CAPÍTULO 3. Espacios Metricos, Compacidad y Completez

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CAPÍTULO 3.
Espacios Metricos, Compacidad y Completez
Una sucesión en un conjunto X es una función N −→ X. Si la función
se llama f entonces para sucesiones acostumbra denotarse {f (n)}n∈N en
cambio de f : N −→ X. Por supuesto en la notación está subentendido X.
Por ejemplo la sucesión {3n + 1}n∈N en R es la función N −→ R que tiene
a 3n + 1 como imagen de n : n 7−→ 3n + 1. Aquı́ en R aclara el codominio.
3.1 Definición:
i Sea X un espacio topológico y xn∈N una sucesión en X. Un elemento
L de X se dice un lı́mite de la sucesión xn∈N si para cada vecindad V
de L existe N ∈ N tal que n > N ⇒ xn ∈ V. t
u
ii Si L es un lı́mite de xn∈N se dice tambien que xn converge a L y se
denota xn → L.
Ahora mostramos un ejemplo del uso de bases de vecindades. En este caso
en convergencia.
3.2 Proposición:
Sea B una base de vecindades cualquiera de L. L es un lı́mite de una sucesión
xn∈N si y solo si para cada V ∈ B, existe N ∈ N tal que n > N ⇒ xn ∈ V .
Demostración: Ejercicio.
t
u
3.3 Ejemplos:
1. En un espacio grocero (X, {∅, X}) cualquier punto x de X es lı́mite de
cualquier sucesión xn∈N .
En efecto la única vecindad de x es X y para ella si n ∈ N, xn ∈ X.
Por tanto en la definición podemos tomar N = 1 (o cualquier otro) y
se tiene la implicación “n > N → xn ∈ X”.
2. En un espacio topológico cualquiera (X, T ) si xn = k, ∀n ∈ N, es decir
que xn∈N es la sucesión constante y de valor k, entonces k es un lı́mite
de xn∈N . En efecto para una vecindad V de k, k ∈ V y por lo tanto
(para N = 1) se tiene que n > 1 ⇒ xn (= k) ∈ V .
3. Una sucesión xn ∈ N se dice casi igual (o eventualmente igual) a yn∈N
si existe N ∈ N tal que n > N ⇒ xn = yn . Lo denotaremos (aquı́)
xn∈N ≈ yn∈N .
Capı́tulo 3: Espacios Lineales y Completez.
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4. Se tiene entonces que en un espacio (X, T ) cualquiera si L ∈ X y
xn ≈ yn , n ∈ N se tiene que L es un lı́mite de xn si y solo si L es un
lı́mite de yn . Si yn = k, para todo n ∈ N entonces xn∈N ≈ yn∈N se
escribe xn∈N ≈ k y se dice que xn es casi constante (o eventualmente
constante) y de valor k. Se tiene que si xn∈N ≈ k entonces k es lı́mite
de xn∈N , cualquiera sea la topologı́a para X.
5. En un espacio discreto (X, P(X)), L es un lı́mite de xn∈N si y solo
si xn∈N ≈ L. En efecto ya sabemos que xn∈N ≈ L implica que L es
lı́mite xn∈N . Supongamos ahora que L es un lı́mite de xn∈N . Como en
un espacio discreto {x} es abierto para cada x, entonces {x} ∈ B(x).
Ası́ pues como {L} ∈ B(L) y L es un lı́mite de xn∈N entonces existe
N ∈ N tal que n > N ⇒ xn ∈ {L}. Por lo tanto n > N ⇒ xn = L.
3.4 Definición:
i Sea X un conjunto x, y ∈ X. Diremos que una topológia T de X
separa a x de y si existen V ∈ B(x), W ∈ B(y) tales que V ∩W = ∅.
ii Un espacio (X, T ) se dice un espacio Haussdorff si T separa a todo
par de puntos distintos de X. t
u
La parte central de puntos separados en un espacio X es que “separa” a
sucesiones convergentes a ellos, en el siguiente sentido:
3.5 Proposición:
Si una topologı́a T de X separa a L de M entonces no existe sucesión alguna
xn∈N de X tal que, para T , xn → L y xn → M .
Demostración:
Suponga que existen V ∈ B(L) y W ∈ B(M ) tal que V ∩ W = ∅. Ahora, si
xn → l y xn → M , entonces para V existe NV ∈N tal que n > NV → xn ∈ V .
Tambien como W ∈ B(M ), ∃ NW tal que n > NW → xn ∈ W . Ası́ pues
si N es el máximo de NV y NW , para n > N, xn ∈ V y xn ∈ W , es decir
xn ∈ V ∩ W = ∅. t
u
Se tiene pues que en un espacio Haussdorff si una sucesión tiene lı́mite, entonces tiene uno solo.
3.6 Definición:
Sea xn∈N una sucesión en un espacio topológico X. Si hay un único lı́mite de
xn∈N , digamos L, entonces se dice que L es el lı́mite de xn∈N y se escribe
equivalentemente lı́m xn = L. t
u
n→∞
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Matemáticas Especiales para Fı́sicos.
3.7 Ejemplo:
Todo espacio métrico es un espacio Hassdorff. Como todo espacio vectorial
normado es en espacio métrico, entonces en los espacios vectoriales normados
y en general en los espacios métricos las sucesiones tienen a lo mas un lı́mite.
3.8 Proposición:
i Sea (X, d) un espacio métrico, L ∈ X, xn∈N una sucesión en X. Entonces lı́m xn = L ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que n > N ⇒ d(xn , L) < ε.
n→∞
ii Sea (V, +, kj, k k) un espacio vectorial normado entonces
lı́m xn = L ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que n > N ⇒ kxn − Lk < ε.
n→∞
Demostración: Ejercicio.
t
u
En cuanto a lı́mites de sucesiones tenemos como ejemplos:
1
1. En R, con la topologı́a corriente, lı́m
= 0. En efecto la propiedad
n→∞ n
arquimediana de los números reales establece que los naturales N no
son acotados por encima. Es decir que para k ∈ R+ , ∃ n ∈ N tal que
n ≥ k. Se tiene entonces que si k ∈ R+ , como K1 ∈ R+ , entonces existe
n ∈ N tal que n ≥ k1 . Equivalentemente k ≥ n1 . En suma para cada
> 0, ∃ N ∈ R tal que ≥ N1 . Ası́ que si n > N ⇒ N1 > n1 ⇒ k > n1 .
2. En R, si xn∈N es creciente, es decir que (n > m ⇒ xn > xm ) y xn∈N
es acotada (es decir que existe K ∈ R tal que |xn | < K, ∀n ∈ N)
sup
entonces lı́m xn = n xn∈N . En donde el supremo sup de un conjunto
n→∞
A es α ∈ R si
i ∀a ∈ A, a ≤ α.
ii Para cualquier otro número menor que α i no se cumple: para
cada > 0, existe a ∈ A, tal que a > α − .
Aritmética de Lı́mites de Sucesiones
Realmente antes de hacer aritmética de lı́mites de sucesiones debe hacerse
aritmética de sucesiones. Simplemente como en un espacio vectorial se tiene
suma, esta se extiende a suma de sucesiones de manera funcional. Igual para
producto por escalar y para producto, si se tiene una estructura de álgebra
en X. Ası́ pues en tales casos se define:
{xn }n∈N + {yn }n∈N = {xn + yn }n∈N
k{xn }n∈N = {kxn }n∈N
{xn }n∈N · {yn }n∈N = {xn · yn }n∈N
Capı́tulo 3: Espacios Lineales y Completez.
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Sabemos además que las propiedades básicas de + en X pasan a + de
sucesiones, las de kx (producto por escalar) pasan al producto por escalar
de sucesiones y las propiedades del producto pasan al de sucesiones, hasta la
estructura de anillo conmutativo y modulativo. Hay una operación extra que
aparece aquı́ a saber. Si xn∈N es una sucesión en V y kn∈N es una sucesión
en R (escalares), entonces tomamos:
KX = {kn }n∈N · {xn }n∈N = {kn · xn }n∈N
3.9 Proposición:
i En un espacio vectorial normado las sucesiones de lı́mite 0 son cerradas
para la multiplicación por escalar.
ii En un espacio vectorial normado las sucesiones de lı́mite 0 son cerradas
para la suma.
iii Si adémas de espacio vectorial hay estructura de álgebra normada
(existe un producto asociativo y que distribuye sobre + y (kxyk ≤
kxk kyk), entonces el producto de una sucesión de lı́mite cero por una
acotada, tiene lı́mite cero.
iv En un álgebra normada el espacio de las sucesiones de lı́mite 0 es
cerrado para el producto.
Demostración:
i Queda como ejercicio.
ii Suponga que xn → 0 y yn → 0. Entonces para ε > 0, como 2ε > 0
existe N1 ∈ N tal que n > N1 ⇒ kxn k < 2ε y existe N2 ∈ N tal que
n > N2 ⇒ kyn k < 2ε . Para N = max {N1 , N2 } y n > N se cumple
kxn k < 2ε , kyn k < 2ε y por lo tanto kxn − yn k ≤ kxn k + k − yn k =
kxn k + kyn k < 2ε + 2ε = ε.
Ası́ pues para ε > 0, se encontró N tal que si n > N ⇒ kxn − yn k < ε
y por lo tanto (xn − yn ) → 0. Asi que hay cerradura para la diferencia
y por la parte i queda para la suma por que x + y = x + (−1)y
iii Suponga que xn → 0 y ∃N1 , ∈ N tal que kyn k < K para un real
positivo K. Sea ahora ε > 0. Entonces Kε > 0 y existe N2 ∈ N tal que
n > N2 ⇒ kxn k < Kε .
Para N = max {N1 , N2 }, n > N ⇒ kxn k < Kε ∧ kyn k < K y por lo
tanto kxyk ≤ kxk kyk < Kε · K = ε. t
u
iv Queda como ejercicio.
t
u
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Matemáticas Especiales para Fı́sicos.
Note que en un espacio normado las sucesiones convergentes son acotadas.
Las sucesiones acotadas forman un subespacio vectorial o una subĺgebra si
el espacio es un álgebra. Las sucesiones acotadas son las que tienen posibilidad de tener lı́mite (en el espacio) y son las que normalmente se usan.
Esto lo tocaremos con mas detalle en completez (3.28). Ahora trabajamos
con sucesiones con lı́mite cualquiera. La aritmética de lı́mites es la siguiente:
3.10 Proposición:
En un espacio vectorial normado, V , se tiene que si xn → L, yn → M, zn =
k para todo n entonces
i lı́m zn = k.
n→∞
ii lı́m k xn = kL.
n→∞
iii lı́m xn + yn = L + M .
n→∞
iv lı́m xn − yn = L − M .
n→∞
v Si tn + vn converge y vn converge, entonces tn converge.
vi Si V es un álgebra normada, entonces xn yn → L M .
vii Si xn 6= 0 y L 6= 0, y
1
xn
existe para cada n entonces
viii Si xn 6= 0 y L 6= 0, y
1
xn
existe para cada n entonces lı́m
ix Bajo las hipotesis de viii.
1
xn
converge.
1
1
= .
n→∞ xn
L
yn
xn
→
M
L.
Demostración:
Aceptamos sin demostración la parte vii. Las partes i y ii quedan como ejercicio.
En cuanto a la parte iii, xn − L → 0, yn − M → 0 y por la proposición
precedente (xn − L) + (yn − M ) → 0. Es decir que (xn + yn ) − (L + M ) → 0
y por lo tanto xn + yn → L + M .
Las partes iv y v quedan como ejercicio.
En cuanto a la parte vi (xn − L) → 0, (yn − M ) → 0 y por lo tanto
(xn yn − M xn − Lyn + LM ) → 0 y como (−M xn − Lyn + LM ) → −LM
entonces por v xn yn converge.
Asi que lı́m (xn yn + (−M xn − Lyn + LM )) = 0. Es decir que
n→∞
lı́m (xn yn − LM ) = 0 ↔ lı́m (xn yn ) = LM .
n→∞
n→∞
1
1
La parte viii: xn xn = 1 ⇒ lı́m (xn ) = 1.
n→∞
xn
Capı́tulo 3: Espacios Lineales y Completez.
Luego lı́m xn · lı́m
n→∞
n→∞
51
1
1
= 1. Es decir que L lı́m
= 1 y por lo tanto
n→∞ xn
xn
1
1
= .
xn
L
La parte ix queda como ejercicio.
lı́m
n→∞
t
u
Una propiedad importante en el cálculo de lı́mites que permite usar los
conocimientos de funciones es la siguiente: recuerde que si f : I −→ R, entonces lı́m f (x) = b si
x→a
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
Es decir que si x ∈ B(a, δ) entonces f (x) ∈ B(b, ε). Para convergencia del
tipo lı́m el filtro que se usa en el dominio, es el de la bolas alrededor de
x→a
a. Este remplaza al filtro [N, ∞), N ∈ N que se usa en el dominio, en
convergencia de sucesiones. Mientras mantengamos el filtro del codominio
los teoremas sobre convergencia deben ser los mismo que tenı́amos para
sucesiones.
Note: las propiedades del filtro F = {[N, ∞) | N en N}. Este es un filtro
alrededor de ∞.
i [N, ∞) 6= ∅, ∀N ∈ N.
ii Si A, B ∈ F entonces existe C ∈ F tal que C ⊆ A ∩ B. (En este caso
particular en realidad se puede tomar C = A ∩ B).
En general , un filtro básico F es un conjunto X es un subconjunto no vacı́o
de P(X) (partes de X) tal que
F1: φ ∈
/ F. F2: ∀A, B ∈ F, ∃C ∈ F tal que C ⊆ A y C ⊆ B (equivalentemente C ⊆ A ∩ B, pero esto NO significa que A ∩ B ∈ F).
F se dice un filtro si además de las propiedades de filtro básico se tiene F3:
X ∈ F y F4: Si A ∈ F y A ⊆ B ⊆ X → B ∈ F.
Es evidente que si F1 es un filtro básico en X entonces, el generador por
F = {A ∈ P(x)|A ⊇ BconB ∈ F1 }
es un filtro en X. Además que si F es un filtro entonces es básico. Nosotros
usamos aqui la palabra filtro para indicar, filtro bśico y de ser necesario
pasamos al filtro generado por el básico. La nesecidad de hacerlo suceder
pocas veces.
Ası́ pues en términos de filtros, se tiene que xn → 0 si ∀V ∈ B(0), ∃A ∈ F
tal que n ∈ A ⇒ xn ∈ V.
Veamos por ejemplo usando filtros, comó queda la demostación de que si
xn → 0 y yn → 0 entonces xn + yn → 0: sea V ∈ B(0). Como si ε > 0, 2ε > 0
52
Matemáticas Especiales para Fı́sicos.
y xn → 0, entonces existe A ∈ F tal que n ∈ A ⇒ |xn | < 2ε . Como yn → 0
existe B ∈ F tal que n ∈ B ⇒ |yn | < 2ε .
Sea C ⊆ A ∩ B en F. C existe por la propiedad de filtro de F. Si n ∈ C ⇒
n ∈ A ∧ n ∈ B ⇒ |xn | < 2ε y |yn | < 2ε ⇒ |xn +yn | ≤ |xn |+|yn | < 2ε + 2ε = ε.
Ası́ pues ∀V ∈ B(0) existe C ∈ F tal que n ∈ C ⇒ |xn + yn | < ε. Por tanto
xn + yn → 0.
Veamos cómo funciona este teorema para el caso de funciones f : [c, d] −→ R.
Si lı́m f (x) = 0 entonces:
x→a
i a ∈ [c, d] y aqui tanto [c, d] como a quedan fijos.
ii El filtro que se usa aquı́ en el dominio es por definición de lı́m f (x) un
x→a
filtro de vecindades de a. El mas natural es el de las bolas básicas de
a que están contenidas en [c, d], como en el gráfico.


-
-
[




]

Cuando se afirma “∃ δ > 0”, aquı́ aceptaremos que tal δ debe ser tal
que (a − δ, a + δ) ⊆ [c, d]. Si no lo es, reducimos δ hasta que ello se
logre y esto es siempre posible. Ası́ pues aquı́ F = {B(a, δ) | B(a, δ)) ⊆
[c, d], δ > 0}. Note que de nuevo F tiene las dos propiedades de arriba
B(a, δ) 6= φ, ∀δ y dadas dos bolas alrededor de a, existe una tercera
contenida en las dos.
Ahora si lı́m f (x) = 0 ∧ lı́m g(x) = 0 entonces dado ε > 0, 2ε >
x→a
x→a
0 y existe A ∈ F tal que x ∈ A ⇒ |f (x)| < 2ε y existe B ∈ F
tal que x ∈ B ⇒ |g(x)| < 2ε . Ası́ pues si C ⊆ A ∩ B, y si x ∈
C ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ |f (x)| < 2ε ∧ |g(x)| < 2ε y por tanto
|f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| < 2ε + 2ε = ε. Como antes esto significa
que lı́m f (x) + g(x) = 0.
x→a
Para funciones f : V −→ R donde V es un espacio normado. Se tienen pues
teoremas similares a los de N −→ R pero, en el dominio, con el filtro B(a, δ),
dado por la norma kk, y δ ∈ R.
De igual manera se tienen teoremas para funciones de espacios métricos en
espacios normados o en álgebras normadas.
Continuidad Local
Capı́tulo 3: Espacios Lineales y Completez.
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Aunque mas adelante se dará la forma general de continuidad, para una función f : V −→ W donde V, W son espacios vectoriales normados tomamos:
3.11 Definición:
f es continua en a ∈ V ⇔ lı́m f (x) = f (a).
x→a
t
u
A cada teorema del tipo lı́m f (x) = L le corresponde uno de continuidad.
x→a
Por ejemplo note que lı́m k = k. Aquı́ f (x) = k, ∀x . Por tanto f (a) = k,
x→a
lı́m f (x) = f (a) y la función f (x) = k es continua en a.
x→a
Otro ejemplo: supuesto que f es continua en a y g tambien lo es, se tiene que
lı́m f (x) = f (a) y lı́m g(x) = g(a). Por teorema de lı́mites lı́m f (x)+g(x) =
x→a
x→a
x→a
f (a) + g(a) y por lo tanto f + g es continua en a (o f (x) + g(x) es continua
en a).
Las demás afirmaciones del paso de lı́mites a continuidad se dejan como
ejercicio
Antes de regresar al proceso de sucesiones y ampliarlo damos un teorema de
gran utilidad para pasar de lı́mites de sucesiones al de funciones y viceversa.
Note que si f : V −→ W es una función entre espacios normados entonces
x
x
f
para cada sucesión N → V , la compuesta N → V → W es una sucesión en
W.
Deseamos relacionar el lı́mite de una función h con el de f ◦ h usando la
convergencia de f en el lı́mite de h. Con todo detalle se tiene:
3.12 Proposición:
Dada f : V −→ W una función entre espacios normados y h : N −→ V una
sucesión tal que:
i lı́m h(n) = v ∈ V .
n→∞
ii lı́m f (x) = w.
x→v
Entonces la sucesión {f (h(n))}n∈N tiene lı́mite w. O dicho de otra manera
lı́m f (h(n)) = w, o bien lı́m f (h(n)) = lı́m f (x) = w.
n→∞
n→∞
x→v
Demostración:
Sea ε > 0. Como lı́m f (x) = w, entonces existe δ > 0 tal que:
x→v
54
Matemáticas Especiales para Fı́sicos.
si kx − vk < δ ⇒ kf (x) − wk < ε. Ahora, como δ > 0 y lı́m h(n) = v,
n→∞
entonces ∃N ∈ N tal que n > N ⇒ kh(n) − vk < δ. Ası́ pues se tiene
n > N ⇒ kh(n) − vk < δ ⇒ kf (h(n)) − wk < ε. t
u
Se tiene pues que si f es continua en a y lı́m x(n) = a ∈ V entonces
n→∞
lı́m f (x(n)) = f (a), usando xn en cambio de h(x). Cḿo esto nos conecta
n→∞
sinx
al cáclulo I, tomemos por ejemplo sabido que lı́m
= 1. El resultado
x→0 x
π
sin
π
precedente implica que lı́m π n = 0, y por ende lı́m (nsen ) = π.
n→∞
n→∞
n
n
En realidad para cuando V es segundo contable en cambio de entonces en
3.12 se tiene equivalencia. Será lo que mostraremos en lo que sigue del capı́tulo. Es decir que se pueden usar limites de sucesiones para determminar continuidad.
Para iniciar, como parte de proceso de convergencia extendemos ahora el
concepto de continuidad. Damos diferentes presentaciones de ella y las simplificaciones en los espacios primero contables, mas exactamente en los espacios métricos en donde coinciden con continuidad secuencial.
Continuidad Global
3.13 Definición:
Una función f : X −→ Y entre espacios topológicos es continua si para cada
A abierto en Y , f −1 (A) es abierto en X. t
u
Esta continuidad donde no se mensionan puntos especı́ficos se denomina
ocacionalmente continuidad global. Se tiene sin embargo que la continuidad
se puede verificar puntualmente. Igualmente se tiene continuidad por cerrados.
3.14 Proposición:
f : X → Y entre espacios es continua ⇔ ∀B cerrado en Y, f −1 (B) es cerrado
en X. t
u
3.15 Definición:
Sea a ∈ X, f es continua en a si ∀V ∈ B(f (a))∃W ∈ B(a) tal que f (W ) ⊆ V.
t
u
De nuevo en cambio de todas las vecindades se puede usar bases de ellas ası́:
Capı́tulo 3: Espacios Lineales y Completez.
55
3.16 Proposición:
Suponga que B(a) es una base de vecindades de a y B(f (a)) una base de
vecindades de f (a). Entonces: f es continua en a ⇔ ∀V ∈ B(f (a)), ∃W ∈
B(a) tal que: f (W ) ⊆ V.
Demostración: Ejercicio.
t
u
Note que la afirmación f (W ) ⊆ V es equivalente a “w ∈ W ⇒ f (w) ∈ V ”.
Por lo tanto en el caso de que X, Y sean espacios normados con normas k kX
y k kY entonces f es continua en a si ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que kx − akX < δ ⇒
kf (x)−f (a)kY < ε por que para la bola básica B(f (a), ε) la correspondiente
alrededor de a se representa usualmente por B(a, δ) y se usa el hecho de que
estas son bases de vecindades.
Para ligar con lo dado arriba se tiene que:
3.17 Proposición:
f : X −→ Y es continua ⇔ ∀a ∈ X, f es continua en a.
Demostración:
⇒) Suponga f continua y veamos que lı́m f (x) = f (a), para cada a ∈ X.
x→a
En efecto si V ∈ B(f (a)), existe O abierto en Y con f (a) ∈ O ⊆ V . Ası́ que
f −1 (O) es abierto en X y a ∈ f −1 (O) por lo tanto W = f −1 (O) ∈ B(a).
Veamos que f (W ) ⊆ O. (⊆ V ). Si y ∈ f (W ) ⇒ y = f (x) con x ∈ W =
F −1 (0). Como x ∈ F −1 (0) ⇒ f (x) ∈ O, ası́ pues y ∈ O. En suma y ∈
f (W ) ⇒ y ∈ O.
⇐) Ahora suponga que lı́m f (x) = f (a), ∀a ∈ X. Sea O abierto en Y .
x→a
Si f −1 (O) = ∅ya esta por que φ es abierto. Si f −1 (O) 6= ∅, para cada
y ∈ O ∩ f (X) tome xy ∈ X tal que f (xy ) = y. Como y ∈ O, O ∈ B(y) por
lo tanto hay una vecindad, que podemos tomar abierta[
(base de vecindades)
de Xy digamos Ty tal que f (Ty ) ⊆ O. Claramente
Ty es abierto en
y∈O∩f (x)

X yf

[

Ty  = 
y∈O∩f (x)

[
f (Ty ) ⊆ O.
t
u
y∈O∩f (x)
Continuidad Secuencial
Sean (X, TX ) y (Y, TY ) espacios topológicos. Sea f : X → Y una función.
3.18 Definición:
56
Matemáticas Especiales para Fı́sicos.
1. Se dice que f es secuencialmente continua en a ∈ X si para cada
sucesión xn∈N tal que xn → a se tiene que f (xn ) → f (a).
2. f se dice secuencialmente continua si lo es para cada a ∈ Xt
u
Veamos primero que ser secuencialmente continua es mas débil que ser continua.
3.19 Proposición:
Si f : X → Y es continua en a ∈ X, entonces es secuencialmente continua
en a.
Demostración: Suponga f continua en a y sea xn∈N una sucesión en X tal
que xn → a. Veamos que f (xn ) → f (a). En efecto si W ∈ β(f (a)), entonces
existe V ∈ β(a) tal que f (V ) ⊆ W . Ahora como V ∈ β(a), y xn → a,
entonces existe n ∈ N tal que n > N ⇒ xn ∈ V . Pero entonces, como
f (V ) ⊆ W , f (xn ) ∈ W para todo n > N . Ası́ que f (xn ) → f (a). t
u
La afirmación recı́proca no es cierta, es decir que ser secuencialmente continua no implica ser continua. Por ejemplo si X = {a, b, c}, T = {φ, { a}, X,
L = {φ, { a}, { b}, { a, b}, X} entonces T y L son topologı́as sobre X y la
función f : X → X dada por f (x) = x, ∀x ∈ X, es secuencialmente continua, pero no es continua. Se deja la demostración de esto como ejercicio.
La continuidad secuencial va pegada a la posibilidad de caracterizar cerrados
por medio de sucesiones en espacios métricos.
Cerradura Secuencial
3.20 Definición:
Sea A ⊆ X en donde X es un espacio topológico. A se dice “secuencialmente
cerrado” si para toda sucesión xn∈N , con xn ∈ A, si xn → b, entonces b ∈ A. t
u
Es decı́r todos los lı́mites de todas las sucesiones de A (en cuanto existan)
están en A. Se tiene que
3.21 Proposición:
Suponga que A ⊆ X es cerrado. Entonces es secuencialmente cerrado.
Demostración: Suponga que A es cerrado y que an∈N es una sucesión en
A, con an → b. Veamos que b ∈ A. Si b 6= A, entonces b ∈ X − A que es
abierto y X − A ∈ β(b). Luego existe N ∈ N tal que n > N ⇒ an ∈ X − A.
Asi que n > N ↔ an 6= A, contra la hipotesı́s. t
u
Capı́tulo 3: Espacios Lineales y Completez.
57
La parte central de los espacios métricos (y otros espacios) es que en ellos
“secuencialmente cerrado” es lo mismo que cerrado:
3.22 Proposición:
En un espacio métrico, si A es secuencialmente cerrado, entonces es cerrado.
Demostración: Suponga que A es secuencialmente cerrado. Demostremos
que δA ⊆ A. Sea b ∈ δA. Entonces para cada n ∈ N, A ∩ B(b, n1 ) 6= ∅. Tome
an∈N A ∩ B(b, n1 ). Se tiene que an ∈ A, y que an → b (debe demostrarlo).
Ası́ que b ∈ A. Se tiene entonces que δA ⊆ A. Es decir que A es cerrado. t
u
Note de nuevo el uso de sucesiones en espacios métricos digamos (X, d):
A es cerrado ⇐⇒ ∀an∈N en A y b ∈ X, (an → b) ⇒ b ∈ A.
Ahora veamos cómo, que en espacios métricos, continuidad secuencial implica continuidad.
3.23 Proposición:
Si f : (X, dX ) → (Y, TY ) es secuencial continua entonces f es continua.
Demostración: Usaremos cerrados. Sea B cerrado en Y veamos que f −1 (B)
es cerrado en X. Sea xn∈N una sucesión en f −1 (B) y suponga que xn → c
(debemos ver que c ∈ f −1 (B)). Pero como xn → c y f es secuencialmente
continua, se tiene que f (xn ) → f (c). Como f (xn ) ∈ B, B es cerrado y
f (xn ) → f (c) entonces f (b) ∈ B. Es decir que b ∈ f −1 (B). t
u
En particular en los espacios euclideanos del cálculo de varias variables se
tiene tal propiedad:
3.24 Colorario: f : Rn → Rm es continua en A ∈ Rn si y solo si, (Xn →
A) ⇒ (f (Xn ) → f (A)). Osea lı́m Xn = A ⇒ lı́m f (Xn ) = f (A) t
u
n→∞
n→∞
Sucesiones de Cauchy y Espacios Completos
En el caso de los espacios métricos si una sucesión converge entonces los
elementos de la sucesión digamos Xn y Xm están cada vez mas cercanos
en cuanto n y m crecen. Queremos usar esta propiedad pero por supuesto
debemos decir que significa exactamente esto. En cambio de decir que “los
puntos de la sucesión se acercan entre ellos en cuanto el indice crece ” diremos que la sucesión tiene la “propiedad de Cauchy” o que es una sucesión
58
Matemáticas Especiales para Fı́sicos.
de Cauchy
3.25 Definición: Sea xn∈N una sucesión en un espacio métrico (X, d). Se
dice que xn∈N tiene la propiedad de Cauchy (o que es de Cauchy) si para
> 0, existe N ∈ N tal que (n, m) > N → d(xn , xm ) < . t
u
La ventaja de los espacios métricos es que la idea de acercarse, entre ellos.
los miembros de la sucesión no está necesariamente ligada a priori a que se
acerquen infinitamente a un elemento de X. Se deja al lector hacer un sano
intento de replicar la idea de sucesión de Cauchy en un espacio topológico
cualquiera.
Veamos ahora que sucesiones convergentes son de Cauchy. y además están
en un subespacio especial.
3.26 Proposición:
Sea Xn∈N una sucesión en (X, d).
i Si xn∈N converge en X, entonces es de Cauchy.
ii Si xn es de Cauchy entonces es acotada.
iii Si xn converge entonces es acotada.
Demostramos i, ii: La parte iii es obvia i. Suponga que Xn → a. Dado
> 0, como 2 > 0 entonces ∃N ∈ N tal que n, m > N → d(Xn , a) < 2 y
d(Xm , a) < 2 . Ası́ pues d(Xn , Xm ) ≤ d(Xn , a) + d(a, Xm ) < . t
u
ii. Demostraremos equivalentemente que si una sucesión no es acotada entonces no es de Cauchy. Si xn∈N no es acotada entonces para K > 0, (K ∈ R)
existe xn tal que d(0, xn ) > K.
Sea m1 en N tal que d(0, xm1 ) > 1 como d(0, xm1 ) + 1 > 0 existe xm2 tal que
d(0, xm2 ) > d(x, xm1+x ) + 1. Por recurrencia construido xmn existe xmn+1 tal
que d(0, xmn+1 ) > d(0.xmn ) + n + 1.
De esta manera se han trazado cı́rculos concéntricos formando anillos con
separación, mı́nima, n en el n-ésimo paso y solo un xmi en cada uno. Con
esto se garantiza que la distancia entre ellos aumenta (y por tanto no disminuye) cuando m crece. Ası́ que xn∈N no puede ser una sucesión de Cauchy
(ver ejercicio 15). t
u
Para ilustrar que existen espacios con sucesiones de Cauchy que no convergen, recuerde que entre dos números reales
cualesquiera
q existe un número
q
racional distinto de los dos. Note que
2+
1
n+1
q
<
1
n
para cada n y
q
1
< qn < 2 + n+1
.
2+
1
2 + n+1
√
Claramente en R con la topologı́a corriente qn → 2. Ası́ que qn∈N es una
por tanto existe qn ∈ Q (los racionales) tal que
Capı́tulo 3: Espacios Lineales y Completez.
59
sucesión de Cauchy en Q (con la topologı́a de subespacio de R) pero no
converge en Q.
Este ejemplo requiere concretar la relación entre convergencia en un subespacio y convergencia en el espacio, y lo mismo para la condición de Cauchy.
La primera que afirma que la convergencia en el subespacio a un punto en el
subespacio es equivalente a que la sucesión (del subespacio) converja al punto (del subespacio) en el espacio, se concreta en el ejercicio suplementario
14. La correspondiente de Cauchy es mas sencilla de presentar:
3.27 Proposición:
Sea (X, d) un espacio métrico. Sea A ⊆ X y sea an∈N una sucesión en A.
Entonces, an∈N es de Cauchy en A ⇐⇒ an∈N es de Cauchy en X.
Demostración: Suponga que an∈N es de Cauchy en A. Recuerde que BA (X, )∩
A. Entonces A es un espacio métrico tomando dA (a1 , a2 ) = dX (a1 , a2 ),
∀a1 , a2 ∈ A y cláramente la bola alrededor de a ∈ A, para dA es BX (a, )∩A.
Puesto que la distancia es la misma en el subespacio A que en X para los
elementos de A, entonces
(∀ > 0, ∃N ∈ N tal que n, m > N → dA (an , am ) < ) ⇐⇒
(∀ > 0, ∃N ∈ N tal que n, m > N → dX (an , am ) < ). t
u
Espacios Métricos Completos
3.28 Definición:
Un espacio métrico (X, d) se dice completo si toda sucesión de Cauchy es
convergente. t
u
En lo que sigue V, {e1 , · · · en }, kk es un espacio con base normal, es decir que
kei k = 1 para cada i.
Sean (X, dX ), (Y, dY ) espacios métricos y sea d una métrica en X × Y .
3.29 Definición:
1) Decimos que d domina a dX a dY o que X × Y domina a X y a Y
(por abuso) si d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) ≥ dX (x1 , x2 ) y d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) ≥
dY (y1 , y2 ). t
u
2) Cuando las métricas provienen de una norma, es decir que X, Y son
espacios vectoriales sobre R, normados decimos que kk, de X × Y ,
domina a kkX , y a kkY si sus métricas lo hacen. t
u
3.30 Proposición:
Si d domina a dX y a dY en X × Y y (xn , yn )n∈N es una sucesión en X × Y
entonces:
60
Matemáticas Especiales para Fı́sicos.
1) Si (xn , yn ) converge a (c, d) entonces xn converge a c y yn converge a
d.
2) Si (xn , yn ) es de Cauchy, entonces xn y yn son de Cauchy.
Demostración: Ejercicio
t
u
Note que en el caso de espacios vectoriales euclideanos Rn se tiene que
3.31 Proposición:
1) Xn → L ⇔ (Xn ei → Lei )∀i = 1, 2, · · · , n
2) Xn de Cauchy ⇔ Xn ei es de Cauchy para cada i = 1. Aquı́ Xn ei es la
i-esima coordenada de Xn ∈ Rn .
Demostración: Solo resta demostrar ⇐ de cada parte por 3.31.
Veamos ⇐ de 2): suponga para cada i que {Xn ei }n ∈ N es de Cauchy.
Entonces dado > 0 ∃Ni ∈ N tal que n > Ni → kXn ei − Xm ei k < n . Para
i
el N = maxkNi kn > N → kXn ei − X
m e k < n . luego
n
n
X
X
((Xn − Xm )ei )ei =
kXn − Xm k = ((Xn − Xm )ei )ei ≤
i=1
i=1
n
n
n
X
X
X
e
|(Xn − Xm )ei |kei k
|Xn ei − Xm ei | ≤
= n = . t
u
n
n
i=1
i=1
i=1
Espacios de Banach y Hilbert
En adelante un espacio vectorial normado para cuya métrica es completo se
llamara un espacio de Banach. Si la norma del espacio es la norma de un
producto interno, entonces se llamara un espacio de Hilbert
Ahora damos condiciones para determinar cuando un espacio métrico es
completo. Note que en R la sucesión xn = (−1)n tiene dos subsucesiones
yn = (−1)2n y Zn = (−1)2n+1 . Estas nuevas sucesiones son las dos convergentes. De hecho son, las dos, constantes. Este es un ejemplo de una sucesión
que tiene “puntos de acumulación”.
3.32 Definición: Sea xn∈N una sucesión en un espacio (X, T ).
φ
x
i Una composición del tipo N → N → x se dice una subsucesión de x si
φ es estrictamente creciente (y entonces 1 − 1). Se denota xφ(n) , nN.
Capı́tulo 3: Espacios Lineales y Completez.
61
ii sea a ∈ X. Se dice que “a es un punto del acumulación de xn∈N ” si
existe una subsucesión {xφ(n) }n∈N tal que xφ(n) → a. t
u
En el caso de un espacio métrico (X, d), a será punto de acumulación de xn∈N
si existe xφ(n) tal que lı́m xφ(n) = a. En el caso del ejemplo obviamente los
n→∞
elementos de la sucesión no se acercan entre ellos infinitamente. Es decir la
sucesión no es de Cauchy. De hecho.
3.33 Proposición: Sea xn∈N una sucesión en un espacio métrico (X, d). Si
xn es de Cauchy entonces: a es un punto de acumulación de xn∈N ⇔ xn → a.
Demostración: Si xn → a obviamente a es un punto de acumulación
tomando φ(n) = n. Suponga ahora que existe xφ(n) tal que xφ(n) → a.
Puesto que φ : N → N es una función estrictamente creciente, entonces
dado un M ∈ N, existe N ∈ N tal que n > N → φ(n) > M . Ahora
dado > 0, como 2 > 0 y xφ(n) → a, entonces existe N1 ∈ N tal que
n > N1 ⇒ d(xφ(n) , a) < 2 . Ademas como xn∈N es de Cauchy existe N2 ∈ N
tal que n, m > N2 ⇒ d(xn , xm ) < 2 . Si M = max{N1 , N2 } sea N tal que
n > m ⇒ φ(n) > M . Ahora, como φ es creciente φ(n) ≥ n. Ası́ que si
n > M ⇒ φ(n) ≥ n ≥ M → d(xφ(n) , xn ) < 2 ∧ d(xφ(n) , a) < 2 ⇒ d(xn , a) ≤
d(xφ(n) , xn ) + d(xφ(n) , a) < . de modo que xn → a. t
u
3.34 Proposición:
1. En un espacio métrico si A es completo, entonces A es cerrado
2. En un espacio métrico completo si A es cerrado entonces es completo
3. En un espacio métrico completo A es cerrado si y solo si es completo.
Demostración:
1. Sea A completo. Sea an∈N una sucesión en A con an → b. Entonces es
de Cauchy en A y por tanto converge en A. Ası́ que b ∈ A.
2. X completo, A cerrado. Sea an∈N de Cauchy. Entonces an∈N es de
Cauchy en X. Luego an → b y como A es cerrado b ∈ A. Entonces
an∈N converge en A. Luego A es completo.
Compacidad en Espacios Métricos
Determinamos ahora otro concepto determinado por sucesiones en un
espacio métrico. Como antes de este, es un caso particular de un concepto mas general en espacios topológicos pero limitaciones de tiempo
y espacio nos restringen a espacios métricos.
62
Matemáticas Especiales para Fı́sicos.
3.35 Definición: Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊆ X. Se dice que
A es compacto (mas precisamente secuencialmente compacto) si an∈N
en A, cualquiera, admite un punto de acumulación en A. t
u
Note ahora que “compacto” es una propiedad que, en el caso de espacios métricos, tiene que ver con tamaño pequeño (De hecho es un
objeto pequeño)
3.36 Proposición: Si A ⊆ X es compacto, entonces es acotado.
Demostración: Es el mismo argumento de 3.29. Si no es acotada se
construye en él una sucesión que no solo sus términos estan cada vez
mas separados si no que cada una de sus subsucesiones es aun mas
crı́tica en ese sentido. Por lo tanto no puede tener subsucesiones convergentes es decir puntos de acumulación y menos en A. t
u
Ademas es naturalmente cerrado:
3.37 Proposición: Si A es compacto en (X, d) entonces es cerrado.
Demostración: Suponga A compacto y sea an∈N una sucesión en A.
Suponga que an → b. Como an es una sucesión en A que es compacto entonces existe una subsucesión aφ(n) que converge en a: digamos lı́m aφ(n) = a y a ∈ A. Pero lı́m aφ(n) = b puesto que an → b.
n→∞
n→∞
Entonces a = b y b ∈ A t
u
En particular las bolas cerradas y acotadas pueden no ser compactas
en un espacio métrico cualquiera. De hecho el que lo sean hace la
diferencia con respecto a la completez:
3.38 Proposición: Si en un espacio las bolas cerradas B(a, ) =
{x ∈ X|d(x, a) ≤ } son compactas, entonces X es completo.
Demostración: Suponga que xn∈N es una sucesión de Cauchy. Entonces la sucesión está en una bola B que es compacta, luego la sucesión tiene un punto de acumulación b en B y por tanto xn → b. t
u
Recuerde que si X es un espacio métrico con métrica d y A ⊆ X,
entonces dA : A × A → R dada por dA (x, y) = d(x, y) es una métrica
en A. Recuerde ademas que BA (a, ), para a ∈ A, es Bx (a, ) ∩ A. Es
decir que la topológia de A es la topológia de subespacio de X.
3.39 Definición: En (X, d), si A ⊆ X, A se dice “completo” si como
subespacio es completo. t
u
Note ahora:
3.40 Proposición: En un espacio métrico de bolas cerradas compactas, ser cerrado y acotado es equivalente a ser compacto.
Capı́tulo 3: Espacios Lineales y Completez.
63
Demostración: En cualquier espacio métrico “compacto” implica
“cerrado y acotado”. Supongamos ahora que A es cerrado y acotado y veamos que es compacto. Sea an∈N una sucesión en A. Como A
es acotado entonces A ⊆ B en donde B es una bola cerrada y entonces
compacta. Por tanto existe una subsucesión aφ(n) → b ∈ B por ser B
compacta pero aφ(n) ∈ A que es cerrado entonces b ∈ A.
3. Es inmediato.
t
u
Ejercicios Suplementarios
1. Sea B una base de vecindades de L, en un espacio topológico X. Demuestre que xn → L si y solo si ∀V ∈ B, ∃N ∈ N tal que n > N ⇒
xn ∈ V .
2. Determine bases de vecindades en las siguientes topologı́as
a) La topologı́a de los complementos finitos en X con X infinito.
b) La topologı́a P(X) en X
c) Ta = {B ⊆ X/a ∈ B} ∪ {φ}
3. Realizar la demostración correspondiente a 3.2.
4. De cada teorema de lı́mites del tipo lı́m f (x) = L dé un teorema y
x→a
demuéstrelo.
5. Realizar la demostración correspondiente a 3.8.
6. Realizar la demostración correspondiente a 3.14.
7. Realizar la demostración correspondiente a 3.16.
8. Tome lı́m f (x) + g(x) = L, para la convergencia a L con el filtro
x→a
B(a, δ), δ ∈ R. Ahora:
a) Dé el enunciado de los teoremas de aritmt́ica de lı́mite 0 lı́m f (x) = 0 .
x→a
b) Demuestre los teoremas de la parte 1.
c) Dé los teoremas de aritmética de lı́mites del tipo lı́m f (x) = L
x→a
d ) Demuestrelos como consecuencia de los teoremas de la parte c).
e) Establezca y demuestre los teoremas correspondientes a 3.10 para
el caso de funciones f : (x, d) → (V, kk) donde (X, d) es un espacio métrico y (V, kk) es un álgebra normada. Las demostraciones
deben seguir el patrón de 3.10
64
Matemáticas Especiales para Fı́sicos.
9. Demuestre que:
Si Xn es casi igual a k (constante), entonces k es un lı́mite de xn∈N ,
para cualquier topologı́a T sobre X.
10. Complete la demostración de 3.10
11. Use la aritmética de los lı́mites de la forma lı́m f (x) para dar y dex→a
mostrar los teoremas de continuidad an a para funciones f : (V, kkV ) →
(W, kkw ).
12. Determine la aritmética de los lı́mites de la forma lı́m f (x), para funx→a
ciones del tipo f : (X, T ) → (A, kkA ) en donde (X, T ) es un espacio
topológico y (A, kkA ) es un álgebra normada.
13. Use la aritmética de lı́mites de la forma lı́m f (x) para dar los teoremas
x→c
de continuidad en c ∈ X para función f : (X, T ) → (A, kk) en donde
(X, T ) es un espacio topologı́co y (A, kk) es un álgebra normada.
14. En cada espacio determine
i) Si es Haussdorff.
ii) Si hay sucesiones con mas de un punto lı́mite.
iii) Si los subconjuntos secuencialmente cerrados son cerrados:
a) Un subespacio A de un espacio X que ya cumple la propiedad.
b) R con la topologı́a de los complementos finitos.
c) P(X) en X.
d) La topologı́a Ta del ejercicio 2.
15. Complete la demostración de que la recı́proca de la proposición 3.19
(que se inicio al final de 3.19) no es cierta.
16. Sean a ∈ A ⊆ X. Sea TX una topologı́a en X y TA la topologı́a de A
como subespacio de X. Demuestre que si an∈N es una sucesión cuyos
elementos estan en A, entonces
(an → a) en (A, TA ) ⇔ (an → a en (X, TX )).
17. Sea yn∈N una sucesión en un espacio métrico (X, d).
1) Demuestre que si yn → L entonces toda subsucesión yφ(n) → L.
2) Demuestre que si yn∈N tiene una subsucesión que no es de Cauchy
entonces yn∈N no es de Cauchy.
3) Lo mismo que 2 para acotada en cambio de Cauchy.
Capı́tulo 3: Espacios Lineales y Completez.
65
4) Demuestre que Xmn construida en la demostración de 3.26 no es
de Cauchy.
18. Llene los detalles de la demostración de que si A en (X, d) es compacto,
entonces es acotado.
19. Sea A ⊆ X con X un espacio métrico. Se dice que A es “discreto” si
como subespacio de X es discreto.
a) Si A es discreto entonces
1) Muestre que A es completo.
2) Muestre que A es cerrado.
3) A es compacto ↔ A es finito.
b) Muestre que todo conjunto finito es discreto.