La más famosa de las campanas - Ciencia sin seso…locura doble

La más famosa de las campanas
Dice el diccionario que una campana es un dispositivo simple que emite
un sonido. Pero una campana puede ser muchas cosas más. Creo que hay hasta
una planta con ese nombre y una flor con su diminutivo. Y no nos olvidemos
de las campanas extractoras de las cocinas.
Pero, sin duda, la más famosa de todas las campanas es la célebre
campana de Gauss, la más querida y venerada por estadísticos y científicos
de distinto pelaje.
Pero, ¿qué es la campana de Gauss?. Pues no es nada más, ni nada menos,
que una función de densidad de probabilidad. Dicho de otra forma, es una
distribución continua de probabilidad que tiene forma de campana simétrica,
de ahí la primera parte de su nombre. Y digo la primera parte porque la
segunda es algo más polémica, ya que no está tan claro que Gauss sea el
padre de la criatura.
Parece que el primero en utilizar esta función de densidad fue un tal
Moivre, que estaba estudiando qué pasaba con una distribución binomial
cuando el tamaño de la muestra se iba haciendo grande. Sin embargo, otra de
las muchas injusticias de la historia, el nombre de la función se asocia
con Gauss, que la utilizó unos 50 años después para registrar los datos de
sus estudios astronómicos. Claro que, para defensa de Gauss, hay quien dice
que los dos descubrieron la función de densidad de manera independiente.
Nosotros, para no polemizar, a partir de ahora vamos a denominarla por
su otro nombre, diferente al de campana de Gauss: distribución normal. Y
parece que la bautizaron así porque al principio pensaron que la mayor
parte de los fenómenos naturales se ajustaban a esta distribución. Más
tarde se vio que hay otras distribuciones que son muy frecuentes en
biología, como la de Poisson o la binomial.
Como ocurre con cualquier función de densidad, la utilidad de la curva
normal radica en que representa la distribución de probabilidades de
aparición de la variable aleatoria que estemos midiendo. Por ejemplo, si
medimos los pesos de una población de individuos y los representamos
gráficamente veremos que se distribuyen siguiendo una distribución normal.
Así, el área bajo la curva entre dos puntos del eje x representa la
probabilidad de aparición de esos valores. El área total bajo la curva es
igual a uno, lo que quiere decir que hay un 100% de probabilidades (uno en
tantos por uno) de que se encuentre cualquiera de los valores de la
distribución.
Existen infinitas distribuciones normales, todas ellas perfectamente
caracterizadas por su media y su desviación estándar. Así, cualquier punto
del eje horizontal puede expresarse como la media más o menos un número de
veces la desviación estándar, pudiendo calcularse su probabilidad usando la
fórmula de la función de densidad, que no me atrevo a enseñaros aquí.
También podemos utilizar un ordenador para calcular la probabilidad de una
variable dentro de una distribución normal, pero en la práctica se hace
algo más sencillo: estandarizar.
Se dice que la distribución normal estándar es aquella que tiene una
media igual a cero y una desviación estándar igual a uno. La ventaja de
contar con la distribución estándar es doble. Primero, conocemos su
distribución de probabilidades para los distintos puntos del eje
horizontal. Así, entre la media más menos una desviación se encuentra el
68% de la población, entre la media y más menos dos el 95% y entre más
menos tres el 99%, aproximadamente.
La segunda ventaja es que cualquier distribución normal puede
convertirse en una estándar. Basta con restar la media al valor y dividirlo
por la desviación estándar de la distribución. Calculamos así el score z,
que es el equivalente del valor de nuestra variable en una distribución
normal estándar de media cero y desviación estándar uno.
Veis la utilidad del asunto. Ya no necesitamos programas informáticos
para calcular la probabilidad. Nos basta con estandarizar y usar una simple
tabla, si es que no conocemos el valor de memoria. Pero es que la cosa va
incluso más allá.
Gracias a la magia del teorema central del límite, otras distribuciones
pueden aproximarse a una normal y puede utilizarse la técnica de
estandarizar para calcular la distribución de probabilidades de los valores
de las variables. Por ejemplo, aunque nuestra variable siga una
distribución binomial podremos aproximarla a una normal cuando el tamaño
muestral sea grande. En la práctica, cuando np y n(1-p) sean mayores de
cinco. Lo mismo ocurre con la distribución de Poisson, que puede
aproximarse a una normal cuando la media es mayor de 10.
Y la magia es doble, porque además de poder prescindir de herramientas
complejas y calcular con más facilidad probabilidades o intervalos de
confianza, hay que tener en cuenta que tanto la distribución binomial como
la de Poisson son funciones de masa discretas, mientras que la normal es
una función de densidad continua.
Y este es el final por hoy. Solo deciros que hay otras funciones de
densidad continuas distintas a la normal y que también pueden aproximarse a
una normal cuando las muestras son grandes. Pero esa es otra historia…