Cómo se define el momento angular de una partícula?

TEMA 2
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
CUESTIÓN PARA RESOLVER EN CASA Y ENTREGAR
a) ¿Cómo se define el momento angular de una partícula? Justifíquese por qué para
una partícula que se mueve en un plano el momento angular permanece constante. b)
¿Qué se entiende por fuerzas centrales? Explicar cómo será el movimiento de una
partícula bajo una fuerza central. c) Demostrar a partir de la conservación del
momento angular la 2ª ley de Kepler, que establece que la línea que une un planeta al
Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. d) La 2ª ley de Newton junto con la ley de
gravitación de Newton permite calcular el período de una órbita (tercera ley de
Kepler). Demostrar que la expresión de dicho período en el caso de una órbita circular
es:
T2 =
4π2 3
r
GM
viene dado por:
a) En la figura podemos ver una partícula de
masa m que se mueve con velocidad v en una posición r
relativa al origen O. El momento angular L de la
partícula respecto al origen O se define como el
producto vectorial de r y p:
L=r x p
L es un vector perpendicular al plano formado
por r y v, y lo mismo que el momento de una fuerza, el
momento angular se define respecto a un punto del
espacio.
Si r y p se encuentran en el plano XY como en la
figura, entonces L está dirigido a lo largo del eje Z y
L=r x p=r x mv=rmvsen90ºk=rmvk=mr2ωk=mr2ω
Por tanto, si la partícula se mueve en un plano se mantiene constante sólo la
dirección del momento angular.
b) Se denominan fuerzas centrales a aquellas fuerzas cuya recta soporte pasa
siempre por un punto fijo O que se denomina centro de fuerzas.
En estas condiciones, como la recta soporte de F pasa siempre por O tendremos
que:
dL
ΣMO=0 ⇒ ΣMO = O = 0 ⇒ LO = cte
dt
Por tanto, el momento angular de una partícula que se mueve bajo una fuerza
central es constante, tanto en módulo como en dirección y sentido. Recordando la
definición de momento angular:
LO=r x p=cte
El vector de posición de la partícula (r) tiene que ser perpendicular siempre al
vector constante LO. Por tanto, una partícula que se mueva bajo una fuerza central
describirá una trayectoria contenida en un plano fijo perpendicular a LO.
c) Demostremos la 2ª ley de Kepler. En la
figura vemos el área infinitesimal dA barrida por
la línea que va del Sol al planeta en un intervalo
de tiempo infinitesimal dt, y que corresponde al
área del triángulo de base r y altura |dr|senφ, es
decir:
1
1
dA = (r ) dr senφ = (r )(vdtsenφ)
2
2
donde hemos usado la relación |dr|=vdt. La variación en un instante dt será:
1
dA 1
dA = (r )(vdtsenφ) ⇒
= (r )(vsenφ)
2
dt 2
Y multiplicando y dividiendo por la masa en el segundo miembro:
dA 1
1 mrvsenφ
L
= (r )(vsenφ) =
=
= cte
dt 2
2
m
2m
Vemos la expresión matemática de la 2ª ley de Kepler, la velocidad areolar (área
barrida por unidad de tiempo) es constante.
(
)
d) Supongamos ahora que la órbita es circular de radio r. En este caso, la fuerza
gravitatoria de atracción entre el Sol y el planeta proporciona una aceleración normal o
centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:
v2
M
⇒ G = v2
2
r
r
r
De esta forma, la celeridad es constante y se trata de un movimiento circular
uniforme. En un movimiento circular la velocidad angular de giro viene dada por:
M
M
v=ωr ⇒ G
= v2 ⇒ G
= ω2r2
r
r
Por ser un movimiento circular uniforme, el movimiento es periódico (se repite), con
un periodo que viene dado por:
ΣFn = man ⇒ G
ω=
Mm
=m
4π2 3
2π
M
M 4π2
r
⇒ G = ω2r2 ⇒ G = 2 r2 ⇒ T 2 =
GM
T
r
r
T