Rotación

Problemas Resueltos:
1) En la Figura 1 se representan:
 El bloque A de 10,0 kg que se desliza por un plano inclinado que forma un ángulo=36,9o con respecto a la
horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque A y la superficie inclinada es 0,200.
 El bloque B de 20,0 kg que se encuentra inicialmente en reposo.
 Una polea de masa despreciable montada en un eje sin fricción que
pasa por su centro.
 Una cuerda inextensible que no resbala en la polea y se considera de
masa despreciable.
a) Calcula la magnitud de la aceleración del sistema y la tension de
A
B
la cuerda aplicando las Leyes de Newton.
b) Calcula la rapidez del Bloque B cuando ha descendido 50,0 cm
 = 36,9°
aplicando consideraciones energéticas.
c) Utilizando la rapidez calculada en b) determina la magnitud de la
Figura 1
aceleración y compararla con la calculada en a)
a)
Bloque A:
Fy = mA . ay
a
y
N - mA . g . cos = 0
x
T2
N = mA . g . cos
N
Fr = C . N = C . mA . g . cos
T1
a
Fx = mA . ax
mA . g .sen
 mA . g . cos
m
.
g

B
T1 - mA . g . sen - Fr = mA .ax
Fr 
T1 - mA . g . sen - C . mA . g . cos = mA .ax
T1 = mA . g . sen + C . mA . g . cos + mA .ax (1)
mA . g 

y
Bloque B:
Fy = mB . ay
mB . g - T2 = mB .ay
T2 = mB .g - mB . ay (2)
T1 = T2 = T porque se considera la masa de la polea nula.
ax = ay porque la cuerda es de masa despreciable e inextensible.
Igualando (1) y (2)
mA . g . sen + C . mA . g . cos + mA .a = mB . g - mB . a
mA . a + mB . a = mB . g - mA . g . sen - C . mA . g . cos
a (mA + mB) = g (mB - mA . sen - C . mA . cos)
a = g (mB - mA . sen - C . mA . cos) = g (20,0 kg - 10,0 kg . 0,600 - 0,200 . 10,0 kg . 0,800)
(mA + mB)
20,0 kg + 10,0 kg
a = 4,05 m/s2
Reemplazando a en (1) ó (2) T =115 N
b)
 El trabajo de la Tensión de la cuerda sobre cada uno de los cuerpos es distinto de cero (W de fuerzas
no conservativas). Pero la suma de los Trabajos de las Tensiones se anula WT = 0
WF NO CONS = EM → WF NO CONS = ECA + ECB + EPA + EPB
- Fr . h = ½ . mA . vA2 + ½ . mB . vB2 + mA . g . sen . h - mB . g . h
- C . mA . g . cosh = ½ . mA . vA2 + ½ . mB . vB2 + mA . g . sen . h - mB . g . h
vA = vB = v porque la cuerda es inextensible. (v = rapidez cuando B desciende 50,0 cm, rapidez inicial nula)
mB . g . h - C . mA . g . cosh - mA . g . sen . h = ½ . mA . v2 + ½ . mB . v2
2 . g . h . (mB - C . mA . cos- mA . sen ) = v2 (mA + mB )
v2 = 2 . g . h . (mB - C . mA . cos- mA . sen ) = 2 . g . h . (20,0 kg - 0,200 . 10,0 kg . 0,800 - 10,0 kg . 0,600)
(mA + mB)
20,0 kg + 10,0 kg
v = 2,01 m/s
c) v2 = vo2 + 2 . a . h → a = v2/ (2 .h) = (2,01 m/s)2 / (2 . 0,500 m)
a = 4,05 m/s2
2) En la Figura 2 se representan:
 El cilindro macizo A de 10,0 kg y 20,0 cm de radio que rueda sin deslizar
B
sobre un plano inclinado que forma un ángulo= 36,9o con respecto a la
horizontal. Está unido al extremo de una cuerda mediante un eje sin fricción
que pasa por su centro.
A
 Una polea B con forma de disco de 10,0 kg y 20,0 cm de radio montada en un
eje sin fricción que pasa por su centro.
C
 Un bloque C de 20,0 kg que se suspende del extremo libre de la cuerda que
se encuentra inicialmente en reposo.
 = 36,9°
 Una cuerda de masa despreciable que no resbala en la polea y es
inextensible.
Figura 2
a) Calcula la magnitud de la aceleración de los bloques y la polea y las
tensiones de la cuerda aplicando las Leyes de Newton.
b) Calcula la rapidez del Bloque C cuando ha descendido 50,0 cm aplicando consideraciones energéticas.
c) Utilizando el la rapidez calculada en el b) determinar la magnitud de la aceleración del Bloque C y
compararla con la calculada en a)
a)
a
A
y
B
x


T1
NA
C
R
T2
T1
m . g . sen 
m . g . cos 
O
a
m.g
Bloque C:
FY = mC . a
mC . g - T2= mC .a
T2= mC . g- mC .a
(c)
T2
fr
m .g
m.g

Bloque A:
IO = ½ mA .R + mA . R = 3/2 . mA . R 
 O = IO . 
( T1 - mA . g . sen . R = 3/2 . mA. R2 . a/R
T1 - mA . g . sen  = 3/2 . mA . a
T1 = mA . g . sen  + 3/2 mA . a
(a)
2
2
2
y
Polea B:
ICM = ½ mB .R2
CM = I CM . 
( T2 - T1 ) R = 1/2 . mB. R2 . a/R
T2 - T1 = 1/2 . mB. a
Reemplazando (a) y (c) en (b)
mC. g- mC .a - (mA . g . sen + 3/2 mA . a) = 1/2 . mB. a
mC. g- mC .a - mA . g . sen - 3/2 mA . a = 1/2 . mB. a
mC. g - mA . g . sen = 1/2 . mB. a + mC . a + 3/2 mA . a
mC. g - mA . g . sen = a (1/2 . mB + mC + 3/2 mA )
o
2
a = g (mC - mA . sen 36,9 9,80 m/s (20,0 kg -10,0 kg .0,6018)
1/2 . mB + mC + 3/2 mA
5,00 kg + 20,0 kg +15,0 kg
2
a = 3,43 m/s (de los Bloques A y B)
 = a/R
→  = 3,426 m/s2 = 17,1 RAD/s2 (de La Polea)
0,200 m
(b)
En el Bloque A no es válida
Fr = NA, pues la Fr no es
necesariamente esa, sino
cumple la condición de
rodamiento sin deslizamiento, es decir: a =  . R

de (a) →T1 = mA . g . sen + 3/2 mA . a = 10,0 kg . 9,80 m/s2 . sen + 3/2 10,0 kg . 3,43 m/s2
T1 = 110 N
de (c) → T2= mC. g - mC . a = 20,0 kg . 9,8 m/s2 - 20,0 kg . 3,43 m/s2
T2 = 127 N
T2 >T1
Si T1= T2 = T
La Polea B:
CM = I CM . T. R - T R = I CM . 
0 = I CM . 
Como I CM ≠0  debe ser nula (o sea la Polea B no se mueve o se mueve con velocidad
constante), por lo tanto T2 >T1 así la Polea B gira en sentido Horario.

TAMBIEN SE PUEDE PLANTEAR PARA EL Bloque A:
ICM = ½ mA .R2 
 CM = ICM . 
Fr . R = ½ . mA . R2 . a/R
Fr = ½ . mA . a (*)
FX = mA . a
T1- mA . g . sen  - Fr = mA . a
Reemplazando (*) en la anterior:
T1- mA . g . sen  - ½ . mA . a = mA . a
T1 = mA . g . sen  + 3/2 mA . a
Igual a la (a)

b)
 Hay fricción entre la cuerda y la polea (esto lo hace girar) pero la cuerda no resbala, NO hay movimiento de la
cuerda relativo a la polea por lo tanto la fuerza de rozamiento entre la cuerda y la polea no realiza trabajo, o
sea, no hay perdida de energía mecánica por fricción Wfr = 0
 El trabajo de las Tensiones de la cuerda sobre cada uno de los cuerpos y la polea es distinto de cero (W de
fuerzas no conservativas). Pero la suma de los Trabajos de las Tensiones se anulan WT = 0
 R y PB No se desplazan WR = 0 y WPB =0
WF NO CONS = EM → WF NO CONS = EC [ROT]AyB + EC [TRASLACION]AyC +EPAyC
0 = ½ . A . A2 + ½ . B . B2 + ½ (mA + mC) . v2 - mC .g. h + mA . g . h . sen 36,9°
mc .g. h - mA . g .h .sen 36,9° = ½ (mA + mC) . v2 + ½ . (½ mA. R2) . v2/R2 + ½ . (½ mB. R2) . v2/R2
2. g. h (mc - mA sen 36,9° ) = (mA + mC) . v2 + ½ mA . v2 + ½ mB. v2
2. g. h (mc - mA sen 36,9° ) = (mA + mC + ½ mA+ ½ mB) . v2
v2 = 2 . g . h . (mc - mA sen 36,9° ) = 2 . 9,80 m/s2 . 1,00 m . (20,0 kg – 10,0 kg .sen 36,9°)
(mA + mC + ½ mA+ ½ mB)
10,0 kg + 20,0 kg + 5,00 kg + 5,00 kg
v2 = 6,85 m/s2
v = 2,62 m/s
c)
v2 = vo2 + 2 . a . h
v2 = 2 . a . h
2. a . h = 2 . g . h . (mc - mA . sen 36,9° )
(mA + mC + ½ mA+ ½ mB)
a = g . (mc - mA . sen 36,9°)
(mA + mC + ½ mA+ ½ mB)
a = 3,43 m/s2
3) Del Problema anterior:
a) Calcula la fuerza de rozamiento sobre el cilindro A.
b) Calcula el mínimo coeficiente de rozamiento estático entre el plano inclinado y el cilindro A para que
este ruede sin deslizar.
c) ¿Que ocurre si el coeficiente de rozamiento estático entre el cilindro A y el plano inclinado es 0,100?
c) ¿Que ocurre si el coeficiente de rozamiento estático entre el cilindro A y el plano inclinado es 0,300?
a) De (*) Fr = ½ . mA . a = ½ . 10,0 kg . 3,43 m/s2 = 17,2 N
b) Fr est. MAX = e . NA = e . mA . g . cos 
Debe ser:
Fr ≤ Fr est. MAX
Fr ≤ e . mA . g . cos 
e ≤
Fr
=
17,2 N
= 0,219
mA . g . cos 10,0 kg . g . cos 
El mínimo valor de e necesario para que ruede sin deslizar es 0,219
c) Si e = 0,100 la Fr est. MAX = e . mA . g . cos = 0,100 . 10,0 kg . g . cos = 7,84 N < 17,2 N
No es suficiente para que ruede sin deslizar.
d) 0,300 > 0,219  rueda sin deslizar. En este caso, la fuerza de rozamiento estático que actúa sobre el cilindro
no alcanza su valor máximo.
4) En la Figura 3 se representan:
 Un cilindro macizo A de 4,00 kg que rueda sin deslizar por un
plano inclinado que forma un ángulo  = 30,0o con respecto a la
horizontal.
A
 Una polea B de forma de cilindro macizo de 2,00 kg de masa y
10,0 cm de radio, en cuyo eje existe un rozamiento cuyo Torque
es igual a 0,900 N.m.
 Una cuerda inextensible y de masa despreciable que no resbala
en la polea B y que está unida al centro del cilindro A.
a) Calcula la magnitud de la aceleración del cilindro A y la

tension de la cuerda aplicando las Leyes de Newton.
b) Calcula la rapidez del cilindro A cuando ha descendido 50,0
Figura 3
cm aplicando consideraciones energéticas.

c) Utilizando el la rapidez calculada en el b) determinar la
magnitud de la aceleración del cilindro A y compararla con la calculada en a)
Obs.: Momento de Inercia de un cilindro macizo con respecto al centro = ½ M.R2
B
a)
y
CILINDRO A:
2
2
2
A
I O = ½ mA .R + mA . R = 3/2 . mA . R
NA
O = I . 
T

mA . g. senR - T . R = 3/2 . mA . R2 . a/R
cm
mA . g . sen - T = 3/2 . mA . a
(a)
mA . g . sen - 3/2 . mA . a = T (a)
Fr
mA . g . sen30o

O
POLEA B:
mA . g . cos30o
2
I CM = ½ mB .R

 CM = I CM . 
x
mA.g
T . R - = ½. mB . R2 . a/R
T . R - = ½. mB . R . a

T = ½. mB . a +  /R
(b)
B
NB
Igualando (a) y (b)

mA . g . sen - 3/2 . mA . a = ½. mB . a +  /R
mA . g . sen -  /R = ½. mB . a+ 3/2 . mA . a
mA . g . sen -  /R = a (½. mB . + 3/2 . mA )
T
a= mA . g . sen -  /R
(½. mB . + 3/2 . mA )
a=
4,00 kg . g . 0,500 - 0,900 N.m/0,100 m
mB .g
(1/2 . 2,00 kg + 3/2 . 4,00 kg)
a = 10,6 N/7,00 kg
a= 1,51 m/s2
de (b):
T = ½. mB . a +  /R = ½ . 2,00 kg . 1,51 m/s2 + 0,900 N.m/0,100 m
T = 10,5 N
b)
WF NO CONS = EM → WF NO CONS = EC [ROT]AyB + EC [TRASLACION]AyC +EPAyC
-  = ½ . mA . vA2 + ½ . A . A2 + ½ . B . B2 - mA . g . h . sen 30°
- h/R = ½ . mA . vA2 + ½ . ½ mA .R2 . vA2 /R2 + ½ . ½ mB. RB2 . vA2 /RB2 - mA . g . h . sen 30°
- h/R = ½ . mA . vA2 + ¼ mA . vA2 + ¼ . mB. vA2 - mA . g . h . sen 30°
- h/R = ¾ . mA . vA2 + ¼ . mB. vA2 - mA . g . h . sen 30°
mA . g . h . sen 30° - h/R = v2 ( ¾ . mA . + ¼ . mB)
v2 = h . (mA . g . sen 30° - /R )
( ¾ . mA . + ¼ . mB)
vA = 1,23 m/s
= 0,50 m ( 4,0 kg . g . 0,50 - 0,90 N.m/0,10 m)
(¾. 4,00 kg + ¼. 2,00 kg)
c)
v2 = vo2 + 2 . a . h
v2 = 2 . a . h
h . (mA . g . sen 30° - /R ) = 2 . a . h
( ¾ . mA . + ¼ . mB)
a= (mA . g . sen 30° - /R )
(½. mB . + 3/2 . mA )
CONCLUSIONES:
Como vimos se puede resolver el mismo problema utilizando:
a) las Leyes de Newton:
FFext = m . a [Para traslación]

O = I O . [Para rotación]
b) consideraciones energéticas:
(WF NO CONS = EM)
En el primer caso son ecuaciones vectoriales donde se debe plantear las componentes “x” e “y” para cada
bloque que compone el sistema (previa realización del diagrama de cuerpo libre D.C.L.). En cambio por trabajo y
energía es una ecuación escalar aplicada a todo el sistema.
En el caso que el problema no especifique una determinada resolución, el alumno podrá elegir el método
que le resulte más conveniente. Si debemos determinar las tensiones de las cuerdas o la aceleración del sistema
será más adecuado resolver por leyes de Newton, pero si debemos determinar la rapidez o la altura será más
adecuado utilizar consideraciones energéticas.