Tema 8

Capı́tulo 8
Plasticidad
Una caracterı́stica de los materiales reales es su resistencia limitada.
Esta propiedad fundamental, que hace entre otras cosas que las piezas y
estructuras se rompan, no se contempla en la respuesta elástica, ni siquiera
en la viscoelástica. El primer rasgo importante de las teorı́as de plasticidad es
que incorporan un lı́mite a la capacidad resistente del material y lo codifican
matemáticamente.
Un segundo rasgo propio de la plasticidad es la caracterización de la
respuesta irreversible, que se observa, sobre todo, en los materiales dúctiles.
En estos tipo de materiales se aprecia claramente que cuando se supera un
cierto estado de carga las deformaciones que se producen posteriormente no
se recuperan, a pesar de que se retiren las solicitaciones. Este fenómeno,
conocido como fluencia, es clave para diseñar procesos de fabricación por
conformado, pero también para poder valorar la seguridad de estructuras o
vehı́culos en situaciones extraordinarias como impactos, terremotos, etc.
8.1.
Historia
La teorı́a de la plasticidad se origina con los estudios de Tresca en 1864 en
los cuales describe que ciertos materiales fluyen cuando se someten a cargas
suficientemente altas y que la deformación que alcanzan permanece, incluso
cuando las cargas se retiran [1]. Colocando varias finas láminas de plomo y
sometiéndolas a punzonamiento, Tresca concluye, entre otras cosas, que el
material se deforma isocóricamente, y que el flujo plástico se inicia cuando
la máxima tensión tangencial alcanza un cierto valor crı́tico, condición que
se asocia desde entonces a su nombre.
Casi a la vez, Saint-Venant propone la primera teorı́a de lo que se conoce
actualmente como plasticidad rı́gida y la aplica a problemas planos, teorı́a
que posteriormente extiende Levy a problemas tridimensionales.
En 1913 von Mises propone un criterio de fluencia distinto al de Tresca
muy utilizado para estudio de metales y que mantiene su nombre hasta
157
158
Mecánica de sólidos,
I. Romero
Figura 8.1: Detalle de los experimentos de Tresca sobre la plasticidad en
plomo.
hoy basado, no en el valor de la tensión tangencial, sino en consideraciones
energéticas.
La primera teorı́a elasto-plástica completa la presenta Prandtl en 1924
para problemas bidimensionales y es Reuss quien la extiende a problemas
tridimensionales en 1930. Durante los años siguientes se desarrollan todas
las aplicaciones de la plasticidad perfecta, como el análisis lı́mite, la teorı́a
de lı́neas de fluencia, etc, y es en 1950 cuando Hill publica su libro sobre
la teorı́a matemática de la plasticidad ([2]) que culmina y unifica todos
los trabajos anteriores a él. El trabajo de Hill prácticamente concluye toda
la formulación de la teorı́a de la plasticidad en pequeñas deformaciones y
desde entonces los avances fundamentales han estado asociados a la teorı́a
en grandes deformaciones ([3]).
8.2.
Fenomenologı́a de la plasticidad
Las caracterı́sticas principales de la respuesta plástica son, como se ha
mencionado, la existencia de un lı́mite en la respuesta mecánica y la aparición de fenómenos irreversibles. Estas dos cualidades serán replicadas en los
modelos que presentaremos pero existen otras, también importantes, que se
observan en los experimentos sobre materiales elastoplásticos.
8.2.1.
El ensayo de tracción uniaxial
Todos los elementos básicos de respuesta elastoplástica se pueden identificar en el ensayo de tracción uniaxial, por lo que a continuación lo describimos con cierto detalle, basándonos en el esquema de la figura 8.2.
Supongamos que se ensaya a tracción una barra de un material metálico
libre de tensiones y se dibuja un diagrama tensión-deformación (ingenieriles)
del ensayo. En este se puede apreciar lo siguiente:
Capı́tulo 8. Plasticidad
159
P
f
"
Figura 8.2: Ensayo uniaxial de tracción en un material dúctil tı́pico.
Al comenzar a cargar la probeta, el diagrama muestra una respuesta
proporcional: la tensión crece con la deformación, y además esta relación es proporcional. Esta constante de proporcionalidad, como ya se
explicó, es el módulo de Young del material. La respuesta proporcional
tiene además otra propiedad fundamental y es que es reversible. Cuando la tensión disminuye, la deformación también lo hace, y además el
camino de descarga es la misma recta que la de carga.
Al continuar incrementando el valor de la tensión se observa que la
curva
" pierde su linealidad. El valor de la tensión por encima del
cual esto ocurre se conoce con el nombre del lı́mite de proporcionalidad . Cuando la tensión supera este valor caracterı́stico del material,
la respuesta (y por tanto la curva) pasa a ser no lineal, pero se sigue
manteniendo la reversibilidad del proceso: al igual que antes, al reducir
el valor de la tensión, observamos como la curva se recorre en sentido
contrario a la carga, hasta el origen.
Si se incrementa más la tensión, se supera un valor, también caracterı́stico del material y que se conoce como lı́mite elástico, a partir
del cual las deformaciones que se producen no son completamente recuperables. Al descargar la probeta se observa que el camino ya no
coincide con el de carga y que, al retirar las tensiones completamente,
la probeta queda con una deformaciones permanentes o deformaciones plásticas. Este proceso se verifica de forma idéntica a tracción
y a compresión de la probeta, siendo el lı́mite elástico de ambos casos
idénticos.
160
Mecánica de sólidos,
I. Romero
Si en el ensayo de tracción se supera el lı́mite elástico, se observa en
el diagrama una región en el que la tension se mantiene prácticamente
constante mientras la deformación crece, como si el material fluyera.
Este valor de la tensión se conoce como el lı́mite de fluencia. La
deformación que ocurre durante la fluencia es plástica.
Si se continúa deformando la probeta, la curva tensión-deformación
continua con pendiente positiva, siendo la deformación mayormente
plástica. Para identificar la parte de la deformación plástica de la
elástica basta con descargar la probeta en cualquier instante, pues
la deformación plástica es la que se corresponde con la tensión nula.
Después de una descarga completa se observan dos fenómenos: primero, al volver a cargar la probeta este proceso es elástico hasta que se
alcanza la tensión en la se comenzó la descarga. Esta tensión es mayor
que el lı́mite elástico y se dice que el material, debido a la deformación plástica, ha sufrido un endurecimiento isótropo. Además, si la
probeta se descarga y después se continúa ensayando a compresión se
comprueba que el lı́mite elástico a compresión ha disminuido respecto
a su valor original, conociéndose esto como el efecto Bauschinger .
Para modelar este efecto, se supone que la disminución del lı́mite elástico en un sentido es igual al incremento del lı́mite elástico en el otro
debido al endurecimiento isótropo, siendo el primero conocido como
endurecimiento cinemático.
En los metales se observa experimentalmente que la deformación plástica es prácticamente toda ella desviadora, es decir, que el flujo plástico
es isocórico.
Si las tensiones de tracción siguen incrementándose se llega a la rotura
del material.
8.2.2.
Efecto de la velocidad de deformación
En este capı́tulo estudiaremos la deformación de cuerpos elastoplásticos
bajo velocidades de deformación pequeñas (⇡ 10 2 s 1 ). En este orden de
velocidades de deformación las propiedades de los materiales elastoplásticos son constantes. En cambio, si la velocidad de deformación es alta las
caracterı́sticas del material cambian: el lı́mite elástico se incrementa con la
velocidad de deformación y la rama plástica se acorta.
8.2.3.
Efecto de la temperatura
Como en la viscoelasticidad, la temperatura tiene un efecto importante
en el comportamiento plástico de los materiales. Por ejemplo, a temperaturas
bajas los metales se comportan de manera frágil, mientras que lo hacen de
Capı́tulo 8. Plasticidad
161
f
f
"
f
"
f
"
"
"
"
f
Figura 8.3: Modelos simplificados del comportamiento plástico. De arriba
a abajo, izquierda a derecha, modelo: plástico perfecto, plástico con endurecimiento lineal, elastoplástico con plasticidad perfecta, elastoplástico con
endurecimiento no lineal, de Ramberg y Osgood.
manera dúctil a temperaturas altas. También la forma de la curva tensióndeformación se modifica con la temperatura.
8.3.
Modelos simplificados
Como la respuesta elastoplástica es tan compleja, incluso para el caso
uniaxial, se han propuesto varios modelos simplificados. Véase la figura 8.3.
Por ejemplo, el caso de la plasticidad perfecta ha servido para resolver, de
forma aproximada varios problemas de interés en ingenierı́a de fabricación
donde las piezas se “conforman” por acumulación de deformación plástica. Este tipo de modelos pueden dar aproximaciones aceptables cuando la
magnitud de la deformación plástica sea mucho mayor que la de la parte
recuperable.
También se han propuesto varias modelos analı́ticos que permiten representar matemáticamente la curva de tensión-deformación unidimensional [3].
162
Mecánica de sólidos,
I. Romero
f
Figura 8.4: Modelo reológico del elemento rozante, caracterizado por un
lı́mite en la tensión f , o tensión de fluencia.
Algunas de ellas, junto con el nombre de la persona que las propuso y la
fecha son:
Ludwick (1909):
Prager (1938):
+ H"n
⇣
⌘
= f tanh Ef "
=
f
Ramberg y Osgood (1943): " =
E
+H
n
E
siendo H y n en cada caso constantes escogidas para ajustar el comportamiento. Todos estos modelos sencillos permiten ajustar el comportamiento
elastoplástico en un ensayo de carga, pero no pueden representar ciclos de
carga y descarga o cualquier otro proceso más complejo.
8.4.
Plasticidad unidimensional
De la misma manera que los modelos reológicos permiten una descripción “intuitiva” de la viscoelasticidad, existen modelos similares para presentar la el comportamiento plástico. El elemento básico para comprender la
plasticidad es el rozante, dibujado en la figura 8.4, un elemento mecánico
unidimensional cuya deformación viene dada por la relación
(
0
| |< f ,
"˙ =
(8.1)
˙ sgn( ) | | = f , con ˙ 0 .
Este sistema no establece una relación unı́voca entre tensión y deformación, sino que simplemente limita el valor lı́mite de la tensión. La relación (8.1) no es una función diferenciable, lo cual dificulta el análisis y la
resolución de problemas.
Para ilustrar la forma en la que los rozantes pueden emplearse para estudiar la respuesta de sólidos eslastoplásticos consideremos, en primer lugar,
un sólido con el modelo reológico de la figura 8.5, compuesto de un resorte
elástico de constante E y un rozante de constante f , indicando como la
tensión (fuerza) ejercida sobre el sistema, " su deformación, que consta de
un parte plástica "p y otra elástica "e , satisfaciendo " = "p + "e .
Este modelo es sometido a un ciclo de carga y descarga con control de
deformación ( ver la figura 8.6). Desde la situación sin deformar, la deformación total " se incrementa monotónicamente hasta que se alcanza la tensión
Capı́tulo 8. Plasticidad
163
"
"p
"e
f
E
Figura 8.5: Modelo reológico para el comportamiento elastoplástico perfecto.
de fluencia en el estado 1. Si se sigue incrementando la deformación, ésta
crece hasta el estado 2, aunque la tensión ya no puede superar el valor f .
Si en el estado 2 se inicia un ciclo de descarga, se puede ir decrementando
la deformación hasta encontrar un estado (correspondiente al punto 3) en
el que la tensión se anula. En la figura 8.6 también se puede observar la
evolución de la deformación en el rozante y en el resorte. En el primero, la
deformación crece durante la fase de carga 1 ! 2, y se mantiene constante
una vez que se alcanza la tensión de fluencia, hasta la rama de descarga.
Sin embargo, la evolución de la deformación plástica es junto la opuesta:
permanece cero durante la rama inicial de carga y sólo cuando se alcanza f
la primera crece, hasta que se reinicia el proceso de descarga.
En este sencillo experimento se observan los dos fenómenos principales
de la plasticidad: la existencia de un lı́mite para el valor de la tensión y la
aparición de efectos permanentes en la deformación una vez retiradas las
cargas. También ilustra un aspecto que será muy útil para la formulación
matemática de la elastoplasticidad: la deformación " se puede descomponer
aditivamente de la siguiente manera:
" = "e + "p ,
(8.2)
siendo "p la parte plástica de la deformación. Además, la tensión total se
puede expresar como
= E(" "p ) = E"e .
(8.3)
Por último, para expresar matemáticamente las condiciones en las que se
inicia la deformación plástica resulta útil definir una función de fluencia
que depende sólo de la tensión y que para este modelo reológico es
f( ) = | |
f
.
(8.4)
Por la forma en la que hemos definido el elemento rozante esta función nunca
puede tener valor positivo. De hecho, cuando se verifica f = 0, quiere decir
que el rozante puede empezar a deslizar. De forma geométrica podemos decir
que la tensión sólo puede tomar valores en el intervalo [ f , f ] y que el
164
Mecánica de sólidos,
I. Romero
"e
1
2
3
"
1
t
p
2
f
2
3
1
"
3
t
"
2
1
3
t
Figura 8.6: Ensayo tracción-compresión con modelo elastoplástico perfecto.
En la figura de la izquierda se muestra el ciclo de carga-descarga y en las
tres figuras de la derecha, la evolución de las deformaciones.
flujo plástico sólo puede ocurrir cuando
está sobre el contorno de este
conjunto. La expresión matemática de estas condiciones es:
˙
0,
f ( )  0,
˙ f( ) = 0 .
(8.5)
Estas relaciones se suelen denominar las condiciones de Karush-KuhnTucker . El modelo reológico empleado es tan sencillo que no posee ningún
tipo de endurecimiento.
8.5.
Criterios de fallo
La función de fluencia f utilizada en el modelo unidimensional sirve para
caracterizar de manera única los casos en los que se puede dar deformación
permanente. Extendemos a continuación esta idea a problemas con estados
de carga completamente generales.
Capı́tulo 8. Plasticidad
165
Los sólidos salen del régimen de comportamiento elástico por motivos
muy distintos, dependiendo de la microestructura de los materiales que los
constituyen. Por ejemplo, los metales dejan de ser elásticos cuando plastifican debido a la nucleación y movimiento de dislocaciones en la red cristalina
de cada grano. Los polı́meros también salen del régimen elástico, pero en
este caso se debe a desenrollamiento de cadenas poliméricas. Por último,
los materiales cerámicos o el hormigón dejan de ser elásticos debido a la
aparición de microfisuras. Por unificar conceptos, llamaremos fallo a la finalización del comportamiento elástico de un material, independientemente
del micromecanismo responsable del mismo.
Un criterio de fallo es un modelo matemático que intenta explicar
cuándo se inicia el fallo de un punto material a partir del estado de tensiones y/o deformaciones del mismo. Aunque están “inspirados” en la micromecánica de los materiales, los criterios de fallo son sólo fórmulas sencillas
que, con uno o varios parámetros, ajustan los resultados experimentales de
la mejor forma posible. No hay ningún criterio de fallo exacto para todo
estado tensional .
En este curso estudiaremos criterios de fallo de la forma f ( )  0 y
llamamos a f la función de fallo. Cuando f ( ) es negativo, el punto con
estado tensional
se encuentra en régimen elástico. Cuando f ( ) = 0, el
criterio predice que se produce el fallo. Lo que ocurre si f > 0 no tiene
interés porque el criterio no proporciona entonces información útil. Cuando
el valor de f ( ) es negativo, su módulo indica, la “distancia” que está el
punto del fallo. Aunque no lo definamos con precisión, si f ( 1 ) < f ( 2 ),
entonces el estado 1 está más lejos del fallo que el estado 2 .
De forma abstracta se puede definir el dominio elástico E como la
región en el espacio de tensiones tal que f < 0. Cuando una tensión es tal
que 2 E, el punto material se estará cargando o descargando elásticamente.
Sólo cuando un estado tensional esté en el contorno de E será posible que
haya deformación plástica.
Por simplificar más aún los criterios de fallo, nos basaremos en el ensayo
de tracción/compresión pura para definir los criterios de fallo. En un material
dúctil, sabemos que el fallo plástico ocurre cuando la tensión alcanza el lı́mite
elástico e ; en cambio, un material frágil falla cuando la tensión alcanza el
valor r , la tensión de rotura. Si definimos la tensión última u al lı́mite
elástico, si el material es dúctil, o la tensión de rotura, si el material es
frágil, consideraremos en este curso criterios de fallo siempre de la forma:
f( ) =
eq (
)
u
,
(8.6)
siendo eq un escalar que denominamos la tensión equivalente y que siempre ha de definirse de acuerdo a un criterio de fallo.
Para cuantificar la severidad de un estado tensional respecto de un criterio de fallo, se define el coeficiente de seguridad del estado tensional
166
Mecánica de sólidos,
III
I
I. Romero
III
II
I
II
Figura 8.7: Representación gráfica en el espacio ( I , II , III ) de los dominios
elásticos según el criterio de Tresca (izda) y de von Mises (dcha).
respecto al criterio de fallo f como el escalar n tal que
f (n ) = 0 .
(8.7)
De acuerdo a las dos definiciones anteriores, la tensión equivalente eq ( )
es aquella tensión que en un ensayo de tracción/compresión pura tendrı́a el
mismo coeficiente de seguridad que .
Un criterio de fallo no puede depender de de cualquier manera. Para
que éste sea fı́sicamente correcto, por ejemplo, no puede ser una función
de las componentes de la matriz asociada a que dependa del sistema de
coordenadas escogido. Expresado de otra manera, la función f sólo puede
depender de invariantes de y si además, es isótropa, no puede depender de
ninguna dirección. Existen infinitos invariantes del tensor tensión, pero sólo
se pueden escoger tres que sean funcionalmente independientes. Tı́picamente
se escogen, bien los invariantes principales descritos en el 1, o bien las tres
tensiones principales. Por unificar conceptos utilizaremos siempre estas tres
últimas y, abusando de la notación, escribiremos:
f( ) = f( I,
II , III )
=
eq ( I , II , III )
u
.
(8.8)
Como en última instancia la función de fallo depende únicamente de las
tres tensiones principales se puede dibujar la superficie f ( I , II , III ) = 0
en un sistema cartesiano tridimensional. Esta representación puede ser útil
para comprender cualitativamente los criterios y para compararlos entre
ellos. Véase por ejemplo los dominios elásticos en la figura 8.7.
8.5.1.
Criterios de fluencia para materiales dúctiles
Independientemente de los micromecanismos responsables de la finalización del comportamiento elástico en los materiales dúctiles, estos se caracterizan por una rama plástica muy larga hasta el fallo definitivo. Por ello,
Capı́tulo 8. Plasticidad
167
Figura 8.8: Henri Édouard Tresca (1814–1885).
todos los criterios de fallo de materiales dúctiles se llaman criterios de
fluencia.
Entre los materiales dúctiles, los más comunes son los metales. Existen
varios criterios para modelar su fallo y a continuación describimos los dos
más habituales.
El criterio de Tresca
El criterio de Tresca (1814-1885) se basa en una serie de experimentos
llevados a cabo entre 1864 y 1873 por dicho ingeniero francés. En ellos, Tresca
estudió la deformación plástica y el punzonamiento de placas y cilindros de
plomo, cobre, parafina, hielo, etc. Los informes de estos experimentos fueron,
durante 80 años, los más completos sobre el tema de plasticidad. En ellos se
describen, por primera vez, el régimen elástico, el endurecimiento plástico y
la fluencia de los metales. Sobre este último aspecto, además de identificar
por vez primera que los metales fluyen como lı́quidos, de forma isocórica,
demostró que esto ocurre siempre bajo un estado tensional en el que la
tensión tangencial máxima tiene un valor caracterı́stico, constante para cada
material. Como en un ensayo de tracción pura la tensión tangencial máxima
toma el valor /2 propuso la siguiente función de fluencia:
II , III )
=
T resca
( I , II , III )
eq
T resca
( I , II , III )
eq
=
I
fT resca ( I ,
III
e,
(8.9)
.
En ocasiones resulta más útil expresar el criterio de Tresca como una
función de la tensiones principales sin ordenar. En este caso, la tensión
equivalente se puede escribir como
T resca
( I , II , III )
eq
= máx [|
I
II |, | II
III |, | III
I |]
.
(8.10)
168
Mecánica de sólidos,
I. Romero
Usando esta última expresión es sencillo comprobar que la superficie de
fluencia en el espacio I , II , III se obtiene extruyendo un hexágono a lo
largo del eje I = II = III . Ver la figura 8.7.
Los criterios de von Mises y Beltrami
El segundo criterio de fluencia que consideramos fue formulado por Maxwell hacia 1865, pero se suele atribuir a von Mises (1883–1953) que lo publicó
en 1913. La motivación fı́sica para el criterio de von Mises se encuentra en el comportamiento de los metales y expresa matemáticamente que la
plasticidad ocurre cuando la energı́a de distorsión alcanza un umbral caracterı́stico del material.
La energı́a de distorsión es la energı́a que tiene la parte desvidora de la
tensión definida como s =
pm I con pm = 13 tr( ). En un ensayo de
tracción pura, el valor de esta energı́a cuando se alcanza el lı́mite elástico
se puede calcular y es (1 + ⌫)/(3E) e2 . Calculando también esta energı́a en
función de las tensiones principales se puede establecer la siguiente función
de fluencia:
vM
fvM ( I , II , III ) = eq
( I , II , III )
(8.11)
e ,
siendo la tensión equivalente respecto al criterio de von Mises igual a
r
1
vM
2
2
2
[( I
(8.12)
II ) + ( II
III ) + ( III
I) ] .
eq ( I , II , III ) =
2
Al dibujar fvM = 0 en el espacio de las tensiones principales se observa
que la superficie de fluencia es un cilindro con eje en la recta I = II = III
que pasa por el origen de coordenadas (ver la figura 8.7). Ası́, por ejemplo,
se puede apreciar que según este criterio, tensiones esféricas nunca tocan la
superficie de fluencia.
. Ejemplo 8.5.1. Un punto de un cuerpo deformable dúctil está sometido
a un estado tensional cuya matriz asiociada, en un sistema de referencia
cartesiano, es
2
3
10
10 0
20 0 5 MPa .
[ ] = 4 10
(8.13)
0
0
15
Calcular la tensión equivalente en el punto según los criteriosd de Tresca y
von Mises. Si se sabe que el lı́mite elástico del material es e = 80 MPa,
calcular además el factor de seguridad del estado tensional anterior según
cada uno de los dos criterios indicados.
Las tensiones principlales de este estado tensional son
p
p
5 5 MPa .
I = 15 + 5 5 MPa ,
II = 15 MPa ,
III = 15
(8.14)
Capı́tulo 8. Plasticidad
169
Figura 8.9: William Rankine (1820–1872).
Las tensiones equivalentes según los criterios de Tresca y von Mises son:
p
Tr
vM
(8.15)
eq = 10 5 = 22,36 MPa ,
eq = 19,37 MPa .
En cada caso, el factor de seguridad es
nT r =
80
= 3,58 ,
22,36
nvM =
80
= 4,13 .
19,37
(8.16)
Nótese que, para este estado tensional, el criterio de Tresca es más conservador que el criterio de von Mises.
/
Anteriormente a von Mises, Beltrami propuso un criterio de fluencia
muy similar que predecı́a el fallo plástico cuando la densidad de energı́a de
deformación alcanza un valor crı́tico. A diferencia del criterio de von Mises,
el criterio de Beltrami tiene en cuenta la densidad de energı́a debida a la
presión y su uso es muy limitado porque sus predicciones no se ajustan
demasiado bien a los resultados experimentales en metales.
8.5.2.
Criterios de rotura para materiales frágiles
Los materiales frágiles fallan de forma súbita, sin aparente fluencia, y
por ello los criterios de fallo se denominan criterios de rotura. Además,
otra caracterı́stica que distingue los materiales frágiles de los dúctiles es su
habitual anisotropı́a pues resisten mucho más a compresión que a tracción.
El criterio de Rankine
El criterio de Rankine predice que un punto material falla cuando,
bien la tensión principal mayor I alcanza la tensión de rotura a tracción
170
Mecánica de sólidos,
I. Romero
rt ,
o bien la menor tensión principal III alcanza la tensión de rotura a
compresión rc .
Matemáticament el criterio de Rankine se puede expresar como
fRankine ( I ,
II , III )
=
Rankine
( I , II , III )
eq
=
Rankine
( I , II , III )
eq
rt
máx( I , III
)
| rc |
rt
,
(8.17)
El criterio de Saint Venant
El criterio de Saint Venant predice que el material fallará cuando las
deformaciones principales alcancen un valor crı́tico. Definiendo la tensión
equivalente como
SV
⌫ j ⌫ k|
(8.18)
eq = máx | i
i6=j6=k
la función de fallo, se puede formular, como siempre,
fSV ( I ,
II , III )
=
SV
eq ( I , II , III )
(8.19)
u
El criterio de Mohr-Coulomb
La motivación para el criterio de Mohr-Coulomb surge de la observación
experimental que indica la resistencia al cortante de ciertos materiales es
sensible a la presión media. Este tipo de comportamiento se asemeja a la ley
de Coulomb de la fricción y fue Mohr en 1882 quien notó que la condición de
fallo en este caso coincide con el instante en el que el mayor cı́rculo de Mohr
es tangente a una recta, denominada la recta caracterı́stica del material.
|⌧ |
(0, C)
rc
3
1
rt
n
H
Figura 8.10: Representación gráfica del criterio de Mohr-Coulomb.
Como se puede apreciar en la figura 8.10, la recta caracterı́stica intersecta
el eje vertical del diagrama de Mohr en el punto (0, C). La constante C del
material indica su resistencia a cortante cuando la tensión normal es nula y
se llama por ello la cohesión del mismo. El ángulo determina cuánto crece
la resistencia a la cortadura en función de la tensión normal. Por analogı́a
Capı́tulo 8. Plasticidad
171
con la ley de Coulomb del rozamiento, esta constante material se llama el
ángulo de fricción del material.
En la figura 8.10 se observa que los estado tensionales correspondientes a
los estados de tensión y compresión pura en el punto de rotura son tangentes
a la recta caracterı́stica del material. Por tanto se puede escribir:
sin
=
rt /2
H
,
rt /2
y también
sin
=
| rc |/2
.
H + | rc |/2
(8.20)
Igualando ambas expresiones del seno del ángulo de fricción se obtiene que
H=
rt
1
k
,
con
k=
rt
|
rc |
.
(8.21)
Una vez obtenida el valor de la tensión H para la cual el material no resiste
ningún esfuerzo tangencial, se puede despejar el valor del seno del ángulo de
fricción como:
1 k
sin =
.
(8.22)
1+k
Por último, y también a partir de la 8.10, se puede escribir que, en
cualquier estado de fallo se ha de verificar:
I
sin
=
H
2
III
I + III
.
(8.23)
2
Y sustituyendo los valores de sin y H obtenidos, respectivamente, en (8.22)
y (8.21) resulta que en cualquier estado de fallo:
I
k
rt
III
=0.
(8.24)
Concluimos que la función de fluencia para el criterio de Mohr-Coulomb se
puede escribir como:
fM C ( I ,
II , III )
En el caso en el
Tresca.
=
rt
MC
eq ( I , II , III )
=
rc
,
y
MC
eq ( I , II , III )
= I k
(8.25)
el criterio de Mohr-Coulomb coincide con el de
rt
. Ejemplo 8.5.2. Un sólido está sometido a una solicitación de forma que
en un punto el estado tensional se puede expresar, en una base cartesiana,
como
2
3
10 10 0
15 0 5 MPa .
[ ] = 4 10
(8.26)
0
0
2
La tensión de rotura a tracción del material es rt = 10 MPa y la de compresión es rc = 40 MPa. Calcular la tensión equivalente en el punto según
los criterios de Rankine y de Mohr y los factores de seguridad en cada caso.
III
.
172
Mecánica de sólidos,
I. Romero
|⌧ | (MPa)
-40
-30
-20
-10
0
10
n
(MPa)
Figura 8.11: Ejemplo 8.5.2. Diagramas de Mohr del estado tensional original (gris), del estado escalado según el factor de seguridad del criterio
de Rankine (amarillo), del estado escalado según el factor de seguridad de
Mohr-Coulomb (rojo).
Dibujar el diagrama de Mohr del estado tensional en el punto y los diagramas de los estados tensionales cuando la tensión es 0 = n , siendo n cada
uno de los coeficientes de seguridad previamente calculados.
Las tensiones principales son
I
= 2,00 MPa ,
II
=
2,19 MPa ,
III
=
22,81 MPa ,
y, empleando las expresiones (8.17) y (8.25), las tensiones equivalentes de
Rankine y Mohr-Coulomb son:
Rankine
eq
= 5,70 MPa ,
MC
eq
= 7,70 MPa ,
por lo que sus correspondientes factores de seguridad son
nRankine = 1,75,
nM C = 1,29 .
En la figura 8.11 se observan el diagramas de Mohr correspondiente al
estado tensional . Cuando este estado se escala según nRankine , se sigue
un diagrama de Mohr (amarillo) que se puede dibujar multiplicando por
dicho factor cada una de las tensiones principales y volviendo a completar
los cı́rculos. El nuevo estado es tangente a la lı́nea n = 40 MPa. Por
último, al dibujar el diagrama de Mohr asociado al estado · nM C (en rojo)
se observa que éste es tangente a la recta caracterı́stica del material.
/
. Ejemplo 8.5.3. El cilindro de la figura es de un material cerámico cuyo
fallo puede predecirse con el criterio de Mohr-Coulomb. Se desea conocer la
Capı́tulo 8. Plasticidad
173
p
Figura 8.12: Cilindro sometido a un estado triaxial del ejemplo 8.5.3.
resistencia del material y para ello se realizan dos ensayos. En el primero, la
probeta se comprime lateralmente con una presión p = 2 MPa; después se
tracciona en dirección axial y se observa que el fallo se produce cuando =
0, 7 MPa. En el segundo ensayo se emplea una presión lateral de p = 4 MPa
y la probeta se comprime axialmente, observándose que en este caso el fallo
ocurre cuando esta compresión es de 14 MPa. Determinar la cohesión y el
ángulo de fricción del material.
El criterio de Mohr-Coulomb indica que el fallo en un material ocurre
cuando se verifica
 3
1
rt = 0 ,
siendo 1 y 3 la mayor y menor tensión principal, respectivamente, rt
el lı́mite de rotura a tracción y  = rt / rc , con rc el lı́mite de rotura
a compresión. Como en los dos ensayos realizados se llega a la rotura del
material se cumple que
0,7 +  2
rt
=0,
4 +  14
rt
=0.
Resolviendo este sistema de ecuaciones se sigue que
 = 0, 392
y
rt
= 1,48 MPa ,
por lo que rc = 3,79 MPa. De aquı́ se sigue el la cohesión C y el ángulo de
fricción ✓ son:
1 
rt
✓ = arcsin
= 25, 9o ,
C=
sin ✓ = 1,73 MPa .
1+
1 
174
Mecánica de sólidos,
I. Romero
/
8.5.3.
Otros criterios
Existen numerosos otros criterios de fallo, adaptados especialmente para
un tipo particular de materiales.
El criterio de Drucker-Prager
De la misma manera que el criterio de Mohr-Coulomb generaliza el criterio de Tresca introduciendo una dependencia de la resistencia con la presión,
Drucker y Prager en 1952 propuesieron una extensión del criterio de von Mises para capturar el mismo efecto. La función de fallo en este caso es de la
forma
fDP ( I , II , III ) = k desv k ↵p K ,
(8.27)
8.6.
Las ecuaciones de Prandtl-Reuss
El modelo completo de plasticidad en pequeñas deformaciones lo propuso
por primera vez Prandtl en 1924, para dos dimensiones, y Reuss en 1930 para
tres dimensiones. Estos son los principales ingredientes de la teorı́a:
Descomposición aditiva de la deformación. En todo punto, la deformación infinitesimal se descompone en una parte “elástica” y otra “plástica”,
es decir,
" = "e + "p .
(8.28)
Por consiguiente, y dada la linealidad del operador traza, también se pueden
descomponer la deformación volumétrica y la desviadora:
✓ = ✓e + ✓p ,
e = ee + ep .
(8.29)
Flujo plástico isocórico. Para adecuarse a la evidencia experimental
que indica que la deformación plástica no tiene componente volumétrica se
admite la simplificación:
✓p = 0 .
(8.30)
Esta simplificación es muy útil y se verifica de forma muy precisa para
pequeñas deformaciones, aunque no es tan precisa cuando las deformaciones
son grandes.
Respuesta elástica. La tensión depende únicamente de la parte elástica
de la deformación, ası́ pues
= s + pI ,
s = 2µ(e
ep ) ,
p = k(✓
✓p ) = k✓ .
(8.31)
Capı́tulo 8. Plasticidad
175
Superficie de fluencia en el espacio de tensiones. Se supone que
existe una función f , la llamada función de fluencia, tal que la ecuación
f ( ) = 0 define la superficie de fluencia y tal que la tensión siempre nunca
puede estar en el exterior de la región del espacio de tensiones delimitada
por la función de fluencia, es decir, f ( )  0. Más aún, sólo puede haber
flujo plástico cuando la tensión esté en la superficie de fluencia.
Ley de flujo plástico. La evolución de la deformación plástica "p viene
dada por la ecuación diferencial
ėp = ˙
s
.
ksk
(8.32)
El parámetro ˙ no queda determinado todavı́a pero, como en caso del elemento rozante, expresamos que el flujo plástico sólo puede darse cuando la
tensión alcanza la superficie de fluencia mediante las ecuaciones
˙
8.7.
0,
f( )  0 ,
˙ f ( ) = 0.
(8.33)
Endurecimiento
En el modelo simplificado del rozante, una vez que la tensión alcanza el
valor lı́mite f , éste permanece constante mientas el modelo sufre deformación plástica. Sin embargo, ya en el ensayo de tracción de metales se observa
un comportamiento distinto, en el que a medida que la deformación plástica
crece, la tensión necesaria para seguir deformando plásticamente el material
también crece. Este efecto se conoce con el nombre de endurecimiento
isótropo. Para modelar matemáticamente este fenómeno, se modifica la
expresión de función de fluencia: en el caso, por ejemplo, de la función de
fluencia de von Mises, escribimos
f( ) =
vM
eq
(
+ k(↵)) ,
f
(8.34)
siendo k una función de endurecimiento isótropo y ↵ la deformación plástica
acumulada
Z
t
↵(t) =
d⇠ .
(8.35)
0
La función k de endurecimiento puede ser de varias maneras, entre ellas
Endurecimiento lineal: k(↵) = Hiso ↵, con Hiso constante;
Con saturación: k(↵) = (
1
f )(1
e⌘↵ )
En términos geométricos el endurecimiento isótropo implica que la región
elástica crece con la deformación plástica.
176
Mecánica de sólidos,
I. Romero
El segundo tipo de endurecimiento, el cinemático, modela que la región
elástica se desplaza a medida que el material se deforma plásticamente.
Matemáticamente requiere que se defina una tensión ↵ tal que la función
de fluencia se escriba como
f( ) =
eq (
↵)
y
.
(8.36)
La forma más sencilla de modelar la tensión ↵ es mediante la regla de
Melan-Prager:
˙ = Hcin "˙p .
↵
(8.37)
Este tipo de relaciones indican que el endurecimiento cinemático ocurre en
la misma dirección y sentido que la deformación plástica.
Los dos tipo de endurecimiento enunciados tienen una interpretación
geométrica sencilla cuando se emplea el concepto de la región elástica. En
el caso del endurecimiento isótropo, se observa que cuando éste se produce,
el dominio elástico crece de tamaño, en todas las direcciones por igual. Por
ejemplo, en el caso del dominio elástico asociado al criterio de von Mises,
cuando hay endurecimiento isótropo, el diámetro del dominio elástico aumenta, aunque éste sigue siendo un cilindro de eje I = II = III . En el
caso de endurecimiento cinemático, éste se manifiesta desplazando el dominio elástico dentro del espacio de tensiones. Por ejemplo, en un modelo de
von Mises con endurecimiento plástico cinemático, pero sin endurecimiento isótropo, la acumulación de deformación plástica transforma el dominio
elástico en un cilindro cuyo eje ya no pasa por el origen de coordenadas.
8.8.
Consideraciones termodinámicas
En las ecuaciones que describen la respuesta elastoplástica se han empleando funciones de fluencia, de endurecimiento, de flujo plástico, etc sin
considerar en ningún momento si cualquier función es válida para modelar
estos fenómenos. Empleando ahora los resultados del capı́tulo 8.39 examinamos algunas de estas funciones.
Limitándonos al caso de las ecuaciones de Prandl-Reuss, la energı́a libre
de un punto material es
1
A(", "p ) = ✓2 + µ(e
2
ep ) : (e
ep ) ,
(8.38)
siendo  y µ el módulo de rigidez volumétrica y el de cortante, respectivamente. En este modelo la deformación plástica "p cumple el papel de variable
interna y por lo tanto se sigue
=
@A
= ✓ + 2µ(e
@"
ep ) = pI + s ,
q=
@A
= 2µ(e
@"p
ep ) = s .
(8.39)
Capı́tulo 8. Plasticidad
177
La segunda ley de la termodinámica implica que la tasa de las variables
internas verifique "˙ p : q 0 y, a la vista de los resultados anteriores,
s : ėp
0.
(8.40)
Una manera de garantizar que esta igualdad se cumpla es imponer que ėp
sea paralelo a la tensión desviadora, como de hecho se postulaba en (8.32).
También relacionadas con la termodinámica de los procesos irreversibles,
están todas las consideraciones que históricamente se han discutido sobre la
estabilidad de la respuesta elastoplástica. De entre ellas, la más interesante
es quizás la asociada con el llamado principio de máxima disipación
plástica que establece que, para una velocidad de deformación plástica
conocida "˙ p , la tensión en el punto es aquella que maximiza la disipación
: "˙ p de entre todas las que satisfacen f ( )  0. Matemáticamente este
principio se escribe como
= arg máx ⌧ : "˙ p
⌧ ,f (⌧ )0
(8.41)
o, equivalentemente,
D("˙ p ) =
· "˙ p = máx(⌧ · "˙ p ).
⌧
(8.42)
Las consecuencias de este principio son numerosas y indicamos sin demostración que implica la convexidad de la región elástica y la normalidad del
flujo plástico.
8.9.
Teoremas lı́mite
En muchos diseños mecánicos se desea que los cuerpos bajo cargas no
alcancen, bajo ningún concepto, el régimen plástico. En su cálculo, el analista
debe de verificar que en todo momentos las tensiones en el cuerpo sean
suficientemente pequeñas como para que el lı́mite elástico nunca se alcance,
quizá incluso considerando un factor de seguridad. Este razonamiento es la
base del diseño elástico.
En otros diseños, sin embargo, es aceptable que el sólido o estructura
plastifique. Por ejemplo, el parachoques de un coche ha de plastificar para
absorber la energı́a de un impacto. En estos casos la capacidad de plastificar
no es ilimitada sino que, cuando la zona plastificada se extiende, puede darse
el caso de que el cuerpo colapse. Para los casos de diseño plástico, es por
tanto necesario no sólo conocer el inicio del régimen inelástico, sino también
la capacidad resistente antes del fallo.
En general, el estudio del comportamiento plástico de un cuerpo es complejo y se realiza habitualmente mediante análisis por elementos finitos. Es
posible, sin embargo, obtener cotas (o lı́mites) de la capacidad resistente de
178
Mecánica de sólidos,
I. Romero
un cuerpo elastoplástico. Estas cotas suelen ser relativamente sencillas de
obtener y proporcionan una información muy valiosa para el diseño, sobre
todo en estructuras. Los resultados más útiles se conocen como los teoremas
lı́mite del cálculo plástico, que estudiamos a continuación.
Consideremos en esta sección únicamente estados de carga proporciona˜ y t̄ = ˜t̄, y busquemos el valor de la carga
les, es decir, de la forma f̄ = f̄
de colapso de un cuerpo rı́gidamente plástico. Este valor, que denominamos
⇤ , es el máximo
2 R+ que resuelve el problema mecánico
✓Z
◆
Z
Z
˜ · w dV +
˜t̄ · w dS ,
· "[w] dV =
f̄
(8.43)
⌦
⌦
t
para todo w con = C(" "p ), " = rs u, f ( )  0 y u = ū en u . Como
es difı́cil, en general, encontrar este valor, supongamos que conocemos un
campo de tensiones 1 que satisface f ( 1 )  0 y
Z
⌦
1 · "[w] dV =
1
✓Z
⌦
˜ · w dV +
f̄
Z
t
˜t̄ · w dS
◆
(8.44)
para todo w. Este campo de tensiones se dice que es estaticamente admisible
porque cumple las condiciones de equilibrio en el interior y la frontera, y es
coherente con el comportamiento elastoplástico, aunque no tiene por qué ser
la solución del problema mecánico porque no suponemos ninguna relación
de éste con el campo de desplazamientos.
Por otro lado, supongamos que podemos encontrar un campo de velocidades u̇2 que satisface u̇2 = ū en u tal que
Z
Z
˜
˜t̄ · u̇2 dS > 0.
f̄ · u̇2 dV +
(8.45)
⌦
t
Este campo de velocidades es cinemáticamente admisible, porque cumple las
condiciones cinemáticas que ha de satisfacer el campo real de velocidades,
pero no tiene por qué ser igual al verdadero. Como el material considerado
es rı́gidamente plástico, "˙ = "˙ p = rs u2 y
2
· "˙ p = D(rs u2 ).
(8.46)
Indicando como 2 el valor de la amplitud de las cargas en el caso de la
solución cinemáticamente admisible, se verifica
✓Z
◆
Z
Z
s
˜
˜
D(r u̇2 ) dV = 2
f̄ · u̇2 dV +
t̄ · u̇2 dS .
(8.47)
⌦
⌦
t
Con estas definiciones podemos proceder a enunciar los dos teoremas del
cálculo plástico
Capı́tulo 8. Plasticidad
179
Teorema 8.9.1 (teorema cinemático). Si en un cuerpo de un material
rı́gido-plástico se conoce un campo de velocidades tal que la disipación plástica es igual a la potencia de las fuerzas externas sobre este campo de velocidades, dichas fuerzas serı́an iguales o mayores que las causantes del colapso
⇤
plástico, es decir, 2
Teorema 8.9.2 (teorema estático). Si en un cuerpo de un material rı́gidoplástico se puede postular un campo de tensiones que satisfacen f ( )  0
en todo punto y que se encuentra en equilibrio con unas fuerzas exteriores,
éstas últimas serán inferiores o a lo sumo iguales que las que provocan el
fallo plástico del sólido, es decir, 1  ⇤ .
La demostración de ambos resultados es consecuencia del teorema de la
máxima disipación plástica. Tomando como campo admisible de desplazamientos w = u˙2 en la ecuación (8.44), se tiene que
R
R
⌦ 1 · "[u̇2 ] dV
⌦ D(u˙2 ) dV
R
= 2.
1 = R
R ˜
R ˜
˜
˜
f̄ · u̇2 dV +
t̄ · u̇2 dS
f̄ · u̇2 dV +
t̄ · u̇2 dS
⌦
⌦
t
t
(8.48)
Este resultado indica que toda solución estáticamente admisible tiene un
factor de carga inferior al de cualquier solución cinemáticamente admisible. Como la solución exacta del problema mecánico es tanto estática como
cineméticamente admisible ha de verificarse
1

⇤

2.
(8.49)
F
B
A
C
Figura 8.13: Estructura sometida a una carga hasta el colapso plástico. La
barra BC tiene longitud ` y el ángulo que forman las dos barras es de 45o .
180
Mecánica de sólidos,
I. Romero
. Ejemplo 8.9.3. Un ejemplo muy sencillo para comprender la aplicación de los teoremas lı́mite es el estudio de la estructura de la figura 8.13,
suponiendo que las barras sonn de sección constante A y de un material
rı́gido-plástico de lı́mite elástico f .
Para apliar el teorema estático, necesitamos un campo de esfuerzos axiales tal que en ninguna sección de la estructura se supere el lı́mite elástico.
Un campo de esfuerzos admisible es el que resulta de suponer que la barra
BC está sometida a una tracción pura de valor N = f A, y que la barra AB
está completamente descargada. Este estado de esfuerzos está en equilibrio
con una carga 1 F = N , por lo que
1
=
N
fA
=
.
F
F
(8.50)
Lógicamente, estos esfuerzos son menores o iguales que los que realmente
causan el colapso plástico de la estructura porque se ha supuesto que la
barra AB no contribuye en absoluto a la resistencia del conjunto.
Para aplicar el teorema cinemático buscamos un campo de velocidades
que produzca potencia no negativa con las cargas de la form 2 F . Por ejemplo, si el punto B se mueve hacia arriba con velocidad u̇, las velocidades de
elongación de las dos barras serán
˙AB = pu̇ ,
2
˙BC = u̇ .
La disipación en cada una de las barras es por tanto
✓
◆
u̇
f Au̇
DAB = máx N p
= p ,
DBC = máx (N u̇) =
N< f A
N< f A
2
2
y el factor el factor de proporcionalidad es por tanto
p !
DAB + DBC
2
fA
=
1+
.
2 =
F u̇
F
2
(8.51)
f Au̇,
(8.52)
(8.53)
Con este resultado concluimos que la fuerza F ⇤ que hace colapsar plásticamente a la estructura satisface
p !
2
⇤
.
(8.54)
fA  F  fA 1 +
2
/
8.10.
Viscoplasticidad
La teorı́a y los modelos de plasticidad presentados en este capı́tulo son
independientes de la velocidad de aplicación de las cargas y de las deformaciones. En general no se puede asegurar que esto sea ası́ en todos los
Capı́tulo 8. Plasticidad
181
materiales y rangos de temperatura. Esta simplificación es muy útil, y precisa, para modelar sólidos en un cierto rango de velocidad de deformación, y
es en estos rangos donde los modelos presentados son realmente predictivos.
Cuando los efectos de la velocidad de deformación no son despreciables,
sino que se observa experimentalmente que modifican sustancialmente la respuesta del sólido, resulta imprescindible mejorar los modelos elastoplásticos
con algún ingrediente sensible a la tasa de deformación, y dando lugar a los
modelos viscoplásticos.
Matemáticamente, los modelos viscoplásticos se formulan de manera muy
semejante a los elastoplásticos pero se permite que los estados tensionales
salgan fuera de la región elástica, aunque tienden a retornar a éste. Por
ejemplo, el modelo de Perzyna reemplaza la ecuación (8.32) por una la ley
de evolución de la deformación plástica de la siguiente forma:
1
hf ( )i ,
⌘
e˙p =
(8.55)
siendo ⌘ un parámetro de viscosidad y h·i el corchete de Macaulay. En este
caso la función f puede tomar valores positivos y, cuando esto ocurre, la
deformación plástica aumenta.
Problemas
8.1. El criterio de fluencia de Tresca establece que la fluencia se inicia en
un punto cuando se verifica la condición:
I
II
2
= ⌧adm .
Si llamamos 1 , 2 , 3 a las tensiones principales, en cualquier orden, entonces la condición anterior se puede reescribir como
✓
◆
| 1
2| | 2
3| | 3
1|
máx
,
,
= ⌧adm .
2
2
2
Demostrar que esta última expresión también se puede escribir como
[(
1
2)
2
2
4⌧adm
][(
3)
2
2
2
4⌧adm
][(
3
1)
2
2
4⌧adm
]=0.
8.2. Demuestra que el criterio de von Mises predice la iniciación de la fluencia cuando la parte desviadora de la energı́a por unidad de volumen alcanza
2 /2µ.
el valor crı́tico W = ⌧adm
8.3. Para un estado tensional
J2 ( ) =
definimos sus invariantes J como:
I2 (s) ,
J3 ( ) = I3 (s) ,
(8.56)
182
Mecánica de sólidos,
I. Romero
siendo s la parte desviadora de
e I2 , I3 los invariantes principales. Demostrar que la función de fluencia de von Mises depende sólo del invariante J2 ( ), que justifica por qué la teorı́a más habitual de plasticidad para
metales se conoce a veces como “plasticidad J2 ”.
8.4. Dibuja la intersección de las superficies de fluencia de Tresca y von
Mises con el plano I , II .
" = "p
E
f
Figura 8.14: Modelo reológico del problema 8.5.
8.5. Considera el siguiente ensayo de tracción/compresión sobre el modelo
reológico de la figura 8.14. Comenzando en un estado libre de tensiones, la
tensión crece linealmente hasta el valor = 3 f . Alcanzado este valor, la
tensión decrece linealmente hasta el valor = 2 f .
Dibuja el diagrama vs " en el modelo reológico, en el resorte y en el
rozante.
"p
E1
E2
f
"
Figura 8.15: Modelo reológico del problema 8.6.
8.6. Repite el problema 8.5 para el modelo reológico de la figura 8.15.
8.7. Un punto de un sólido se encuentra en un estado de tensión plana cuya
expresión matricial es
2 e
3
t 0
3
[ ]=4 t 0 0 5 ,
0 0 0
Capı́tulo 8. Plasticidad
siendo
e
183
el lı́mite elástico del material. Se pide:
a) Dibujar el diagrama de Mohr del estado tensional.
b) Encontrar el valor de la tensión t sabiendo que el coeficiente de seguridad de dicho estado tensional es 3/2 (utilı́cese el criterio de Tresca).
8.8. Los planos octaédricos de tensión son aquellos cuya normal forma el
mismo ángulo con los tres ejes principales de tensión (↵ = = ). Demuestra
que el criterio de fluencia de von Mises predice el fallo plástico cuando la
tensión tangencial sobre cualquiera de dichos planos alcanza el valor
p
2
⌧eq =
e .
3
8.9. Se desea emplear el criterio de Mohr-Coulomb para estudiar la rotura
de un material frágil. Se sabe que el ángulo de fricción de dicho material
es = 30o y que, al someter una probeta a un ensayo de cortante puro, la
tensión tangencial en el instante del fallo es ⌧r = 10 MPa. Determinar la
cohesión del material.
8.10. Un tubo de acero con diámetro exterior y espesor e está sometido
a un par torsor M . Determinar el valor del par que provoca el inicio de la
plastificación en el tubo según los criterios de Tresca y von Mises (Datos:
módulo de cortante G, lı́mite elástico f . Suponer e ⌧ ).
"
f /E
t0
t1 t2 t3
t4
t5
t
Figura 8.16: Evolución en el tiempo de la deformación del problema 8.11.
8.11. Un punto elastoplástico perfecto se encuentra sometido a un proceso
de deformación uniaxial cuya historia se dibuja en la figura 8.16. Dibuja
en una gráfica
" el proceso y también la evolución de la tensión en un
diagrama
t, identificando en ambos casos el valor de la tensión y de la
deformación en los tiempos caracterı́sticos t0 · · · t5 .
8.12. Dibujar la curva par-curvatura de la respuesta a flexión de una viga de sección rectangular de anchura b y canto h, de material elásticoperfectamente plástico, con módulo de Young E y lı́mite de fluencia f .
Indica cuál es el máximo par que puede soportar ésta.
184
Mecánica de sólidos,
I. Romero
8.13. Dibujar la curva par-giro por unidad de longitud de la respuesta a
torsión de una sección circular de radio a de material elástico-perfectamente
plástico, con módulo de cortante G y lı́mite de fluencia f
Bibliografı́a
[1] J F Bell. Mechanics of Solids. In The experimental foundations of solid
mechanics. Springer Verlag, 1984.
[2] R Hill. The mathematical theory of plasticity. Oxford University Press,
1950.
[3] A S Khan and S Huang. Continuum theoory of plasticity. Wiley interscience, 1995.