material n° 012-i

C U R S O : MATEMÁTICA
MATERIAL N° 012-I
GUÍA TEORICO PRÁCTICA Nº 11
UNIDAD: GEOMETRÍA
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1.
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de
modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.
R
C
AB ≅ PQ
AC ≅ PR
CB ≅ RQ
∆ ABC
≅ ∆ PQR
(A ≅ (P
(B ≅ (Q
(C ≅ (R
A
B
Q
P
EJEMPLOS
1.
Los triángulos PQR y TNM de la figura 1, son escalenos.
¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
R
PQ ≅ TN
A)
B)
PR ≅ TM
QR ≅ NM
C)
D)
( QRP ≅ ( NMT
E)
( PQR ≅ ( TMN
P
2.
En la figura 2, ∆ ABC ≅ ∆ DEF con D ∈ BC ,
¿cuál es la medida del ( DEF?
A)
B)
C)
D)
E)
40º
60º
80º
90º
No se puede determinar
Q
Si
M
∆PQR ≅ ∆TNM, entonces,
N
Fig. 1
T
AC // DF , ( BDE = 80º y
( ACB = 40º,
B
A
E
D
Fig. 2
C
F
POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
P 1 ALA
: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y
P 2 LAL
los dos ángulos adyacentes a ese lado.
: Dos triángulos
son congruentes
cuando tienen dos lados
P 3 LLL
comprendido entre ellos respectivamente iguales.
: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados
P 4 LLA >
iguales.
: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al
mayor de
y el ángulo
respectivamente
esos lados respectivamente iguales.
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, DC ⊥ AD y CB ⊥ AB . Si ( DAC ≅ ( BAC,
es congruente con el triángulo DCA en su orden
A)
B)
C)
D)
E)
2.
ACD
ADC
CAD
DCA
CDA
entonces el triángulo CAB
D
Fig. 1
C
A
B
El triángulo ABC de la figura 2, es isósceles de base AB , CD ⊥ AB y AD = DB . Luego,
es(son) congruente(s) los siguientes pares de triángulos:
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
∆ADE con ∆BDE
∆AEC con ∆BEC
∆ADC con ∆BDC
C
E
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
A
2
D
B
Fig. 2
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÀNGULO
1.
ALTURA
Es la perpendicular que va desde el vértice al lado opuesto o a su prolongación.
C
C
CD ⊥ AB
H
hc
2.
B
D
A
H = ORTOCENTRO (punto de
intersección de las alturas)
B
A
BISECTRIZ
Es el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
C
C
( ACE ≅ ( ECB
I = INCENTRO (punto de intersección
de las bisectrices)
I
A
OBSERVACIÓN:
E
B
A
B
El punto de intersección de las bisectrices equidista de los lados del triángulo.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
En todo triángulo acutángulo, el ortocentro queda siempre en el interior del triángulo
En todo triángulo rectángulo, el ortocentro siempre coincide con el vértice del ángulo
recto
En todo triángulo equilátero, el ortocentro queda siempre en el interior del triángulo
En todo triángulo isósceles, el ortocentro siempre queda en el interior del triángulo
En todo triángulo obtusángulo, el ortocentro queda siempre en el exterior del triángulo
En el triángulo isósceles ABC de base AB de la figura 1, I es el incentro. Si ( AIB = 100º,
¿cuánto mide el ( ACB?
C
A)
B)
C)
D)
E)
Faltan datos para determinarlo
20º
40º
50º
80º
I
100º
A
Fig. 1
B
3
Fig. 3
3.
TRANSVERSAL DE GRAVEDAD
Es el trazo que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.
C
C
G = CENTRO DE GRAVEDAD (punto
de intersección de las transversales
de gravedad)
AR = RB
E
tc
A
R
A
B
D
G
B
F
OBSERVACIÓN: Si ∆ABC rectángulo en C, entonces CR = AR = RB .
4.
SIMETRAL
Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triángulo.
C
C
O = CIRCUNCENTRO (centro
P
PR ⊥ AB
de intersección de las
simetrales)
AR = RB
OA = OB = OC
O
R
A
B
A
B
PROPIEDADES
El punto de intersección de las simetrales equidistan de los vértices del triángulo.
EJEMPLOS
1.
En el ∆ABC de la figura 1, CE transversal de Gravedad. La medida del ángulo x es
A
A)
15º
B)
20º
70º
C)
25º
D)
30º
E
E)
35º
Fig. 1
x
C
B
2.
O es el circuncentro del ∆ABC (fig. 2). Si ( OAB = 20º y
( x es
C
A)
B)
C)
D)
E)
10º
20º
50º
80º
Otro valor
( COB = 80º. La medida del
x
80º
A
4
20º
Fig. 2
O
B
MEDIANA
Es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del triángulo.
C
No existe punto de
CM = MA
intersección de las
CN = NB
medianas
MN // AB
M
N
mc
A
B
PROPIEDADES
1.
En todo triángulo al trazar las 3 medianas se forman 4 triángulos congruentes.
C
∆ADF ≅ ∆DBE ≅ ∆FEC ≅ ∆EFD
E
F
A
D
B
EJEMPLOS
1.
En el triángulo MNT de la figura 1,
MP = 8 cm,
Entonces, MN - MT es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
2 cm
4 cm
6 cm
8 cm
10 cm
35º
45º
50º
55º
60º
y
PQ es mediana.
T
P
Fig. 1
M
Q
En el triángulo PQR de la figura 2, ( PRQ = 80º
A)
B)
C)
D)
E)
QN = 12 cm
N
y DE es mediana. ¿Cuánto mide ( x?
R
E
D
P
5
55º
Fig. 2
x
Q
ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO
Teorema 1:
En todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al
lado distinto.
C
CD = hc = tc = by = sc
A
α
α
D
AC = BC
AB ≠ BC
B
Teorema 2
En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a cualquier
lado. Además, coinciden los puntos singulares.
C
ha = hb = hc
ta = tb = tc
bα = bβ = bγ
Sa = Sb = Sc
ha = ta = bα = Sa
E
F
G
H = G = I = 0
A
B
D
EJEMPLOS
1.
El triángulo DEF de la figura 1 es isósceles de base
( DFE = 50º. ¿Cuánto mide el ángulo REF?
A)
B)
C)
D)
E)
DF .
R
R
Fig. 1
E
En el triángulo equilátero ABC de la figura 2, E es punto medio de AB
del ángulo ABC. ¿Cuánto es el suplemento de ( x + ( y?
C
A)
B)
C)
D)
E)
y
F
25º
30º
40º
50º
80º
D
2.
es punto medio de DF
150º
120º
90º
60º
30º
y BD es bisectriz
y
D
Fig. 2
x
A
6
E
B
EJERCICIOS
1.
Considerando que la información dada en cada alternativa es acumulativa, determine en
qué alternativa se puede asegurar que los triángulos de la figura 1, son congruentes.
F
C
( CAB ≅ ( FED
A)
B)
C)
D)
E)
( ABC ≅ ( FDE
DF = 5 cm
ED = 5 cm
BC = 5 cm
A
Fig. 1
2.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
E
D
B
Dos triángulos rectángulos que tienen un cateto respectivamente congruente, son
congruentes.
Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes.
Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos correspondientes congruentes,
son congruentes.
Si dos triángulos rectángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, son
congruentes.
Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo respectivamente congruentes, son
congruentes.
En el ∆ABC de la figura 2, D, E y F son puntos medios de los lados. Entonces, el
triángulo FEC es congruente al triángulo FDE en su orden
C
A)
B)
C)
D)
E)
FDE
EFD
FED
EDF
DEF
Fig. 2
F
A
E
D
7
B
4.
En la figura 3,
es FALSO que
A)
B)
C)
D)
E)
5.
∆ABC ≅ ∆MNT, si ( CAB = 40º, ( ABC = 80º y ( BCA = 60º, entonces
C
el lado mayor del ∆MNT es TM
el ( NTM mide 60º
el ∆MNT es escaleno
NT < MN
CA > TM
A
T
Fig. 3
B
N
M
En la figura 4, ∆QRP ≅ ∆DFE. Si QP ≅ PR , ¿cuánto mide el ángulo exterior HEF?
A)
B)
C)
D)
E)
62º
64º
74º
106º
116º
F
Q
P
Fig. 4
58º
H
R
6.
D
Si en el triángulo DEF de la figura 5, MN es mediana, entonces el ángulo NMD mide
F
A)
40º
B)
100º
C)
120º
D)
130º
M
N
E)
140º
Fig. 5
40º
D
7.
E
E
¿En qué triángulo al trazar cualquier bisectriz se forman dos triángulos congruentes?
A)
B)
C)
D)
E)
Rectángulo isósceles
Isósceles acutángulo
Rectángulo escaleno
Equilátero
En ninguno
8
8.
En el triángulo SRT de la figura 6, TH es altura, ( α = 110º y ( β = 140º. ¿Cuál es
la medida del ángulo x?
A)
B)
C)
D)
E)
Tα
20º
30º
50º
60º
70º
x
Fig. 6
S
9.
β
R
H
En el triángulo ABC de la figura 7, BD es bisectriz del ( ABC. Si
( ACB = 50º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?
C
A)
30º
B)
50º
C)
60º
D x
Fig. 7
D)
70º
E)
100º
A
10.
y
B
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 8, CD Transversal de Gravedad.
( CAD = 50º, entonces el ángulo DCB mide
A)
B)
C)
D)
E)
Si
C
20º
25º
30º
40º
5º
Fig. 8
A
11.
( CAB = 70º
D
B
Desde el vértice C del triángulo ABC de la figura 9, se ha trazado la altura CD y la bisectriz
CE del ángulo ACB. Entonces, el ( DCE mide
C
A)
25º
B)
20º
C)
15º
D)
10º
Fig. 9
E)
5º
30º
40º
A
E
B
D
9
12.
En el triángulo LMN de la figura 10, H es el ortocentro y ( LMN = 66º. Luego, el ( LHN
mide
N
A)
B)
C)
D)
E)
94º
114º
118º
123º
124º
Fig. 10
H
L
13.
M
En el ∆ABC (fig. 11), AD transversal gravedad y ( CAD = ( BAD. Entonces, la medida del
ángulo ADB es
C
A)
110º
B)
100º
C)
90º
D
D)
80º
Fig. 11
E)
60º
B
A
14.
En la figura 12,
los puntos A, B y D son colineales, ∆ABC ≅ ∆DBE, α = 36º y
( CBE = 20º, ¿cuánto mide el ( BED?
C
E
A)
20º
B)
36º
C)
64º
D)
108º
E)
116º
Fig. 12
α
A
15.
B
D
En la figura 13, se tiene que ∆ABC ≅ ∆DBE ≅ ∆DBC. Si ( BED = 30º, entonces ¿cuánto
mide ( CBD?
C
A)
30º
B)
60º
C)
80º
D
D)
90º
E)
120º
Fig. 13
A
10
B
E
16.
En la figura 14, ∆PQR ≅ ∆PST
PTR si:
(1)
( QPS = 50º
(2)
( STP = 65º
A)
B)
C)
D)
E)
y T pertenece a RQ . Se puede determinar el ángulo
R
T
Fig. 14
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
P
Q
S
17.
18.
En la figura 15, el valor de α + δ se puede determinar si:
(1)
AD es bisectriz.
(2)
D punto medio.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
En la figura 16, los triángulos ABC
B ∈ DE . Entonces, ∆ABC ≅ ∆DAE si:
(1)
AC ≅ DE
(2)
( ACB ≅ ( DEA
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
C
δ
A
Fig. 15
D
α
B
y DAE son rectángulos en A y D respectivamente y
C
E
G
B
A
D
11
Fig. 16
19.
20.
Los triángulos ABC y BAD son congruentes figura 17, se puede determinar la medida del
( AEB si:
(1)
( BAD = 40º
(2)
CE ≅ EB ≅ DE ≅ EA
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
C
D
E
Fig. 17
A
B
∆ADC ≅ ∆BEC (figura 18). El ∆DEC es equilátero si:
C
(1)
( DAC = 30º
(2)
( ADC = 120º
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Fig. 18
A
D
E
B
RESPUESTAS
CLAVES PÁG. 7
Ejemplos
Págs.
1
2
1
2
3
4
5
6
E
C
D
B
D
C
C
E
B
B
B
E
1.
2.
3.
4.
5.
E
D
B
E
E
6.
7.
8.
9.
10.
D
D
A
E
D
11.
12.
13.
14.
15.
E
B
C
C
B
16.
17.
18.
19.
20.
D
E
C
A
B
DCIMA012-I
12