Ejercicios de Cálculo Tema 7 Relación 7.1 Integrales de lınea

Ejercicios de Cálculo
Tema 7
Relación 7.1 Integrales de lı́nea. Teorema de Green.
Primero de Ingenierı́a Quı́mica
Curso 09/10
1. Dibujar la curva representada por la función vectorial ~r(t), indicando su orientación.
a) ~r(t) = 3t~ı + (t − 1)~.
b) ~r(t) = 2 cos(t)~ı + 2 sen(t)~.
c) ~r(t) = t~ı + t2~.
d ) ~r(t) = t~ı + 1t~.
2. Dibujar la curva plana representada por la función vectorial ~r(t). Calcular T~ (t)
~ (t) y, para distintos valores del parámetro t, dibujarlos sobre la curva.
yN
a) ~r(t) = t2~ı + t~.
b) ~r(t) = t~ı + t3~.
c) ~r(t) = cos(t)~ı + sen(t)~.
d ) ~r(t) = t2~ı + 1t~.
3. Determinar si el campo vectorial dado es conservativo y, en caso afirmativo, hallar
una función potencial asociada.
a) F~ (x, y) = 2xy~ı + x2~.
b) F~ (x, y) = y12 (y~ı − 2x~).
2
c) F~ (x, y) = xex y (2y~ı + x~).
d ) F~ (x, y) = 2xy 3~ı + 3y 2 x2~.
e) F~ (x, y) = x2~ı+y~2 .
x +y
x2
f ) F~ (x, y) = 2y
x ~ı − y 2~.
g) F~ (x, y) = ex (cos(y)~ı + sen(y)~).

h) F~ (x, y) = 2x2~ı+2y~
2 2.
(x +y )
4. Calcular el rotacional y la divergencia del campo vectorial F~ en el punto indicado.
a) F~ (x, y, z) = xyz~ı + y~ + z~k; (1, 2, 1).
b) F~ (x, y, z) = x2 z~ı − 2xz~ + yz~k; (2, −1, 3).
c) F~ (x, y, z) = ex sen(y)~ı − ex cos(y)~; (0, 0, 3).
d ) F~ (x, y, z) = e−xyz (~ı +~ + ~k); (3, 2, 0).
5. Calcular
Z la integral de trayectoria sobre el camino que se indica.
(x − y)ds; C: ~r(t) = 4t~ı + 3t~, 0 ≤ t ≤ 2.
a)
ZC
4xy ds; C: ~r(t) = t~ı + (1 − t)~, 0 ≤ t ≤ 1.
b)
ZC
c)
ZC
d)
(x2 + y 2 + z 2 )ds; C: ~r(t) = sen(t)~ı + cos(t)~ + 8t~k, 0 ≤ t ≤ π/2.
8xyz ds; C: ~r(t) = 3~ı + 12t~ + 5t~k, 0 ≤ t ≤ 2.
C
1
√
(x + 4 y)ds en el camino indicado.
Z
6. Evaluar
C
a) C: recta desde (0, 0) hasta (1, 1).
b) C: recta desde (0, 0) hasta (3, 9).
c) C: el triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1), recorrido en sentido contrario
a las agujas del reloj.
d ) C: el cuadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1), recorrido en sentido
contrario
a las agujas del reloj.
Z
~
7. Calcular
F · d~r, donde C viene representada por ~r(t).
C
a)
b)
c)
d)
e)
f)
F~ (x, y) = xy~ı + y~; C: ~r(t) = 4t~ı + t~, 0 ≤ t ≤ 1.
F~ (x, y) = xy~ı + y~; C: ~r(t) = 4 cos(t)~ı + 4 sen(t)~, 0 ≤ t ≤ π/2.
F~ (x, y) = 3x~ı + 4y~; C: ~r(t) = 2 cos(t)~
√ ı + 2 sen(t)~, 0 ≤ t ≤ π/2.
~
F (x, y) = 3x~ı + 4y~; C: ~r(t) = t~ı + 4 − t2 ~, −2 ≤ t ≤ 2.
F~ (x, y, z) = x2 y~ı + (x − z)~ + xyz~k; C: ~r(t) = t~ı + t2~ + 2~k, 0 ≤ t ≤ 1.
F~ (x, y, z) = x2Z
~ı + y 2~ + z 2~k; C: ~r(t) = sen(t)~ı + cos(t)~ + t2~k, 0 ≤ t ≤ π/2.
(2x − y)dx + (x + 3y)dy a lo largo del camino que se indica.
8. Evaluar la integral
C
a) C: eje x desde x = 0 hasta x = 5.
b) C: eje y desde y = 0 hasta y = 2.
c) C: segmentos rectos de (0, 0) a (3, 0) y de (3, 0) a (3, 3).
d ) C: arco parabólico x = t, y = 2t2 desde (0, 0) hasta (2, 8).
e) C: arco elı́ptico x = 4 sen(t), y = 3 cos(t), desde (0, 3) hasta (4, 0).
9. Comprobar el teorema de Green, calculando ambas integrales:
Z
ZZ ∂Q ∂P
y 2 dx + x2 dy =
−
dA
∂x
∂y
C
R
para el camino dado.
a) C: frontera del cuadrado con vértices (0, 0), (4, 0), (4, 4) y (0, 4).
b) C: frontera del triángulo con vértices (0, 0), (4, 0) y (4, 4).
c) C: frontera de la región situada entre las gráficas de y = x e y = x2 /4.
d ) C: x2 + y 2 = 1.
Z
(y − x)dx + (2x − y)dy con
10. Usar el teorema de Green para calcular la integral
C
el camino dado.
a) C: frontera de la región situada entre las gráficas de y = x e y = x2 − x.
b) C: x = 2 cos θ, y = sen θ, θ ∈ [0, 2π].
c) C: frontera de la región situada en el interior del rectángulo limitado por
x = −5, x = 5, y = −3, y = 3 y en el exterior del cuadrado limitado por
x = −1, x = 1, y = −1, y = 1.