9. Determine cuales de las operaciones binarias definidas en el

9. Determine cuales de las operaciones binarias de…nidas en el problema (2) determinan
grupos.
10. Sea R el conjunto de los números reales, para a; b 2 R con a 6= 0 de…nimos
T(a;b) : R
x
!
R
! ax + b
Probar que G = T(a;b) : a; b 2 R con a 6= 0 con la operación composición usual entre
funciones, es un grupo. ¿Es G abeliano?.
11. Si G es el grupo del problema anterior, consideremos H
G, donde
H = T(a;b) : a 2 Q y b 2 R :
Probar que H con la operación de…nida en el problema anterior es un grupo no abeliano.
12. Consideremos ahora K
H
G donde
K = T(1;b) : b 2 R :
Probar que K con la operación de…nida en el problema (9) es un grupo no abeliano.
13. Si G; H; K estan de…nidos como en los problemas anteriores y T(a;b) 2 G.
1
2 H.
a. Probar que para cada T(r;s) 2 H : T(a;b) T(r;s) T(a;b)
1
b. Probar que para cada T(r;s) 2 K : T(a;b) T(r;s) T(a;b)
2 K.
c. Determine todas las T(a;b) 2 G tales que T(a;b) T(1;x) = T(1;x) T(a;b) , para cada x 2 R.
14. En G = R
f 1g de…nimos la operación
a b = a + b + ab
Probar que G es un grupo abeliano.
15. En G = Q
f1g de…nimos la operación
a b=a+b
ab
Probar que G es un grupo abeliano.
16. Sea
G = ff :7 !: f es funcióng :
3
Para f; g 2 G se de…ne f + g la función de…nida por
f + g : [a; b]
x
! R
! (f + g) (x) = f (x) + g (x)
Demostrar hG; +i es un grupo abeliano.
17. Sea hG; i un grupo, en G de…nimos la operación
a b=b a
Pruebe que hG; i es un grupo.
18. Axiomas debiles de grupo: Sea G un conjunto junto con una operación binaria tal
que:
i. La operación es asociativa.
ii. Existe e 2 G tal que para cada x 2 G : ex = x.
iii. 8a 2 G; 9b 2 G tal que ba = e.
Probar que G es un grupo. ( G es llamado un grupo a izquierda).
19. Sea G un conjunto junto con una operación binaria tal que:
i. La operación es asociativa.
ii. Existe e 2 G tal que para cada x 2 G : xe = x.
iii. 8a 2 G; 9b 2 G tal que ab = e.
Probar que G es un grupo. ( G es llamado un grupo a derecha).
20. Sea G un conjunto …nito con una operación binaria àsociativa tal que todo elemento de
G resulte cancelable. Pruebe que G es un grupo.
Muestre con un ejemplo,que la conlcusión del problema anterior es falso si omitimos la
condición que G sea …nito.
21. Sea G un grupo.y a; b; c 2 G; probar que la ecuación xaxba = xbc tiene un única solución
en G.
22. Sea G un grupo …nito, pruebe que para cada x 2 G;existe n 2 Z+ tal que xn = e. Esto
muestra que en un grupo …nito,todos sus elementos tienen orden …nito.
4
23. Sea G un grupo …nito. Pruebe que existe m 2 Z+ tal que para cada a 2 G :
am = e
24. Sea G un grupo y a 2 G tal que (a) = n, si m; n 2 Z son tales que am = ak , pruebe que
m = k(mod n):
25. Sea G un grupo, pruebe que en G existe un único elemento a tal que a2 = a. Un elemento
como el anterior es llamado un elemento idempotente.
26. Si G es abeliano y …nito entonces el cuadrado del producto de todos sus elementos es
igual a e.
En todo los problemas siguientes, G siempre denota un grupo.
27. Si a; x 2 G, probar que 8n 2 Z :
(xax
1 n
) = xan x
1
28. Si para cada a; b 2 G existen tres enteros consecutivos n; n + 1; n + 2 tales que
(ab)k = ak bk ;
k = n; n + 1; n + 2; pruebe que G es abeliano.
Muestre con un ejemplo que la conlcusión del problema anterior si la condición
(ab)k = ak bk ;
sólo se cumple para dos enteros consecutivos.
29. Si 8a; b 2 G : (ab)
1
=a
1b 1
entonces G es abeliano.
30. Si 8a; b 2 G : (ab)2 = a2 b2 entonces G es abeliano.
31. Si 8a 2 G : a = a
1
entonces G es abeliano.
32. Si 8a 2 G : a2 = e entonces G es abeliano.
33. 8a; b 2 G : (ab)3 = a3 b3 y (ab)5 = a5 b5 entonces G es abeliano.
34. Si a 2 G tiene orden …nito entonces a
Sugerencia: nótese que a
1
= aa
1a
1
tiene orden …nito y (a) =
y recuerde el problema 27.
5
a
1
.
35. Si a; b 2 G son tales que ab tiene orden …nito entonces ba tiene orden …nito y
(ab) =
(ba).
Sugerencia: nótese que ab = a (ba) a
1
y recuerde el problema 27.
36. Si a; b 2 G son tales que a5 = e; aba
1
= b2 y b 6= e: Hallar (b).
37. Si a; b 2 G tales que ab = ba y am = bn = e: Probar que (ab)k = e , donde d = mcm (n; m).
1.3.
Subgrupos
38. Fraleigh, página 34, problemas: 3.1, 3.2, 3.6, 3.7, 3.8, 3.11, 3.12, 3.13, 3.15, 3.16, 3.17,
3.18, 3.19.
39. Pruebe que en D3 hay cuatro elementos que satisfacen x2 = e. (interpretar geometricamente) y tres que satisfacen y 3 = e.
40. Realizar la tabla de multiplicación de: Q8 .
41. Calcular el centro de D3 ; Q8 .
42. Realizar el diagrama reticular de D3 ; Q8 .
43. En D3 hallar: C( 0 ); C( 1 ); C( 2 ).
44. Sea n 2 Z, demuéstre que nZ = fnm : n 2 Zg
Z.
45. Si m; n 2 Z, nZ; mZ son subgrupos de Z y por lo tanto nZ \ mZ
Z, pruebe que
nZ \ mZ = = kZ
k = mcm(n; m) es el mínimo comun multiplo entre m y n.
46. Sea G el grupo de los números complejos no nulos con la multiplicación probar que cada
uno de los siguientes subconjuntos de G es un subgrupo.
a. H = f1; 1; i; ig
b. K = x 2 C : x3
1=0
47. Sea G un grupo abeliano, probar que cada uno de los siguientes subconjuntos de G es un
subgrupo.
a. H = x 2 G : x2 = e
b. Para n 2 Z+ : H = fx 2 G : xn = eg
6
c. H = fx 2 G : x tiene orden …nitog
d. ¿Es cierto que H = x 2 G : x2 = e
48. Sea G un grupo y H
G si G no es abeliano?.
G, probar que cada uno de los siguientes conjuntos es un subgrupo
de G :
a. S(H) = x 2 G : x2 2 H
b. gHg
1
= ghg
1
:h2H
49. Sea G un grupo abeliano H
GyK
G, pruebe que HK
si G no es abeliano?
7
G. ¿Es cierto lo anterior