Topolog´ıa Algebraica Tarea 1. Definición. Una palabra reducida x 2

Topologı́a Algebraica
Tarea 1.
Definición. Una palabra reducida xe11 xe22 · · · xemm ∈ W (X), ei = ±1, se
1
llama reducida cı́clicamente si y sólo si xemm 6= x−e
1 .
1. Sean F un grupo libre y a ∈ F . Entonces las longitudes 2λ(a) = λ(a2 )
si y sólo si a está representada por una palabra reducida cı́clicamente.
2. Si F es grupo libre y a ∈ F −{e}, entonces a tiene orden infinito (o sea,
F es libre de torsión).
3. Si F es grupo libre y a, b ∈ F cumplen ab = ba, entonces existe c ∈ F
tal que a = cm y b = cn para ciertos m, n ∈ Z. Sugerencia: Inducción
sobre λ(a) + λ(b).
4. Si F es grupo libre y a, b ∈ F cumplen an = bn para algún n ∈ N,
entonces a = b.
5. Sea F un grupo libre. Para cada a, b ∈ F − {e} definimos a ∼ b si y
sólo si ab = ba. Entonces ∼ es una relación de equivalencia en F − {e}.
6. Sea F un grupo libre y a, b ∈ F palabras reducidas. Entonces a y b
son conjugados si y sólo si existen h, j, k, ` ∈ F tales que a = h−1 kjh y
b = `−1 jk` donde kj y jk están cı́clicamente reducidas.
7. Muestra que Z ⊕ Z no es libre.
8. Sean X y Y conjuntos tales que X ∼
= Y (o sea, X y Y tienen la misma
cardinalidad). Entonces los grupos libres F (X) ∼
= F (Y ).
Definición. Si F es libre con base X, entonces el cardinal de X, |X|,
se llama el rango de F .
9. Prueba que Z con la suma es un grupo libre de rango 1.
10. Si F es un grupo libre de rango mayor o igual que 1, entonces F es
infinito.
G
11. Sean G un grupo y N / G tal que F =
es libre. Entonces G tiene
N
un subgrupo C ≤ G tal que
N ∩ C = {e}, N C = G y C ∼
= F.
1
Definición. Sea G un grupo abeliano y X ⊂ G. Entonces G se llama
libre abeliano con base X si y sólo si para todo grupo abeliano H y
toda función f : X → H, existe un único homomorfismo de grupos
abelianos f˜ : G → H tal que f˜|X = f .
12. Muestra que el grupo libre abeliano de rango r es isomorfo a la suma
directa de r copias de Z.
Definición. Si G es un grupo y a, b ∈ G, entonces escribimos
[a, b] = aba−1 b−1 .
Ahora
[G, G] = h{[a, b]|a, b ∈ G}i
se llama el subgrupo conmutador de G.
Si G es un grupo, escribimos
Ab(G) =
G
,
[G, G]
la abelianización de G.
13. Si G es un grupo, entonces [G, G] es un subgrupo caracterı́stico de G
(todo homomorfismo G → G manda a [G, G] sobre sı́ mismo; en particular [G, G] es normal).
F
es libre abeliano de
14. Sea F un grupo libre de rango r. Entonces
[F, F ]
rango r.
15. Sea F = F (s, t) un grupo libre y H = hs2 t3 , s3 t4 i. Entonces H tiene
Ab(F )
ı́ndice infinito en F , pero
es el grupo trivial.
Ab(H)
16. Sea F el grupo libre de rango r ∈ N. Entonces, dado n ∈ N, F tiene
un número finito de subgrupos normales de ı́ndice n.
17. Sea F = F (x, y), el grupo libre de rango 2. Para n ∈ N escribimos
an = x−n yxn .
(a) Dado n ∈ N, ninguna palabra reducida en a1 , . . . , an es igual a e.
2
(b) El grupo Fr = ha1 , . . . , an i es libre con base {a1 , . . . , an }.
[
(c) El grupo F0 =
Fr es libre de rango ℵ0 .
r∈N
Definición. Sean G un grupo, g ∈ G y H ≤ G. Entonces
C(g) = {x ∈ G|xa = ax}
es el centralizador de g en G y
N (H) = {x ∈ G|xH = Hx}
es el normalizador de H en G.
18. Sea F un grupo libre.
(a) Ningún elemento no trivial de F es conjugado a su inverso.
(b) Si a ∈ F − {e}, entonces N (hai) = C(a).
19. Sea F un grupo libre, entonces el conjunto de palabras reducidas de
longitud par es un subgrupo de F y tiene ı́ndice 2.
20. Sea G = hX : Ri, entonces Ab(G) = hX : R ∪ {[x, y]|x, y ∈ X}i.
21. Para l, m, n ∈ Z escribimos D(l, m, n) = hx, y : xl , y m , (xy)n i. Prueba
que D(l, m, n) ∼
= D(n, m, l) ∼
= D(m, l, n) ∼
= D(−l, m, n).
22. ¿Quién es D(1, m, n)? ¿Y quién es D(2, 2, n)??
23. Si D∞ = ha, b : a2 , b2 i, calcula Ab(D∞ ).
24. Para u, v elementos de un grupo, escribimos uv = v −1 uv. Muestra que
ha, b : ab ba , (b−1 a2 )2 i ∼
= hx, y : x2 , y 3 i.
25. Calcula el grupo ha, b, c : a3 = 1, b2 = 1, c2 = 1, (ab)2 = 1, (bc)2 =
1, [a, c] = 1i.
26. Calcula el grupo ha, b, c, d : ab = c, bc = d, cd = a, da = bi.
27. Calcula el grupo ha, b, c, d, f, g : ab = d, bc = f, cd = g, df = a, f g =
b, ga = ci.
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28. Para x, y, z elementos de un grupo se cumple
[[x, y], z x ] · [[z, x], y z ] · [[y, z], xy ] = 1.
Muestra que ha, b, c : [a, b] = c, [b, c] = a, [c, a] = bi ∼
= 1.
29. Zd ∼
6 0.
= hx, y : xs y t = 1, xu y v = 1i, si d = |sv − tu| =
30. Sea ϕ : hs1 , s2 : s41 = 1, s42 = 1, (s1 s2 )2 = 1i → Z4 dado por si 7→ 1̄.
Muestra que ϕ es homomorfismo y que Ker(ϕ) ∼
= Z ⊕ Z.
31. Prueba ht, u, x : t−1 u−1 tu = 1, x−1 txt = 1, x−1 uxu = 1, x2 = 1i ∼
=
2
2
2
2
ha, b, c : a = 1, b = 1, c = 1, (abc) = 1i. Este grupo tiene un
subgrupo de ı́ndice 2 isomorfo a Z ⊕ Z.
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