probabilidad y estadística - División de Ciencias Básicas

FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE PROBABILIDAD Y
ESTADÍSTICA
3.-
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Serie de los Temas I y II
Semestre: 2007-1
1.-
2.-
Para cada una de las poblaciones hipotéticas siguientes, determinar una muestra
plausible de tamaño cuatro.
a)
Todas las distancias que pudieran resultar al lanzar un balón de futbol.
b)
Número de páginas de los libros publicados en cinco años a partir de
ahora.
c)
Las mediciones posibles de la intensidad de temblores (escala Richter)
que pudieran registrarse en California durante el año próximo.
d)
Los rendimientos posibles, en gramos, de cierta reacción efectuada en
un laboratorio.
Respuesta: a) 22.1 , 23.4 , 16.5 , 27.3
a)
b)
Utilizar el rango para aproximar el valor de la desviación estándar.
Obtener una distribución de frecuencias con 15 clases de longitud 50
comenzando con 0.5
Respuesta: a)
4.-
Considérese la siguiente tabla de distribución de frecuencias
Límites
f
4.5 - 9.4
2
9.5 - 14.4
3
14.5 - 19.4
4
19.5 - 24.4
1
24.5 - 29.4
8
a) Obtener la amplitud de cada clase.
b) Determinar las marcas de clase.
c) Localizar las fronteras para la primera clase.
d) ¿Qué porcentaje de datos hay mayores que 19.45?
e) ¿Qué porcentaje de datos hay menores que 24.45?
f) ¿Que porcentaje de datos hay entre 14.5 y 19.4?
5.-
La demanda diaria, en unidades de un producto, durante 30 días de trabajo es:
38
35
76
58
48
59
67
63
33
69
53
51
28
25
36
32
61
57
49
78
48
42
72
52
47
66
58
44
44
56
a)
Construir las distribuciones de frecuencia relativa y de frecuencia
acumulada. Utilizar 5 intervalos, iniciando en 25 y terminando en 79.
b)
Con la distribución acumulada, determinar los tres cuartiles.
c)
Calcular la media, mediana, moda, desviación estándar, desviación
media y desviación mediana, empleando tanto los datos agrupados
como los no agrupados, y compare los dos conjuntos de resultados.
Respuesta: c) Para datos no agrupados:
,
En un estudio de productividad de autores, se clasificó a un gran número de
autores según la cantidad de artículos que publicaron durante cierto periodo.
Los resultados se presentan en la siguiente distribución de frecuencias:
Número de artículos
1
2
3
4
5
6
Frecuencia
784 204 127
50
33
28
Número de artículos
Frecuencia
Número de artículos
Frecuencia
a)
b)
c)
d)
7
19
8
19
13
4
9
6
14
4
10
7
15
5
11
6
16
3
12
7
17
3
Construir un histograma que corresponda a esta distribución de
frecuencias. ¿Cuál es la característica más interesante de la forma de
la distribución?
¿Que proporción de estos autores publicaron por lo menos cinco
artículos? ¿Por lo menos diez artículos? ¿Más de diez artículos?
Supóngase que los cinco números 15, los tres 16 y los tres 17 se
hubieran agrupado en una sola categoría mostrada como "
". ¿Se
podría trazar un histograma? Explicar su respuesta.
Supóngase que en lugar de que los valores 15, 16 y 17 se listen por
separado, se hubieran combinado en una categoría "15 a 17" con
frecuencia 11 ¿Se podría trazar un histograma? Explicar.
Los datos siguientes señalan el tiempo de funcionamiento (en días) hasta que
se presenta la primera falla de
radio transmisores-receptores:
16 224
16
80
96 536 400
80
392 576 128
56 656 224
40
32
358 384 256 246 328 464 448 716
304
16
72
8
80
72
56 608
108 194 136 224
80
16 424 264
156 216 168 184 552
72 184 240
438 120 308
32 272 152 328 480
60 208 340 104
72 168
40 152
360 232
40 112 112 288 168 352
56
72
64
40 184 264
96 224
168 168 114 280 152 208 160 176
Probabilidad y Estadística 2
______________________________________________________________________________________________________________________________________________
6.-
Estudios recientes han indicado que la presencia de partículas con diámetro
menor a 2.5 micrómetros (PM 2.5) en el aire pueden causar daños en la salud.
Para normar la concentración permisible de este contaminante en México, la
Secretaría de Salud hizo un estudio preliminar; se seleccionaron aleatoriamente
36 días de un período de 4 meses, para los cuales se encontraron las siguientes
concentraciones diarias (en
14
12
16
10
13
14
a)
b)
7.-
15
15
13
12
9
13
8.-
Estudiante
Horas
Calificación
, promedio de 24 horas)
11
17
11
15
6
10
10
18
9
16
20
15
7
20
15
17
18
14
5
18
8
17
3
13
Obtener la tabla de distribución de frecuencias, dividendo los datos de
la mejor manera en seis clases. Calcular la media y la desviación
estándar para los datos agrupados.
Dibujar el histograma y polígono de frecuencias.
Julia y Juan son socios en un laboratorio químico. Tienen la tarea de determinar
la cantidad de Sulfato de cobre (
) se podrá disolver en agua a 10, 20, 30,
40, 50, 60 y 70 . Los resultados de laboratorio se muestran en la siguiente
tabla, donde es el peso en gramos de Sulfato de cobre que se disuelven en
100 g de agua a
.
a)
Trazar el diagrama de dispersión.
b)
Encontrar la ecuación de la recta de regresión.
c)
Calcular el error estándar de la estimación.
Los siguientes datos representan el número de horas de estudio ( ) y la
calificación obtenida ( ) en un examen para una muestra de 6 estudiantes.
a)
b)
c)
d)
9.-
Respuesta: c) 2.35
17
21
25
28
33
40
49
B
2
71
C
4
74
D
4
80
E
7
80
F
12
86
Representar los datos en un diagrama de dispersión.
Ajustar a los datos un modelo lineal de regresión empleando el criterio
de mínimos cuadrados.
Si estudia 5 horas, ¿cuál calificación esperaría?
Calcular la covariancia y el coeficiente de correlación. Interpretar los
resultados de la relación de las variables.
Una empresa está construyendo una presa y quiere saber la relación entre el
volumen medio de excavación diario y el número de máquinas excavadoras que
se emplean.
Se define a
como el número de máquinas y a
como el volumen de
excavación. Se prueba empleando un número diferente de máquinas cada día
y midiendo el volumen excavado. Después de nueve días se tiene la siguiente
información:
1
10
a)
10
20
30
40
50
60
70
A
1
71
b)
c)
d)
2
40
3
55
4
65
5
71
6
75
7
78
8
80
9
81
Sumas
45
555
285
38661
3235
Estimar el valor esperado del volumen de excavación cuando se
emplean dos máquinas.
¿En cuánto se estima el volumen medio cuando se emplean 12
máquinas? ¿Qué puede opinar de la confiabilidad de esa estimación?
Calcular el coeficiente de correlación lineal y comentar sobre la
bondad del ajuste.
¿Cómo podría mejorarse el conocimiento sobre la relación entre
ambas variables?
Respuesta:
Probabilidad y Estadística 3
______________________________________________________________________________________________________________________________________________
10.-
y se obtienen los datos siguientes sobre el ingreso familiar
consumo de energía
c)
d)
13.-
Determinar cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son
falsas.
a)
Si
, entonces
.
b)
Si
, entonces
.
c)
Si
, entonces
o
.
Respuesta: a) Verdadero, b) Falso, c) Falso
15..
(dos unidades de $1000)?
16.-
?
Escribir los elementos de cada uno de los siguientes espacios muestrales.
a)
El conjunto de los enteros entre 1 y 50 divisibles entre 8.
b)
El conjunto
.
c)
El conjunto de resultados cuando una moneda se lanza al aire hasta
que resultan una águila o tres soles.
d)
El conjunto
e)
El conjunto
Respuesta: b) {-5,1}
Una ciudad se abastece de dos fuentes de agua, cada una con su propia
conducción (a y b), las cuales se unen en un solo conducto (c) antes de llegar
a la ciudad. Si , y son los eventos de que cada una de las conducciones
dejen de conducir agua y la falla del sistema se produce cuando se corta el
abastecimiento a la ciudad; caracterizar la falla del sistema en términos de los
eventos , y .
Un furgón contiene seis sistemas electrónicos complejos. Se seleccionan al azar
De entre 20 tanques de combustible fabricados para el transbordador espacial,
tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro tanques:
a)
¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tanques se encuentre
defectuoso?
b)
¿Cuál es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos?
Respuesta: a) 0.49
¿Cuánto esperaría que cambie el consumo si el ingreso familiar
disminuye en
12.-
14.-
Si
(ingreso familiar de $50000), estimar el consumo promedio
de energía de las familias con ese ingreso. ¿Cuál sería su estimación
para una sola familia?
¿Cuánto esperaría que cambie el consumo si el ingreso familiar
aumenta en
e)
y el
:
Consumo de energía
Ingreso familiar
1.8
20.0
3.0
30.5
4.8
40.0
5.0
55.1
6.5
60.3
7.0
74.9
9.0
88.4
9.1
95.2
a)
Realizar un diagrama de dispersión de los datos.
b)
Estimar la ecuación de regresión lineal
11.-
dos de los seis para someterlos a pruebas rigurosas y clasificarlos como
defectuosos o no defectuosos.
a)
Si dos de los seis sistemas son realmente defectuosos, determinar la
probabilidad de que al menos uno de los dos sistemas probados sea
defectuoso. Determinar la probabilidad de que los dos sean
defectuosos.
b)
Encuentre las probabilidades indicadas en (a), para el caso de que
cuatro de los seis sistemas sean realmente defectuosos.
Se estudia la relación del consumo de energía eléctrica con el ingreso familiar
Por error se han colocado tornillos defectuosos en un recipiente con
en
buen estado. Se extraen cuatro tornillos al azar.
a)
Si las extracciones son sin reemplazo, calcular la probabilidad de que
los dos primeros sean defectuosos y los dos últimos no defectuosos.
b)
Si las extracciones son con reemplazo, calcular la probabilidad de
obtener los cuatro defectuosos.
c)
Si las extracciones son sin reemplazo, calcular la probabilidad de que
los cuatros sean defectuosos
Respuesta: a) 0.010728, c) cero
17.-
La probabilidad de que un nuevo aeropuerto obtenga la autorización para su
diseño es 0.16, la probabilidad de que consiga autorización para el uso eficiente
de materiales es 0.24 y la probabilidad de que logre ambas autorizaciones es de
0.11. Obtener las probabilidades de que el aeropuerto obtenga la autorización
de diseño dado que:
a) obtuvo la autorización para el uso eficiente de materiales;
b) no obtuvo la autorización para el uso eficiente de materiales.
18.-
Se toman muestras de una pieza fundida de aluminio y se clasifican de acuerdo
con el acabado de la superficie (en micropulgadas) y con las mediciones de
longitud. A continuación se resumen los resultados obtenidos en 100 muestras.
Probabilidad y Estadística 4
______________________________________________________________________________________________________________________________________________
longitud
excelente
bueno
acabado de la
excelente
75
7
superficie
bueno
10
8
Sean A el evento donde la muestra tiene un acabado excelente, y B el evento
donde la longitud tiene una longitud excelente. Calcular las siguientes
probabilidades
a)
b)
c)
d)
e)
Si la parte seleccionada tiene un acabado superficial excelente, ¿cuál
es la probabilidad de que la longitud también sea excelente?
f)
Si la parte seleccionada tiene una longitud adecuada, ¿cuál es la
probabilidad de que el acabado superficial sea excelente?
Respuestas:
a) 0.82 d) 0.9146 f) 0.9146
19.-
Los láseres de semiconductor utilizados en los productos para almacenamiento
óptico requieren niveles de potencia mucho mayores para las operaciones de
escritura que para las de lectura. Entre más grande es el nivel de potencia menor
es la duración del láser.
Los láseres utilizados en productos para el respaldo de discos magnéticos de
alta velocidad se utilizan principalmente para escribir, y la probabilidad de que
su vida útil sea mayor que cinco años es 0.95. Los láseres que se emplean en
productos para almacenamiento, invierten aproximadamente el mismo tiempo
en operaciones de lectura y escritura, y la probabilidad de que la vida útil de
éstos sea mayor que cinco años es 0.995. El 25% de los productos de cierto
fabricante se utilizan para operaciones de respaldo, mientras que el 75%
restante se emplea para almacenamiento.
Sean
:
el evento donde la vida útil del láser es mayor que cinco años
:
el evento donde el producto que emplea el láser se utiliza
para respaldar información.
Utilizar un diagrama de árbol para determinar lo siguiente:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
¿Cuál es la probabilidad de que la vida útil del láser sea mayor que
cinco años?
i)
¿Cuál es la probabilidad de que el láser que falla antes de cinco años
provenga de un producto que se emplea para respaldar información?
Respuestas: a) 0.25, b) 0.75, c) 0.95, h) 0.98375, i) 0.7692
20.-
Juan y Pedro lanzan una pelota a un blanco. Supóngase que la probabilidad de
que Juan dé en el blanco es
y que la probabilidad de que Pedro dé en el
blanco es
. Supóngase también que Juan lanza primero y que los dos chicos
van turnando para lanzar.
a)
Determinar la probabilidad de que el primer lanzamiento que dé en el
blanco sea el tercero de Juan.
b)
Determinar la probabilidad de que Juan dé en el blanco antes de que
lo haga Pedro.
Respuesta: a) 0.08333
21.-
Se lanza una moneda con una probabilidad de
que el resultado sea cara. Si
aparece una cara, se extrae una pelota, aleatoriamente, de una urna que contiene
dos pelotas rojas y tres verdes. Si el resultado es cruz se extrae una pelota, de
otra urna, que contiene dos rojas y dos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de
extraer una pelota roja?
Respuesta: 0.43
22.-
Cierta empresa envía 40% de sus paquetes de correo nocturnos por servicio de
correo expreso . De estos paquetes, 2% llega después de la hora garantizada
de entrega (señalar con el evento de "entregado tarde").
a)
Si se selecciona al azar un registro de envíos nocturnos de los archivos
de la compañía, ¿cuál es la probabilidad de que el paquete sea enviado
vía
y llegue tarde?
b)
Supóngase el 50% de los paquetes nocturnos son enviados por servicio
de correo expreso
y el restante 10% son enviados por
. De los
enviados por
sólo 1% llega tarde, mientras que 5% de los
paquetes manejados por
llega tarde. ¿Cuál es la probabilidad de
que un paquete seleccionado al azar llegue tarde?
c)
Si un paquete seleccionado al azar llega a tiempo, ¿cuál es la
probabilidad de que no haya sido enviado por ?
Respuestas: a) 0.08
b) 0.601
23.-
Un prisionero político será enviado a Siberia o a los Urales. Las probabilidades
de que lo envíen a estos dos lugares son 0.6 y 0.4 respectivamente. Se sabe
además que si un residente de Siberia se elige al azar hay una probabilidad de
0.5 de que lleve un abrigo de piel, en tanto que la probabilidad para lo mismo
es de 0.7 en el caso de un residente de los Urales. Al llegar al exilio, la primera
persona que ve el prisionero no lleva abrigo de piel. ¿Cuál es la probabilidad de
que esté en Siberia?
Probabilidad y Estadística 5
______________________________________________________________________________________________________________________________________________
24.-
Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de una manera
diferente en ciertas circunstancias; 70% de las mujeres reaccionan
positivamente en dichas circunstancias, mientras que el porcentaje en los
hombres es solamente del 40%. Se sometió a prueba un grupo de 20 personas,
15 mujeres y 5 hombres, y se les pidió llenar un cuestionario para descubrir sus
reacciones. Una respuesta escogida al azar de las 20 resultó negativa. ¿Cuál es
la probabilidad de que haya sido contestada por un hombre?
25.-
Suponer que está disponible una prueba para detectar la drogadicción, cuya
precisión es de 95% en cada sentido, es decir que si la persona es adicta, existe
95% de probabilidad de que la prueba indique "sí"; si la persona no es adicta,
entonces 95% de las veces la prueba indicará "no". Suponga que se conoce la
incidencia de drogadicción en poblaciones urbanas es de aproximadamente 1
de cada 1,000, dado un resultado positivo (sí) de la prueba, ¿cuál es la
posibilidad de que la persona a la que se le está practicando la prueba sea
adicta?