Ecuaciones Algebraicas. Curso 2006/7. Hoja de problemas 3. 1

Ecuaciones Algebraicas. Curso 2006/7. Hoja de problemas 3.
1. Construir la tabla de multiplicación de los siguientes grupos y un diagrama de sus subgrupos.
(a) Los grupos de unidades de Z7 y Z16 .
(b) GL2 (Z2 ).
(c) Los subgrupos ha, bi y hx, yi de GL2 (C) donde
i 0
0 i
0 1
a=
, b=
, x=
,
0 i
i 0
−1 0
y=
0 −1
1 −1
y el grupo G/h−Ii, donde I es la matriz identidad y G es cada uno de los grupos anteriores.
2. Probar que todo grupo G de orden menor o igual a cinco es abeliano.
3. Demostrar que si G es un grupo tal que g 2 = 1, para todo g ∈ G, entonces G es abeliano.
4. Mostrar que la unión de dos subgrupos de un grupo no es necesariamente un subgrupo. Aún más,
probar que un grupo nunca puede expresarse como unión de dos subgrupos propios.
5. Para n = 1, . . . , 10, determinar cuáles de los grupos Z∗n son cı́clicos.
6. La función φ : N → N que asocia a cada número n el cardinal de Z∗n se llama función de Euler.
Demostrar que:
(a) Si n y m son coprimos, entonces φ(nm) = φ(n)φ(m).
(b) Si p es primo, entonces φ(pn ) = pn−1 (p − 1).
· · · pkp−1
.
(c) Si n = p1a1 · · · pakk , con p1 , . . . , pk primos distintos entonces φ(n) = n p1p−1
1
k
7. Demostrar que si G es cı́clico entonces el número de generadores de G es 2, si G tiene orden infinito
y φ(|G|), si G tiene orden finito. Describir los generadores en todos los casos.
8. Encontrar todos los grupos cı́clicos G, salvo isomorfismos, que tengan exactamente dos generadores
(es decir, tales que existan exactamente dos elementos x ∈ G con G = hxi).
9. Demostrar que si p es un primo positivo, entonces todos los subgrupos de orden p son cı́clicos isomorfos
a Cp .
10. Calcular el orden de cada elemento de los grupos diédricos Dn .
11. ¿Es cı́clico el producto directo de dos grupos cı́clicos infinitos?
12. Demostrar que la intersección de una familia de subgrupos normales de un grupo también es un
subgrupo normal.
13. Demostrar que todo subgrupo de un subgrupo cı́clico normal de G es normal en G.
14. Sean N y M subgrupos normales de un grupo G tales que N ∩ M = {1}. Probar que nm = mn para
todo n ∈ N y m ∈ M .
15. Sea N un subgrupo normal de ı́ndice n de un grupo G. Demostrar que g n ∈ N para todo g ∈ G, y
dar un ejemplo que muestre que esta propiedad falla si N no es normal en G.
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16. Si N es un subgrupo normal en un grupo G y a ∈ G tiene orden n, probar que el orden de N a en
G/N es un divisor de n.
17. Probar que si n | m entonces existen un homomorfismo inyectivo Zn → Zm y un homomorfismo
suprayectivo Zm → Zn .
18. Demostrar que, si el grupo G no es abeliano, entonces existe un subgrupo abeliano de G que contiene
estrictamente al centro Z(G).
19. Demostrar que, si G es el grupo diédrico D4 entonces Z(G) ' Z2 y G/Z(G) ' Z2 × Z2 . Demostrar
que lo mismo sucede con el grupo Q8 = ha, bi del Ejercicio 1 y que sin embargo D4 6' Q8 .
20. Probar que, salvo isomorfismos, sólo hay dos grupos no abelianos de orden 8. ¿Cuáles son?
21. Probar que todo grupo no abeliano de orden 6 es isomorfo a S3 .
22. Demostrar que si H es un subgrupo abeliano de un grupo G tal que HZ(G) = G, entonces G es
abeliano. Deducir que si G/Z(G) es cı́clico, entonces G es abeliano.
23. Describir todos los subgrupos normales del grupo diédrico Dn .
24. Calcular los centros de GLn (R), GLn (C), SLn (R) y SLn (C).
25. Calcular las clases de conjugación de los grupos del Problema 1 y de los grupos diédricos.
26. Demostrar que p es primo, entonces todos los grupos de orden p2 son abelianos.
27. Si p es primo, probar que el centro de cualquier grupo no abeliano de orden p3 tiene orden p.
28. Sea G un grupo abeliano finito en el que, para cada n ∈ Z+ , la ecuación xn = e tiene a lo sumo n
soluciones. Demostrar que G es cı́clico. Deducir que un subgrupo finito del grupo de unidades de
un dominio es cı́clico. (Indicación: Elegir un elemento de orden máximo y observar que para cada
g ∈ G de orden n, el subgrupo hgi contiene n soluciones de la ecuación xn = e.)
29. (Teorema de Cauchy) Demostrar que si G es un grupo finito cuyo orden es múltiplo de un primo p, entonces G tiene un elemento de orden p. (Indicación: Considérese X = {(x1 , x2 , . . . , xp ) : x1 x2 · · · xp =
1} y la siguiente acción del grupo cı́clico Cp = hgi en X: g · (x1 , x2 , . . . , xp ) = (xp , x1 , x2 , . . . , xp−1 ).)
30. (Primer Teorema de Sylow) Demostrar que si G es un grupo de orden finito n y n = pm k con p - k,
entonces G tiene un subgrupo de orden pm . Estos subgrupos se llaman subgrupos de Sylow de G.
(Indicación: Razonar por inducción en n, aplicando la Ecuación de Clase en el caso en que p divide
a [G : CenG (g)] para todo g ∈ G \ Z(G).
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