Solución taller 5 - Universidad Icesi

Universidad Icesi
Departamento de Matemáticas y Estadı́stica
Solución del examen final del curso Algebra y funciones
Grupos: Todos
Perı́odo: Final del año 2004
Profesores: Todos
PUNTO 1. Simplifique la expresión dada y elimine cualquier exponente negativo
−1
x−2 + y −2 x2 + y 2
−2 ·
−2
x+y
xy
SOLUCION: Aplicando propiedades de los exponentes, se obtiene:
2
−1
2
2
2 x2 y 2
xy
1
1
x2 + y 2
x−2 + y −2 x2 + y 2
+
·
=
· 2
= x+y
x
+
y
x
+
y
−2 ·
−2 =
2
2
2 + y2
2 y2
2
x
y
x
x
x
+
y
x+y
xy
∴
−1
2
x−2 + y −2 x2 + y 2
−2 ·
−2 = x + y
x+y
xy
PUNTO 2. Encuentre las ecuaciones para el cı́rculo y para la recta tangente al circulo que aparecen en la figura:
(−5, 12)
SOLUCION:
El cı́rculo está centrado en el origen, por tanto, la distancia r del punto (−5, 12) (situado sobre el circulo) al origen, es
el radio del cı́rculo. Calculemos dicha distancia:
q
√
2 √
2
2 q
2
r = 13
x2 − x1 + y2 − y1 =
−5 − 0 + 12 − 0 = 25 + 144 = 169 = 13 ∴
r=
Como la ecuación de un cı́rculo de radio r y centro en el punto (h, k) es (x − h)2 + (y − k)2 = r2 , se concluye que, en
el caso, la ecuación del cı́rculo viene dada por:
2
2
x2 + y 2 = 132 = 169
x − 0 + y − 0 = r2 ∴
Denominemos m1 a la pendiente de la recta que pasa por el punto P (−5, 12) y por el origen y m2 a la pendiente de
la recta tangente en P al cı́rculo. Como estas rectas son mutuamente perpendiculares y, por tanto, la pendiente de la
una es el opuesto del inverso multiplicativo de la pendiente de la otra, se tiene:
m1 =
12
y2 − y 1
12 − 0
=
=
x2 − x1
−5 − 0
−5
∴
m1 = −
12
5
∴
m2 = −
1
5
=
m1
12
∴
m2 =
5
12
Como la ecuación de una recta que pasa por el punto (a, b) y tiene pendiente m es y − b = m (x − a), se concluye que
la segunda ecuación pedida es:
y − 12 =
5
x+5
12
que equivale a:
y=
5
169
x+
12
12
1
que equivale a:
5 x − 12 y + 169 = 0
PUNTO 3. Simplifique la expresión
6 x2 − 7 x − 3 6 x2 − 13 x − 5
÷
x2 − 4
x2 − x − 2
SOLUCION: Aplicando productos notables y formas generales, se obtiene:
(3 x + 1) (2 x − 3) (3 x + 1) (2 x − 5)
6 x2 − 7 x − 3 6 x2 − 13 x − 5
÷
=
÷
x2 − 4
x2 − x − 2
(x + 2) (x − 2)
(x − 2) (x + 1)
=
(3 x + 1) (2 x − 3) (x − 2) (x + 1)
(x + 2) (x − 2) (3 x + 1) (2 x − 5)
=
2 x2 − x − 3
(2 x − 3) (x + 1)
=
(x + 2) (2 x − 5)
2 x2 − x − 10
∴
2 x2 − x − 3
6 x2 − 7 x − 3 6 x2 − 13 x − 5
÷
=
x2 − 4
x2 − x − 2
2 x2 − x − 10
PUNTO 4. Entre todos los rectángulos que tienen un perı́metro de veinte pies, determine las dimensiones de aquel que
tiene la mayor área.
SOLUCION: Consideremos un rectángulo con largo y ancho variables pero con perı́metro constante, como el de la figura.
x
y
Denominemos a al área del rectángulo. Como, según aparece en la figura, x es el largo y y el ancho, se tiene:
a = xy
(1)
De que el perı́metro del rectángulo es constante e igual a veinte pies, se sigue:
2 x + 2 y = 20
∴
x + y = 10
∴
y = 10 − x
(2)
Reemplazando este resultado en (1), se obtiene:
a = x y = x 10 − x = 10 x − x2 = − x2 − 10 x +
2
= − x2 − 10 x + 52 + 25 = − x − 5 + 25
a − 25 = − x − 5
∴
2
En consecuencia, se trata de una parábola que se abre hacia abajo y cuyo vértice es el punto V (5, 25), por tanto, el área a
es máxima cuando x = 5 y, por (2), se deduce y = 5. Entonces, se concluye que la respuesta a este punto es:
Las dimensiones del rectángulo, con perı́metro veinte pies y que tiene la mayor área, son largo y ancho de cinco pies.
2
PUNTO 5. Obtenga todas las soluciones reales de cada una de las siguientes ecuaciones:
√
a) x − 4 x = 32
b) 2 sen 2 x − cos x = 0
SOLUCION:
a) Podemos proceder de la siguiente manera:
√
x − 4 x = 32
∴
√
x − 32 = 4 x
x2 − 80 x + 1024 = 0
∴
∴
x = 40 ±
x − 32
2
√ 2
= 4 x
x2 − 64 x + 32
∴
√
√
1600 − 1024 = 40 ± 576 = 40 ± 24
∴
2
= 16 x
64
x=
16
∴
Debido a que en el proceso de solución de la ecuación dada elevamos al cuadrado, tenemos que chequear todas las
soluciones obtenidas para descartar las posibles soluciones extrañas. Para ello podemos dar al sistema algebraico de
computo MuPAD el par de órdenes:
ecuacion := x → bool x − 4 ∗ sqrt(x) = 32 : ecuacion(x) $ x in 64, 16
Después de ejecutadas tales órdenes dicho sistema responde:
TRUE, FALSE
De lo cual se concluye que la respuesta a este punto es:
La única solución real de la ecuación dada es x = 64
b) De que la fórmula para el seno del ángulo doble es sen 2 x = 2 sen x cos x, se deduce:
2 sen 2 x − cos x = 0
∴
2 2 sen x cos x − cos x = 0
cos x 4 sen x − 1 = 0
∴
∴
4 sen x cos x − cos x = 0
cos x = 0 ∨ sen x =
∴
1
4
Por tanto, se presentan dos casos, ası́:
Cuando cos x = 0 . Como el perı́odo para la función cos x es 2 π, del ciclo fundamental de dicha función, se sigue:
x=
1




π
+ 2 r π con r ∈ Z
2

π
π

x = + π + 2 r π = + (2 r + 1) π con r ∈ Z 
2
2
π
2
3π
2
=
π
2
∴
x=
π
+ k π donde k ∈ Z
2
+π
Cuando sen x = 1/4 . Denominemos θ0 al arco cuyo seno es 1/4, el cual es aproximadamente igual a 0.2526802551.
Entonces, como el perı́odo para la función sen x es 2 π, del ciclo fundamental de dicha función, se sigue:
)
x = θ0 + 2 r π con r ∈ Z
1
1/4
θ0
π − θ0
2π
x = π − θ0 + 2 r π = −θ0 + (2 r + 1) π con r ∈ Z
(
x=
θ0 + 2 k π
−θ0 + (2 k + 1) π
3
donde k ∈ Z
∴
PUNTO 6. Encuentre el dominio de la función
h(x) =
p
√
4 − x + x2 − 1
SOLUCION: De que el dominio de la función raı́z cuadrada real está constituido por el conjunto de los números reales
no negativos se desprende que para que un número real x esté en el dominio de la función h(x) debe satisfacer las siguientes
desigualdades:
x2 − 1 ≥ 0 ∧ 4 − x ≥ 0 ∴ (x + 1) (x − 1) ≥ 0 ∧ 4 ≥ x ∴
(x + 1) (x − 1) ≥ 0 ∧ x ≤ 4
Entonces, procedemos empleando el siguiente análisis de signos:
Intervalo
(−∞, −1)
(−1, 1)
(1, 4)
x+1
−
+
+
x−1
−
−
+
(x + 1) (x − 1)
+
−
+
De este análisis de signos se concluye que la respuesta a este punto es:
El dominio de la función h(x) es el conjunto S = −∞, −1 ∪ 1, 4
PUNTO 7. El conteo en un cultivo de bacterias fue de 400 después de dos horas y de 25600 después de seis horas.
a) ¿Cuál es la tasa de crecimiento relativo de la población de bacterias?
b) ¿Cuál fue el tamaño inicial del cultivo?
c) Determine una fórmula para n(t), el número de bacterias después de t horas.
d) Determine el número de bacterias después de cuatro horas y media.
e) ¿Cuándo llegará a cincuenta mil el número de bacterias?
SOLUCION: La fórmula que modela o describe el crecimiento de una población de animales o bacterias viene dada por:
n(t) = n0 e r t
(1)
donde t es el tiempo transcurrido, n(t) es la población en el tiempo t, n0 es el tamaño inicial de la población, o sea, la
población cuanto el tiempo es cero y r es la tasa de crecimiento relativo de la población.
a) De la información que facilita el enunciado del punto se desprende:


400 = n0 e r×2
25600 = n0 e
r×6

∴
e6 r
25600
= 2 r = e4 r
400
e
r = ln 2 3/2
∴
∴
64 = e 4 r
r=
∴
26 = er
4
∴
2 6/4 = e r
∴
3
ln 2 ≈ 1.039720771
2
4
∴
(2)
De este resultado se concluye que la respuesta a esta parte del punto es:
La tasa de crecimiento relativo de la población de bacterias es r =
2 3/2 = e r
3
ln 2 ≈ 1.039720771
2
b) De la información que suministra el enunciado del punto, por (1) y (2), se tiene:
3
400 = n0 e 2 r = n0 e 3 ln 2 = n0 e ln 2 = n0 × 2 3
∴
2 4 × 52 = 2 3 n0
∴
n0 = 2 × 52 = 50
(3)
De este resultado se concluye que la respuesta a esta parte del punto es:
El tamaño inicial del cultivo fue de cincuenta bacterias
c) De todos los resultados obtenidos, por (1), (2) y (3) se sigue:
n(t) = 50 e (3/2 ) ln(2) t
(4)
d) Aplicando la fórmula (4) para un tiempo t de cuatro horas y media, resulta:
n(4.5) = 50 e (3/2 ) ln(2) 4.5 ≈ 5381.737058
∴
n(4.5) ≈ 5381.737058
Se concluye que la respuesta a esta parte del punto es:
Después de cuatro horas y media el número de bacterias es de cinco mil trecientas ochenta y dos
e) Aplicando la fórmula (4) para un número de bacterias igual a cincuenta mil, resulta:
50000 = 50 e (3/2 ) ln(2) t
3 ln 10 =
∴
(3/2) t
1000 = e (3/2 ) ln(2) t = e ln(2)
= 2 (3/2) t
3
t ln 2
2
∴
2 ln 10 = t ln 2
∴
t=
∴
10 3 = 2 (3/2) t
∴
2 ln 10
≈ 6.64385619
ln 2
Se concluye que la respuesta a esta parte del punto es:
El número de bacterias llegará a cincuenta mil después de aproximadamente 6.644 horas
PUNTO 8. Determine la amplitud, el perı́odo y el corrimiento de fase de la función
2π
3
y = cos 2 x +
4
3
SOLUCION: El intervalo para el ciclo fundamental de la función cos x es 0, 2 π . Por tanto, para determinar el
correspondiente a la función dada podemos proceder de la siguiente manera:
0 ≤ 2x +
2π
≤ 2π
3
∴
π
0≤2 x+
≤ 2π
3
∴
0≤x+
π
≤π
3
∴
−
π
π
≤x≤π−
3
3
∴
−
2π
π
≤x≤
3
3
De este resultado se deduce que el perı́odo es:
perı́odo =
3π
2π π 2π π
− −
=
+ =
=π
3
3
3
3
3
∴
perı́odo = π
Se concluye que la respuesta a este punto es:
Respecto de la función dada su amplitud es
π
3
, el perı́odo es π y el corrimiento de fase es −
4
3
5
PUNTO 9. La torre CN de Toronto, Canadá es la torre más alta del mundo. Una señora en la plataforma de observación
a mil ciento cincuenta pies sobre el nivel del piso desea determinar la distancia entre dos marcas sobresalientes sobre el piso.
Observa que el ángulo entre las lı́neas de visión a estas dos marcas es de cuarenta y tres grados, también observa que el
ángulo entre la vertical y la lı́nea de visión a una de las marcas es de sesenta y dos grados, y entre la vertical y la linea de
visión a la otra marca es de cincuenta y cuatro grados. Determine la distancia entre las dos marcas sobresalientes.
SOLUCION: Un gráfico que geométricamente modela o representa la situación a que se refiere el punto es:
S
b
Q
h
a
O
d
P
De la información que suministra el enunciado del punto se conoce que h es igual a 1150 pies. Para facilitar los cálculos
denominemos α al ángulo OSP que es de 62 grados, β al ángulo OSQ que es de 54 grados y θ al ángulo P SQ que es de
43 grados, entonces:
a
h
b
Como el triángulo QOS es rectángulo en O, se tiene: sec β =
h
Como el triángulo P OS es rectángulo en O, se tiene: sec α =
∴
a = h sec α ≈ 2449.562638
∴
b = h sec β ≈ 1956.496859
Por tanto, aplicando la ley de los cosenos al triángulo P SQ, resulta: d =
√
a2 + b2 − 2 a b cos θ ≈ 1678.726224
Se concluye que la respuesta a este punto es:
La distancia entre las dos marcas sobresalientes es aproximadamente de 1678.73 pies
PUNTO 10. Compruebe la identidad
tan2 θ
1 + cos θ
=
cos θ
sec θ − 1
SOLUCION: De la identidad trigonométrica fundamental sen2 θ + cos2 θ = 1 se deduce sen2 θ = 1 − cos2 θ, por tanto,
expresando el lado de la derecha de la identidad dada en términos de senos y cosenos, resulta:
sen2 θ
sen2 θ
2
cos θ
cos2 θ
sen2 θ cos θ
sen2 θ
tan θ
=
=
=
=
sec θ − 1
1
1 − cos θ
cos2 θ 1 − cos θ
cos θ 1 − cos θ
−1
cos θ
cos θ
1 + cos θ 1 − cos θ
1 + cos θ
1 − cos2 θ
=
∴
=
=
cos θ
cos θ 1 − cos θ
cos θ 1 − cos θ
2
1 + cos θ
tan2 θ
=
sec θ − 1
cos θ
6