0
 ; b) X = 
 ; c) X = 
 ; Y = 

2. a) X = 
 − 2 − 1/ 3 
 4 − 4 / 3
 3 / 5 − 2 / 5
 6 / 5 16 / 5 
1 n

3. A n = 
0 1
 1 3 n − 1 n  2 n 0 
; B = 

4. A n = 
n 
 0 5n 
0
3




5. a) ai,j = 3n − 1 para todo i,j b) a11= a22 = bn, a21 = 0, a12 = nbn −
6. a) BA – AB; b) 0; c) AB
 0 3 − 3


 − 2 / 3

7. a) C =  − 3 0 0  . b) X = 
 0 
 3 0 0 


a
−
b
b



8. 
a 
 b
a b

9. P = 
0 a
12. No son semejantes.
2 
3 1
 1
 ; B = 

13. A = 
6 2
 − 3 − 6
 5 4 6


9 8

15. C =  4 5 6  ; D = 
b)
8
9


6 6 8


16. a = b = c.
7 1
 4 / 25
−1
 ; (A 2 ) = 
17. a) A 2 = 
 3 4
 − 3 / 25
18. a) x = 1. b) x = 0. c) x = −1.
1
 x = −2t

 y = −2t
 z = 3t

− 1 / 25 
0 3 
−1
 . b) X = (A 2 ) B . c) X = 

7 / 25 
 4 − 1
Pueden verse más problemas resueltos es:
http://www2.uah.es/jmmartinezmediano/matebach2/Mat%20II%20Tema%2001%20Problem
as.pdf
PVS07LM3AAA1. PAÍS VASCO / SEPTIEMBRE 07. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
SOCIALES / ÁLGEBRA / APARTADO A / EJERCICIO A1
3. Hallar A 2 , A3 , A 4 y A5 , siendo A la matriz
 1 1

A = 
 0 1
¿Se percibe algún patrón que permita adivinar cuál es A50 y, en general, A n ?
Solución:
1
A 2 = 
0
1
A 4 = 
0
1 1

1 0
3  1

1  0
1  1
=
1  0
1  1
=
1  0
2
;
1 
4
;
1 
1
A3 = 
0
1
A5 = 
0
2  1

1  0
4  1

1  0
1  1
=
1  0
1  1
=
1  0
3

1 
5

1 
 1 50 
 .
Parece evidente que A50 = 
0 1 
Vamos a comprobar la certeza de nuestra suposición. Lo demostraremos por el método de
inducción.
Hacemos la conjetura de que, que evidentemente se cumple para n = 1.
Veamos que se cumple para n + 1.
En efecto,
 1 n  1 1  1 n + 1

 = 
.
A n +1 = A n · A = 
1 
 0 1  0 1  0
En consecuencia, la conjetura inicial es válida.
 1 − 1


 − 2 − 1 1
 y B =  2
0 .
4. Sean las matrices A = 
 − 1 0 1
− 2 1 


t
t
b) Calcule la matriz C = B · A − A · B .
 4
b) Halle la matriz X que verifique A·B· X =   .
 2
Solución:
 1 − 1
 − 2 − 1

 − 2 − 1 1 
 1 2 − 2 
 −  − 1 0 
 =
a) C =  2
0 
− 1 0 1 

 − 2 1  − 1 0 1  1

1



 − 1 − 1 0   − 1 − 4 3   0 3 − 3

 
 

= − 4 − 2 2  − −1 − 2 2  = − 3 0 0 
 3
2 − 1  0
2 − 1  3 0 0 

b) Para que pueda hacerse la multiplicación ABX, la matriz X debe ser de dimensión 2 × 1.
a
Sea X =   , entonces:
b
 1 − 1
 a   4 
 4
 − 2 − 1 1
 − 6 3  a   4 
 2
  =   ⇒
0   =   ⇒ 
A·B· X =   ⇔ 
 2
 − 1 0 1 − 2 1  b   2 
 − 3 2  b   2 


 − 6a + 3b   4 
− 6a + 3b = 4
 =   ⇒ 
⇒ 
⇒ a = −2/3, b = 0
 − 3a + 2b   2 
− 3a + 2b = 2
 − 2 / 3

La matriz es X = 
 0 
2 1 
 4 20 
 y B = 

9. Se consideran las matrices A = 
 3 − 1
16 5 
a) Calcule A2 y (A2)-1
b) Despeje X de la ecuación matricial A2 X = B
c) Calcule X
Solución:
 2 1  2 1   7 1 

 = 

a) A 2 = 
 3 − 1 3 − 1  3 4 
a b
−1
 , se verifica:
Si (A 2 ) = 
c d 
 7 1  a b   1 0 


 = 
 ⇔
 3 4  c d   0 1 
 7a + c = 1
3a + 4c = 0
 7 a + c 7b + d   1 0 

 = 
 ⇒ 
⇔ 
⇒
 3a + 4c 3b + 4d   0 1 
 7b + d = 0
3b + 4d = 1
 4 / 25 − 1 / 25 
−1

Luego, (A 2 ) = 
 − 3 / 25 7 / 25 
b) A2 X = B ⇒ X = (A 2 ) B
−1
 a = 4 / 25
b = −1 / 25


c = −3 / 25
 d = 7 / 25
 4 / 25 − 1 / 25  4 20   0 3 
−1

 = 

c) X = (A 2 ) B ⇒ X = 
 − 3 / 25 7 / 25 16 5   4 − 1
1 
x
 0 1
 y B = 
 .
12. Sean las matrices A = 
 1 x + 1
 1 1
d) Encuentre el valor o valores de x de forma que B 2 = A .
e) Igualmente para que A − I 2 = B −1 .
f) Determine x para que A·B = I 2
Solución:
 0 1 0 1 1 1 

 = 

a) B 2 = 
 1 1 1 1 1 2 
Por tanto,
1 1   x
 = 
B 2 = A ⇔ 
1 2   1
b) Hallamos B −1 =
1 
 ⇒ x = 1.
x + 1
1
( Bij ) t , siendo (Bij) la matriz de los adjuntos.
B
 1 − 1
 −1 1
 ⇒ B −1 = 

Como B = −1 y ( Bij ) = 
−1 0 
 1 0
Por tanto,
1  1 0  −1 1
x
 − 
 = 
 ⇒ x − 1 = −1 ⇒ x = 0
A − I 2 = B −1 ⇔ 
 1 x + 1  0 1   1 0 
Nota: La matriz inversa se puede hallar por cualquier otro método.
c) De A·B = I 2 ⇒ A = B −1 .
Por tanto,
1   −1 1
x

 = 
 ⇒ x = −1.
 1 x + 1  1 0 
 1 2
a b
 , encuentra todas las matrices P = 
 tales que AP = PA.
9. Dada la matriz A = 
0 1
c d
Sol.