Prueba para proporción

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Estadística Inferencial
UNIDAD III. PRUEBAS DE HIPÓTESIS
3.4 Pruebas de hipótesis para proporciones
En el caso de proporciones se mostrara mediante un ejemplo como
realizar pruebas de hipótesis para muestras grandes (mayores a 30
elementos).
3.4. Pruebas de hipótesis para la proporción
Gráficamente el nivel de significancia se distribuye en la curva de
distribución normal tal como se muestra en la figura, nótese que en el
caso de pruebas de hipótesis de medias, ésta se ubica en la parte media
de la distribución de probabilidad:
Ejemplo 1. El dueño de un café desea saber si la proporción de
mujeres que entran a su negocio es igual al 60%. Para hacer lo
anterior se realiza un muestreo aleatorio de 40 personas, dando un
promedio de la muestra de 58%.
Paso 1. Determinar la hipótesis Nula “Ho” y Alternativa “Ha”.
Ho: La cantidad de mujeres que entra al negocio es del 60%.
Ha: La cantidad de mujeres que entran al negocio NO ES del 60%
(El estudiante debe describir la Ha)
Nótese que la hipótesis nula considera IGUAL al 60% por lo tanto es
una prueba de hipótesis de dos colas.
Paso 2. Determinar el nivel de significancia.
Este nivel representa la probabilidad de rechazar una hipótesis nula
verdadera, matemáticamente se puede considerar cualquier valor entre
cero y uno; pero para estudios de pruebas de hipótesis normalmente
está entre 0.05 y 0.1. Este nivel está determinado por el analista y
debe basarse en las características del estudio y el riesgo que se
considere aceptable de cometer el error tipo I.
Nivel de significancia del estudio para el ejemplo: α = 0.1
Ho: p = 60%
Paso 3. Calcular los intervalos que implican ese nivel de significancia.
Para dicho nivel de significancia (equivale a un nivel de confianza del
90%) los valores de Z son: Z = +/- 1.6448 Gráficamente queda de la
siguiente manera:
Ho: p = 60%
Z = - 1.6448
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
Z = 1.6448
1
Estadística Inferencial
3.4. Pruebas de hipótesis para la proporción
Paso 4. Calcular el “estadístico” de la prueba.
Paso 5. Determinar si el estadístico cae dentro de la región que hace la
Hipótesis nula verdadera.
El estadístico Z se calcula de la siguiente manera:
En el caso de pruebas de hipótesis para proporciones la ecuación que
se usa es la siguiente:
z=
p̂ - p
pq
n
Donde:
p̂
Proporción muestral
p
Proporción poblacional (considerado en la hipótesis nula)
q
1- p Inverso de “p”.
n
Número de elementos muestreados.
z
Valor de Z tipificado
Para el caso del presente ejemplo:
z=
Z = 0.2562
p̂ - p
=
pq
n
0.6 - 0.58
( 0.58 )(1 − 0.58 )
= 0.2562
40
Ho: µ = 20 años
Z = - 1.6448
Z = 1.6448
Como podrá notarse, el estadístico esta dentro de la región que hace
verdadera la hipótesis nula.
Paso 6. Aceptar o rechazar la hipótesis nula.
En este caso como el estadístico de la prueba cae dentro de la región
que hace verdadera la hipótesis nula, ésta se ACEPTA y se toma como
falsa la hipótesis alternativa:
Ho: La cantidad de mujeres que entra al negocio es del 60%.
(VERDADERO)
Ha: La cantidad de mujeres que entra al negocio NO es del 60%.
(FALSO)
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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Estadística Inferencial
Prueba de una cola.
El procedimiento es equivalente a pruebas de una cola para medias, se
considera todo el nivel de significancia en una sola cola; dependiendo
de la redacción de la prueba de hipótesis nula del problema.
Por ejemplo: si la hipótesis nula indica que la proporción de la
población es MAYOR O IGUAL (Ho >=), la región de aceptación es a
partir de una “z” hacia el infinito positivo tal como se muestra en la
figura:
3.4. Pruebas de hipótesis para la proporción
Proveedor de focos. Una empresa de fabricación de focos desea
venderle al gobierno del estado; y para concursar con el resto de las
compañías asegura que la proporción de focos que dura más de 6000
horas es de 90%; se toma una muestra de 50 focos de forma aleatoria y
representativa de la población y se determina una proporción muestral
de 85% ¿será cierta la afirmación del proveedor dados los datos
indicados en la prueba? determine lo siguiente:
a) Defina la hipótesis nula y alternativa
b) Realice la prueba de hipótesis con un nivel de significancia de
alfa = 0.1
Como puede notarse todo el nivel de significancia se queda en una sola
cola, la cual está en los valores negativos de “z” (una cola en la
izquierda) y no se divide entre dos.
De manera similar cuando la hipótesis nula se indica como MENOR O
IGUAL (Ho <=) a una proporción; todo el nivel de significancia se
queda en una cola que está en los valores positivos de “z” (una cola a
la derecha).
A continuación realice los siguientes ejercicios:
Dueño de un café. El dueño de un café desea saber si la proporción de
mujeres que entran a su negocio es igual O MAYOR al 60%. Para
hacer lo anterior se realiza un muestreo aleatorio de 40 personas,
dando un promedio de la muestra de 58%; con un nivel de
significancia de 0.1.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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Actividad 3.3. Problemas de hipótesis para la proporción.
Problema 1. Se está estudiando colocar un negocio en una zona
turística, dicho local tendrá éxito si la proporción de días en los cuales
las ventas son adecuadas1 es mínimo del 80%.
Se decide abrir el negocio en un periodo de prueba por 40 días2, en los
cuales el 75% de los mismos las ventas son adecuadas.
Se pide lo siguiente:
a) Redacte la hipótesis nula y alternativa; además ¿Será correcto
analizar el problema como una o como dos colas?
b) Con un nivel de significancia de 0.1 determine la veracidad
para la hipótesis nula Ho.
3.4. Pruebas de hipótesis para la proporción
Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS de este trabajo (INDIVIDUAL),
las
rúbricas
se
indican
en
la
liga
siguiente:
http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
SIN EL PROCEDIMIENTO LA ACTIVIDAD NO ES VÁLIDA
Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes
direcciones:
marcelrzm@hotmail.com;
marcelrzm@hotmail.com;
marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz2002@yahoo.com.mx
No olvide enviarse copia a sí mismo del correo que envía, si usa Outlook
solicite confirmación de entrega y de lectura.
NOTAS: 1. No se define cuanto sería una cantidad de ventas adecuadas para no
introducir más datos o números al problema que no se requieren para su solución. 2. En
un problema real los 40 días seguidos difícilmente serán representativos de todo el año ya
que las ventas de los negocios varían de acuerdo a la época del año, debería ser un giro
que la gente siempre consuma lo mismo independientemente del año.
Problema 2. La cantidad de habitaciones ocupadas que debe a un hotel
para que éste sea rentable debe ser en promedio de 85% al mes (o
más). Se estudiaron hoteles similares en la zona, registrando los 365
días del año se detectó que tienen una ocupación demanda promedio
de 78%. Se pide lo siguiente:
a) Redacte la hipótesis nula y alternativa ¿Será correcto analizar
el problema como una o como dos colas?
b) Con un nivel de significancia de 0.02 determine la veracidad
para la hipótesis nula.
Problema 3. Una empresa contratista asegura que la proporción promedio de
los indicadores luminosos en la carretera que siguen funcionando después de
5 años es del 90%; si una prueba previa de 100 indicadores demostró que la
proporción que sigue funcionando después de 5 años es del 83% determine:
a) Como deben proponerse las hipótesis nula y alternativa.
b) Con la información estadística indicada y un nivel de significancia de
alfa = 0.05 ¿la empresa estará diciendo la verdad?
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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