Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad

Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de
libertad
F. Javier Cara
ETSII-UPM
Curso 2013-2014
1
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Contenido
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Transformación en ecuación diferencial de primer orden
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a movimientos de la base
2
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Figura: (a), (b) Modelos dinámicos para un edificio; (c) Modelo general para
un sistema de un grado de libertad.
3
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Cálculo de las respuesta mediante la ecuación diferencial
Figura: Equilibrio de fuerzas.
Aplicando la 2a Ley de Newton (según el principio de D’Alambert, la
fuerza mÿ (t) tiene sentido opuesto al movimiento)
X
F (t) = mÿ (t) ⇒ F (t) − Fc (t) − Fk (t) = mÿ (t)
Sustituyendo cada fuerza por su valor
mÿ (t) + c ẏ (t) + ky (t) = F (t)
La ecuación diferencial del sistema masa-muelle-amortiguador es
mÿ (t) + c ẏ (t) + ky (t) = F (t)
(1a)
y (0) = y0 ,
(1b)
ẏ (0) = ẏ0
4
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Solución para fuerza constante
Sólo para determinadas situaciones la ecuación anterior se puede resolver
de manera exacta. Uno de estos casos es cuando la fuerza aplicada al
sistema es constante:
mÿ (t) + c ẏ (t) + ky (t) = F0
y (0) = y0 , ẏ (0) = ẏ0
(2a)
(2b)
Como es bien conocido, la solución de esta ecuación es la suma de la
solución de la parte homogénea más una solución particular
y (t) = yh (t) + yp (t)
Solución de la ecuación homogénea
La ecuación homogénea correspondiente a (2) es
mÿh (t) + c ẏh (t) + kyh (t) = 0
La solución de esta ecuación es de la forma
yh (t) = Ae st
5
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Sustituyendo
ms 2 Ae st + csAe st + kAe st = 0
Para e st 6= 0, esto es, para yh (t) 6= 0 se tiene
ms 2 + cs + k = 0
cuya solución es
√
c 2 − 4mk
,
s1 =
2m
y la solución homogénea queda
−c +
yh (t) = A1 e
s1 t
+ A1 e
s2 t
= A1 e
s2 =
√
−c+
−c −
c 2 −4mk
t
2m
√
c 2 − 4mk
2m
+ A2 e
−c−
√
c 2 −4mk
t
2m
En dinámica de estructuras es usual definir los siguientes términos
r
k
def
ωn =
[rad/s]
m
c
def
(0 ≤ ζ ≤ 1)
ζ = √
2 mk
dónde ωn es la frecuencia natural de vibración y ζ es la razón de
amortiguamiento.
6
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Podemos expresar la solución de la ecuación homogénea teniendo en
cuenta estas variables
√
√
−ζωn +iωn 1−ζ 2 t
−ζωn −iωn 1−ζ 2 t
yh (t) = A1 e
+ A2 e
donde se ha considerado que c 2 − 4mk < 0. En caso contrario el sistema
no es estable.
Definimos ahora otra nueva variable, la frecuencia natural amortiguada
p
def
ωd = ωn 1 − ζ 2 [rad/s]
por lo que
yh (t) = A1 e (−ζωn +iωd )t + A2 e (−ζωn −iωd )t
Solución particular
Una solución particular de (2) es
yp (t) =
F0
k
Solución final
Finalmente
y (t) = yh (t) + yp (t) = A1 e (−ζωn +iωd )t + A2 e (−ζωn −iωd )t +
F0
k
7
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
la velocidad se obtiene derivando
ẏ (t) = A1 (−ζωn + iωd ) e (−ζωn +iωd )t + A2 (−ζωn − iωd ) e (−ζωn −iωd )t
Ahora podemos sustituir las condiciones iniciales, y (0) = y0 , ẏ (0) = ẏ0
y (0) = A1 + A2 +
F0
= y0
k
ẏ (0) = A1 (−ζωn + iωd ) + A2 (−ζωn − iωd ) = ẏ0
La solución de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
ωd y0 − Fk0 − i ζωn y0 − Fk0 + ẏ0
A1 =
2ωd
F0
ωd y0 − k + i ζωn y0 − Fk0 + ẏ0
A2 =
2ωd
8
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Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Sustituyendo
!
F0
y
−
ζω
+
ẏ
F0
F0
0
n
0
k
e −ζωn t cos ωd t+
e −ζωn t sen ωd t+
y (t) = y0 −
k
ωd
k
(3)
ẏ (t) = ẏ0 e
−ζωn t
cos ωd t −
!
ωn y0 − Fk0 + ζ ẏ0
p
e −ζωn t sen ωd t
1 − ζ2
(4)
y la aceleración se obtiene sustituyendo en (2)
ÿ (t) =
1
(F0 − c ẏ (t) − ky (t))
m
(5)
9
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Ejemplo
Calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador de un
grado de libertad sometido a vibración libre.
Un sistema está sometido a vibración libre cuando la fuerza externa es
nula. Por tanto las ecuaciones de equilibrio se obtienen a partir de (1)
mÿ (t) + c ẏ (t) + ky (t) = 0
(6a)
y (0) = y0 ,
(6b)
ẏ (0) = ẏ0
y la solución se obtiene fácilmente de las ecuaciones (3) y (4)
ζωn y0 + ẏ0
−ζωn t
sen ωd t
y (t) = e
y0 cos ωd t +
ωd
"
!
#
ωn y0 + ζ ẏ0
−ζωn t
p
ẏ0 cos ωd t −
sen ωd t
ẏ (t) = e
1 − ζ2
ÿ (t) = −
1
(c ẏ (t) + ky (t))
m
(7)
(8)
(9)
10
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Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
1
y (m)
0.5
0
−0.5
−1
0
5
10
15
10
15
10
15
t (s)
10
v (m/s)
5
0
−5
−10
0
5
t (s)
a (m/s2)
40
20
0
−20
−40
0
5
t (s)
Figura: Vibración libre de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn = 2π rad /s,
ζ = 0,025, y0 = 1 m, ẏ0 = 0 m/s.
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Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Ejemplo
Calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador de un
grado de libertad sometido a una fuerza escalon.
Figura: Fuerza escalon
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Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
La respuesta se divide en:
◮ t0 ≤ t ≤ t1 Vibración forzada con F (t) = F0 . Por lo tanto:
!
ζωn y0 − Fk0 + ẏ0
F0
F0
−ζωn t
e
cos ωd t+
e −ζωn t sen ωd t+
y (t) = y0 −
k
ωd
k
!
ωn y0 − Fk0 + ζ ẏ0
p
e −ζωn t sen ωd t
ẏ (t) = ẏ0 e −ζωn t cos ωd t −
1 − ζ2
1
ÿ (t) = (F0 − c ẏ (t) − ky (t))
m
en t1 la posicion y la velocidad y seran y (t1 ) y ẏ (t1 ).
◮ t ≥ t1 Vibración libre con condiciones iniciales y (t1 ) y ẏ (t1 ).
ζωn y (t1 ) + ẏ (t1 )
−ζωn (t−t1 )
y (t1 ) cos ωd (t − t1 ) +
y (t) = e
sen ωd (t − t1 )
ωd
!
#
"
ωn y (t1 ) + ζ ẏ (t1 )
−ζωn (t−t1 )
p
sen ωd (t − t1 )
ẏ (t1 ) cos ωd (t − t1 ) −
ẏ (t) = e
1 − ζ2
1
ÿ (t) = − (c ẏ (t) + ky (t))
m
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Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
F(t) (N)
15
10
5
0
0
5
10
15
t (s)
20
25
30
0.5
y (m)
F0/k
0
−0.5
0
5
10
15
t (s)
20
25
30
0
5
10
15
t (s)
20
25
30
0
5
10
15
t (s)
20
25
30
v (m/s)
2
0
−2
a (m/s2)
10
0
−10
Figura: Vibración de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn = 2π rad /s,
ζ = 0,025, y0 = 0 m, ẏ0 = 0 m/s, F0 = 10 N.
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Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Solución para una fuerza cualquiera. Método incremental.
Vamos a calcular ahora la respuesta del sistema para una fuerza
cualquiera F (t). Para ello se tiene que resolver la ecuación diferencial (3)
utilizando tecnicas numericas.
◮ Métodos de integración de escuaciones diferenciales:
Newton-Raphson, diferencias finitas, ...
◮ Métodos específicos para dinámica de estructuras: método de
Newmark, método de Wilson,...
Nosotros vamos a utilizar uno muy sencillo, el método incremental. Para
ello aproximamos F (t) en escalones, como en la figura:
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Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Para ti ≤ t ≤ ti+1
F (t) =
F (ti ) ti ≤ t ≤ ti+1
0 resto
Además tenemos las condiciones iniciales yti , ẏti y ÿti . Por tanto
F (ti )
e −ζωn (t−ti ) cos ωd (t − ti )
y (t) = y (ti ) −
k


i)
ζωn y (ti ) − F (t
+ ẏ (ti )
k
 e −ζωn (t−ti ) sen ωd (t − ti ) + F (ti )
+
ωd
k
ẏ (t) = ẏ (ti )e −ζωn (t−ti ) cos ωd (t − ti )

 ωn y (ti ) − F (tk i ) + ζ ẏ (ti )
 e −ζωn (t−ti ) sen ωd (t − ti )
p
−
1 − ζ2
1
(F (ti ) − c ẏ (t) − ky (t))
m
Con esas expresiones calculamos yti +1 , ẏti +1 y ÿti +1 y repetimos el proceso.
ÿ (t) =
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Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
F(t) (N)
200
0
−200
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
y (m)
10
0
−10
v (m/s)
50
0
−50
a (m/s2)
500
0
−500
Figura: Vibración de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn = 2π rad /s,
ζ = 0,025, y0 = 0 m, ẏ0 = 0 m/s, N = 128 puntos.
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Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Transformación en ecuación diferencial de primer orden
Transformación en ecuación diferencial de primer orden
◮
La ecuación de equilibrio es una ecuación diferencial de 2do orden
mÿ (t) + c ẏ (t) + ky (t) = F (t)
◮
que se puede reescribir como
ÿ (t) = −m−1 ky (t) − m−1 c ẏ (t) + m−1 F (t)
◮
Si añadimos la ecuación trivial ẏ (t) = ẏ (t)
ẏ (t) = ẏ (t)
ÿ (t) = −m−1 ky (t) − m−1 c ẏ (t) + m−1 F (t)
◮
◮
En forma matricial
ẏ (t)
0
=
ÿ (t)
−m−1 k
1
−m−1 c
y (t)
0
+
F (t)
ẏ (t)
m−1
Que es una ecuación diferencial de primer orden
ẋ(t) = Ac x(t) + Bc F (t)
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Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Transformación en ecuación diferencial de primer orden
Solución de la ecuación de primer orden
ẋ(t) = Ac x(t) + Bc F (t)
La solución de esta ecuación se puede encontrar haciendo:
d
x(t) − Ac x(t) = e −Ac t Bc F (t)
e −Ac t
dt
d
e −Ac t x(t) = e −Ac t Bc F (t)
dt
Z t
−Ac t
e −Ac s Bc F (s)ds
e
x(t) = k +
t0
x(t) = e Ac t k + e Ac t
Z
t
e −Ac s Bc F (s)ds
t0
x(t0 ) = e Ac t0 k ⇒ k = e −Ac t0 x(t0 )
Z t
x(t) = e Ac (t−t0 ) x(t0 ) + e Ac t
e −Ac s Bc F (s)ds
t0
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Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Transformación en ecuación diferencial de primer orden
Solución en tiempo discreto
x(t) = e
Ac (t−t0 )
x(t0 ) + e
Ac t
Z
t
e −Ac s Bc F (s)ds
t0
Por tanto
x(t + ∆t) = e Ac (t+∆t−t0 ) x(t0 ) + e Ac (t+∆t)
e
Ac ∆t
x(t) = e
Ac (t+∆t−t0 )
x(t0 ) + e
Z
Ac (t+∆t)
t+∆t
e −Ac s Bc F (s)ds
t0
Z
t
e −Ac s Bc F (s)ds
t0
Restando
x(t+∆t)−e Ac ∆t x(t) = e Ac (t+∆t)
Z
t+∆t
e −Ac s Bc F (s)ds −
t0
x(t + ∆t) = e Ac ∆t x(t) + e Ac (t+∆t)
Z
Z
t
e −Ac s Bc F (s)ds
t0
t+∆t
e −Ac s Bc F (s)ds
t
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Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Transformación en ecuación diferencial de primer orden
Solución en tiempo discreto (2)
Hemos encontrado que
x(t + ∆t) = e
Ac ∆t
x(t) + e
Ac (t+∆t)
Z
t+∆t
e −Ac s Bc F (s)ds
t
Vamos a suponer que F (t) es constante en el intervalo
(tk , tk + ∆t) = (tk , tk+1 ) e igual a F (tk )
Z tk +∆t
x(tk + ∆t) = e Ac ∆t x(tk ) + e Ac (tk +∆t)
e −Ac s Bc F (tk )ds
tk
tk +∆t
Bc F (tk )
−e −Ac t A−1
c
tk
x(tk + ∆t) = e Ac ∆t x(tk ) + I2 − e Ac ∆t A−1
c Bc F (tk )
Por tanto, la solución en tiempo discreto es
x(tk + ∆t) = e
Ac ∆t
x(tk ) + e
Ac (tk +∆t)
x(tk+1 ) = Ad x(tk ) + Bd F (tk ) ⇒ xk+1 = Ad xk + Bd Fk
Ad = e Ac ∆t ,
Bd = [I2 − Ad ]A−1
c Bc
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Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Transformación en ecuación diferencial de primer orden
Cálculo del desplazamiento, velocidad y aceleración
xk+1 = Ad xk + Bd Fk
0
1
0
Ac ∆t
−1
Ad = e
, Bd = [I2 −Ad ]Ac Bc , Ac =
, Bc =
−m−1 k −m−1 c
m−1
Como el vector
y (t)
y
x(t) =
⇒ xk = k
ẏ (t)
ẏk
Y además
ÿ (t) = −m−1 ky (t) − m−1 c ẏ (t) + m−1 F (t) ⇒
ÿk = −m−1 kyk − m−1 c ẏk + m−1 Fk
Podemos hacer
  
yk
1
ẏk  =  0
ÿk
−m−1 k



0
0
1  xk +  0  Fk
−m−1 c
m−1
Una vez calculado xk se obtiene {yk , ẏk , ÿk } con esta ecuación.
22
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Cálculo de la respuesta a un impulso
Sea una fuerza constante aplicada en ti hasta ti+1
Suponiendo que y (ti ) = 0, ẏ (ti ) = 0, entonces se tiene que en ti+1
ζωn
F0
−ζωn ∆t
−ζωn ∆t
1−e
cos ωd ∆t −
y (ti+1 ) =
e
sen ωd ∆t
k
ωd
"
!
#
ωn
F0
−ζωn ∆t
p
e
sen ωd ∆t
ẏ (ti+1 ) =
k
1 − ζ2
23
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Vamos a calcular la respuesta cuando ∆t → 0


n
1 − e −ζωn ∆t cos ωd ∆t − ζω
e −ζωn ∆t sen ωd ∆t
ωd
1

lim 
lim y (ti+1 ) =
∆t→0
k ∆t→0
∆t
′
L H ôpital
=
 ω2 1
lim 
k ∆t→0
n
ωd
e −ζωn ∆t sen ωd ∆t
1

=0
−ζωn ∆t
ωn
e
sen ωd ∆t
lim ẏ (ti+1 ) = p
lim
∆t→0
∆t
k 1 − ζ 2 ∆t→0
−ζω
∆t
n
−ζωn e
sen ωd ∆t + ωd e −ζωn ∆t cos ωd ∆t
ωn
L′ H ôpital
p
lim
=
1
k 1 − ζ 2 ∆t→0
ωn
1
= p
(0 + ωd ) =
m
k 1 − ζ2
24
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Es decir, cuando ti+1 → ti
1
m
Para t > ti+1 tenemos vibracion libre con condiciones iniciales y (ti+1 ),
ẏ (ti+1 ), es decir
1
e −ζωn (t−ti +1 ) sen ωd (t − ti+1 )
y (t) =
mωd
"
!
#
ζ
1
−ζωn (t−ti +1 )
cos ωd (t − ti+1 ) − p
sen ωd (t − ti+1 )
e
ẏ (t) =
m
1 − ζ2
y (ti+1 ) = 0,
ẏ (ti+1 ) =
Como hemos hecho ti+1 → ti
1
y (t) ≈
e −ζωn (t−ti ) sen ωd (t − ti )
mωd
"
!
#
ζ
1
−ζωn (t−ti )
e
cos ωd (t − ti ) − p
sen ωd (t − ti )
ẏ (t) ≈
m
1 − ζ2
25
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Estas ecuaciones representan la respuesta a una función impulso (delta de
Dirac) aplicada en ti (se suele representar como h(t − ti )), y la velocidad
debida a un impulso, ḣ(t − ti ). Para una delta aplicada en t=s
F (t) = δ(t − s) ⇒
1
y (t) = h(t − s) =
e −ζωn (t−s) sen ωd (t − s)
mωd
"
!
#
ζ
1
−ζωn (t−s)
cos ωd (t − s) − p
sen ωd (t − s)
e
ẏ (t) = ḣ(t−s) =
m
1 − ζ2
Obviamente, ambas respuestas están definidas para t ≥ s. Es inmediato
que
F (t) = Aδ(t − s) ⇒
y (t) = A · h(t − s)
t≥s
ẏ (t) = A · ḣ(t − s)
t≥s
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Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Vamos a calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador a
una fuerza F (t) utilizando la respuesta a un impulso.
◮
◮
◮
La respuesta en t debido a F (t1 )δ(t − t1 ) es y (t) = F (t1 )h(t − t1 ).
La respuesta en t debido a F (t2 )δ(t − t2 ) es y (t) = F (t2 )h(t − t2 ).
La respuesta en t debido a F (t1 )δ(t − t1 ) y F (t2 )δ(t − t2 ) es
y (t) = F (t1 )h(t − t1 ) + F (t2 )h(t − t2 )
27
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
Siguiendo este razonamiento, la respuesta en t defido a F(t) es
Z s
F (s)h(t − s)ds
y (t) =
0
ẏ (t) =
Z
0
s
F (s)ḣ(t − s)ds
En definitiva, la respuesta del sistema es la covolución en el tiempo de
F (t) y h(t − s). También se conoce como integral de Duhamel.
Si sustituimos h(t − s) y ḣ(t − s) por su valor
Z t
F (s)
y (t) =
e −ζωn (t−s) sen ωd (t − s)ds
mωd
0
"
!
#
Z t
ζ
F (s)
−ζωn (t−s)
cos ωd (t − s) − p
e
sen ωd (t − s) ds
ẏ (t) =
m
1 − ζ2
0
28
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
0.2
0.15
0.1
h(t) (N/m)
0.05
1/(m*wd)e(−wn*z*t)
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
0
5
10
15
t (s)
20
25
30
Figura: Respuesta de un sistema de un gdl (m = 1 kg , ωn = 2π rad /s,
ζ = 0,025), a un impulso o delta de Dirac aplicado en t=0.
29
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
200
F(t) (N)
100
0
−100
−200
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
8
incremental
duhamel
6
y (m)
4
2
0
−2
−4
−6
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
Figura: Vibración de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn = 2π rad /s,
ζ = 0,025, y0 = 0 m, ẏ0 = 0 m/s, N = 128 puntos.
30
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución
F(t) (N)
200
0
−200
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
y (m)
10
0
−10
v (m/s)
50
0
−50
a (m/s2)
500
0
−500
Figura: Posición, velocidad y aceleración.
31
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en
frecuencia
Si consideramos una fuerza armónica de frecuencia ω y con amplitud que
puede ser distinta para cada ω:
F (t) = F (ω)e iωt
la respuesta del sistema masa-muelle-amortiguador a una carga de este
tipo también es armónica de frecuencia ω:
y (t) = Y (ω)e iωt
⇒ ẏ (t) = iωY (ω)e iωt
⇒ ÿ (t) = −ω 2 Y (ω)e iωt
Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación de equilibrio
⇒ −mω 2 Y (ω)e iωt + icωY (ω)e iωt + kY (ω)e iωt = F (ω)e iωt
⇒ Y (ω) =
1
F (ω)
(k − mω 2 ) + icω
32
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
Se define entonces:
H(ω) =
1
(k − mω 2 ) + icω
Esta ecuación es la función de respuesta en frecuencia de un sistema
masa-muelle-amortiguador de un grado de libertad. Se cumple que
Y (ω) = H(ω)F (ω)
La velocidad se calcula de:
ẏ (t) = iωY (ω)e iωt ⇒ ẏ (t) = iωy (t)
Z ∞
Z ∞
ẏ (t)e −iωt dt =
iωy (t)e −iωt dt
⇒
−∞
−∞
⇒ Ẏ (ω) = iωY (ω)
De igual manera se tiene que:
Ÿ (ω) = −ω 2 Y (ω)
33
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
0.1
−1
0.04
0.08
−1.5
0.02
0
0.06
0.04
−0.02
0.02
−0.04
0
0
10
ω (rad/s)
20
0
0
10
ω (rad/s)
20
0
10
ω (rad/s)
20
−2
−2.5
−3
−3.5
0
10
ω (rad/s)
20
3.5
3
−0.02
θ(H(ω)) (rad)
Imag(H(ω)) (m/N)
|H(ω)| (dB ref 1 m/N)
0.06
|H(ω)| (m/N)
Real(H(ω)) (m/N)
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
−0.04
−0.06
2.5
2
1.5
1
−0.08
−0.1
0.5
0
10
ω (rad/s)
20
0
Figura: Función de respuesta en frecuencia de un sistema de un gdl con:
m = 1 kg , ωn = 2π rad /s, ζ = 0,025.
34
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
Relación entre h(t) y H(ω)
Consideremos de nuevo una fuerza armónica del tipo
F (t) = F (ω)e iωt ⇒ y (t) = Y (ω)e iωt
Por la integral de convolución sabemos que
Z ∞
Z ∞
y (t) =
F (s)h(t − s)ds =
F (t − τ )h(τ )dτ
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
iω(t−τ )
iωt
F (ω)e
h(τ )dτ = F (ω)e
=
e −iωτ h(τ )dτ
−∞
⇒ Y (ω)e iωt = F (ω)e iωt
−∞
Z
∞
e −iωτ h(τ )dτ
−∞
Y según la función de respuesta en frecuencia
Z ∞
Y (ω) = H(ω)F (ω) ⇒ H(ω) =
h(t)e −iωt dt
−∞
Luego H(ω) es la transformada de Fourier de h(t).
35
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
En realidad, la T. de Fourier la hemos definido como
Z ∞
1
H̃(ω) =
h(t)e −iωt dt ⇒ H(ω) = 2π H̃(ω)
2π −∞
Luego la función de respuesta en frecuencia, H(ω), es 2π veces la
transformada de Fourier de h(t), H̃(ω). En el caso discreto
H(ω) =
Z
∞
−∞
H(ωn ) =
N−1
X
h(t)e −iωt dt ⇒ H(ωn ) =
2πn
N−1
X
h(tk )e −iωn tk ∆t
k=1
h(k∆t)e −i ( N∆t )k∆t ∆t = ∆t
N−1
X
h(k∆t)e −i2πnk/N
k=1
k=1
⇒ H(ωn ) = ∆t H̃n
Es decir, si utilizamos matlat, la función de respuesta en frecuencia
discreta sería H(ωn ) = ∆t H̃nmatlab
36
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
Por tanto, el procedimiento para calcular la respuesta de un sistema
masa-muelle-amortiguador de un grado de libertad usando la función de
respuesta en frecuencia es:
◮ Calcular la TF de la fuerza, F (ω).
◮
◮
◮
Calcular la función de respuesta en frecuencia, H(ω).
Multiplicarlas y calcular Y (ω) = H(ω)F (ω).
Calcular la velocidad y la aceleración en frecuencias,
V (ω) = iωY (ω), A(ω) = −ω 2 Y (ω).
Calcular y(t), v(t), a(t) con la transformada inversa de Fourier.
Hay que tener cuidado con la construcción de la H(ω) discreta, H(ωn ).
Hay dos opociones:
◮
1. Calcular la transformada de Fourier discreta de h(tk ).
2. Construir H(ωn ) a partir de la fórmula de H(ω). Hay que tener
cuidado con esta opción como se observa en la figura siguiente
(recordad que a partir de la frecuencia de Nyquist, la transformada
de Fourier discreta tiene que cumplir H( N +r ) = H ∗N −r )
(2 )
2
37
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
h(tk) (N/m)
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
0
2
4
6
Parte imaginaria
0.1
T.Fourier h(t) (m/N)
0.2
fnq
0
−0.1
−0.2
0
20
ω (rad/s)
40
60
0.2
0.1
−0.1
−0.2
0.2
0.1
0.1
0
−0.1
−0.2
0
20
ω (rad/s)
40
60
fnq
0
0.2
H(ω) (m/N)
H(ω=ωn) (m/N)
T.Fourier h(tk) (m/N)
t (s)
Parte real
0
20
0
20
ω (rad/s)
40
60
40
60
0
−0.1
−0.2
ω (rad/s)
Figura: Función de respuesta en frecuencia de un sistema de un gdl con:
m = 1 kg , ωn = 2π rad /s, ζ = 0,025, obtenidas a partir de la TF de h(t) y a
partir de la fórmula teórica.
38
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
200
F(t) (N)
100
0
−100
−200
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
8
incremental
duhamel
FRF
6
y (m)
4
2
0
−2
−4
−6
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
Figura: Vibración de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn = 2π rad /s,
ζ = 0,025, y0 = 0 m, ẏ0 = 0 m/s, N = 128 puntos.
39
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
F(t) (N)
200
0
−200
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
0
1
2
3
4
t (s)
5
6
7
8
y (m)
10
0
−10
v (m/s)
50
0
−50
a (m/s2)
500
0
−500
Figura: Posición, velocidad y aceleración.
40
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
Distintas funciones de respuesta en frecuencia
Se tiene que
H(ω) =
1
(k − mω 2 ) + icω
Eliminando los complejos del denominador queda:
H(ω) =
(k − mω 2 ) − icω
(k − mω 2 )2 + (cω)2
Se define la función de ganancia como el módulo de la función de
respuesta en frecuencia:
p
p
|H(ω)| = H(ω)H ∗ (ω) = (Re H)2 + (Im H)2
1
|H(ω)| = p
(k − mω 2 )2 + (cω)2
41
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
Existen otras relaciones, como por ejemplo
◮
Relacion entre la velocidad y la fuerza excitadora:
Ẏ (ω) = H1 (ω)F (ω)
iω
(k − mω 2 ) + icω
ω
|H1 (ω)| = p
= ω|H(ω)|
(k − mω 2 )2 + (cω)2
H1 (ω) =
◮
Relacion entre la aceleración y la fuerza excitadora:
Ÿ (ω) = H2 (ω)F (ω)
H2 (ω) =
−ω 2
(k − mω 2 ) + icω
ω2
|H2 (ω)| = p
= ω 2 |H(ω)|
(k − mω 2 )2 + (cω)2
42
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador
Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia
◮
Relacion entre la fuerza transmitida a la base y la fuerza excitadora:
FB (ω) = HFB (ω)F (ω)
Como
T .F .
FB (t) = ky (t) + c ẏ (t) =⇒ FB (ω) = kY (ω) + c Ẏ (ω)
k + icω
(k − mω 2 ) + icω
p
k 2 + (cω)2
p
|HFB (ω)| =
(k − mω 2 )2 + (cω)2
HFB (ω) =
43
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a movimientos de la base
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a
movimientos de la base
Vamos a estudiar ahora el sistema masa-muelle-amortiguador cuando
está sometido a un movimiento de la base:
Esto ocurre, por ejemplo, en un terremoto. La fuerza en el muelle y en el
amortiguador son proporcionales al movimiento relativo. Si definimos:
y (t) = ym (t) − yB (t)
44
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a movimientos de la base
Sustituyendo en la ecuación de equilibrio
Figura: Equilibrio de fuerzas.
Aplicando la 2a Ley de Newton (según el principio de D’Alambert, la
fuerza mÿm (t) tiene sentido opuesto al movimiento)
X
F (t) = mÿm (t) ⇒ Fc (t) + Fk (t) = −mÿm (t)
Sustituyendo cada fuerza por su valor
c ẏ (t) + ky (t) = mÿm (t) = −m(ÿ (t) + ÿB (t))
mÿ (t) + c ẏ (t) + ky (t) = −mÿB (t)
45
Respuesta de sistemas dinámicos con un grado de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a movimientos de la base
En frecuencias se pueden definir, por ejemplo, las siguientes relaciones:
◮ Relacion entre el desplazamiento relativo y la aceleración de la base:
T .F .
F (t) = −mÿB (t) =⇒ F (ω) = −mŸB (ω)
◮
Y (ω) = H(ω)F (ω) = H1 (ω)ŸB (ω)
−m
H1 (ω) =
(k − mω 2 ) + icω
m
|H1 (ω)| = p
= m|H(ω)|
(k − mω 2 )2 + (cω)2
Relacion entre la aceleración relativa y la aceleración de la base:
Ÿ (ω) = −ω 2 Y (ω)
Ÿ (ω) = H2 (ω)ŸB (ω)
H2 (ω) =
mω 2
(k − mω 2 ) + icω
mω 2
|H2 (ω)| = p
(k − mω 2 )2 + (cω)2
46