unidad 3: aritmética del computador - Inicio

Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL
Fundamentos Informáticos
Autoras: Ing. Elizabeth Cadme, Ing. Priscila Valdiviezo
UNIDAD 3: ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR Señor estudiante, es un gusto iniciar nuevamente con usted el desarrollo de esta
tercera unidad. En esta ocasión, haremos una explicación más detallada de la
representación de la información en el computador, revisando temas relacionados con
la aritmética binaria, que no es más que aquella aritmética que se da en el sistema de
numeración de base 2, y que es justamente la utilizada para construir los códigos del
computador. Como se pudo observar en lecturas anteriores, una unidad individual de
información se representa en el computador por una secuencia de dígitos binarios
(llamados bits). Tales sucesiones de bits pueden ser consideradas como números
binarios, y muchos computadores usan el sistema numérico binario no sólo para
representar cantidades, si no para efectuar cálculos, es decir, operaciones aritméticas
como suma, resta, multiplicación y división, que son realizadas por el computador en
códigos expresados bajo este sistema.
Aunque los temas tratados en esta unidad no se encuentran en el texto básico hemos
creído conveniente considerarla por su importancia y relevancia dentro esta
asignatura. Si bien es cierto la unidad tres trata especialmente del sistema numérico
binario y su aritmética, comenzaremos recordando el sistema decimal, ya que tal
repaso simplificará los tópicos análogos del sistema binario.
3.1
Sistemas de numeración Partiremos entonces describiendo a un sistema de numeración como un conjunto de
símbolos usados para representar información numérica. Tenga en cuenta que el
número de símbolos de este conjunto depende de la base del sistema de numeración.
Ahora sí, nos permitimos darle a conocer los siguientes sistemas de numeración:
•
Binario {0,1}
•
Decimal {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
•
Octal {0,1,2,3,4,5,6,7}
•
Hexadecimal {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
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El más conocido y usado comúnmente es el sistema de numeración decimal, pero en
computación los más utilizados son: el binario para efectuar operaciones aritméticas,
el octal y hexadecimal para efectuar códigos intermedios que resultan más favorables
que convertir decimales a binarios o al contrario. Esto lo comprobará usted mismo con
las explicaciones dadas más adelante.
Sistema decimal Si revisa nuevamente el conjunto que representa al sistema decimal, podrá observar
que en él se combinan de una manera sistemática diez símbolos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
Algo importante por conocer es la forma general utilizada para representar cualquier
número de base “b”, la cual es:
....S2S1S0.S-1S-2....
Si tomamos como referencia el sistema decimal, S representaría un símbolo
cualquiera de los 10 dígitos de este sistema y el subíndice indicaría la posición del
símbolo con relación al punto decimal. Ejemplo:
N= 8253 se lo puede expresar en notación expandida como:
N10= 8 * 103 + 2 * 102 + 5 * 101 + 3 * 100
En donde 103 representa al 1000, y 8 * 1000 es igual a 8000.
Así mismo, podemos observar como las potencias de la base 10 van decreciendo
hacia la derecha al igual que los subíndices de cada símbolo (S). Por lo que, haciendo
uso de la notación anterior obtendríamos:
8253= 8000 + 200 + 50 + 3
Cualquier valor fraccionario representado en el sistema decimal por una cadena de
dígitos decimales junto con un punto decimal intercalado, puede expresarse también
en notación expandida usando potencias negativas de 10. Específicamente el valor
posicional de los dígitos a la derecha del punto decimal es respectivamente:
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10-1 = 1/10
10-2 = 1/100
10-3 = 1/1000 ......
¿Verdad que no es complicado?, revise el ejemplo propuesto y compruebe usted
mismo lo fácil que es este proceso.
Ejemplo:
Expresar el número 837.526 en notación expandida.
Solución:
Haciendo uso de la forma general y la notación expandida obtenemos.
S2S1S0.S-1S-2 S-3
8 3 7. 5 2 6
837.526= 8 * 102 + 3 * 101 + 7 * 100 + 5 * 10-1 + 2 * 10-2 + 6 * 10-3
837.526= 800 + 30 +7 + 5/10 + 2/100 + 6/1000
Ahora practiquemos con la siguiente actividad.
Actividades recomendadas
Escriba en notación expandida los números:
a) 2468
b) 146.723
Sistema binario Para dar mayor énfasis y comprender mejor este tema, recordemos que el sistema de
base 2 utiliza dos dígitos: 0 y 1, en el cual cada uno representa un bit de información.
Entonces, podemos decir que cualquier número binario está formado por una sucesión
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de bits, donde aquellos que no tienen parte fraccionaria, es decir aquellos que no
tienen un punto binario, se llaman enteros binarios.
Los valores de posición en el sistema binario son las potencias de la base 2, así como
los valores de posición en el sistema decimal son las potencias de diez.
Específicamente, los valores de posición de la parte entera de un número binario son
las potencias no negativas de dos, es decir:
20
21
22
23 .....
Los valores de posición de la parte fraccionaria de un número binario son las potencias
negativas.
2-1
2-2
2-3
.....
Es necesario aclarar que en computación los números binarios no siempre
representan una cantidad numérica. A veces son cierto tipo de código que representa
información no numérica.
Barco y Aristizábal (1998:7) señalan que: ”las computadoras pueden reconocer en un
número binario cinco funciones:
1- Datos numéricos reales.
2- Números correspondientes a una dirección en la memoria.
3- Un código de instrucción.
4- Un código que representa caracteres alfanuméricos.
5- Información sobre las condiciones de dispositivos internos o externos a la
computadora”.
Considerando estas funciones, lo invitamos a realizar lo siguiente:
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Actividades recomendadas
Investigar en qué consiste el proceso de reconocer en un número binario funciones
como:
a) Números correspondientes a una dirección en la memoria
b) Un código de instrucción
c) Un código que representa caracteres alfanuméricos
3.2
Conversión entre sistemas de numeración Hemos llegado a otro interesante subtema de esta tercera unidad, por lo que
revisemos de lo que trata.
Conversión de decimal a binario Es posible transformar un número decimal a binario considerando los pasos indicados
por Barco y Aristizábal (1998:8), descritos a continuación:
1. Separar la parte entera de la parte fraccionaria.
2. Dividir la parte entera para 2 hasta que el último cociente sea 1. Este último
cociente, seguidos de los sucesivos residuos leídos de derecha a izquierda, dan la
forma convencional del número entero equivalente en binario.
3. Multiplicar la fracción decimal por 2 y la parte entera de este producto será la
primera cifra de la fracción binaria. La parte fraccionaria del producto se multiplica
nuevamente por 2 y la parte entera de este producto es la segunda cifra de la
fracción binaria y así sucesivamente hasta que suceda una de las siguientes
situaciones:
a) Que la parte fraccionara del algún producto por 2 sea 0, en cuyo caso la
fracción binaria es exacta, es decir tiene un número limitado de cifras.
b) Que la parte fraccionaria del producto por 2 comience a repetirse
individualmente o por grupos, en cuyo caso dará una fracción binaria periódica
pura o mixta, donde las cifras se repitan indefinidamente.
c) Que la parte fraccionaria de los productos por 2 se presente sin ningún orden,
lo que da origen a una fracción binaria inexacta no periódica, es decir un
número binario irracional.
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Ahora pongamos en práctica este algoritmo a través del siguiente ejemplo.
Ejemplo
Convertir el número decimal 40.75 a base 2.
Solución:
1. Separar la parte entera de la fraccionaria: 40 +0.75
2. Dividir la parte entera sucesivamente por 2
40
S0=0
2
20
S1=0
2
10
S2=0
2
5
S3=1
2
2
S4=0
2
1
De esta operación obtenemos que: 4010 = 1010002
3. Multiplicar la parte fraccionaria por 2:
0.75
* 2
1.50
0.50
* 2
1.00
S-1 =1
S-2 =1
S-3 =0 ...
Luego hacemos que: 0.7510 = 0.112
La conversión completa quedaría:
40.7510 = 101000.112
Es el momento de que practique usted mismo realizando la actividad que a
continuación le proponemos.
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Actividades recomendadas
Convierta los siguientes números decimales a sus equivalentes en base 2.
a) 219
b) 1298.210
Conversión de binario a decimal Para convertir un número binario al equivalente decimal, Barco y Aristizábal (1998:9)
proponen representar el número en su forma expandida y simplificar utilizando la
aritmética decimal, para obtener el número en la forma convencional. Por ejemplo:
1010.1012 a base 10
1010.1012 =1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2-1 + 0 * 2-2 + 1 * 2-3
= 8 + 0 + 2 + 0 + 0.25 + 0 + 0.125 =10.625
Luego: 1010.1012= 10.62510
Cómo usted puede apreciar es un tema de fácil comprensión, sólo hay que poner en
práctica las explicaciones dadas.
Comprobemos hasta aquí lo aprendido, realizando la actividad indicada. Actividades recomendadas
Convierta de binario a decimal los números:
a) 110110
b) 101.11
3.3
Operaciones binarias Estamos seguras que estará ansioso por conocer a que se refiere cada una de estas
operaciones, pues bien adentrémonos en el fascinante estudio de la aritmética binaria
revisando las operaciones de: suma, resta, multiplicación y división que son
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procesadas en la ALU (Unidad Aritmético – Lógica) del computador y realizadas en
códigos expresados en sistema binario.
Veamos a continuación una explicación de cada una.
Adición binaria En una expresión intervienen elementos o números y el operador que especifica el
procedimiento a seguir con aquéllos. En la adición los elementos reciben el nombre de
sumando y el operador es el signo (+).
La tabla de la adición binaria se representa así:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 0, Llevando 1
1 + 1 + 1 = 1, Llevando 1
La adición es conmutativa, es decir 1 + 0=1 y 0 + 1=1
Observe que, la operación se realiza exactamente igual que en el sistema de
numeración decimal teniendo en cuenta que si se excede la base se lleva como
acarreo una unidad en la siguiente cifra de orden superior, en la tabla se indica que 1
+ 1 =10 y debe entenderse 10 en base binaria (102) que es el equivalente del 2 en el
sistema decimal.
Para una mejor comprensión se presentan dos ejemplos:
Ejemplo 1:
111
+101
Pasos a seguir:
-
Sume la primera columna (la que está más a la derecha), en este caso: 1 + 1 = 0,
con uno que se lleva.
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1
Lo que se lleva
111
+101
0
-
El siguiente paso consiste en sumar: 1 + 1 + 0 = 0, con uno que se lleva.
11
Lo que se lleva
111
+101
00
-
Sumamos 1 + 1 + 1 = 1, con 1 que se lleva.
111
Lo que se lleva
111
+101
100
-
Luego 1 + 0= 1
111
Lo que se lleva
111
+101
1100
Aquí terminamos el proceso.
Ejemplo 2:
11011.01
+ 101.1101
10001.0001
101111
100111
+ 11111
1110101
Queremos ahora que ponga en práctica lo explicado hasta aquí, desarrollando la
actividad propuesta.
Actividades recomendadas
Realizar las operaciones siguientes.
a)
b)
100111 + 11101
101001011001.1111 + 1111100.00011
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Sustracción binaria En esta ocasión revisaremos otra interesante operación: La resta binaria.
Recuerde que la resta no es conmutativa y por tanto deben distinguirse los elementos
que intervienen en la misma. El minuendo es el elemento del cual se resta el
sustraendo. Al igual que en el sistema de numeración decimal se tiene en cuenta que
si se excede la base se lleva en la siguiente cifra una unidad de orden superior.
La tabla de la sustracción se representa así.
0-0=0
1-0=1
1-1=0
0 – 1= 1, prestando un 1 de la siguiente columna.
En la operación 0 – 1 = -1 se toma un 1 del número de la izquierda, es decir de la
columna de orden inmediato superior para conformar la operación 10 – 1= 1. Si el
minuendo es negativo, la operación se convierte en una adición con el resultado
negativo.
Para comprender mejor esta explicación veamos los ejemplos:
Ejemplo 1:
0
11101
- 1011
10010
Observe que prestamos un 1 de la tercera columna debido a la diferencia de 0 – 1 en
la segunda columna.
Ejemplo 2:
-1
-1_
-10
100
-1
11
1111.111
- 100.101
1011.010
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En este momento practique usted mismo esta operación.
Actividades recomendadas
Desarrolle las sustracciones:
c)
d)
111010.00100 - 1111.00001
11101011 – 1011101
Nos parece que vamos bien, por favor continúe, por ningún motivo se desanime que
aún nos faltan dos operaciones más.
Multiplicación binaria
¿Cómo se realiza la multiplicación en el sistema binario?
Pues la multiplicación se realiza en forma similar a como lo realizamos comúnmente
en el sistema decimal, lo único que hay que recordar que en la multiplicación los
elementos se llaman multiplicando y multiplicador, y que el operador es el signo (*). La
multiplicación binaria es conmutativa, asociativa y distributiva con relación a la suma.
La tabla de la multiplicación binaria se representa así
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
Ahora, para multiplicar números que tienen parte entera y parte fraccionaria se opera
igualmente como en el sistema decimal. Donde, para colocar el punto binario se
cuenta la cantidad de cifras fraccionarias tanto en el multiplicando como en el
multiplicador, y esta cantidad se separa en el producto o resultado.
A continuación citaremos algunos ejemplos en relación a lo descrito.
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Ejemplos:
10
* 1_
10
11
* 10
100
100
* 11
100
100_
1100
11.1
* 1.1
11 1
111_
101.01
Es momento de poner en práctica esta operación, para ello desarrolle la actividad.
Actividades recomendadas
Efectuar las multiplicaciones indicadas:
a)
b)
100111 * 101
11.101 * 1.01
División binaria Listo! hemos llegado a la última operación: La división binaria. En esta operación
binaria los elementos son el dividendo y divisor. Como en la división decimal de
enteros, un residuo es posible cuando un entero binario se divide por otro.
El procedimiento a seguir es el siguiente:
•
Se toma el mismo número de cifras en el dividendo que las que tiene el divisor, si
no alcanza se toma una más.
•
Se resta, se baja la siguiente cifra y se sigue el mismo procedimiento.
Hmmmm…, parecido
a las divisiones que
yo hago?
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Pues sí, tiene razón, el proceso es similar que cuando realizamos una división normal.
Veamos un ejemplo:
1010001
-11
100
- 11
100
- 11
11
11
11011
- 11
0
Así mismo, la división de fracciones binarias se maneja de la misma manera que la
división de fracciones decimales; comprobémoslo revisando para ello el algoritmo
presentado por Barco y Aristizábal (1998:13), que consiste en:
•
Desplazar el punto binario, tanto en el dividendo como en el divisor, hasta que el
divisor sea un número entero.
•
Cuando el número de cifras fraccionarias del divisor es mayor que las del
dividendo, es necesario agregar a este último los ceros que se precisen.
•
Luego, se determina si el número de cifras del divisor es igual o menor que el
número de dígitos de la izquierda del dividendo. Si así sucede, se escribe un (1) en
el cociente y el divisor se resta de esos dígitos, y a este residuo se le agrega la
cifra siguiente del dividendo. Si, por el contrario, el divisor es superior a los dígitos
del dividendo con los que se compara, se colocará un cero (0) en la posición del
cociente y se toma la siguiente cifra del dividendo.
Ejemplo:
10.01 ÷ 1.1
Por lo que 10.01 ÷ 1.1 = 100.1 ÷ 11, realizando la operación se tiene:
100.1
-11
11
- 11
0
11
1.1
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Una vez revisada esta última operación desarrolle la actividad que a continuación le
proponemos.
Actividades recomendadas
Efectuar las divisiones siguientes:
c)
d)
3.4
1111 ÷ 101
101.1011 ÷ 1.11
Complementos binarios De lo estudiado hasta el momento, surge la pregunta ¿Cómo se representa el signo de
un número en el computador?, pues mientras que los seres humanos usamos los
signos + y – para denotar números positivos y negativos, el computador puede
procesar datos solamente en términos de bits. Es posible reservar un bit para denotar
el signo de un número, 0 para números positivos (+) y 1 para números negativos (-).
El sistema más empleado para representar números binarios con signo es el de
complemento a 2. Para considerar este último sistema es necesario tener en cuenta
el complemento a 1, el cual se obtiene cambiando cada bit del número por su
complemento.
El complemento a 2 de un número binario se obtiene tomando el complemento a 1 y
sumándole una unidad al bit menos significativo. Por ejemplo: para introducir el signo
al número +4310 se agrega un bit 0 adelante del número binario puro, así:
43 = 1010112
+43= 01010112
En cambio para obtener el número negativo –4310 se encuentra el complemento a 2
del número positivo, así:
Número binario positivo
0101011
Complemento a 1
1010100
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+1
Complemento a 2
10101012
Por lo que: 10101012= -43
El complemento a 2 de un número con signo cambiará un número positivo por uno
negativo y viceversa, es decir, que el complemento a dos cambia la polaridad del
número. Por tanto el complemento a 2 permite representar números binarios con
signo, pues permite transformar sustracciones en adiciones.
Le comentamos que al utilizar el complemento a 2 se pueden presentar cuatro casos:
1.
Sumar dos números positivos:
Ejemplo: Para sumar +28 con +13 se procede así:
Vamos a utilizar 7 bits para los números:
+28
+13
+14
0011100
+ 0001101
0101001
2. A un número positivo sumar un número negativo, o lo que es lo mismo efectuar la
sustracción entre dos números positivos en donde el minuendo es mayor que el
sustraendo.
Ejemplo: sumar +28 con -13:
+28
- 13
+15
0011100
+ 1110011
10001111
bit de acarreo
El bit de acarreo se desprecia y la respuesta es +15= 000111
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3. Aun número positivo sumar un número negativo mayor, es decir efectuar la
diferencia entre dos números positivos en donde el minuendo es menor que el
sustraendo.
Ejemplo: sumar +13 con -28:
+13
0001101
- 28
+ 1100100
-15
1110001
0001112= + 15 (Complemento a 2)
4. Sumar dos números negativos.
Ejemplo: sumar +13 con -15:
-13
1110011
- 15
+ 1110001
-28
11100100
00111002= + 28 (Complemento a 2)
El bit de acarreo se desprecia.
Bien, ahora le toca a usted poner en práctica esta explicación.
Actividades recomendadas
Realizar las siguientes operaciones en binario.
a) +15 -25
b) -14 – 18
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3.5
Códigos del computador Hasta ahora hemos visto cómo se representan los números en el computador, en esta
sección en cambio se presentará una descripción de algunos de los códigos que utiliza
el computador para la representación de texto, entre estos están:
•
EBCDIC
(Extended
Binary
Coded
Decimal
Interchange
Code),
código
alfanumerico de 8 bits, utilizado en grandes sistemas de computación.
•
ASCII (American Standard Code for Information Interchange, utiliza 7 bits y
permite representar números, letras mayúsculas y caracteres de puntuación.
Aparte de los indicados existen otros códigos que pueden ser utilizados para la
representación de texto en el computador, para lo cual lo invitamos a completar esta
sección realizando la siguiente actividad.
Actividades recomendadas
Investigue dos códigos más que utilice el computador para la representación de
texto.
Señor estudiante, como usted puede apreciar, la aritmética del computador es un tema
de gran interés que necesita ser complementado, para ello revise:
La lectura del anexo 2: Representación de la información en los computadores, donde podrá encontrar otros sistemas de numeración, y reforzar mejor lo estudiado Muy bien, parece que hemos terminado el estudio de los contenidos del primer
bimestre ¿Cómo van esos ánimos?,
los invitamos a que juntos nos sigamos
adentrando en el campo de la informática, y aprovechemos las ventajas que nos
brinda.
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Recuerde que:
Su preparación redundará en
beneficio personal y social.
Es hora de comprobar los conocimientos adquiridos en esta unidad, para lo cual le
proponemos resuelva las preguntas indicadas a continuación.
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