EL TEOREMA DE SEIFERT-VAN KAMPEN 1. Preliminares sobre

EL TEOREMA DE SEIFERT-VAN KAMPEN
1.
Preliminares sobre grupos
Sea G un grupo. Denotaremos de forma multiplicativa la operación en G. Así, el producto
de x, y ∈ G es x · y, y el inverso de x ∈ G es x−1 . Para el neutro usaremos e.
Recordemos que un subgrupo de G es un subconjunto no vacío N ⊆ G que es un grupo con
la operación de G. Esto lo denotamos N 6 G y equivale a lo siguiente: si x, y ∈ N , entonces
x · y −1 ∈ N . SeTcomprueba enseguida que si {Ni }i∈I es una familia con Ni 6 G para cada
i ∈ I, entonces i∈I Ni 6 G (el mayor subgrupo de G contenido en todos los Ni ).
Si A ⊆ G es un subconjunto cualquiera, el subgrupo generado por A se define como:
\
A =
N.
A⊆N 6G
Diremos que A
es
un conjunto de generadores de A . Cuando A = ∅ se tiene que A = {e}.
Es obvio que
A es el menor subgrupo de G que contiene a A. Se puede dar una descripción
explícita de A cuando A 6= ∅ mediante la igualdad:
A = {ak11 · ak22 · . . . · akmm / m ∈ N, ai ∈ A, ki ∈ Z, ∀i = 1, . . . , m},
lo
la terminología de “subgrupo generado por A”. Cuando A = {a} entonces
que
justifica
A = a = {ak / k ∈ Z}, que es el subgrupo cíclico de G generado por a.
Nota 1.1. Para probar la descripción de A dada arriba basta con ver que el conjunto
de la
derecha, que denotamos por N , es un subgrupo
de
G
con
A
⊆
N
.
Esto
implica
que
A ⊆ N.
La otra inclusión es inmediata al ser A 6 G y A ⊆ A .
Dado N 6 G introducimos en G la siguiente relación: x ∼ y si x · y −1 ∈ N , es decir, existe
z ∈ N tal que y = z · x. Esta relación es de equivalencia en G. La clase de equivalencia de
x ∈ G, llamada clase lateral derecha asociada a x, está dada por:
x = N x = {z · x / z ∈ N }.
Nótese que e = N . Denotaremos por G/N al cociente G/ ∼. Para introducir una operación
en G/N lo natural es definir:
x · y = x · y.
Es sabido que esta ley no depende de representantes cuando N es un subgrupo normal de
G, es decir, x · z · x−1 ∈ N , para cada x ∈ G y z ∈ N . Esto se representa también como
xN x−1 ⊆ N , para cada x ∈ G. Cuando N es un subgrupo normal de G escribimos N E G.
En tal caso G/N se convierte en un grupo, cuyo neutro es e. Nótese que x = e, para cada
x ∈ N , lo que significa que cada clase de equivalencia de x ∈ N produce el neutro en G/N .
Además, la proyección p : G → G/N es un epimorfismo de grupos.
Ejemplo 1.2. Todo grupo tiene al menos dos subgrupos normales triviales, que son N = {e}
y N = G. Los cocientes asociados son isomorfos a G y {e}, respectivamente.
Ejemplo 1.3. En un grupo abeliano todos los subgrupos son normales.
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Ejemplo 1.4. Si f : G → G0 es un homomorfismo de grupos, entonces Ker(f ) = f −1 (e0 ) es
un subgrupo normal de G, y la aplicación f : G/Ker(f ) → Im(f ) dada por f (x) = f (x) es
un isomorfismo de grupos. Por tanto, G/Ker(f ) ∼
= Im(f ) (primer teorema de isomorfía).
Ejemplo 1.5. Es sabido que todos los subgrupos de Z son de la forma nZ = {nm / m ∈ Z}.
Como Z es abeliano estos subgrupos son normales. El cociente Z/nZ se denota Zn y es un
grupo cíclico de orden n generado por 1.
Dado
T G un grupo y {Ni }i∈I una familia con Ni E G para cada i ∈ I, entonces se cumple
que i∈I Ni E G (el mayor subgrupo normal de G contenido en todos los Ni ). Si A ⊆ G es
un subconjunto cualquiera, el subgrupo normal generado por A está dado por:
\
N,
Nor(A) =
A⊆N EG
Cuando A = ∅ tenemos Nor(A) = {e}. Algunas propiedades elementales de Nor(A) son:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Nor(A)
es el menor subgrupo normal de
G que contiene a A.
A ⊆ Nor(A), con igualdad
si y sólo si A E G.
Si G es abeliano, entonces A = Nor(A).
Nor( A ) = Nor(A).
Se tiene la siguiente descripción explícita de Nor(A):
Lema 1.6. Sea G un
y A ⊆ G no vacío. Denotemos B = {x · a · x−1 / x ∈ G, a ∈ A}.
grupo
Entonces Nor(A) = B . Por tanto:
−1
km
Nor(A) = {x1 · ak11 · x−1
1 · . . . · xm · am · xm / m ∈ N, ai ∈ A, xi ∈ G, ki ∈ Z, ∀i = 1, . . . , m},
lo que justifica la terminología de “subgrupo normal generado” por A.
Demostración. Sea N = B . Como Nor(A) E G y A ⊆ Nor(A), entonces B ⊆ Nor(A) y,
por tanto N ⊆ Nor(A). Para la otra inclusión basta ver que N E G con A ⊆ N . Que A ⊆ N
es obvio, pues A ⊆ B. Dado b ∈ B con b = x · a · x−1 y z ∈ G, se tiene:
z · b · z −1 = z · (x · a · x−1 ) · z −1 = (z · x) · a · (z · x)−1 ∈ B.
Esto significa que B es cerrado por conjugación. A partir de aquí es sencillo comprobar que
N también lo es. Sea c ∈ N con c = bk11 · . . . · bkmm . Dado x ∈ G, nótese que:
x · c · x−1 = x · bk11 · . . . · bkmm · x−1 = (x · bk11 · x−1 ) · . . . · (x · bkmm · x−1 )
= (x · b1 · x−1 )k1 · . . . · (x · bm · x−1 )km ,
que está en N por la descripción de B y por ser B cerrado
para la conjugación. La descripción explícita de Nor(A) se sigue de la descripción de B sin más que tener en cuenta
que (x · a · x−1 )k = x · ak · x−1 , para cada a ∈ A y x ∈ G.
1.1. Producto libre de grupos. A partir de una familia arbitraria de grupos definiremos
otro grupo, en general no abeliano, que contenga copias isomorfas de cada uno de los grupos
y que cumpla una propiedad universal de extensión de homomorfismos.
Sea {Gi }i∈I una colección disjunta de grupos (esto significa que Gi ∩ Gj = ∅ si i 6= j,
∼
aunque puede
S ocurrir Gi = Gj ). Denotamos por ei al neutro de cada Gi . Llamamos letra
a cada x ∈ i∈I Gi . Llamamos palabra a una yuxtaposición finita de letras, es decir, una
expresión formal w = x1 x2 · · · xn , donde n ∈ N ∪ {0} y cada xl está en algún Gil . El número
n es la longitud de w. La palabra vacía 1 es la única con n = 0. Llamamos sílaba a cada
palabra con n = 2. Sean w1 = x1 · · · xn y w2 = y1 · · · ym dos palabras. Diremos que w1 = w2
si n = m y xl = yl para cada l = 1, . . . , n.
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Ejemplo 1.7. Algunos ejemplos de palabras pueden ser x x x x, e2 e10 y x x−1 . Si x, y ∈ Gi
con x 6= y, entonces, x y e y x no son sílabas iguales.
Dos palabras w1 = x1 x2 · · · xn y w2 = y1 y2 · · · ym pueden operarse por yuxtaposición dando lugar a una nueva palabra w1 w2 = x1 x2 · · · xn y1 y2 · · · ym . Esta operación no produce una
estructura de grupo en el conjunto de las palabras. Aunque es asociativa y tiene neutro (la
palabra vacía), no tiene inversos. Intuitivamente, la inversa de una palabra w = x1 x2 · · · xn
−1
debería ser x−1
n · · · x1 . Para conseguir esto debemos “reducir las palabras” de forma que una
−1
sílaba x x se transforme en ei y todos los ei se eliminen.
Diremos que una palabra w es reducida si w = 1 o w cumple dos reglas:
(i) no contiene sílabas xk xk+1 cuyas letras están en el mismo grupo Gi ,
(ii) ninguna de sus letras es un neutro ei .
Ejemplo 1.8. Supongamos que tenemos dos grupos G1 y G2 . Sean x1 , y1 ∈ G1 − {e1 } y
x2 , y2 ∈ G2 − {e2 }. Entonces, la palabra x1 e1 x2 y2 no es reducida, mientras que x1 y2 y x2 y1
sí. La palabra x1 (x2 · y2 ) será reducida si y sólo si x2 · y2 6= e2 .
Parece claro que toda palabra se puede “reducir” mediante dos operaciones de reducción:
(i) reemplazar las sílabas xk xk+1 con xk , xk+1 ∈ Gi por la letra xk · xk+1 ,
(ii) eliminar todos los ei .
Sin embargo, no es sencillo probar la unicidad de la palabra reducida a la que se llega.
Sea W el conjunto de las palabras reducidas. Dadas w1 = x1 x2 · · · xn y w2 = y1 y2 · · · ym
en W , su yuxtaposición w1 w2 = x1 x2 · · · xn y1 y2 · · · ym no tiene por qué ser reducida (el posible problema estaría en la sílaba xn y1 ). Para obtener una única palabra reducida a partir
de la anterior realizamos operaciones de reducción como sigue:
(i) Si la sílaba xn y1 no tiene sus letras en el mismo Gi , entonces ya se tiene una palabra
reducida (por ser w1 y w2 reducidas).
(ii) De lo contrario, se sustituye xn y1 por la letra xn · y1 .
(iii) Si xn · y1 6= ei ya tenemos una palabra reducida (por ser w1 y w2 reducidas).
(iv) Si xn · y1 = ei , eliminamos esta letra.
(v) Nos fijamos en la sílaba xn−1 y2 y procedemos igual que arriba.
Repitiendo este proceso una cantidad finita de veces se obtiene una única palabra reducida
que denotamos w1 w2 . Así w1 w2 se calcula yuxtaponiendo primero y reduciendo después.
Ejemplo 1.9. Supongamos que tenemos dos grupos G1 y G2 . Sean x1 , y1 ∈ G1 − {e1 }
y x2 , y2 ∈ G2 − {e2 }. Es obvio que w1 = x1 x2 x−1
∈ W y w2 = x1 x−1
∈ W . Además
1
2
−1
−1
w1 w2 = x1 mientras que w2 w1 = x1 x2 x1 x2 x1 . Así w1 w2 6= w2 w1 .
Es claro que define una operación en W . ¿Qué propiedades cumple?
Lema 1.10. La operación convierte en grupo a W .
Demostración. La operación tiene neutro, pues 1 w = w 1 = w, para cada w ∈ W . Ade−1 −1
más, hay inversos: si w = x1 x2 · · · xn es reducida, entonces w0 = x−1
n · · · x2 x1 es reducida
y w w0 = w0 w = 1.
La prueba de la asociatividad es más complicada. Dada una letra x ∈ Gi , el producto por
la izquierda asociado a x es la aplicación Lx : W → W dada por Lx (w) = x w. Usando la
asociatividad de Gi se prueba que Lx·y = Lx ◦Ly si x, y ∈ Gi . Además, Lei = IW . En particular, cada Lx es una biyección en W con inversa Lx−1 . Si P (W ) = {f : W → W biyectiva}, la
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aplicación Li : Gi → P (W ) dada por Li (x) = Lx está bien definida y es un homomorfismo de
grupos. En general, definimos L : W → P (W ) como Lw = Lx1 ◦. . .◦Lxn si w = x1 · · · xn ∈ W .
Definimos L1 = IW . Se cumplen estas propiedades:
(i) L|Gi = Li , para cada i ∈ I.
(ii) Lw1 w2 = Lw1 ◦ Lw2 , para cada w1 , w2 ∈ W .
(iii) L es inyectiva: si Lw = Lw0 , entonces Lw (1) = Lw0 (1) y, por tanto, w = w0 .
Supongamos ahora que w1 , w2 , w3 ∈ W . Si usamos (ii) tenemos:
L(w1 w2 )w3 = Lw1 w2 ◦ Lw3 = (Lw1 ◦ Lw2 ) ◦ Lw3 = Lw1 ◦ (Lw2 ◦ Lw3 )
= Lw1 ◦ Lw2 w3 = Lw1 (w2 w3 ) ,
lo que implica por (iii) que (w1 w2 ) w3 = w1 (w2 w3 ).
Definición 1.11. El grupo (W, ) es el producto libre de la familia {Gi }i∈I , denotado ∗i∈I Gi .
Nota 1.12. Se debe destacar que ∗i∈I Gi no es en general abeliano aunque cada Gl lo sea.
Ejercicio 1. ¿Qué es el producto libre asociado a un único grupo? ¿Y G1 ∗ {e2 }?
Ejercicio 2. Demostrar que el producto libre de dos copias disjuntas de Z2 está formado
por yuxtaposiciones finitas y alternadas de los dos generadores.
Veamos que cada grupo Gl tiene una copia isomorfa en ∗i∈I Gi . Dado x ∈ Gl podemos
considerar la palabra reducida w = x en ∗i∈I Gi . Cuando x = el entonces asociamos w = 1.
Esto produce un monomorfismo de grupos hl : Gl → ∗i∈I Gi , cuya imagen es un subgrupo
isomorfo a Gl (formado por las letras de Gl y la palabra vacía). Nótese que, aunque los grupos
Gl son disjuntos, sus copias isomorfas dentro de ∗i∈I Gi no lo son (todas contienen a 1).
La propiedad universal de ∗i∈I Gi establece que una familia de homomorfismos saliendo
de los factores Gl se extiende de forma única a un homomorfismo sobre el producto libre.
Lema 1.13 (Propiedad universal del producto libre). Sea {Gi }i∈I una familia disjunta de
grupos y fl : Gl → G una familia de homomorfismos que llegan a un grupo G. Entonces,
existe un único homomorfismo de grupos f : ∗i∈I Gi → G con f ◦ hl = fl para cada l ∈ I.
Demostración. Probemos primero la existencia. Sea w = x1 x2 · · · xn una palabra cualquiera.
Definimos f (w) = fi1 (x1 )·fi2 (x2 )·. . .·fin (xn ), donde il ∈ I es el único índice tal que xl ∈ Gil .
Definimos f (1) = e. Es obvio que (f ◦ hl )(x) = f (x) = fl (x) para cada x ∈ Gl .
Veamos que f : ∗i∈I Gi → G es un homomorfismo de grupos. Sea w = x1 · · · xn una palabra. Supongamos que xk = ei . Sea w0 la palabra obtenida al eliminar xk de w. Por definición
de f y por ser fi un homomorfismo se tiene que f (w) = f (w0 ). Así, el valor de f se mantiene al suprimir eventuales elementos neutros en una palabra. Supongamos ahora que en w
hay una sílaba xk xk+1 con xk , xk+1 ∈ Gi . Si w0 es la palabra obtenida al cambiar xk xk+1
por xk · xk+1 entonces f (w) = f (w0 ) por ser fi un homomorfismo. Por tanto, el valor de
f no cambia cuando sustituimos una sílaba xk xk+1 con letras en el mismo Gi por la letra
xk · xk+1 . Dadas w1 = x1 · · · xn y w2 = y1 · · · ym en W , sabemos que w1 w2 se obtiene de
w1 w2 mediante una cantidad finita de operaciones de reducción. Por lo probado antes:
f (w1 w2 ) = f (x1 · · · xn y1 · · · ym ) = fi1 (x1 ) · . . . · fin (xn ) · fj1 (y1 ) · . . . · fjm (ym )
= f (x1 · · · xn ) · f (y1 · · · ym ) = f (w1 ) · f (w2 ).
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Finalmente probaremos la unicidad. Sea g : ∗i∈I Gi → G otro homomorfismo con g ◦ hl =
fl para cada l ∈ I. Dada un palabra reducida w = x1 x2 · · · xn , se tiene:
g(w) = g(xi x2 . . . xn ) = g(x1 ) · g(x2 ) · . . . · g(xn )
= fi1 (x1 ) · fi2 (x2 ) · . . . · fin (xn ) = f (w).
Esto concluye la demostración.
Definición 1.14. En las condiciones del lema previo, diremos que f es el homomorfismo
que extiende a la familia fl : Gl → G.
Ejercicio 3. Este ejercicio sirve para comparar el producto libre finito con el producto de
grupos usual. Sean {Gi }i=1,...,n grupos disjuntos y fi : Gi → G1 × . . . × Gn las inclusiones
naturales. Por el Lema 1.13 existe un único homomorfismo f : G1 ∗ . . . ∗ Gn → G1 × . . . × Gn
tal que f ◦ hi = fi , para cada i = 1, . . . , n. Describir f y probar que es un epimorfismo. ¿Es
un isomorfismo? Si la respuesta en negativa, encontrar algunos elementos de Ker(f ).
1.2. Grupos libres. Vamos a particularizar la construcción del producto libre de grupos
cuando Gi ∼
= Z, para cada i ∈ I.
1.15. Sea A = {a} un conjunto con un único elemento. Consideramos el conjunto
Definición
a formado por las potencias formales de a con exponente entero, esto es:
a = {ak / k ∈ Z}.
Operamos dos elementos de a sumando exponentes. El neutro se obtiene para k = 0 y el
inverso de ak es a−k . El grupo resultante se llama grupo libre de rango uno generado por a.
Es obvio que a ∼
= Z mediante el isomorfismo ak 7→ k.
Definición 1.16. Sea {Gi }i=1,...,n una familia finita disjunta
de
grupos,
donde
G
=
ai
i
n
para cada i = 1, . . . , n. El producto libre ∗i=1 Gi se denota
a1 , . . . , an y se llama grupo libre
de rango n generado por {a1 , . . . , an }. A veces se escribe a1 , . . . , an ∼
= Z ∗ . . . ∗ Z.
Ejemplo 1.17.
¿Cómo
son los elementos de a, b ? Deben ser palabras reducidas cuyas letras están en a o b , es decir, cada letra es una potencia de a o b con exponente no nulo.
Algunos ejemplos son a5 b−7 a−3 , a b, b a o b3 a−2 b.
Ejemplo 1.18. ¿Cómo son
los
elementos de a1 , . . . , an ? Deben ser palabras reducidas
cuyas letras están en algún ai . Por tanto:
k
k
k
a1 , . . . , an = {ai1i1 ai2i2 · · · aimim / m ∈ N ∪ {0}, il ∈ {1, . . . , n}, kil ∈ Z − {0}, ∀l = 1, . . . , m},
donde además cada par de índices consecutivos son distintos.
Nota 1.19. No es verdad que a1 , . . . , an ∼
= Zn si n > 2. De hecho, el primer grupo no es
n
abeliano mientras que Z sí lo es. Analizaremos mejor la relación que hay entre a1 , . . . , an
y Zn más abajo cuando expliquemos la propiedad universal de los grupos libres.
Usando el Lema 1.13 sabemos
que cada familia de homomorfismos fi : ai → G extiende
a un único homomorfismo f : a1 , . . . , an → G. Nótese que fi está determinado por fi (ai ).
Esto
nos permite
deducir el siguiente corolario, afirmando que para definir un homomorfismo
de a1 , . . . , an a G basta con dar las imágenes de los generadores (de forma similar a lo que
ocurre con las bases y las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales).
Corolario 1.20 (Propiedad universal
del grupo
libre). Sea G un grupo y x1 , . . . , xn ∈ G.
Existe un único homomorfismo f : a1 , . . . , an → G con f (ai ) = xi , para cada i = 1, . . . , n.
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n
Ejemplo 1.21. Sea
ui = (0, . . . , 1,n . . . , 0) ∈ Z . Por el corolario previo, existe un único
homomorfismo f : a1 , . . . , an → Z con f (ai ) = ui . Es claro que f es sobreyectivo. Nótese
que f no puede ser inyectivo (se tendría un isomorfismo entre grupos no simultáneamente
−1
abelianos). Por ejemplo, ai aj a−1
i aj ∈ Ker(f ), para cada i 6= j. Se puede probar que Ker(f )
−1
coincide con Nor(A), donde A = {ai aj a−1
i aj / i 6= j}. Por el primer teorema de isomorfía,
n
se sigue que a1 , . . . , an /Nor(A) ∼
=Z .
En realidad, todo grupo es isomorfo a un cociente
de un grupo libre (quizás de
infi
rango
nito). Si ponemos
S
=
{a
,
.
.
.
,
a
}
y
tomamos
R
⊆
S
,
al
grupo
cociente
G
=
S
/Nor(R)
n
1
lo denotaremos S; R . Diremos que S; R es una presentación de G. Los elementos de S se
llaman generadores
ylos de R relaciones. Un grupo puede admitir varias presentaciones (por
ejemplo a ∼
= a, b; b ∼
= Z); de hecho, un problema difícil consiste en decidir sin dos presentaciones distintas producen el mismo grupo salvo isomorfismos. También es difícil identificar
una presentación dada con un grupo conocido.
Ejemplo 1.22. El grupo a; an es isomorfo a Zn
. Para
probarlo, basta con aplicar el primer
teorema de isomorfía al único homomorfismo f : a → Zn con f (a) = 1. Otras presentaciones sencillas son las siguientes:
(i) a, b; an ,bm ∼
= Zn ∗
Zm , a, b; an , bm , ab a−1 b−1 ∼
= Zn × Zm .
(ii) a, b; an ∼
= Zn ∗ Z, a, b; an , a b a−1 b−1 ∼
= Zn × Z.
(iii) a, b; bm ∼
= Z ∗ Zm , a, b; bm , a b a−1 b−1 ∼
= Z × Zm .
2
(iv) a, b; a b a−1 b−1 ∼
Z
.
=
−1
∼ n
(v) a1 , . . . , an ; ai aj a−1
i aj , i 6= j = Z .
1.3. Enunciado del teorema de Seifert-Van Kampen. Ya estamos en condiciones de
establecer el resultado fundamental de este apartado del tema.
Teorema 1.23 (Seifert, 1934; Van-Kampen, 1933). Sea X un e.t. Supongamos que U y V son
dos abiertos a.c. de X tales que X = U ∪V y U ∩V es a.c. y no vacío. Dado x0 ∈ U ∩V , tomemos (iU )∗ : π1 (U, x0 ) → π1 (X, x0 ) e (iV )∗ : π1 (V, x0 ) → π1 (X, x0 ) los homomorfismos inducidos por las inclusiones iU : U → X e iV : V → X. Sea f : π1 (U, x0 ) ∗ π1 (V, x0 ) → π1 (X, x0 )
el homomorfismo que extiende a (iU )∗ e (iV )∗ . Entonces, f es un epimorfismo y:
Ker(f ) = Nor(A), con A = {(jU )∗ ([α]) (jV )∗ ([α])−1 / [α] ∈ π1 (U ∩ V, x0 )},
donde jU : U ∩ V → U y jV : U ∩ V → V son las inclusiones. Como consecuencia:
π1 (U, x0 ) ∗ π1 (V, x0 )
π1 (X, x0 ) ∼
.
=
Nor(A)
Comentarios de la demostración. La demostración tiene dos partes: probar la sobreyectividad de f y calcular Ker(f ). En la prueba de la sobreyectividad se siguen las mismas ideas que
cuando probamos que X es s.c. si se expresa como unión de subconjuntos s.c. con intersección a.c. Que f sea epimorfismo significa que todo elemento de π1 (X, x0 ) tiene asociada una
palabra reducida con letras en π1 (U, x0 ) y π1 (V, x0 ), es decir, π1 (X, x0 ) está generado por
π1 (U, x0 ) y π1 (V, x0 ). En general, la forma en que se asocia a cada elemento de π1 (X, x0 ) una
palabra reducida con letras en π1 (U, x0 ) y π1 (V, x0 ) no es única. No es difícil comprobar que
Nor(A) ⊆ Ker(f ). La auténtica dificultad de la demostración estriba en la otra inclusión. Algunos casos particulares interesantes del teorema son los siguientes:
Corolario 1.24. En las condiciones del teorema anterior, se tiene:
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(i) Si U ∩ V es s.c., entonces f es un isomorfismo de grupos y:
∼ π1 (U, x0 ) ∗ π1 (V, x0 ).
π1 (X, x0 ) =
(ii) Si U es s.c., entonces f es un epimorfismo y:
Ker(f ) = Nor(A) con A = (jV )∗ (π1 (U ∩ V, x0 )),
donde jV : U ∩ V → V es la inclusión. Como consecuencia, se tiene que:
π1 (V, x0 )
π1 (X, x0 ) ∼
.
=
Nor(A)
(iii) Si U y V son s.c., entonces X también lo es (ya probado).
7