ei = ±1, se llama reducida si y sólo si x

Topologı́a Algebraica
Tarea 3.
Definición. Una palabra xe11 xe22 · · · xemm ∈ W (X), ei = ±1, se llama
−e
reducida si y sólo si xei i 6= xi+1i+1 para todo i.
1. Se define ρ : W (X) → W (X) como sigue
• ρ(1) := 1.
• ρ(xe ) := xe para x ∈ X y e = ±1.
• Si ρ(w) = xe11 xe22 · · · xemm , entonces
(
xe11 xe22 · · · xemm xe
ρ(wxe ) =
em−1
xe11 xe22 · · · xm−1
si xemm 6= x−e ,
en otro caso.
Muestra que
(a) ρ es función.
(b) ρ(w) está reducida para toda w.
(c) ρ(w) ∼ w.
(d) Si v está reducida, entonces ρ(v) = v.
2. Sean F un grupo y X ⊂ F . Entonces F es libre con base X si y
sólo si X genera a F y ninguna palabra reducida en X ±1 de longitud
positiva es igual a 1.
3. Si F es libre y F ∼
= G, entonces G es libre.
Definición. Una palabra reducida xe11 xe22 · · · xemm ∈ W (X), ei = ±1, se
1
llama reducida cı́clicamente si y sólo si xemm 6= x−e
1 .
4. Sean F un grupo libre y a ∈ F − {e}. Entonces las longitudes 2λ(a) =
λ(a2 ) si y sólo si a está representada por una palabra reducida cı́clicamente.
5. Si F es grupo libre y a ∈ F −{e}, entonces a tiene orden infinito (o sea,
F es libre de torsión).
Sugerencia: Si a = x1 x2 · · · xm y a2 = x1 x2 · · · xm−r xr+1 xr+2 · · · xm
están reducidas con xi ∈ X ±1 , entonces r < m/2. Luego λ(a) < λ(a2 ).
1
6. Si F es grupo libre y a, b ∈ F cumplen ab = ba, entonces existe c ∈ F
tal que a = cm y b = cn para ciertos m, n ∈ Z.
Sugerencia: Inducción sobre λ(a) + λ(b).
7. Si F es grupo libre y a, b ∈ F cumplen an = bn para algún n ∈ N,
entonces a = b.
8. Sea F un grupo libre. Para cada a, b ∈ F − {e} definimos a ∼ b si y
sólo si ab = ba. Entonces ∼ es una relación de equivalencia en F − {e}.
9. Sea F un grupo libre y a, b ∈ F palabras reducidas. Entonces a y b
son conjugados si y sólo si existen h, j, k, ` ∈ F tales que a = h−1 kjh y
b = `−1 jk` donde kj y jk están cı́clicamente reducidas.
10. Muestra que Z ⊕ Z no es libre.
11. Sean X y Y conjuntos tales que X ∼
= Y (o sea, X y Y tienen la misma
cardinalidad). Entonces los grupos libres F (X) ∼
= F (Y ).
Definición. Si F es libre con base X, entonces el cardinal de X, #(X),
se llama el rango de F .
12. Prueba que Z con la suma es un grupo libre de rango 1.
13. Si F es un grupo libre de rango mayor o igual que 1, entonces F es
infinito.
G
es libre. Entonces G tiene
14. Sean G un grupo y N / G tal que F =
N
un subgrupo C ≤ G tal que
N ∩ C = {e}, N C = G y C ∼
= F.
Definición. Sea G un grupo abeliano y X ⊂ G. Entonces G se llama
libre abeliano con base X si y sólo si para todo grupo abeliano H y
toda función f : X → H, existe un único homomorfismo de grupos
abelianos f˜ : G → H tal que f˜|X = f .
15. Muestra que el grupo libre abeliano de rango r es isomorfo a la suma
directa de r copias de Z.
2
Definición. Si G es un grupo y a, b ∈ G, entonces escribimos
[a, b] = a−1 b−1 ab.
Ahora
[G, G] = h{[a, b]|a, b ∈ G}i
se llama el subgrupo conmutador de G.
Si G es un grupo, escribimos
Ab(G) =
G
,
[G, G]
la abelianización de G.
16. Si G es un grupo, entonces [G, G] es un subgrupo caracterı́stico de G
(todo automorfismo G → G manda a [G, G] en sı́ mismo; en particular [G, G] es normal. Más generalmente todo homomorfismo G → H
manda a [G, G] en [H, H]).
17. Si Ab : G → Ab(G) es la proyección canónica, entonces para todo
grupo abeliano H y todo homomorfismo f : G → H, existe un único
homomorfismo Ab(f ) : Ab(G) → H tal que Ab(f ) ◦ Ab = f :
F
es libre abeliano de
18. Sea F un grupo libre de rango r. Entonces
[F, F ]
rango r.
19. Sea F = F (s, t) un grupo libre y H = hs2 t3 , s3 t4 i. Entonces H tiene
Ab(F )
ı́ndice infinito en F , pero
es el grupo trivial.
Ab(H)
20. Sea F el grupo libre de rango r ∈ N. Entonces, dado n ∈ N, F tiene
un número finito de subgrupos normales de ı́ndice n.
21. Sea F = F (x, y), el grupo libre de rango 2. Para n ∈ N escribimos
an = x−n yxn .
(a) Dado n ∈ N, ninguna palabra reducida de longitud positiva en
a1 , . . . , an es igual a e.
(b) El grupo Fn = ha1 , . . . , an i es libre con base {a1 , . . . , an }.
3
(c) El grupo F0 =
[
Fr es libre de rango ℵ0 .
r∈N
Definición. Sean G un grupo, g ∈ G y H ≤ G. Entonces
C(g) = {x ∈ G|xa = ax}
es el centralizador de g en G y
N (H) = {x ∈ G|xH = Hx}
es el normalizador de H en G.
22. Sea F un grupo libre.
(a) Ningún elemento no trivial de F es conjugado a su inverso.
(b) Si a ∈ F − {e}, entonces N (hai) = C(a).
23. Sea F un grupo libre, entonces el conjunto de palabras reducidas de
longitud par es un subgrupo de F y tiene ı́ndice 2.
24. Sea G = hX : Ri, entonces Ab(G) = hX : R ∪ {[x, y]|x, y ∈ X}i.
25. Para l, m, n ∈ Z escribimos D(l, m, n) = hx, y : xl , y m , (xy)n i. Prueba
que D(l, m, n) ∼
= D(n, m, l) ∼
= D(m, l, n) ∼
= D(−l, m, n).
26. ¿Quién es D(1, m, n)? ¿Y quién es D(2, 2, n)?
27. Si D∞ = ha, b : a2 , b2 i, calcula Ab(D∞ ).
28. Para u, v elementos de un grupo, escribimos uv = v −1 uv. Muestra que
ha, b : ab ba , (b−1 a2 )2 i ∼
= hx, y : x2 , y 3 i.
29. Calcula el grupo ha, b, c : a3 = 1, b2 = 1, c2 = 1, (ab)2 = 1, (bc)2 =
1, [a, c] = 1i.
30. Calcula el grupo ha, b, c, d : ab = c, bc = d, cd = a, da = bi.
31. Calcula el grupo ha, b, c, d, f, g : ab = d, bc = f, cd = g, df = a, f g =
b, ga = ci.
4
32. Para x, y, z elementos de un grupo se cumple
[[x, y], z x ] · [[z, x], y z ] · [[y, z], xy ] = 1.
Muestra que ha, b, c : [a, b] = c, [b, c] = a, [c, a] = bi ∼
= 1.
33. Zd ∼
= hx, y : xs y t = 1, xu y v = 1, [x, y] = 1i, si d = |sv − tu| 6= 0 y
mcd{s, t, u, v} = 1.
34. Sea ϕ : hs1 , s2 : s41 = 1, s42 = 1, (s1 s2 )2 = 1i → Z4 dado por si 7→ 1̄.
Muestra que ϕ es homomorfismo y que Ker(ϕ) ∼
= Z ⊕ Z.
35. Prueba ht, u, x : t−1 u−1 tu = 1, x−1 txt = 1, x−1 uxu = 1, x2 = 1i ∼
=
2
2
2
2
ha, b, c : a = 1, b = 1, c = 1, (abc) = 1i. Este grupo tiene un
subgrupo de ı́ndice 2 isomorfo a Z ⊕ Z.
36. Sea F un grupo libre y X, Y ⊂ F . Si X y Y son bases de F , entonces
#(X) = #(Y ). Sugerencia: Abelianiza.
37. Sea S3 el grupo simétrico en tres sı́mbolos. Entonces S3 ∼
= ha, b : a2 =
2
3
1, b = 1, (ab) = 1i. Sugerencia: a 7→ (1 2), b 7→ (1 3).
38. Sea Q = {±1, ±i, ±j, ±k} el grupo multiplicativo de los cuaternios.
Entonces Q ∼
= ha, b : ab = b−1 a, ba = a−1 bi. Sugerencia: a 7→ i, b 7→ j.
ε k
39. Sea D el grupo diédrico de orden 2n, D = {
| ε = ±1, k ∈ Zn }
0 1
bajo la multiplicación.
Entonces
D∼
: an = 1, b2 = 1, ba = a−1 bi.
= ha, b 1 1
−1 0
Sugerencia: a 7→
, b 7→
.
0 1
0 1
40. El grupo ha, b, c : a3 = 1, b2 = 1, ba = a2 b, c = 1, ac = ca, bc = cbi tiene
orden 12.
41. Sea A4 el grupo alternante en cuatro sı́mbolos. Entonces A4 ∼
= ha, b :
3
2
3
a = 1, b = 1, (ab) = 1i. Sugerencia: a 7→ (2 3 4), b 7→ (1 2)(3 4).
42. S4 ∼
= ha, b : a3 = 1, b4 = 1, (ab)2 = 1i. Sugerencia: a 7→ (2 3 4),
b 7→ (1 3 2 4).
43. ha, b : a15 = 1, b4 = 1, ab = ba12 i ∼
= ha, b : a20 = 1, b4 = 1, ab = ba2 i.
Sugerencia: b−1 ab = a12 ⇒ b−1 a5 b = 1; luego a5 = 1. También b−1 ab =
a2 ∧ b4 = 1 ⇒ b−4 ab4 = a16 ; luego a15 = 1.
5
44. Sean r, s y t enteros y sea d = m.c.d.{r, ts − 1}. Entonces ha, b : ar =
1, bs = 1, ab = bat i ∼
= ha, b : ad = 1, bs = 1, ab = bat i. Sugerencia:
s
s
bs = 1 ∧ b−1 ab = at ⇒ b−s abs = at ; luego at −1 = 1.
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