PR´ACTICO 1 Clases del 14, 16 y 21 de Agosto. Ejercicio 1. Decidir

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
SEGUNDO CUATRIMESTRE 2013
PRÁCTICO 1
Clases del 14, 16 y 21 de Agosto.
Ejercicio 1. Decidir en cada caso si (G, ∗) es un grupo y, en caso afirmativo, si es abeliano o no.
(a) G = R>0 , a ∗ b = ab .
(b) G = Z × Z, (m, n) ∗ (r, s) = (m + (−1)n r, n + s).
(c) G = {f : X → X : f es inyectiva }, con X un conjunto no vacı́o, f ∗ g = f ◦ g. ¿Si X es
finito?
(d) G = {f : X → X : f es suryectiva }, con X un conjunto no vacı́o, f ∗ g = f ◦ g. ¿Si X
es finito?
(e) G = P(X) (partes de X), con X un conjunto, A ∗ B = A ∪ B.
(f) G = P(X) (partes de X), con X un conjunto, A ∗ B = A ∩ B.
(g) G = P(X) (partes de X), con X un conjunto, A ∗ B = A ∪ B − A ∩ B.
(h) G = Aff(n) = {f : Rn → Rn : f (x) = T (x) + v, donde T ∈ GL(n, R), v ∈ Rn },
f ∗ g = f ◦ g.
Ejercicio 2. Sea G un grupo y X un conjunto no vacı́o. Sea F (X, G) = {f : X → G : f es función}.
Mostrar que F (X, G) es un grupo con la operación f ∗ g := f g, donde (f g)(x) = f (x)g(x).
Mostrar que si G es abeliano, entonces F (X, G) también lo es.
Ejercicio 3. Sea G un semigrupo. Probar que G es grupo si y sólo si las ecuaciones ya = b y ax = b
tienen solución en G, para todo a, b ∈ G.
Ejercicio 4. Sea G un semigrupo que tiene una identidad a izquierda e, y tal que cada elemento tiene un
inverso a derecha, es decir que para cada elemento x existe un y tal que xy = e.
¿Es G es un grupo?.
Ejercicio 5. Sea p un número primo. Definimos
na
o
Rp :=
∈ Q : (b, p) = 1 ,
b
Rp :=
na
b
o
∈ Q : b = pi , con i ≥ 0 .
Mostrar que Rp y Rp son grupos abelianos con la suma de Q.
Ejercicio 6.
(i) La relación a ∼ b ⇔ a − b ∈ Z es relación de congruencia en (Q, +).
(ii) Q/Z es grupo abeliano infinito.
j
Ejercicio 7. Sea G un grupo, a, b ∈ G, r ∈ N. Si bab−1 = ar , entonces bj ab−j = ar , ∀ j ∈ N.
Ejercicio 8. (a) Probar que |Sn | = n!.
(b) Hallar en S3 y S4 elementos a tales que a = a−1 y a3 = e.
Ejercicio 9. Probar que (Z/pZ − {0}, ·) es grupo ⇔ p es primo.
Ejercicio 10. Decidir si en un grupo las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
(i) a = a−1 ⇔ a2 = e.
1
(ii) am = an ⇒ n = m.
(iii) (ab)−1 = a−1 b−1 ⇒ ab = ba.
(iv) G abeliano ⇔ a2 b2 = (ab)2 .
Ejercicio 11. (*) Sea G un grupo finito de orden par. Mostrar que existe a 6= e tal que a2 = e.
Ejercicio 12. Sea G un grupo. Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes.
(i) G es abeliano.
(ii) (ab)2 = a2 b2 , ∀ a, b ∈ G.
(iii) (ab)−1 = a−1 b−1 , ∀ a, b ∈ G.
(iv) (ab)n = an bn , ∀ n ∈ Z, ∀ a, b ∈ G.
(v) (ab)n = an bn , ∀ a, b ∈ G, para tres enteros consecutivos.
Ejercicio 13. Sea G un grupo tal que a2 = e, ∀ a ∈ G. Mostrar que G es abeliano.
Ejercicio 14. Sean G, H grupos, y sean f, g : G → H homomorfismos de grupos. Entonces:
(i) f (eG ) = eH .
(ii) f (a−1 ) = (f (a))−1 .
(iii) La parte (i) puede ser falsa si G y H son monoides que no son grupos.
Ejercicio 15. Determinar si las siguientes asignaciones son homomorfismos, y en tal caso decir si son
monomorfismos y/o epimorfismos. (Considerar Z y Zn , n = 6, 5, 12, con las sumas usuales).
(i) f : Z → Z, f (a) := ma, con m ∈ Z.
(ii) f : Z6 → Z12 , f (a) := 2a.
(iii) f : Z6 → Z12 , f (a) := 3a.
(iv) f : Z6 → Z10 , f (a) := 2a.
(v) f : Z5 → Z5 , f (a) := 3a.
Ejercicio 16. Sea f : G → H homomorfismo de grupos. Probar:
(i) A < G ⇒ f (A) < H.
(ii) B < H ⇒ f −1 (B) < G.
(iii) ker(f ) < G, Im(f ) < H.
Ejercicio 17. Sea G un grupo. Definimos C(G) := {a ∈ G : ab = ba, ∀ b ∈ G}. Probar que C(G) es un
subgrupo abeliano de G (llamado el centro de G).
Ejercicio 18. (*) Sean G un grupo finito y f : G → G un isomorfismo sin puntos fijos distintos de la
identidad tal que f 2 = id. Entonces G es abeliano.
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